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1、精品文档第十七讲I 授课题目： 3.2 洛必塔法则n 教学目的与要求：1. 掌握用罗必塔法则求极限；2. 明了使用罗必塔法则的条件；3. 了解将罗必塔法则与极限运算性质结合使用常能简化运算。川教学重点与难点：重点：各种类型的未定式转化为0或二型的未定式0旳难点：罗必塔法则与极限运算性质的结合使用IV 讲授内容： 3.2 洛必塔法则如果当x a (或x；)时，两个函数f(x)与F(x)都趋于零或都趋于无穷 大，那末极限lim丄凶可能存在、也可能不存在通常把这种极限叫做未定式，并岂 F(x)分别简记为0或二.在第一章第六节中讨论过的极限lim 叱就是未定式-的一个0： ：x_p x0例子对于这类极
2、限，即使它存在也不能用“商的极限等于极限的商”这一法则.下面我们将根据柯西中值定理来推出求这类极限的一种简便且重要的方法.我们着重讨论x a时的未定式0的情形，关于这情形有以下定理：0定理1设 当X； a时，函数f (x)及F(x)都趋于零；在点a的某去心邻域内，f(x)及F (x)都存在且F (x) = 0 ；(3) lim f (x)存在(或为无穷大)F (x)那么lim 3x a F(x)x a F (x)这就是说，当 lim f(X)存在时，lim也存在且等于 lim f (x)；当lim f (x)为xtf(x)F(x)XT f (x)XF(x)无穷大时，lim f (x)也是无穷大
3、.这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极T F(X)限来确定未定式的值的方法称为洛必塔( LHospital)法则证明 因为求丄凶当x a时的极限与f(a)及F(a)无关，所以可以假定F(x)f(a)二F(a)=0，于是由条件(1)、(2)知道，f (x)及F(x)在点a的某一邻域内是连续的.设x是这邻域内的一点，那么在以x及a为端点的区间上，柯西中值定理的条件均满足，因此有型(刈- f(a) -1U(在x与a之间).F(x) F(x)-F(a) F ()令Xr a，并对上式两端求极限，注意到 x. a时匚一 a，再根据条件(3)便得说明:1.如果lim f (x)仍属于匕型，且 f (x
4、)和F(X)满足洛必达法则的条件，可继续使用 xa F (x)0洛必达法则，即 lim f(x) =|im f (x) =|im f (x)二 ; xtf(x) F (x) t F (x)2. 当x：时，该法则仍然成立，有lim 凹 =lim匚凶;YF (x) YF (x)3. 对x； a (或Xr )时的未定式一，也有相应的洛必达法则 ；Q04. 洛必达法则是充分条件，反之不成立；5. 如果数列极限也属于未定式的极限问题，需先将其转换为函数极限，然后使用洛必达法则，从而求出数列极限.(因为数列不连续，不能求导)例1求下列极限需,吟型)X3 -3x 2X3 _X2 _ X 1（_0 型）0解原
5、式=00罟= Xm0吟原式=lim亠x 1 3x _2x_1lim 但 3x1 6x - 226 x注 上式中的lim叱 已不是未定式，不能对它应用洛必达法则，否则要导致错误xt 6 x 2结果.以后使用洛必达法则时应当经常注意这一点，如果不是未定式，就不能应用洛精品文档精品文档 必达法则.(3)arctanx0 壬lim 2, ( 型)x ：101 2原式=協斧=瞎2x2 =1x(4)血輕兰，（.二型）.x-01nsinbx原式=lim a cosax sinbx =x0 bcosbx sin axcosbx lim=1x Qcosax(5)lim 如，（二型） x 尹an 3x2原式=li
6、m sec2xx #3sec 3x2cos 3x _ 16 cos 3x sin3xlim3 x 牙-2cos xsin xlim 沁=x sin 2x6cos6x limx 2cos2x洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更注意：好例2求下列极限(1)tan xx lim 厂 x0 x tanxtanx - x原式二叫x3sec x-11 tan2 x 1=一 lim 23x2 x2lim 2x 103x2(2)ln x叫 ln(ex -1)(3)ln cos(xT) limx 17：.1 -s inx2练习:原式二lim xt+ exxe -1sin(x -
7、1)cos(x-1)011 x2x3. O0,0型00 ln0步骤：1:取对数(1)0 ln :：求下列极限lim xxx 0x ln x原式=xmesin x 1 asx求下列极限lim xlnxln xJ。Trmlnsin x-ln x lim原式二 ex 0 1 osxx213=1.1(2)x精品文档精品文档精品文档(1)1lim x1 公x 11Inx1 _xlnx lim x_11 _x二 e_1e .(2)lim(1 sinx)limln(1 -sinx)原式二ex 0 xcosxlim 1 sin x=e1= e求下列极限(1)1lim (cot x)ln xx_0 lim原式二
8、ex 0ln(cot x)ln x怙 _ cotx sin x ex 01/x二 e，ln(ln x)(2)lim原式二exx1 1lim 亘x 0 二 ex 1e0n :求 limtan()n -4 n解 设 f (x) =tanx()，贝V f (n) =tann(2)4 n兀因为 lim f (x)二 exp lim xln tan(2)xln tan(三 +)= exp2 sec=exp兀2X1tan x2)x4(打=e从而 原式=lim f (n) =lim二f(x) =61练习：1)1(2) lim (cot x)ln xtan x(3) lim x(4) lim (tanx)tan2x (5)|jm(1-sin x)cotxx 4V 小结与提问：小结：1使用罗必塔法则之前应该验明其是否满足罗必塔法则条件 2.罗必塔法则是求未定型极限的有效方法，但不是万能的。提问：求极限lim x 3sinx时能否使用罗必塔法则？-2cosxW 课外作业：P1371.(9) (12) (16)4.
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