高等数学：第十二章 傅氏级数

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1、1第十二章第十二章 傅氏级数傅氏级数2FourierFourier 级数级数 前面我们讨论了一般项是非负整数次幂的幂函前面我们讨论了一般项是非负整数次幂的幂函数的函数项级数数的函数项级数-幂级数，给出了幂级数的收幂级数，给出了幂级数的收敛半径和收敛域的求法，讨论了函数展开为幂级敛半径和收敛域的求法，讨论了函数展开为幂级数的条件及函数展开为幂级数的直接展开法、间数的条件及函数展开为幂级数的直接展开法、间接展开法。接展开法。 从本章开始我们来讨论一般项是三角函数的函从本章开始我们来讨论一般项是三角函数的函数项级数数项级数-三角级数，重点讨论如何把函数展三角级数，重点讨论如何把函数展开为三角级数的问

2、题，它的重要应用之一是对周开为三角级数的问题，它的重要应用之一是对周期信号进行频谱分析，是学习积分变换的基础，期信号进行频谱分析，是学习积分变换的基础，也可利用三角级数展开式求出某些数项级数的和也可利用三角级数展开式求出某些数项级数的和.3一、问题的提出一、问题的提出 在自然科学与工程技术问题中，常会遇到周期现在自然科学与工程技术问题中，常会遇到周期现象具有周期现象的量，每经过时间象具有周期现象的量，每经过时间 T 后所取的值就后所取的值就重复出现，这样的量在数学上可表示成时间重复出现，这样的量在数学上可表示成时间 t 的周的周期函数期函数 f ( t + T ) = f ( t ) 正弦函数

3、是一类比较简单的周期函数，而且是应正弦函数是一类比较简单的周期函数，而且是应用十分广泛的一类周期函数。如在简谐振动和正弦电用十分广泛的一类周期函数。如在简谐振动和正弦电路电流分析中常遇到正弦型函数路电流分析中常遇到正弦型函数)sin( tAy 但是在实际问题中，除了正弦函数外，还会遇到但是在实际问题中，除了正弦函数外，还会遇到非正弦周期函数，它们反映了较复杂的周期运动非正弦周期函数，它们反映了较复杂的周期运动.4非正弦型周期函数：矩形波非正弦型周期函数：矩形波 tttu0, 10, 1)(当当当当otu11 如何深入地研究非正弦型周期函数呢？联系到前面如何深入地研究非正弦型周期函数呢？联系到前

4、面介绍过的用函数的幂级数展开式表示和讨论函数，我介绍过的用函数的幂级数展开式表示和讨论函数，我们也想将周期函数展开成简单的周期函数如正弦函数们也想将周期函数展开成简单的周期函数如正弦函数组成的级数组成的级数.不同频率的正弦波逐个叠加不同频率的正弦波逐个叠加.5,7sin714,5sin514,3sin314,sin4tttt tusin4 )3sin31(sin4ttu 6)5sin513sin31(sin4tttu )7sin715sin513sin31(sin4ttttu 7)9sin917sin715sin513sin31(sin4tttttu )7sin715sin513sin31(s

5、in4)( tttttu8 以电路计算为例，往往将以以电路计算为例，往往将以 T 为周期的函数化为周期的函数化成一系列不同频率的正弦量之和。成一系列不同频率的正弦量之和。 101)sin()sin(nnnnnntnAAtnAy 将周期函数按上述方式展开，其物理意义是很明确将周期函数按上述方式展开，其物理意义是很明确的，这就是把一个比较复杂的周期运动看成一系列的，这就是把一个比较复杂的周期运动看成一系列不同频率的简谐振动的叠加不同频率的简谐振动的叠加.91 1 三角函数系及其正交性三角函数系及其正交性1.三角级数三角级数级数级数 称为三角级数称为三角级数 其中其中a0 an bn (n 1 2

6、)都是常数都是常数 )sincos(2110nxbnxaannn10?)sincos(21)(10nxbnxaaxfnnn?)sincos(21)(10 xnbxnaaxfnnn为周期以若2)(xfTTxf/2,)(其中为周期以若112.基本三角函数系及其特点基本三角函数系及其特点l1 cos x sin x cos 2x sin 2x cos nx sin nx l任何两个不同函数的乘积在区间 上的积分为0。l任何两个相同函数的乘积在区间上的积分不等于零。l单位正交系,.2sin,2cos,sin,cos21xxxx，12,.2 , 10sin1cosnnxnnxdx，.2 , 10cos1

7、sinnnxnnxdx，130)sin()sin(21cossindxxnkxnknxdxkx0)cos()cos(21sinsindxxnkxnknxdxkx0)cos()cos(21coscosdxxnkxnknxdxkx).sin()sin(21)(cos)(sin ).cos()cos(21)(cos)(cos. )cos()cos(21)(sin)(sinbababababababababa,.)2 , 1,(nk),.,2 , 1,(nknk141)21(1 , 211-22dxdx即,.2 , 11)2sin4121(122cos11cos12nnxnxdxnxnxdx，,.2

8、, 1, 1)2sin4121(122cos11sin12nnxnxdxnxnxdx152 2 周期为周期为2的函数的傅氏级数及其收敛性的函数的傅氏级数及其收敛性1.周期函数的傅氏系数与傅氏级数周期函数的傅氏系数与傅氏级数l设f(x)是周期为2的周期函数 且能展开成三角级数，那么系数a0 a1 b1 与函数f(x)之间存在着关系。 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf16函数展开成傅里叶级数函数展开成傅里叶级数问题问题: :1.若能展开若能展开, 是什么是什么?iiba ,2.展开的条件是什么展开的条件是什么? 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf若有若有17kxd

