图形的分割与拼接

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1、图形的分割与拼接x且U蹉 例题精讲本讲主要学习三大图形处理方法：1 .理解掌握图形的分割；2 .理解掌握图形的拼合；3 .理解图形的剪拼.本讲中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试.通过本讲知识的学习，让同学们了解不同图形的分割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力.把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割.反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合.将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼.我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考.如果把一个图形分割成若干个大小、

2、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多.图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形.如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的.如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法.板块一图形的分割例1用一条线段把一个长方形平均分割成两块，一共有多少种不同的分割法？【解析】怎样把一个图形按照规定的要求分割成若干部分呢？这就是图形的分割问题.按照规定的要求合理分割 图形，是很讲究

3、技巧的，多做这种有趣的训练，可以培养学生的创造性思维， 发展空间观念，丰富想象， 提高观察能力.这道题要求把长方形平均分割成两块，过长方形中心的任意一条直线都可以把长方形平均分割成两块， 根据这点给出如下分法（如右图）：做长方形的两条对角线，设交点为 O 过O点任作一条直线 AB,直线AB将长方形平均分割成两块. 可见用线段平分长方形的分法是无穷多的.【巩固】画一条直线，将六边形分成大小相等、形状相同的两部分，这样的直线有条.【解析】 无数条.任何过六边形中心的直线均符合要求. 【例2】把任意一个三角形分成面积相等的 4个小三角形，有许多种分法.请你画出4种不同的分法.【解析】根据等底等高的三

4、角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成 4个等底等高的小三角形，它们的面积必定相等.而要得到这4个等底等高的小三角形，只需把原三角形的某条边四等分， 再将各分点与这边 相对的顶点连接起来就行了. 根据上面的分析，可得如左下图所示的三种分法. 又因为4U 442222, 所以，如果我们把每一个小三角形的面积看做1,那么1父4就可以视为把三角形的面积直接分成 4等份，即分成4个面积为1的小三角形；而 2 M2可以视为先把原三角形分成两等份，再把每一份分别分成两 等份.根据前面的分析，在每次等分时，都要想办法找等底等高的三角形.根据上面的分析，又可以得到如右下图的另两种分法.【巩固】把任意一个三角

5、形分成面积相等的2个小三角形，有许多种分法.请你画出 3种不同的分法.【解析】根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成 2个等底等高的小三角形，它们的面积必定相等.而要得到这2个等底等高的小三角形， 只需找出原三角形的某条边的中点与这边相对的顶点 连接起来就行了.根据上面的分析，可得如图所示的三种分法.【例3】怎样把一个等边三角形分别分成 8块和9块形状、大小都一样的三角形./ /X小工【解析】 分成8块的方法是：先取各边的中点并把它们连接起来，得到4个大小、形状相同的三角形，然后再把每一个三角形分成两部分，得到如左上图所示的图形.分成9块的方法是：先把每边三等分，然后再把分点

6、彼此连接起来，得到加上右上图所示的符合条件 的图形.例4下图是一个直角梯形，请你画一条线段，把它分成两个形状相同并且面积相等的四边形.【解析】 直角梯形的上底为 1,下底为2,要分成两个相同的四边形，需要一条边可以分成1和2, AD边长正好为3,所以AD边分成两段，找到 AD的三等分点 E ,现在，CD=AE, DE = AB , BF = EF ,所 以还要找到 BC的中点F ,连接EF,就把梯形 ABCD分成完全相同的两部分.如右上图.【例5】在一块长方形的地里有一正方形的水池（如下图）.试画一条直线把除开水池外的这块 地平分成两块.【解析】 用连对角线的办法找出这块长方形地的中心 O和正

7、方形水池的中心 A.过O、A画一条直线，这条直线 正好能把除开水池外的这块地平分为两块 （如右上图）.【例6】把下图四等分，要求剪成的每个小图形形状、大小都一样.除了剪正方形外，你还有 别的方法吗？【解析】 先把图形分成20 M40相等的两块，每一块中再分成相等的两份，这样就不难分成四块了，如右上图.【例7】下图是一个3父4的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要 保持每个小方格的完整.【解析】 分成的两块每块有12 + 2 =6（个）小格，并且这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，我们从 对称线入手，介绍一种分割技巧一一染色法，先选中一个小格，找它关于中心点或中心线

