斐波纳契计算之书中的数列问题

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1、-斐波纳契计算之书中的数列问题汪晓勤华东师大数学系, , 200062斐波纳契Leonardo Fibonacci, 11701250是中世纪欧洲最重要的数学家，其代表作之一是计算之书1202。然而，除了包括兔子问题在的少数名题外，人们对此书的具体容知之甚少。本文对该书第十二章1中的数列问题作一考察，以供HPM视角下数列教学设计之参考。1 等差数列计算之书的第十二章开篇给出等差数列的求和方法。设等差数列的首项、末项、项数、公差、前n项和分别为、n、d和。斐波纳契有命题1。命题2 。假设，则。由命题2易得命题3 。命题4 。问题1 、，求。根据命题1，斐波纳契先求得，再根据命题2求得。问题2求。

2、直接利用命题2的第二局部即可。问题3甲乙二人长途旅行，甲日行20里，乙第一日行1里，第二日行2里，第三日行3里，依此类推，日增1里。问：二人几日后相遇.由命题2，故斐波纳契的解法如下：20乘以2得40，从中减去1得39，此即二人相遇所需天数。问题4甲日行21里，乙从1里开场，日行里数按连续奇数逐日递增。问：几日后乙追上甲.由命题3易得。问题5甲日行30里，乙从2里开场，日行里数按连续偶数逐日递增。问：几日后乙追上甲.由命题4易得。以下问题的解法均类似。问题6甲日行60里，乙第一日行3里，第二日行6里，第三天9里，等等。问：几日后乙追上甲.问题7甲日行60里，乙第一日行5里，以后日增5里。问：几

3、日后乙追上甲.在下面的问题中，甲的日行里数不能被乙的日增里数整除。问题8甲日行10里，乙第一日行3里，以后日增3里。问：几日后乙追上甲.因方程没有整数解，故取最近的一个正整数5，5日中甲行50里，乙行45里。在第六日，乙日行18里，甲行10里，故日后乙追上甲。因此，日后乙追上甲。在另一本高水平的数学著作平方数之书中，斐波纳契利用命题3解决了一位名叫约翰Johannes的宫廷学者向他提出的难题：求一个有理数*，使得*2+5和*2-5都是有理数的平方2。2 高阶等差数列斐波纳契给出：命题5命题6命题7斐波纳契的一般结果是：命题8 设为等差数列，公差为，则有。在平方数之书中，斐波纳契给出了上述公式推

4、导3。因分别令，将n个等式相加，得即令，即得命题5；令，得命题6；假设，得命题7。一般地，令，即得命题8。应用命题5-8，斐波纳契解决了如下的问题9 求、和 。对于更一般的首项为a、公差为d的等差数列，斐波纳契有。3 等比数列等比数列是以连比例的形式出现的。斐波纳契给出：命题9如果是一等比数列构成连比例，则有。问题10 将10分成不相等的三局部，使得最小局部乘以最大局部等于中间局部自乘。斐波纳契的解法是：先考察等比数列1，2，4。三项相加得7，但结果应为10。故各项乘以，依次得、和。问题11将10分成四局部，使第一局部乘以第四局部，等于第二局部乘以第三局部，又第一局部乘以第三局部等于第二局部自

5、乘，第二局部乘以第四局部等于第三局部自乘。与问题10类似，考察数列1，2，4，8。四项相加得15，但结果应为10。故各项乘以，即得所求。问题12将10分成五局部，使第一局部乘以第五局部等于第二局部乘以第四局部，等于第三局部自乘，且第一局部乘以第四局部等于第二局部乘以第三局部，第一局部乘以第三局部等于第二局部自乘，第二局部乘以第五局部等于第三局部乘以第四局部，第三局部乘以第五局部等于第四局部自乘。同上题，考察数列1，2，4，8，16，五项相加31，但结果应为10。故各项乘以，即得所求。显然，上述三题的答案并不唯一，因为可以构造出无数个等比数列。问题13棋盘64格上的数列满足：任意一项等于它前面一

6、项的两倍。求棋盘上数列各项的和。斐波纳契十分熟悉下面的结果：命题10。由此可得棋盘上数列之和为。但这个数字实在太大了，于是斐波纳契给出了一种记法：将65536即棋盘前两行之和再加1比占的金币古罗马金币单位装入一个保险箱，将65536个这样的保险箱放进一座房子，再将65536座这样的房子放进一座城市。于是，65536座这样的城市所含的金币数减去1，就是棋盘上所有数字之和。问题14*人投资1第纳尔生利，五年后，获1第纳尔的两倍，又五年，获2第纳尔的两倍，因此每五年本息翻一番。求从这1第纳尔经过100年后增长到多少第纳尔。问题15 一人出售20双皮鞋，第一双卖1第纳尔，第二双卖2第纳尔，第三双卖4第

7、纳尔，依次加倍直到最后一双，求卖得的总钱数。利用命题10 ，问题15中的总钱数比问题14中的钱数少1。问题167个老翁去罗马，每人有7匹骡子，每匹骡子负7个袋子，每只袋子装7块面包，每块面包配有7把刀，每把刀配有7个鞘。求总数。斐波纳契给出两种解法，其中第一种是逐项直接相加；第二种类似于古代埃及祭司的递推方法：从斐波纳契的解法中，我们不难得出等比数列求和公式的一种推导方法：命题11 首项为a、公比为q的等比数列前n项和为，则。问题17 树有百枝、枝有百巢、巢有百卵、卵有百禽。求总数。利用问题16中的方法，可得。以下三问所求均为等比数列的一项。问题18*人有100镑，每年每4镑本金盈利1镑。18