9、xbdxkxadxakkkksincos2110 ,220 a dxxfa)(10 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf若有若有.)1(0a求求dxkxbkxadxadxxfkkk )sincos(2)(10 18.)2(na求求 nxdxanxdxxfcos2cos)(0cossincoscos1 nxdxkxbnxdxkxaknk nxdxan2cos, na nxdxxfancos)(1), 3 , 2 , 1( n 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf若有若有19.)3(nb求求 nxdxanxdxxfsin2sin)(0sinsinsincos1 nxdx

10、kxbnxdxkxaknk, nb nxdxxfbnsin)(1), 3 , 2 , 1( n 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf若有若有20傅里叶系数傅里叶系数 ), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann 2020), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann或或212.傅氏级数收敛性定理及傅氏展开式傅氏级数收敛性定理及傅氏展开式(1)分段连续分段连续：f(x)在在a,b上除去有限个第一类间上除去有限个第一类间断点外处处连续。断点外处处连续。.为可去

11、间断点)()(lim)(lim.都存在但不相等)(lim)(lim.第一类0000000000,xx fxf=xfbxf,xfa xx+ xx xx+ xx间断点22. 4xxy例) 1 , 0,yx的小数部分. 1,., 21, 1, 10,nxnnxxxxxxxy. 3 , 314. 3 , 33exx例如的最大整数。表示不超过其中).(0) 1 (, 1)(lim, 0)(lim0101右连续fxxxxxx第一类间断点第一类间断点y1-1O12x232.傅氏级数收敛性定理及傅氏展开式傅氏级数收敛性定理及傅氏展开式(2)分段单调分段单调： f(x)在在a,b上只有有限个单调区间。上只有有限

12、个单调区间。2423203xy。上分段连续，分段单调在,)(xf25单调。上分段连续，但不分段在,1sin)(xxxfxxy1sin260连续。上分段单调，但不分段在,|1)(xxf272.傅氏级数收敛性定理及傅氏展开式傅氏级数收敛性定理及傅氏展开式(3)分段可微分段可微：函数：函数f(x)在在a,b上分段连续，存在上分段连续，存在有限个点有限个点a=x0 x1xn=b，使使f(x) 在每一个在每一个小区间小区间(xi , xi+1)上可微，且在这些点处的广义上可微，且在这些点处的广义导数导数f(xi+0), f(xi+1-0)存在存在(i=0,n)，则称则称f(x)在在a,b上分段可微。上分

13、段可微。28f (x) 在点在点 x0 处的右导数处的右导数:xxfxxfxyxfxx)()(limlim)0( 0000000f(x)在在x0的广义右导数：的广义右导数：xxfxxfxfx)0()(lim)0(0000029f (x) 在点在点 x0 处的左导数处的左导数:xxfxxfxxfxxfxyxfxxx)()(lim)()(limlim)0( 00000000000f(x) 在在 x0 的广义左导数：的广义左导数：xxfxxfxfx)0()(lim)0(0000030问题问题: : 10)sincos(2?)(nnnnxbnxaaxf条件条件傅里叶级数傅里叶级数 10)sincos(

14、2nnnnxbnxaa31 以上我们是在以上我们是在f ( x ) 可以展开成三角级数并可以可以展开成三角级数并可以逐项积分的前提下讨论问题的，下面我们撇开这个逐项积分的前提下讨论问题的，下面我们撇开这个前提前提)(2xf为为周周期期的的函函数数对对一一般般的的以以 只要公式中的积分都存在，就可以定出系数只要公式中的积分都存在，就可以定出系数), 2 , 1 , 0( nan), 2 , 1( nbn并可唯一地写出并可唯一地写出f ( x ) 的的 F -级数级数 10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf 至于这个级数是否收敛，如收敛是否收敛到至于这个级数是否收敛，如收敛是否收敛到f

15、 ( x )的问题的问题 ，有以下定理：，有以下定理：狄利克雷充分条件狄利克雷充分条件32(4)狄利克雷充分条件狄利克雷充分条件定理定理1：设函数：设函数f(x)以以2 为为周期周期 在区间在区间 上分段连上分段连续且分段单调，则续且分段单调，则f(x)的傅氏级数在任一点的傅氏级数在任一点x处均收处均收敛，且其和函数为敛，且其和函数为的间断点。为的连续点，为)( )( ,2)0()0(),()(xfxxfxxfxfxfxS33(5)定理定理2l设函数设函数f(x)以以2 为为周期周期 且在区间且在区间 上分上分段可微，则段可微，则f(x)的傅氏级数在任一点的傅氏级数在任一点x处均收处均收敛到和

16、函数敛到和函数.),0()0(21)(xxfxfxS3423203xy.,2)(分段单调上分段连续在为周期以xf.),()(上收敛到该点的函数值的傅氏级数在xf2)0()0(2)0()0()()(2)0()0(2)0()0()()(ffffSxxfffffSxxf处，在处，在35例例1.)(,2)(傅氏级数及其和函数的求为周期以设函数xfxf.0, 0,)(xxxxf2233036例例1.0, 0,)(xxxxf.2)(1)(100-0 xdxdxdxxfa 1) 1(1cos10)coscos(1cos)(120200-nnnnxnnxdxxnxdxnxdxxfa37例例1.0, 0,)(x

17、xxxf) 1(21(1)cos21 (1cos)cos1 (1)sinsin(1sin)(100-nnnnnnnnnnxdxxnxdxnxdxxfb38例例1.0, 0,)(xxxxf) 1(21(1nnnb.20a 1) 1(12nnna.sin) 1(21cos1) 1(4)(112nnnnnxnnxnxf.20a 1) 1(12nnna) 1(21(1nnnb.20a 1) 1(12nnna.sin) 1(21cos1) 1(4)(112nnnnnxnnxnxf) 1(21(1nnnb.20a 1) 1(12nnna39例例1.0, 0,)(xxxxf.sin) 1(21cos1) 1