8、的对称位置， 标上相应的符号.当找它关于中心线的对称位置时是一种情况，关于中心点的对称位置是另一种情况， 具体如下图所示.【巩固】右图是一个 4父4的方格纸，请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格 的完整.【解析】 因为要分割成完全相同的两块，即大小、形状完全相同.方格纸一共有4父4=16（个）小格，所以分成的两块每块有16 + 2 =8（个）小格，并且这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，应用染色法， 从中心点的一侧入手染色，逐步推进.（建议教师同时呈现六幅空的4M4格图，不同的变化在不同的图上同时呈现）如下图：【例8】下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方

9、形的大正方形，请你将它分成大小形状 完全一样的四部分.【解析】 要求把阴影部分分成四个大小、形状都相同的四个图形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等，也就是把整个图形的面积分成四份，分割后的每一部分占一份.考虑先把阴影部分分成12个小正方形再分成四份，这样每份正好有 3个小正方形.再看形状，三个小正方形只能排成”形或者“匚”形.答 案如下图.【巩固】下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的两部 分.如果分三部分呢？【解析】 从形状，面积两方面综合考虑，很容易就能得到答案.答案如右上图.【巩固】图中是由三个正三角形组成的梯形.你能把它分割成4个形状相

10、同、面积相等的梯形吗？【解析】这道题的要点在于通过计算解决问题，要求把原来三个正三角形分成四个大小、形状都相同的四个梯形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等， 即把整个梯形的面积分成四份，分割后的每一个梯形占一份，可以考虑把每一个三角形的面积分成四份，再把三个正三角形中的每一个小三角形合成要求的梯形，这种类型的题目可以从中点入手，找到每个正三角形的中点并连接，如右上图.【例9】下图是由五个正方形组成的图形.把它分成形状、大小都相同的四个图形，应怎样分？ 【解析】如果不考虑分成的四个图形的形状，只考虑它们的面积，这就要求把原来五个正方形分成四个面积相等的图形，每个图形的面积应是 1个多正方形.

11、我们把每个正方形各分成四个面积相等的小正方形，分成的每块图形应有五个这样的小正方形. 根据图形的对称性，我们很快就能得到如右上图的分法. 也可以 将中间的正方形分成四个小正方形，如右上图.【例10】已知左下图是由同样大小的 5个正方形组成的.试将图形分割成 4块形状、大小都一样的图形.【解析】 已知图形是由同样大小的 5个正方形组成的，要分成4块同样大小的图形，则每块图形是 刍个正方形 由 4此想到，若把每个正方形都分成4等份，则分割成的每一块中应包含5份.再稍经试验，即得右上图的解（图内部的实线为分割线 ）.【巩固】把右图剪成形状、大小相等的8个小图形，怎么剪？作出分出的小图形.【解析】 总

12、格数为12,用总格数除以8,得到每个小图形应该是一个半小正方形，根据平均一个小图形的格数作图，如右图.【例11】下图是由18个小正方形组成的图形，请你把它分成 6个完全相同的图形.【解析】 通过计算，18= 3,说明基本形状是由三个小正方形组成，三个正方形有两种形式：通过观察，上面的图形具有对称性，不可能分成,再由6结合染色法，如下图.【例12】一个正三角形形状的土地上有四棵大树（如下图所示），现要把这块正三角形的土 地分成和它形状相同的四小块，并且要求每块地中都要有一棵大树.应怎样分？【解析】 由于土地的形状为正三角形，由题意可知，把大三角形的面积分成四份，每一块占一份，且形状与原三角形相同

