平面向量的概念、运算及平面向量基本定理

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1、-05平面向量的概念、运算及平面向量根本定理突破点(一)平面向量的有关概念知识点：向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量平面向量的有关概念典例(1)设a，b都是非零向量，以下四个条件中，使成立的充分条件是()AabBabCa2b Dab且|a|b|(2)设a0为单位向量，以下命题中：假设a为平面的*个向量，则a|a|a0；假设a与a0平行，则a|a|a0；假设a与a0平行且|a|1，则aa0.假命题的个数是()A0B1 C2D3解析(1)因为向量的方向与向量a一样，向量的方向与向量b一样，且，所以向量a与向量b方向一样，故可排除选项A，B，D.当a2b时，故a2b是成立的充分条件

2、(2)向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模一样，但方向不一定一样，故是假命题；假设a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3.答案(1)C(2)D易错提醒(1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；(2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；(3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上突破点(二)平面向量的线性运算1向量的线性运算：加法、减法、数乘2平面向量共线定理：向量b与a(a0)共线的充要条件是有且只有一个实数，使得ba.平面向量的

3、线性运算例1(1)在ABC中，c，b.假设点D满足2，则()A.bcB.cbC.bcD.bc(2)在ABC中，N是AC边上一点且，P是BN上一点，假设m，则实数m的值是_解析(1)由题可知bc，2，(bc)，则c(bc)bc，应选D.(2)如图，因为，所以，所以mm.因为B，P，N三点共线，所以m1，则m.答案(1)D(2)方法技巧1平面向量的线性运算技巧：(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用向量表示出来求解2利用平面向量的线性运算求参数的一般思路：(1)没有图形的准

4、确作出图形，确定每一个点的位置(2)利用平行四边形法则或三角形法则进展转化，转化为要求的向量形式(3)比较，观察可知所求平面向量共线定理的应用例2设两个非零向量a和b不共线(1)假设ab，2a8b，3(ab)求证：A，B，D三点共线(2)试确定实数k，使kab和akb共线解(1)证明：因为ab，2a8b，3(ab)，所以2a8b3(ab)5(ab)5，所以，共线又与有公共点B，所以A，B，D三点共线(2)因为kab与akb共线，所以存在实数，使kab(akb)，即解得k1.即k1或1时，kab与akb共线方法技巧平面向量共线定理的三个应用(1)证明向量共线：对于非零向量a，b，假设存在实数，使

5、ab，则a与b共线(2)证明三点共线：假设存在实数，使，与有公共点A，则A，B，C三点共线(3)求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值提醒证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点突破点(三)平面向量根本定理平面向量根本定理：如果e1，e2是同一平面的两个不共线向量，则对于这一平面的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面所有向量的一组基底基底的概念例1如果e1，e2是平面一组不共线的向量，则以下四组向量中，不能作为平面所有向量的一组基底的是()Ae1与e1e2Be12e2与e12e2Ce1e2与e1e2 D

6、e13e2与6e22e1解析选项A中，设e1e2e1，则无解；选项B中，设e12e2(e12e2)，则无解；选项C中，设e1e2(e1e2)，则无解；选项D中，e13e2(6e22e1)，所以两向量是共线向量，不能作为平面所有向量的一组基底答案D 易错提醒*平面所有向量的一组基底必须是两个不共线的向量，不能含有零向量平面向量根本定理的应用例2(2021二模)如图，在ABC中，设a，b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P，则()A.ab B.abC.abD.ab解析如图，连接BP，则b，a，得2ab，又()，将代入，得2ab，解得ab.答案C方法技巧平面向量根本定理的实质及解题思路

7、(1)应用平面向量根本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进展向量的加、减或数乘运算(2)用向量根本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决突破点(四)平面向量的坐标表示1平面向量的坐标运算：(1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模； (2)向量坐标的求法2平面向量共线的坐标表示平面向量的坐标运算 例1A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b，(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量的坐标解由得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3a

8、b3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得即所数m的值为1，n的值为1.(3)设O为坐标原点，3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)，即M(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，即N(9,2)(9，18)方法技巧平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进展求解的，假设有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标一样这一原则，通过列方程(组)来进展求解平面向量共线的坐标表示例2a(1,0)，b(2,1)(1)当k为何值时，k