18、(4)(112nnnnnxnnxnxf22330)00(, 0)00(ff)0(,)0(ff)0(,)0(ff40例例1.0, 0,)(xxxxf,.2, 1, 022/) 12(0) 1()(sin) 1(21cos1) 1(4112kkxkxkxkxfnxnnxnnnnn41注意注意: : 函数展开成傅里叶级数的条件比展开成函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低得多幂级数的条件低得多.otumEmE 解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件.), 2, 1, 0(处不连续处不连续在点在点 kkx2mmEE 收敛于收敛于2)(mmEE , 0 。将其展开为傅立叶

19、级数形为周期的矩形脉冲的波：以例.0,0,)(21tEtEtumm42).(,xfkx收敛于收敛于时时当当 和函数图象为和函数图象为otumEmE ntdttuancos)(1 00cos1cos)(1ntdtEntdtEmm), 2 , 1 , 0(0 n。将其展开为傅立叶级数形为周期的矩形脉冲的波：以例.0,0,)(21tEtEtumm43).(,xfkx收敛于收敛于时时当当 和函数图象为和函数图象为otumEmE ntdttubnsin)(1 00sin1sin)(1ntdtEntdtEmm)cos1(2 nnEm)1(12nmnE , 2 , 1,2, 0, 2 , 1, 12,)12

20、(4kknkknkEm.0,0,)(tEtEtumm44所求函数的傅氏展开式为所求函数的傅氏展开式为 1)12sin()12(4)(nmtnnEtu),2, 0;( tt。将其展开为傅立叶级数形为周期的矩形脉冲的波：以例.0,0,)(21tEtEtumm.,.2, 0, 0,.2, 0),() 12sin() 12(41tttutnnEnm45例例2 级级数数的的和和函函数数的的为为周周期期的的函函数数是是以以设设 Fxfxs)(2)( f ( x )在一个周期内的表达式为在一个周期内的表达式为上的表达式上的表达式在在写出写出,)( xs解解f ( x )如右图所示如右图所示 满足收敛定理的条

21、件满足收敛定理的条件 21212|20)(xxxxxxs 2|20)(xxxxf46例例3 xxxxxxxf00)(22试求其试求其Fourier级数的和函数级数的和函数各点处的值各点处的值在在10,23,)( xxs解解为为周周期期的的函函数数是是以以 2)(xsf (x)在整个数轴上连续在整个数轴上连续 ，其，其Fourier级数处处收敛于级数处处收敛于f (x)本身本身.0)( s)22()23( ss4)2(2 s)104()10( ss)310()104( 47思考题思考题 若若函函数数)()(xx ，问问：)(x 与与)(x 的的傅傅里里叶叶系系数数na、nb与与n 、n ), 2

22、 , 1 , 0( n之之间间有有何何关关系系？48解答解答 nxdxxancos)(1 )()cos()(1tdntt nxdxx cos)(1 nxdxx cos)(1), 2 , 1 , 0( n 若若函函数数)()(xx ，问问：)(x 与与)(x 的的傅傅里里叶叶系系数数na、nb与与n 、n ), 2 , 1 , 0( n之之间间有有何何关关系系？n49 nxdxxbnsin)(1 )()sin()(1tdntt nxdxx sin)(1 nxdxx sin)(1n ), 2 , 1( n,nna .nnb 若若函函数数)()(xx ，问问：)(x 与与)(x 的的傅傅里里叶叶系系

23、数数na、nb与与n 、n ), 2 , 1 , 0( n之之间间有有何何关关系系？50 傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近51525354555657585960616263643.奇偶周期函数的傅氏级数奇偶周期函数的傅氏级数l若若f(x)是偶函数，其傅氏系数为是偶函数，其傅氏系数为,.2 , 1 , 0n0cos)(2cos)(1nxdxxfnxdxxfan0sin)(1nxdxxfbn,.2 , 1n傅氏余弦级数-cos2)(10kkkxaaxf653.奇偶周期函数的傅氏级数奇偶周期函数的傅氏级数l若f(x)是奇函数，其傅氏系数为,.2 , 1 , 0n0cos)(1nxdxx

24、fan0sin)(2nxdxxfbn,.2 , 1n傅氏正弦级数-sin)(1kkkxbxf66展开步骤展开步骤 验证验证 f ( x ) 满足满足 Dirichlet 条件，并确定条件，并确定f ( x ) 的所有间断点，可作图，结合图形进行分析、判断的所有间断点，可作图，结合图形进行分析、判断根据公式计算根据公式计算Fourier系数系数写出写出Fourier 级数展开式，并注明展开式的级数展开式，并注明展开式的 成立范围成立范围注注求求Fourier系数一般要用分部积分法，有时甚至系数一般要用分部积分法，有时甚至要多次分部积分，较麻烦且容易出错，此外，某要多次分部积分，较麻烦且容易出错，

25、此外，某些些an , bn 需要单独计算，容易忽略而导致错误需要单独计算，容易忽略而导致错误67 求函数的求函数的Fourier级数展开式，主要的工作是计算级数展开式，主要的工作是计算Fourier系数，利用函数的奇偶性可简化系数，利用函数的奇偶性可简化Fourier系系数计算，数计算，当当f ( x ) 是奇函数时是奇函数时 0cos)(1nxdxxfan), 2 , 1 , 0( n), 2 , 1( n 此时其此时其Fourier级数展开式是只含有正弦项而没有级数展开式是只含有正弦项而没有常数项和余弦项的正弦级数常数项和余弦项的正弦级数 1sinnnnxb0sin)(2nxdxxfbn6