13、，于是我们想到取大正三角形的各边中点，依次连接各边中点， 即可将这块大正三角形的土地分成与它相等的四份，如右上图所示.【总结】本题若死守三角形面积等于底M高的一半，则无以下手，引导学生转换一下思考角度，取原三角形各边中点，将原三角形分成面积相等的四部分，问题即可解决.【例13】将下图分割成大小、形状相同的三块，使每一小块中都含有一个。.【解析】 图中一共有18个小方格，要求分割成大小、形状相同的三块，每一块有：18+3=6（块），而且分割成大小、形状相同的三块，可以看出图形的中心点是O,而且上面的部分是对称的，但是只有5块，需要对称的再加上一块，再由图形的特点，可以判断应分为右下图的三部分.【

14、例14】请把下面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的4块，使每一块内都含有“奥数读本”这四个字中的一个，该怎么剪？【解析】 图中“奥数”与“读本”中的两个字都是挨着的，所以肯定要在它们中间分割，因此，首先在他们中间划出分割线，因为要将这个长方形分成大小、形状完全相同的4块，因为长方形是 6M 4的，所以分割后的每一块都有 6小块组成，可以考虑先把长方形分成相同的两部分，再把每一部分分成相同的两部分，如下图所示.答案不唯一.【例15】（2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛初赛）请把下面的图形分成形状、大小 都相同的4块，使每一块里面都有“春蕾杯赛”4个字.【解析】如下图所示：答案不唯一.

15、【例16】学习与思考对小学生的发展是很重要的，学习改变命运，思考成就未来，请你将下图分成形状和大小都相同的四个图形，并且使其中每个图形都含有“学习思考”这四个字.应怎样分？【解析】 看到这道题目，我们想到俄罗斯方块，由题意可知，所分出的每一块图形，必须由4个小正方形组成，它的形状不外乎如右上图所示的五种俄罗斯方块，这就控制了搜索的范围.根据原题中各个字的具体位置，上图中有些图形是必须排除的，例如，如果把图与原题右下角2父2的正方形重叠，其中“考”字出现了两次，不符合题意，因此，图可以先排除掉.现在，再固定某一角上的一个小正方形，按其中的字来考虑.如固定右上角写有“考”的小正方形来分析，只有下列

16、4种可能出现的情况：【例17如下图所示，请将这个正方形分切成两块，使得两块的形状、大小都相同，并且每一块都含有学而思奥数五个字.【解析】图中有相同汉字挨在一起的情况，肯定要从它们之间切开（图1）,因此，首先要在它们之间划出切分线.因为要将这个正方形切开成两块形状和大小都一样的图形，所以其中一块绕中心点旋转 1800必定与另一块重合.要是把切分线也绕中心点旋转180。就可得到一些新的切分线（图2）.这就为我们解决问题提供了线索，本题的两种解法如上图所示.【巩固】如下图所示的正方形是由36个小正方格组成的.如图那样放着4颗黑子，4颗白子，现在要把它切割成形状、大小都相同的四块，并使每一块中都有一颗

17、黑子和一颗白子.试问如何切割？【解析】 首先在相同颜色的棋子之间划出切分线， 以中心旋转90、180工、270：，之后，得到一些新的切分线,同时考虑到每块包含有一颗黑子和一颗白子的要求，以及每一块面积应该是36+4=9,即含有9个小正方格，先找到符合要求的一块后，让它绕中心旋转90、180：、270，便得到其他三块，如右上图. 【例18】如图，甲、乙是两个大小一样的正方形.要求把每一个正方形分成四块，两个正方形共分为八块，使每块的大小和形状都相同，而且都带一个。. 甲乙【解析】一个正方形分成大小和形状都相同的四块，一定是从中心点分开的，只要能找出其中符合题目要 求的一块，然后再将这块绕着正方形

18、的中心点分别旋转90、180：、270：就可以得到另外三块.又因为这个正方形面积为 36平方单位，所以分成的每一块的面积都是9平方单位.即每一块都由 9个小正方格组成.另外，由于两个正方形要切分成一样大小的四块，因此可将两个正方形重叠在 一起考虑.将两个正方形重叠在一起，如下图所示，为便于区别，将其中一组的改写成“X” .按要 求将这重叠的正方形切分成大小、形状都相同的四块，并且每块都有一个和“X” .图中有相同符号的挨在一起的从中间把它们切开，在它们中间划上截线.并将这些截线绕 中心点旋转90,、180：、270、得到另外三段截线.如下图.利用它们设想出划分线.设想分块从中心位置开始，逐步向