9、ab与a2b共线；(2)假设2a3b，amb，且A，B，C三点共线，求m的值解(1)a(1,0)，b(2,1)，kabk(1,0)(2,1)(k2，1)，a2b(1,0)2(2,1)(5,2)，kab与a2b共线，2(k2)(1)50，k.(2)2a3b2(1,0)3(2,1)(8,3)，amb(1,0)m(2,1)(2m1，m)A，B，C三点共线，8m3(2m1)0，m.方法技巧向量共线的坐标表示中的乘积式和比例式(1)假设a(*1，y1)，b(*2，y2)，则ab*1y2*2y10，这是代数运算，用它解决平面向量共线问题的优点在于不需要引入参数，从而减少了未知数的个数，而且它使问题的解决具

10、有代数化的特点和程序化的特征(2)当*2y20时，ab，即两个向量的相应坐标成比例，这种形式不易出现搭配错误(3)公式*1y2*2y10无条件*2y20的限制，便于记忆；公式有条件*2y20的限制，但不易出错所以我们可以记比例式，但在解题时改写成乘积的形式 检验高考能力一、选择题1设M是ABC所在平面上的一点，且0，D是AC的中点，则的值为()A.B.C1 D2解析：选AD是AC的中点，如图，延长MD至E，使得DEMD，四边形MAEC为平行四边形，()，2.0，()3，3，应选A.2在ABC中，3，假设12，则12的值为()A.B.C.D.解析：选B由题意得，()，1，2，12.3设D，E，F

11、分别是ABC的三边BC，CA，AB上的点，且2，2，2，则与 ()A反向平行 B同向平行C互相垂直 D既不平行也不垂直解析：选A由题意得，因此()，故与反向平行4点O为ABC外接圆的圆心，且0，则ABC的角A等于()A30 B45 C60 D90解析：选A由0，得，由O为ABC外接圆的圆心，可得|.设OC与AB交于点D，如图，由可知D为AB的中点，所以2，D为OC的中点又由|可知ODAB，即OCAB，所以四边形OACB为菱形，所以OAC为等边三角形，即CAO60，故A30.5点G是ABC的重心，过点G作一条直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且*，y，则的值为()A3 B. C2 D.解析

12、：选B由得M，G，N三点共线，所以(1)*(1)y.点G是ABC的重心，()()，即得1，即3，通分得3，.6假设点M是ABC所在平面的一点，且满足53，则ABM与ABC的面积的比值为()A. B. C. D.解析：选C设AB的中点为D，如图，连接MD，MC，由53，得523，即，即1，故C，M，D三点共线，又，联立，得53，即在ABM与ABC中，边AB上的高的比值为，所以ABM与ABC的面积的比值为.二、填空题7在ABC中，点P在BC上，且2，点Q是AC的中点，假设 (4,3)，(1,5)，则_.解析：(1,5)(4,3)(3,2)，22(3,2)(6,4)(4,3)(6,4)(2,7)，3

13、3(2,7)(6,21)答案：(6,21)8向量，和在正方形网格中的位置如下列图，假设，则_.解析：建立如下列图的平面直角坐标系*Ay，则(2，2)，(1,2)，(1,0)，由题意可知(2，2)(1，2)(1,0)，即解得所以3.答案：39Pa|a(1,1)m(1,2)，mR，Qb|b(1，2)n(2,3)，nR是两个向量集合，则PQ等于_解析：P中，a(1m,12m)，Q中，b(12n，23n)则得此时ab(13，23)答案：(13，23)10在梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，M，N分别为CD，BC的中点假设，则_.解析：由，得()()，则 0，得0，得0.又因为，不共线，所以由平面向量根本定理得解得所以.答案：三、解答题11.如图，以向量a，b为邻边作OADB，用a，b表示，.解：ab，ab，bab.又ab，ab，ababab.综上，ab，ab，ab.12.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如下列图，点C在以O为圆心的圆弧上运动假设*y，其中*，yR，求*y的最大值解：以O为坐标原点，所在的直线为*轴建立平面直角坐标系，如下列图，则A(1，0)，B，设AOC0，则C(cos ，sin )，由*y，得所以*cos sin ，ysin ，所以*ycos sin 2sin，又，则.所以当，即时，*y取得最大值2. . z.