26、8当当f ( x ) 是偶函数时是偶函数时), 2 , 1(0 nbn 此时其此时其Fourier级数展开式是只含有常数项和余弦级数展开式是只含有常数项和余弦项而没有正弦项的余弦级数项而没有正弦项的余弦级数 10cos2nnnxaa0cos)(2nxdxxfan), 2 , 1 , 0( n694.任意周期的周期函数的傅氏级数任意周期的周期函数的傅氏级数l设函数设函数f(x)的周期为的周期为2l，在在R上有定义，在上有定义，在-l,l上可上可积，则相应的三角函数系为积，则相应的三角函数系为l令令 ，则改写成，则改写成,.sin,cos,.,sin,cos21nxnxxxllll，,.sin,c

27、os,.,sin,cos21nxnxxx，l /704.任意周期的周期函数的傅氏级数任意周期的周期函数的傅氏级数l令 ，则 是以2为周期的函数.)()(tftglxtl)()()2()2()2(tgtlfltlftlftg714.任意周期的周期函数的傅氏级数任意周期的周期函数的傅氏级数)sincos(21)(,2)(10ntbntaatgtgnnn设其傅氏级数为为周期以既然ntdttgancos)(1ntdttgbnsin)(1,.2 , 1 , 0n,.2 , 1n724.任意周期的周期函数的傅氏级数任意周期的周期函数的傅氏级数lllnllllnxdxxflxdxlnxllfldxlxlnx

28、lgntdttga-cos)(1cos)(1cos)(1cos)(1lllnnxdxxflntdttgb-sin)(1sin)(1,.2 , 1 , 0n,.2 , 1ndxldttgtlfxfxlt ),()()( ,则令734.任意周期的周期函数的傅氏级数任意周期的周期函数的傅氏级数l周期为2l的函数f(x)的傅氏级数为)sincos(21)(10 xbxaaxflnnlnnnlllnnxdxxfla-cos)(1lllnnxdxxflb-sin)(1,.2 , 1 , 0n,.2 , 1n744.任意周期的周期函数的傅氏级数任意周期的周期函数的傅氏级数l当f(x)为奇函数时 其中lxnb

29、xfnnsin)(1,.2 , 1sin)(20ndxlxnxflbln，lllnnxdxxfla-cos)(1lllnnxdxxflb-sin)(1754.任意周期的周期函数的傅氏级数任意周期的周期函数的傅氏级数l当f(x)为偶函数时 l其中 lxnaaxfnncos2)(10,.2 , 1 , 0cos)(20ndxlxnxflaln，lllnnxdxxfla-cos)(1lllnnxdxxflb-sin)(176.)(,2,02sin20sin)(2,2,)( 3.的傅氏展开式求其中上的表达式为在为周期以设函数例tfTtTtATttAtfTTTtf2T2T0A77.)(,2,02sin2

30、0sin)(2,2,)( 3.的傅氏展开式求其中上的表达式为在为周期以设函数例tfTtTtATttAtfTTTtfAATTAtATtdtATdxxfldxxflaTTlll4)cos1 (24)2cos1 (4)cos(4sin22)(2)(120200-078.)(,2,02sin20sin)(2,2,)( 3.的傅氏展开式求其中上的表达式为在为周期以设函数例tfTtTtATttAtfTTTtf202020-cossin4cossin4cos)(2cos)(1TTTnllnlllnntdtntATtdttATxdxxflxdxxfla0cossin4201TtdttATa79.)(,2,02

31、sin20sin)(2,2,)( 3.的傅氏展开式求其中上的表达式为在为周期以设函数例tfTtTtATttAtfTTTtf,1时当 n202020-cossin4cossin4cos)(2cos)(1TTTnllnlllnntdtntATtdttATxdxxflxdxxfla80,1时当 n 1) 1() 1)(1(4) 1)(1(2) 1)(1() 1(22) 1)(1(2) 1() 1() 1() 1(2) 1)(1(2) 1() 1() 1() 1(2) 1(1) 1(1) 1cos() 1(1) 1cos() 1(1212) 1(cos) 1(1 12) 1(cos) 1(12) 1c

32、os() 1(1) 1cos() 1(12) 1sin() 1sin(2cossin411111202020nnnnnnTTTnnnTAnnnnTAnnnnTAnnnnTAnnnnnnTATnnTnnTAtnntnnTAdttntnTAtdtntATa.2) 14(4, 1202knkAknan81.)(,2,02sin20sin)(2,2,)( 3.的傅氏展开式求其中上的表达式为在为周期以设函数例tfTtTtATttAtfTTTtf0sin)(1-lllnnxdxxflbAa40.2) 14(4, 1202knkAknan12142cos42)(kktkAAtf82.)(,2,02sin20

33、sin)(2,2,)( 3.的傅氏展开式求其中上的表达式为在为周期以设函数例tfTtTtATttAtfTTTtf12142cos42)(kktkAAtf2T2T0A.),()(,2,2)(, 0)02()2()2(,)2,2)(f(t)f(t)tfTTtfTfTfTfTTtf的傅氏级数处处收敛于所以上连续在从而连续在故而且连续在83.)(,2,02sin20sin)(2,2,)( 3.的傅氏展开式求其中上的表达式为在为周期以设函数例tfTtTtATttAtfTTTtf).,( ,142cos42)(12tktkAAtfk.21141 014142 ,01212kkkkAAt时当84例例 1 1

34、 设设)(xf是周期为是周期为 4 的周期函数的周期函数,它在它在)2 , 2 上的表达式为上的表达式为 20020)(xkxxf, 将其展将其展成傅氏级数成傅氏级数. 解解., 2 满足狄氏充分条件满足狄氏充分条件 lk2 xy2044 2002021021kdxdxa,k na 202cos21xdxnk), 2 , 1( n, 02sin22120 xnkn85 202sin21xdxnkbn)cos1( nnk, 6 , 4 , 20, 5 , 3 , 12 nnnk当当当当例例 1 1 设设)(xf是周期为是周期为 4 的周期函数的周期函数,它在它在)2 , 2 上的表达式为上的表达