19、外扩散，在里层方格中，先指定某一方格已分入到某小块中， 并作上记号（斜线阴影），然后将它绕中心旋转180：后得到另一方格分入到另一小块中，也作上记 号（横线阴影），如图.对于中间一层方格和最外一层方格，设想分块时一定要紧扣条件：每一块中都要有一个和 一个“父” .每一块都有 9个方格组成，不能断开.下图是分解了的分块过程示意图.注意到斜线阴影部分已经有了一个和一个“ 父” .那么左下角包含的方格就不能再分 到斜线阴影部分去了，而只能将右下角的方格分到斜线阴影部分.于是左上角的方格就应该分给 横线阴影部分.空白部分是另外两块.下就是最后分得的结果.【例19正三角形ABC的面积是1平方米，将三条边

20、分别向两端各延长一倍，连结六个端点得到一个六边形（如右图），求六边形的面积.【解析】 采用分割法，过 A、B、C分别作平行线，得到右上图，其中所有小三角形的面积都相同，所以六边形面积等于13平方米.【巩固】正方形 ABCD的面积是1平方米，将四条边分别向两端各延长一倍，连结八个端点得到一个正方形（如图），求大正方形的面积.【解析】四条边分别向两端各延长一倍，很容易可以观察出，大正方形有9个小正方形组成，所以，大正方形的面积是：1父9=9（平方米）.【巩固】正六边形 ABCDEF的面积是1平方米，将六条边分别向两端各延长一倍，交于六个点，组成如下图的 图形，求这个图形的面积.【解析】 采用分割法

21、，连接正六边形的对角线，会发现，所有的三角形面积都相同，一共有12个小三角形，原来正六边形的面积是 1平方米，由6个小三角形组成， 所以现在的大图形的面积是：1父2 = 2 （平方米）【例20（第九届“中环杯”小学生思维能力训练活动初赛）如图，它是由15个边长为1厘米 的小正方形组成的. 请在原图中沿正方形的边线，把它划分为 5个大小形状完全相同的图形，分割线用 笔描粗.分割后每个小图形的周长是 厘米.分割后5个小图形的周长总和与原来大图形的周长相差 厘米. 【分析】 因为总共有15个小正方形，所以分成5个大小形状相同的图形后每个图形应该有15+5 = 3（个）小正方形，如图. 每个小图形的周

22、长为 8厘米.5个小图形的周长和：8x5 =40（厘米），原图形的周长：4m4 + 2=18（厘米），所以相差40 18 =22（厘米）.【例21如何把下图中的三个图形分割成两个相同的部分（除了沿正方形的边进行分割外，还可沿正方形的对角线进行分割）.【解析】 要把图形分成两个相同的部分，首先要保证分得的两部分面积相同，其次要保证分得的两部分形状相同，从面积入手进行分割会使问题更容易解决.第一个图形一共有6个小正方形，2个三角形，要分割成两块完全相同的部分，每一部分都要有3个正方形、1个三角形，这样很容易就可以解决这个问题了；同样，对第二个图形，一共有7个正方形，2个三角形，因为正方形的个数是奇

23、数，所以，肯定有一个正方形被分成相同的两块，对于这个图形，我们很容易看出有一个正方形的位置很特殊，在最中间，所以考虑将它分成两部分，由对称的原则，从对角线分开；第三个图形更复杂一些，一共有6个正方形，6个三角形，分成的两块每一块都要有3个正方形、3个三角形，因为最上面的两个三角形组合成了一个大的三角形，所以右下方的两个三角形不能分开，再根据对称的原则，就容易解决这个问题了，具体分法见下图.【例22】（2003年小学生数学报数学邀请赛）如图，将一个等边三角形分割成互相不重 叠的23个较小的等边三角形（这些较小的等边三角形的大小不一定都相同），请在图 中画出分割的结果.【解析】 分割的方法不唯一，