8、年后他得到多少镑.问题19 一人持有100比占的金币，过12座城市，在每座城市，他必须交纳的金币。问：此人离开第12座城市时，身上还剩多少金币.问题20有个大酒桶里有100小桶的酒，每月从中拿走剩下的十分之一，求在年末的时候，即12个月后，剩下多少小桶的酒。4 递推数列问题21 *人将100镑存入银行，每镑月息为4第纳尔，每年取出30镑；问：每年减少几镑.他的钱能在银行存几年、几月、几天和几小时.在这个问题中，我们设为第年取款后上所余钱数，则数列满足，设，斐波纳契发现，是一个公比为的等比数列，前七项分别为，。从100中减去前六项之和，得，为六年后余钱。除以，再化为小时按1年360天、1天12小

9、时计算，得第七年所存时间为8天小时。一般地，我们有命题12 设递推数列满足，则是一公比为的等比数列。问题22一人经过7道门进入果园，摘苹果假设干。离开果园时，他把一半苹果加上个苹果给了第一个门卫；把剩下的一半加上一个给了第二个门卫；依次把剩下的苹果分给其他五个门卫。最后，只剩下个苹果。问：此人在果园摘了多少个苹果.斐波纳契用两种方法来解此题。我们用一般形式来说明其中的第一种方法第二种为一元一次方程解法。假设进入果园须经过假设干道门，由外到依次为第1道，第2道，等等，图1 乐园摘果见图1。离开果园、通过第n道门后剩下的苹果数为，则为一递推数列，满足斐波纳契给出了数列的前8项1、4、10、22、4

10、6、94、190、382，但没有给出通项公式。问题23*人经商，共有四种砝码，可用来称1-40之间的所有整数磅。求每种砝码各重几磅。后人误将本问题称为Bachet 砝码问题。斐波纳契给出的答案是，四种砝码的重量从小到大依次为1、3、9、27。斐波纳契还将问题加以推广。设可用来称从1磅开场的任意连续整数磅，砝码的重量从小到大依次为，则数列是一个递推数列，满足由递推关系得，故是首项为1、公比为3的等比数列。如：用1、3、9、27、81四个磅数的砝码，可以称从1磅开场直到121磅的重量。问题24一对兔子，出生后第三个月可以繁殖出一对小兔子。问一对兔子一年中可繁殖出多少对兔子.斐波纳契数列即因此题而诞

11、生。斐波纳契给出了各月兔子对数之间的递推关系，但他不曾寻找这个数列的通项公式，更意想不到它会有如此广泛的应用。问题25棋盘上的数列满足：任意一项等于它前面所有各项和的两倍。求棋盘上数列各项之和。本问题中的数列为递推数列，满足：。设前n项和为，则斐波纳契的求和方法可以归结如下：因，故于是知，数列是一个首项为1、公比为3的等比数列。因此，。从而得所求和为。斐波纳契只给出数列的前几项，而没有给出通项公式。事实上，由递推关系立得，。5 余论计算之书是斐波纳契商途中学到的各地数学知识的之集大成者。许多问题都源于古代埃及、巴比伦、中国、印度、希腊、阿拉伯的数学文献以及欧洲黑暗时期的作者如阿尔昆Alcuin

12、, 735804等的数学著作。类似于问题3-8的行程问题已见于中国汉代九章算术中的盈缺乏章：今有良马与驽马发长安，至齐。齐去长安三十里。良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里。良马先至齐，复还迎驽马。问：几何日相逢及各行几何.问题16是莱因得纸草书和古巴比伦泥版上有关等比数列问题的翻版；问题17则让我们想起子算经出门望堤问题：今有出门望见九堤。堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何. 另文介绍斐波纳契的命题10已为阿尔昆以及10世纪的阿拉伯数学家所知。但在递推数列方面，斐波纳契多有创新。除了印度数学家婆什伽罗Bhaskara,

13、 11141185的丽拉沃蒂另文介绍，计算之书是历史上最早较系统地讨论数列问题解法的数学著作。古人不见今时月，今月曾经照古人。同样，斐波纳契看不到800年后的数列教学，但我们今天课堂上数列的教学目标与斐波纳契所孜孜以求的目标却并无二致。我们仿佛可以穿越时空，与一位中世纪先哲共品数列的趣味，同享数学的快乐。参考文献1 Fibonacci, L. Fibonaccis Liber Abaci: A translation into modern English of Leonardo Pisanos Book of Calculation (translated by L. E. Siegler). New York: Springer-Verlag, 20022 汪晓勤. 斐波纳契是如何解方程的.数学传播, 2005 29 (1): 51-633 Genocchi, A. Sopra Tre Scritti Inediti di Leonardo Pisano Pubblicati Da Baldassarre Bonpagni. Roma: Tipografia delle Belle Arti, 1855. 57-604 汪晓勤. 泥版上的数列问题. 数学教学, 2021 (12). 将发表5 汪晓勤. 纸草书上的数列问题. 数学教学, 2021. 待发表. z.