35、式为 20020)(xkxxf, 将其展将其展成傅氏级数成傅氏级数. 8622knx时级数收敛于时级数收敛于 例例 1 1 设设)(xf是周期为是周期为 4 的周期函数的周期函数,它在它在)2 , 2 上的表达式为上的表达式为 20020)(xkxxf, 将其展将其展成傅氏级数成傅氏级数. k2 xy2044 .2)0(21)00()00(21)0(kkffS.2)0(21)02()02(21)02()02(21)2(kkffffS.2)0(21)02()02(21)02()02(21)2(kkffffS87)25sin5123sin312(sin22)( xxxkkxf), 4, 2, 0;

36、( xx22knx时级数收敛于时级数收敛于 例例 1 1 设设)(xf是周期为是周期为 4 的周期函数的周期函数,它在它在)2 , 2 上的表达式为上的表达式为 20020)(xkxxf, 将其展将其展成傅氏级数成傅氏级数. 88非周期函数的展开非周期函数的展开 前面我们研究了周期为前面我们研究了周期为T = 2 l 的函数展开成的函数展开成Fourier 级数，其中所涉及到的函数都是定义在级数，其中所涉及到的函数都是定义在无限区间上，但在实际应用中却需要对非周期函无限区间上，但在实际应用中却需要对非周期函数，或定义在有限区间上的函数展开成数，或定义在有限区间上的函数展开成Fourier 级数

37、，下面我们就来讨论这种情况级数，下面我们就来讨论这种情况.895.定义在有穷区间的函数的傅氏系数定义在有穷区间的函数的傅氏系数(1)若若f(x)在在 )上有定义，则令上有定义，则令当当k=0时时，F(x)=f(x),x ).F(x) 以以2 为为周期周期,称为称为f(x)的周期延拓函数。的周期延拓函数。,22),2()(kxkkxfxF,.2, 1, 0k90yx2291F(x)的傅氏级数的傅氏级数10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxFnxdxxfnxdxxFbnsin)(1sin)(1-,.2 , 1nnxdxxfnxdxxFancos)(1cos)(1-,.2 , 1 , 0n

38、,22 ),2()(kxkkxfxF925.定义在有穷区间的函数的傅氏系数定义在有穷区间的函数的傅氏系数若若f(x)在在( 上有定义，则令上有定义，则令,22),2()(kxkkxfxF,.2, 1, 0k935.定义在有穷区间的函数的傅氏系数定义在有穷区间的函数的傅氏系数若若f(x)在在 上有定义，且上有定义，且f()=f( ),则令则令,22),2()(kxkkxfxF,.2, 1, 0k945.定义在有穷区间的函数的傅氏系数定义在有穷区间的函数的傅氏系数若若f(x)在在 上有定义，且上有定义，且f() f( ),则令则令),2()(kxfxF,.2, 1, 0kkxkkxk22,22或者

39、95解解.,)()(. 422上的傅氏展开式在求函数例xxxf.4) 1(cos)(2cos)(121-22-nxdxxxdxxfanlnlnn. 0sin)(1-xdxxfblnn.34)(1)(12-22-0dxxdxxfa96解解.,)()(. 422上的傅氏展开式在求函数例xxxf.4) 1(21nann. 0nb.3420a)( cos1) 1(432121222xnxnxnn97nxnxnncos1) 1(432121222121221) 1(432 ,0nnnx可得时当.1) 1(.312111) 1(1221221212nnnnn即nnnnx) 1(1) 1(4320 ,121

40、2可得时当.1.3121116222122nnn即98例例 2 将函数将函数 xxxxxf0,0,)( 展开为傅立叶展开为傅立叶级数级数. 解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件. 拓广的周期函数的傅拓广的周期函数的傅氏级数展开式在氏级数展开式在收敛于收敛于 .)(xf, xyo 2 2 99 dxxfa)(10 xxxxxf00)(02000212211xxdxxdxxdx100 nxdxxfancos)(1 00cos)(1cos)(1nxdxxfnxdxxf)1(cos22 nxn 1)1(22 nnxxxxxf00)( , 2 , 1,2, 0, 2 , 1, 1

41、2,)12(42kknkknk101 nxdxxfbnsin)(1 00sin)(1sin)(1nxdxxfnxdxxf, 0 xxxxxf00)(102所求函数的傅氏展开式为所求函数的傅氏展开式为 12)12cos()12(142)(nxnnxf)( xxxxxxf00)(nnaba , 0 ,0 , 2 , 1,2, 0, 2 , 1, 12,)12(42kknkknk103利用傅氏展开式求级数的和利用傅氏展开式求级数的和,)12cos()12(142)(12 nxnnxf, 0)0(,0 fx时时当当 222513118 ,4131211222 设设),8(513112221 104利用

42、傅氏展开式求级数的和利用傅氏展开式求级数的和,)12cos()12(142)(12 nxnnxf, 0)0(,0 fx时时当当 222513118 105,44212 ,243212 21 ,62 132.122 ,4131211222 设设),8(513112221 ,6141212222 ,41312112223 1066.413121122228.5131122224.614121222212.41312112222107(2)f(x)在在-l,l)or(-l,lor-l,l上有定义上有定义l可按(1)的方法将其延拓为以2l为周期的函数，f(x)对应的傅氏级数为)sincos(21)(1