24、如图所示. 【例23】（2005年小学生数学报数学邀请赛）如图，将一个正方形分割成互相不重叠的21个小正方形，这些小正方形的大小不一定相同，请画图表示.【解析】 分割的方法不唯一，如右图所示. 板块二图形的拼合【例24】用两块大小一样的等腰直角三角形能拼成几种常见的图形？【解析】 建议用等腰直角三角板，把不同的边进行重合， 不要漏掉旋转重合， 或者准备一些等腰直角三角形的纸片，由学生拼接后贴到黑板上，见下图：【巩固】用3个等腰直角三角形拼图，要求边与边完全重合，能拼出几种图形？ 【解析】 这种类型的题需要学生亲自操作，建议教师准备材料与学生互动.一共可以拼成如下图的几种形状： 【巩固】用同样大

25、小的四块等腰直角三角板，能否拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、一个梯形、一个 平行四边形五种图形？若能，画出示意图.【解析】 能用四块同样大小的等腰直角三角板拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、一个梯形、一个平行四边形五种图形.建议用等腰直角三角板，把不同的边进行重合，不要漏掉旋转重合，或者准备一些等腰直角三角形的纸片，由学生拼接后贴到黑板上，具体拼法如图所示. 【例25 下面哪些图形自身用 4次就能拼成一个正方形？ 【解析】 用4块图（4）和图（5）那样的图形显然能够拼成一个大正方形.其实用图（1）、图（2）、图（3）也能拼成一个大正方形，拼法见下图. 【例26】用下面的3个图形，

26、拼成右 边的大正方形.【解析】 首先数一数所有的空格数，一共只有16个，只能组成4父4的正方形，使用目标倒推法，在右边的大正方形中拼图，仍然使用染色法，相当于把已知图形往右边的大正方形中放，这样就很容易拼合了，如下图：【巩固】用“四连块”拼成一个正方形，按编号画入右边图中. 【解析】 首先数一数所有的空格数，一共只有16个，只能组成4M 4的正方形，目标倒推，在右边的大正方形中拼图，仍然使用染色法，相当于把已知图形往右边的大正方形中放，这样就很容易拼成了，注意标号的位置，具体如下图所示：土 ,你能将它们拼成下面的形状吗?111111221111222112【例27】 有6个完全相同的【解析】

27、利用染色法以及图形的对称性，对称轴两侧都有三个小图形，按照下面的顺序标号即可完成.【例28（保良局亚洲区城市小学数学邀请赛）三种塑料板的型号如图：（ A）（B）（C）已有A型板30块，要购买B、C两种型号板若干，拼成5父5正方形10个，B型板每块 价格5元，C型板每块价格为4元.请你考虑要各买多少块，使所花的总钱数尽可能 少，那么购买B、C两种板要花多少元？【解析】 要使花的钱尽可能的少，已有 30个A型板最好能用上，而价格较贵的B型板尽可能少用，因为 A型与B型的面积都为3,所以在拼成的5M5的正方形中，除了 C型外，余下的面积应能被 3整除.有 25 -4X4=9或254父1 =21能被3

28、整除知，只能用4块C型板或1块C型板，考虑尽可能多地使 用A型板，有如下图1、图2的拼法：图1图2图1的拼法要花4黑4+5黑2=26（元），图2的拼法要花4 + 5=9（元），因为只有30块A型板，所 以在10快5M5的正方形中，图2的拼法只能有4块，剩下6块用图1拼法，共需：9X4 +26 父6 =192（元）【例29】试用图a中的8个相等的直角三角形，拼成图b中的空心正八边形和图 c中的空心正八角星.【解析】把一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的一条直角边重合，同时，斜边上的一个锐角顶点与直角顶点重合，像这样依次摆放下去，便可得空心正八边形.若把一个直角三角形的斜边与另一个直角三角 形

29、的直角边的一部分重合，但顶点均不重合， 依次摆放下去， 便可由这八个相等的直角三角形组成空心正八角星.板块三图形的剪拼【例30试将一个正方形分成相同的四块，然后用这四块分别拼成三角形、平行四边形和梯形.【解析】要用分成的四块组成三角形，那么剪成得图形一定是三角形，这样平均分成四等分，当然这种分法有好几种.组成图形的时候我们可以换位思考，看如何将三角形、平行四边形、梯形分成大小相等的三角形. 如图所示：【例31】把两个小正方形剪开以后拼成一个大正方形.【解析】因为大正方形的面积等于两个小正方形的面积和，所以大正方形的边长不能等于两个小正方形的边长 和，而是等于小正方形的对角线的长，所以要沿着两个

30、小正方形的对角线剪开再进行拼接，如右图.【例32】将下图分成4个形状、大小都相同的图形，然后拼成一个正方形.【解析】 总共有36块小正方形，所以最后拼成的大正方形边长有6个单位，具体切拼方法如下：【例33】试将一个4 M9的长方形分割成两个大小相等、形状相同的图形，然后拼成一个正方形.【解析】 已知长方形格数9x4=36 （个），所以正方形的边长应为 6个格，因此可以把长方形上半部分成3个格、6个格，下半部分成 6个格、3个格，分成相等的两块，合起来正好拼成一个边长为6个格的正方形，如右下图.【巩固】长方形的长和宽各是 9厘米和4厘米，要把它剪成大小、形状都相同的两块，并使它们拼成一个正方形.

31、【解析】 已知长方形面积9 M4 =36（平方厘米），所以正方形的边长应为 6厘米，因此可以把长方形上半部剪下6厘米，下半部剪下 3厘米，分成相等的两块，合起来正好拼成一个边长为6厘米的正方形，如右下图.【例34】 将下图分成两块，然后拼成一个正方形.【解析】图形的面积等于16个小方格，如果以每个小方格的边长为 1,那么拼成的正方形的边长应该是4.因为图形是缺角长方形，长为 6,宽为3,应将宽加1,长减去2便可得一个正方形，所以分割成两块后， 右边的一块应向上平移 1（原来宽为3,向上平移使宽为 4）,向左平移2（原来长为6,向左平移使长为 4）.如右下图所示.【例35】 将图1分成4个形状、

32、大小都相同的图形，然后拼成一个正方形.图1图2图3【解析】经过计数可以发现，图形是由 16个完全一样的正方形组成，所以拼成的正方形每排都有4个这样的小正方形，共有4排把大图形分成完全一样的 4个图形，每个图形的面积都是小正方形的4倍.现在来考虑形状.由于这个图形具有对称的特点，很容易想到先将它分成两个完全一样的图形，只要沿大图形中间的那条竖线剪开即可，其中上面的一个是图2,再想办法把已经分成的两个图形各分成两个形状、大小都相同的图形即可.下面以上面的图为例， 继续探讨分割的办法. 如果把上图中每个小正方形的边长看作1个单位，那么这个图形中的最长边有4个单位，其次为 3;显然，要把它分成完全一样

33、的两个图形，每个图形的最长边只能为3,具体分法见图3,用同样的方法，可以将与上面的图形完全一样的下面的一个图形分成两个形状、大小都相同的图形，如右上图.【例36】小龙的妈妈在街上卖边角布料的地摊上，买回了一块形状是等腰直角三角形的绸布，想用它来做长方形的窗帘，为了不把布剪的太碎，裁剪的块数就要尽可能的少， 请问小龙的妈妈应该怎样剪拼呢？【解析】要使裁剪的块数少，就要充分利用等腰直角三角形的特点，还要尽可能多的让长方形的边与三角形的边重合，假设拼好的长方形以BC为长，现在要把 ADE补到ACGE的位置上，这就要求这两个三角形完全一样，显然，只要取 D、E分别为AB、AC的中点即可.所以首先连接