43、0 xbxaaxFlnnlnnnl-llnnxdxxflacos)(1l-llnnxdxxflbsin)(1,.2 , 1 , 0n,.2 , 1n108周期延拓周期延拓 设函数设函数 f ( t ) 在在 -l , l )上满足上满足Dirichlet 条件条件为了将其展开为为了将其展开为Fourier 级数，需要将级数，需要将 f ( t ) 在在 -l , l ) 以外进行周期性延拓，也就是作一个周期以外进行周期性延拓，也就是作一个周期.为为 l 的函数的函数 F (t ) 使得使得F (t ) 在在 -l , l ) 上与上与f ( t )恒等，将恒等，将F (t ) 展开成展开成Fo

44、urier 级数级数.109 10)sincos(2)(nnnltnbltnaatF 而在而在 -l , l ) 的连续点处，的连续点处， 有有 10)sincos(2)(nnnltnbltnaatf 若若 t0 是是 -l , l ) 内的间断点，则在该点处，级数内的间断点，则在该点处，级数收敛于收敛于2)0()0(00 tftf)1()2(110需要注意的是区间的两个端点，需要注意的是区间的两个端点，lt 虽然对虽然对 f ( t ) 来说，在左端点右连续，来说，在左端点右连续，右端点左连续，但延拓成右端点左连续，但延拓成 F (t ) 以后，在以后，在lt 就不一定连续，由收敛定理就不一

45、定连续，由收敛定理 ，lt 在在级数收敛于级数收敛于)0()0(21 lflf 因此若因此若 f ( t ) 在在 -l , l ) 上上 左端点的右极限等于左端点的右极限等于右端点的左极限，即右端点的左极限，即)0()0( lflf展开式在展开式在)(tflt处处收收敛敛于于 111展开式在展开式在)(tflt处处收收敛敛于于 此时此时Fourier 级数的收敛域包括区间的端点，否则级数的收敛域包括区间的端点，否则Fourier 级数的收敛域不包括区间的端点级数的收敛域不包括区间的端点. 应该指出，这里所要展开的是应该指出，这里所要展开的是 f ( t ) 要得到的要得到的是第二个级数，在实

46、际计算中并不需要得到第一个是第二个级数，在实际计算中并不需要得到第一个级数，虽然两个展开式形式上完全相同，但它们的级数，虽然两个展开式形式上完全相同，但它们的收敛域不同，收敛域不同， F (t ) 是延拓到整个数轴上的情形，是延拓到整个数轴上的情形，而而 f ( t ) 的展开式只局限于的展开式只局限于 -l , l ，因此在讨论，因此在讨论 f ( t ) 的展开式的收敛域时，不要扩展到的展开式的收敛域时，不要扩展到 f ( t ) 的定的定义域之外义域之外.112解解,10 xz作作变变量量代代换换)10()( zfxf),(zFz ,)55()(的定义的定义补充函数补充函数 zzzF,

47、5)5( F令令)10()( TzF作周期延拓作周期延拓然后将然后将,收收敛敛定定理理的的条条件件这这拓拓广广的的周周期期函函数数满满足足).()5, 5(zF内内收收敛敛于于且且展展开开式式在在 .)155(10)(3.展开成傅氏级数将函数例xxxf. 55155zx113), 2 , 1 , 0(, 0 nanx)(zFy5 501510,5sin)1(10)(1 nnznnzF)55( z 1)10(5sin)1(1010nnxnnx.5sin)1(101 nnxnn)155( xxzzF10)(,.)2 , 1( ,10) 1(5sin)(5250nndzznzbnn114另解另解 1

48、555cos)10(51dxxnxan 1551555cos515cos2dxxnxdxxn, 0 ), 2 , 1( n 1550)10(51dxxa, 0 1555sin)10(51dxxnxbn,10)1( nn ), 2 , 1( n 15sin)1(1010)(nnxnnxxf故故)155( x115(3)f(x)在在0,l上有定义上有定义l偶延拓。令偶延拓。令l当当0 xl时时,00),(),()(1xllxxfxfxF.cos21)(101lxlxaaxFlnnn，llnnxdxxfla0cos)(2,.2 , 10，nxaaxflnnncos21)(10116(3)f(x)在在

49、0,l上有定义上有定义l奇延拓。令奇延拓。令l当当0 xl时时,. 0, 0,0),(, 0),()(2xlxlxxfxfxF.sin)(12lxlxbxFlnnn，llnnxdxxflb0sin)(2,.2 , 1nxbxflnnnsin)(1117注意注意 f( (x) )在在 0, ,l 连续时，在连续时，在0,l内内f(x)即可展开为余弦级数即可展开为余弦级数, ,也可展开为正也可展开为正弦级数弦级数. . 两个级数在两个级数在( (0, ,l) )内都等于内都等于f( (x),),而在而在( (0, ,l) )之外之外, ,两个级数可能就两个级数可能就不相同了不相同了. .118注意

50、注意一般而言，一般而言，奇延拓的收敛域不包括端点奇延拓的收敛域不包括端点偶延拓的收敛域包括端点偶延拓的收敛域包括端点119解解.(2);(1) 2 , 02)(5.正弦级数余弦级数上展开成在区间将函数例xxf。偶延拓至区间将函数2 , 22)() 1 (xxf02-2xy1120. 141222)(22022000 xdxxdxxflal0sin)(1-lllnnxdxxflb2222020202020200)( 1) 1(212)(420 1cos)(22cos212sin12sin12sin1)2(sin2212cos222cos)(2nknnknnnxnnndxxnndxxnnxnxnx

51、nxdndxxnxxdxxflanllnn2)(xxf121解解.(1) 2 , 02)(5.余弦级数上展开成在区间将函数例xxf. 22 ,2) 12(cos) 12(14212122xxkkxk. 10a. 0nb2)( 1) 1(2nann02-2xy1122解解.(2) 2 , 02)(5.正弦级数上展开成在区间将函数例xxf。奇延拓至区间将函数2 , 22)()2(xxf02-2xy1123. 041221)(1222220 xdxxdxxflall0cos)(1-lllnnxdxxfla.2) 1(2sin212) 1(2cos12) 1(2cos12cos1)2cos(2212s

52、in222sin)(21201201202020200nxnnnndxxnnndxxnnxnxnxnxdndxxnxxdxxflbnnnllnn2)(xxf124解解;(2) 2 , 02)(5.正弦级数上展开成在区间将函数例xxf. 22 ,2sin1) 1(2211xxnnxkn. 0nanbnn2) 1(1时当2x0) 11(21)02()02(21 )02()02(212sin1) 1(211ffffxnnkn125例例 4 4 将将函函数数)0(1)( xxxf分分别别展展开开成成正正弦弦级级数数和和余余弦弦级级数数. . 解解 (1)(1)求正弦级数求正弦级数. .,)(进行奇延拓

53、进行奇延拓对对xf 0sin)(2nxdxxfbn 0sin)1(2nxdxx)coscos1(2 nnn , 6 , 4 , 22, 5 , 3 , 122nnnn当当当当1263sin)2(312sin2sin)2(21 xxxx)0( x5sin)2(514sin43sin)2(312sin2sin)2(21xxxxxx 127(2)(2)求余弦级数求余弦级数. .,)(进行偶延拓进行偶延拓对对xf 00)1(2dxxa, 2 0cos)1(2nxdxxan)1(cos22 nn , 5 , 3 , 14, 6 , 4 , 202nnn当当当当5cos513cos31(cos412122

54、 xxxx)0( x128)7cos715cos513cos31(cos4121222xxxxx 1293 3 贝塞尔不等式与帕斯瓦尔不等式贝塞尔不等式与帕斯瓦尔不等式若若f(x)以以2 为周期，设为周期，设若若 ，则误差，则误差最大偏差：最大偏差：平均平方误差：平均平方误差：选择选择 使使 最小。最小。)()(xTxfn)sincos(21)()()()(10kxkxaxfxTXfxkknknn)sincos(21)(10kxkxaxTkknkn| )(|maxxnxdxxnn)(2212)(2xn),.,2 , 1(,0niii1303 3 贝塞尔不等式与帕斯瓦尔不等式贝塞尔不等式与帕斯瓦

55、尔不等式)()sincos(2)()()(1022xfkxkxxfxfxkknkn),()sincos(42222120 xhkxkxnnkkk)sincos(2)sincos()(1,10jxkxkxkxxhkknjkkknkn)sinsincoscos(2, 1,jxkxjxkxjkjknjkjkdxxfn)(2122)()()2(221221200kkkknkbaa)(22122120kkbaank1313 3 贝塞尔不等式与帕斯瓦尔不等式贝塞尔不等式与帕斯瓦尔不等式l其中其中 是是f(x)的傅氏级数。的傅氏级数。l当当 最小。最小。2n),.,2 , 1(,0nkbaakk),.,2

56、, 1( ,00nkbaakkkk1323 3 贝塞尔不等式与帕斯瓦尔不等式贝塞尔不等式与帕斯瓦尔不等式l定理定理1：设函数：设函数f(x)在在 上可积，则当取上可积，则当取 等于等于f(x)的傅氏系数时，三角多的傅氏系数时，三角多项式项式Tn(x)与与f(x)的平均平方误差达到最小，且的平均平方误差达到最小，且其中其中 为为f(x)的傅氏级数。的傅氏级数。),.,2 , 1(,0nkkk),.,2 , 1(,0nkbaakk,)(221)(21min1222022nkkknbaadxxf1333 3 贝塞尔不等式与帕斯瓦尔不等式贝塞尔不等式与帕斯瓦尔不等式l推论1：设函数f(x)在 上有界可

57、积，则有下列贝塞尔不等式：l推论2：设函数f(x)在 上有界可积，则傅氏系数an与bn都趋向于零(当n时)。.)(1)(2212220dxxfbaakkk1343 3 贝塞尔不等式与帕斯瓦尔不等式贝塞尔不等式与帕斯瓦尔不等式l定理定理2：设函数：设函数f(x)在在 上有界可积，将上有界可积，将f(x)的的傅氏系数的前傅氏系数的前(2n+1)项的部分和记作项的部分和记作Sn(x),即即令令 则有则有,)()(2122dxxSxfnn).sincos(2)(10kxbkxaaxSkknkn. 0lim2nn1353 3 贝塞尔不等式与帕斯瓦尔不等式贝塞尔不等式与帕斯瓦尔不等式l推论推论1：当函数：

58、当函数f(x)在在 上有界可积，则有帕斯上有界可积，则有帕斯瓦尔不等式：瓦尔不等式：l这里这里 为为f(x)的傅氏系数。的傅氏系数。,)(1)(2212220dxxfbaakkk,.)2 , 1(,0kbaakk1363 3 贝塞尔不等式与帕斯瓦尔不等式贝塞尔不等式与帕斯瓦尔不等式l贝塞尔不等式几何解释l帕斯瓦尔不等式的几何意义l平均逼近与平均收敛：Sn与f之间在可积函数空间中的距离趋于零（当n时）。1373 3 贝塞尔不等式与帕斯瓦尔不等式贝塞尔不等式与帕斯瓦尔不等式l 上两个有界可积函数f与g之间的距离是f-g的范数，l令l那么),sincos(2)(10kxbkxaaxSkknkn.|2

59、1)()(21222nnSfdxxSxfn,)1(|212dxgfgf138小结小结1 以以2L为周期的傅氏系数为周期的傅氏系数;2 利用变量代换求傅氏展开式利用变量代换求傅氏展开式;3 求傅氏展开式的步骤求傅氏展开式的步骤;（1）.画图形验证是否满足狄氏条件画图形验证是否满足狄氏条件(收敛域收敛域,奇偶性奇偶性);（2）.求出傅氏系数求出傅氏系数;（3）.写出傅氏级数写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于并注明它在何处收敛于).( xf1394 非周期函数的展开非周期函数的展开奇函数和偶函数的傅氏系数奇函数和偶函数的傅氏系数;正弦级数与余正弦级数与余弦级数弦级数;非周期函数的周期性延拓非周期函数