34、AB的中点D和AC的中 点E ,将 ADE沿DE剪开，再按顺时针方向旋转 180即可.如下图所示.【例37】试将任意一个三角形分成三块，然后拼成一个长方形.【解析】 方法一：三角形与长方形的不同在于：角、边的个数不同，把三角形变为四边形，需要加一个角，加一条边，而且长方形四个角都是直角，自然能想到在三角形中做两条垂线，并且过三角形两 条边的中点，这样才能拼出一个长方形，如左下图.方法二：因为由平行四边形转化为长方形很简单，所以只需要把三角形先分割、拼凑成平行四边形，作 三角形的中位线，旋转 180。即可转化为平行四边形，然后拼成长方形，如右下图.【巩固】试将任意一个矩形分成两块，然后拼成一个三

35、角形.方法一：方法【解析】 方法一：考虑到矩形沿对角线可以分成两个相同的三角形，两个完全相同的三角形即可拼成一个大的三角形，如左上图所示.方法二：连接矩形一个角与一边中点的连线，将分割出的三角形沿中点处旋转180。即可，如右上图所示.【巩固】试将任意一个矩形分成三块，然后拼成一个三角形.方法一：【解析】将例题逆推即可.方法二:【例38】把一个正方形分成 8块，再把它们拼成一个正方形和一个长方形，使这个正方形和长方形的面积相等.【解析】连接正方形的对角线，把正方形分成了4个相等的等腰直角三角形，再连接各腰中点，又把它们分成4个小等腰直角三角形和 4个等腰梯形.（如图所示），出于分成正方形、长方形

36、面积相等 的要求考虑：分别取出两个小等腰直角三角形和两个梯形，就能一一拼出所要求的正方形和长方 形了（如图、所示）. 【例39】有一块长8米、宽3米的长方形地毯，现在要把它移到长6米、宽4米的新房间里.请找出一种剪裁方法，使剪后的各块拼合后正好能铺满房间的地面，为了使剪后的地毯尽量完整，就要使剪裁的 块数尽可能地少，应怎样剪拼？【解析】 地毯的面积为8x3=24平方米，新房间的面积为 6X4=24平方米，两者虽然长、宽不相等，但面积相等.通过对比不难发现：地毯的长比房间的长多2米，房间的宽比地毯的宽多1米，因此，我们可以把地毯看做由12个2父1（平方米）的小长方形组成的大长方形，如左下图所示，

37、要达到题目的要求，只要使原地毯的长缩短一小格.即减少2米，使原地毯的宽增加一小格，即增加1米，我们可以沿对角线的方向，把它剪成阶梯形的两块，并使它们的形状和大小完全相同，如中间图，然后把它们错位互相拼接在一起，即阴影部分先向上平行移动1米，再向右平行移动 2米，即得右下图.15厘米的新长方形.【例40如何把一个长20厘米、宽12厘米的长方形切成两块，【解析】 因为原长方形比新长方形的长多4厘米，新长方形比原长方形的宽多3厘米，因此我们把原长方形分成20个长4厘米，宽3厘米的小长方形.因为新长方形的长为16厘米，所以原长方形的长应减少一个小长方形，而新长方形的宽为15厘米，所以原长方形的宽应增加

38、一个小长方形.可以沿对角线的方向，把它切成k阶梯状的两块，并使他们的形状和大小完全相同，然后把它们相互错位交在一起，即白色部分往上爬了一个台阶，这样便拼成了一个新的长方形.具体操作中可按图 d中的粗线把长方形分成两块，一移一错一对，便可得到如图e所示的长为16厘米，宽为15厘米的新长方形.【例41长方形长24厘米，宽15厘米.把它剪成两块，使它们拼成一个长20厘米，宽18厘米的长方形.【解析】 长方形面积=2415=360（平方厘米），拼成的长方形面积 =2018=360（平方厘米），面积相等，只是长、宽不等，但它们都可以分成30个4X3的小长方形，拼成的长方形的一半应有15个4M 3的小长方