60、的周期性延拓;5、需澄清的几个问题、需澄清的几个问题.(误认为以下三情况正确误认为以下三情况正确)a.只有周期函数才能展成傅氏级数只有周期函数才能展成傅氏级数;2, 0.的傅氏级数唯一的傅氏级数唯一展成周期为展成周期为上上在在 b).(,.xfc级数处处收敛于级数处处收敛于值点时值点时上连续且只有有限个极上连续且只有有限个极在在 140Fourier 级数级数 小结小结141常数项级数常数项级数函数项级数函数项级数一一般般项项级级数数正正项项级级数数幂级数幂级数三角级数三角级数收收敛敛半半径径R R泰勒展开式泰勒展开式数或函数数或函数函函 数数数数任任意意项项级级数数傅氏展开式傅氏展开式傅氏级

61、数傅氏级数泰勒级数泰勒级数0)(xR为常数为常数nu)(xuunn为函数为函数满足狄满足狄 氏条件氏条件0 xx 取取在收敛在收敛 级数与数级数与数条件下条件下 相互转化相互转化 一、主要内容一、主要内容142一、主要内容一、主要内容1。 Fourier 级数级数 10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxfFourier 系数系数 ), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann1432。收敛定理（。收敛定理（Dirichlet充分条件）充分条件）f ( x ) 在一个周期内在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点连续或只有有

62、限个第一类间断点只有有限个极值点只有有限个极值点则则Fourier 级数收敛，且级数收敛，且 10)sincos(2nnnnxbnxaa 是间断点是间断点是连续点是连续点xxfxfxxf2)0()0()(1443。周期为。周期为 2L 的函数展开为的函数展开为 Fourier 级数级数), 2 , 1 , 0(,cos)(1 ndxlxnxflalln), 2 , 1(,sin)(1 ndxlxnxflblln),sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn 145若若 f ( x ) 是奇函数或偶函数，则有简化的计算公式是奇函数或偶函数，则有简化的计算公式偶函数偶函数 lnndxlx

63、nxfla0), 2 , 1 , 0(cos)(2 ), 2 , 1(0 nbn奇函数奇函数), 2 , 1 , 0(0 nan lnndxlxnxflb0), 2 , 1(sin)(2 4。非周期函数的展开。非周期函数的展开),ll 在在上有定义的函数上有定义的函数 f ( x ) 146 先在整个数轴上作周期延拓，将延拓后的函数先在整个数轴上作周期延拓，将延拓后的函数展开成展开成 Fourier 级数，最后限制自变量的取值范级数，最后限制自变量的取值范围，围， 即得即得f ( x ) 的的 Fourier 级数展开式级数展开式)0l，在在上有定义的函数上有定义的函数 f ( x ) 奇延拓

64、奇延拓-展开成正弦级数展开成正弦级数 （收敛域一般不包含端点）（收敛域一般不包含端点）偶延拓偶延拓展开成余弦级数展开成余弦级数 （收敛域一定包含端点）（收敛域一定包含端点）1475。强调几点。强调几点 这部分内容所涉及到的问题，类型不多，有这部分内容所涉及到的问题，类型不多，有求函数的求函数的Fourier 级数展开式，讨论其和函数，级数展开式，讨论其和函数， 证明三角等式，求某些数项级数的和证明三角等式，求某些数项级数的和 。解法也。解法也比较固定首先是求出比较固定首先是求出Fourier 系数，写出系数，写出Fourier 级数，然后根据级数，然后根据 Dirichlet 充分条件讨论其和

65、函数充分条件讨论其和函数记住记住 Fourier 系数公式。系数公式。 Fourier 系数的计算系数的计算 须不止一次地使用分部积分公式，要小心须不止一次地使用分部积分公式，要小心掌握掌握Dirichlet 收敛定理的内容收敛定理的内容148求函数的求函数的Fourier 级数展开式，必须注明展级数展开式，必须注明展 开式的成立范围开式的成立范围即连续区间，也即只要去即连续区间，也即只要去 掉间断点掉间断点注意函数的奇偶性、周期性注意函数的奇偶性、周期性注意函数的定义域，是否需要延拓注意函数的定义域，是否需要延拓 无论是奇延拓还是偶延拓，在计算展开式的系数无论是奇延拓还是偶延拓，在计算展开式

66、的系数 时只用到时只用到 f ( x ) 在在 0 , l 上的值，所以在解题过上的值，所以在解题过程中并不需要具体作出延拓函数程中并不需要具体作出延拓函数 F ( x ) ，而只须，而只须指明采用哪一种延拓方式即可指明采用哪一种延拓方式即可149Fourier 级数级数 收敛定理收敛定理Fourier 系数系数其它展开其它展开正弦、余弦级数正弦、余弦级数求和函数的表达式、常数项级数的和求和函数的表达式、常数项级数的和150二、典型例题二、典型例题例例1 系数系数的的为常数为常数表示表示试用试用系数系数是其是其为周期的函数，为周期的函数，是以是以设设FourierhhxfbaFourierbaxfnnnn)()(,2)( 解解 dxhxfA)(10 hhdttf )(1 dttf)(1 220)()()(aadttfdttfdttf151 nxdxhxfAncos)(1 hhdtnhnttf )cos()(1 hhntdttfnh cos)(cos1 hhntdttfnh sin)(sin1 ntdttfnhntdttfnhsin)(1sincos)(1cosnhbnhannsinco