39、形，即5+4+3+2+1=15.所以才有如上图的剪切方法.【例42】如下图长方形的长、宽分别为120厘米、90厘米，正中央开有小长方形孔，长为 80厘米，宽为10厘米，要拼成面积为 100平方厘米的正方形.问如何切分，能使划分的块数最少.【解析】 切分前面积为120x9080x10 =10000（平方厘米），应与拼成后的正方形面积相等.拼成后正方形 的边长x =100厘米.因为：100=12020=90+10 .假设上图切成两块如下左图，然后将右块向 上平移10厘米，再向左平移 20厘米，就拼成了一个正方形，切分线不可能是直线，一定是折线 段.切分后的两块类似阶梯形，然后由两个阶梯互相啮合，组

40、成一个正方形，如下右图.【例43】把下图中两个图形中的某一个分成三块，最后都拼在一起，使它们成为一个正方形.【解析】 不管分其中的哪一块，最后拼得正方形的面积与图中两块面积和相等，甲面积=10x5=50（平方厘米）；乙面积 二0m7 （72父4 =7020=50 （平方厘米）.所以甲面积+乙面积=50 +50 =100（平方厘米），也就是最后拼得正方形的边长为 10厘米.甲、乙 两图形各有一边是10厘米，可视为正方形的一条边，然后把乙剪成三块 （如右下图所示）拼成的正 方形，即可.【例44如下图两个正方形的边长分别是a和b（ab）,将边长为a的正方形切成四块大小、形状都相同的图形，与另一个正方

41、形拼在一起组成一个正方形. 【解析】 拼成大正方形的面积应是 aMa+bxb,设边长c ,则有等式cMc=axa + bMb,又因为将边长为a 的正方形切成四个全等形，那么分割线一定经过正方形中心，假设切割线MN为大正方形边长，如图，一定有 MN MMN =aMa+bMb,而 MH a ，则：NH =b，所以 AN =CM =BH = （a b）。2 , 由此可以确定 MN ,然后将MN绕中心O旋转90到EF位置，即可把正方形切成符合要求的4块.如图与图.这种分法同时确保图 的中间部分就是边长为 b的小正方形.这是因为： 中心四边形的角即边长为 a的正方形的四个角，/A, /B ,C , /

42、D ,又因为各边长度相等. 因 此中心四边形是正方形.中心正方形的边长 =a -（a-|b）*2 -（a - b） +2=a -（a-b）=b . 因此，中间部分是边长为 b的正方形.【例45 如下图所示，这是一张十字形纸片，它是由五个全等正方形组成，试沿一直线将 它剪成两片，然后再沿另一直线将其中一片剪成两片，使得最后得到的三片拼成两个 并列的正方形.【解析】 实际拼成两个并列的正方形就是一个长方形，其长是宽的2倍，设十字形面积是 5个平方单位，XX22 2 2长方形白长为X长度单位，宽为 一长度单位，那么有 x=5,x =10,即X =3+1 ,由勾股定 22理可知：所求长方形的长可视为一

43、直角三角形直角边分别是3和1的斜边.它恰是两个对角顶点的连线.剪拼方法如右图所示，甲拼在甲 位置，乙拼在乙 位置，就可得符合题意的图形.【总结】 假若沿第二条线把另一片也剪成两片，那么共剪成的4片是4个全等多边形，这时两条直线都经过十字形的中心，并且互相垂直.剪开的这4个图形其中一个绕中心旋转 90,也和另一个重合.由此我们便得到一个重要结论：对于一个正方形来讲， 如果从中心沿360：= 4 = 90角的两边切开，得到整个图形的），这个1的图形若绕中心旋转 90一定和另外的的图形重合.对于一个正三角形 444来讲，如果从中心沿 360 +3=120，角的两边切开，得到整个图形的 ，这个1的图形若绕中心旋 33车t120,一定也和另外的1的图形重合.一般情况：对于一个正n边形，如果从它的中心沿 竺0的*1角的两边剪开，得到整个图形的1,这个的图形若绕中心旋转 竺0角，一定也和另一个 -图形n nnn重合.