大梦杯省初中数学竞赛试题参考答案及评分标

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1、1 1 / / 101020182018 年 大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准考试时间 20182018 年 3 3 月 1818 日 9 9 : 0000 1111 : 0000 满分 150150 分一、选择题（共 5 5 小题，每小题 7 7 分，共 3535 分）。每道小题均给出了代号为 A A, B B , C C, D D 的四个选项，其 中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0 0 分）矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔。2321 1.若关于x的方程4x 4mx3m-1=0有两个相等的实数根，则m 4m，4m-2的值为（）A A

2、. -3B B. -2C C. -1D D.1 1【答案】 A A2 2【解答】依题意， =16m16（3m *1）=0。因此，m 3m T = 0。2 2二m3m1,m 3m = -1。3 2 2 2二m 4m 4m-2二m（-3m-1） 4m 4m-2二m 3m _2 - -1 _2 - -3。n2nn- ( )-2-1 =0，解得=、2 1(舍负根)。mmmn2 1。3 3 .如图，G为ABC的重心，点D在CB延长线上，且1AEBD BC,过D、G的直线交AC于点E ,则 :(2AC2 2如图，ABCD、DEFG都是正方形，边长分别为（m：坐标原点O为AD的中点,D、E在y轴上。若二次函

3、数y=ax2的图像过C、F两点,A A.3 1B B.21C C.2.3 -1D D .22-1【解答】依题意，点C坐标为（m3，点F的坐标为 IP由二次函数y=ax2的图像过C、F两点，得m2am2mn一= a( _n)I. 2，消去a，得n2-2mn - m22)2 2 / / 1010H2334A A C C D D 5577【答案】D D【解答】如图，连AG，并延长交BC于点F。1/ G为ABC的重心，且BDBC3 3 / / 10102， F为BC中点，且AGDB =BF =FC。GFAC于点M。沖CM则CE设CMACBC于点F。1 G为ABC的重心，且BD二丄BC,2AG 2F为B

4、C中点，且空二兰,DB =BF =FC。GF 1FD 2 AG 2DC -3，GF -1。在厶AFC中，利用梅涅劳斯定理，得 匹.些.电=1。DC EA GF2 CE 2,CE31,=3 EA 1EA4AE 4AC 7。（第 3 题答题图）4 4如图，HO分别为ABC的垂心、外心,BAC =45，若ABC外接圆的半径为2，则AH -( )A A 2 3B B 22C C.4D D 3 1【答案】 B B过点F作FM，交另解：如图，连AG，并延长交2k，AE = 4k。2。1（第 3 题答题图）AOBC4 4 / / 1010H-Lx =10_Cx=2匸x-2_Cx-102或2或2或2。y =3

5、y =3y-3. y-3满足方程的整数对有(10,3)、(2,3)、(-2,-3)、(-10,-3),共 4 4 对。二、填空题（共 5 5 小题，每小题 7 7 分，共 3535 分）6 6.已知a,b,c为正整数，且a bc。若b c,a c,a b是三个连续正整数的平方， 则a2b2c2的最小值为。【答案】1297【解答】如图，连结BO并延长交OO于点D，连HC、CD、DA。/ O为ABC的外心， BD为0O直径,DC _ BC,DA _ AB。又H为ABC的垂心， AH _ BC，CH _ AB。 AH/DC,CH/DA。:.四边形AHCD为平行四边形，AH二DC。:. BAC =45

6、,ABC外接圆的半径为2,BDC二.BAC二45,BD二4。AH二DC=2 2。5 5.满足方程x2-4xy 19y2=151的整数对（x , y）有（ ）A A . 0 0 对 B B. 2 2 对C C. 4 4 对 D D. 6 6 对【答案】 C C【解答】方程X2-4xy 19y2=151化为（x-2y）2= 151-15y2。依题意，A = 151-15y2为完全平方数。（第 4 题图）2215122由A =151-15y一0,得y 。结合y为整数，得y乞10。故，y=0,1, 4 4,9。152 2当y =0时，A=15115y =151，不是完全平方数。 当y2=1时，A=15

7、1-15y2=136，不是完全平方数。当y2=4时，A=151-15y2=91,不是完全平方数。当y2=9时，A=151-15y2=16=42。方程化为y2=922, 即(x-2y) -16Iy=32，或y =32l(x-6)2=16、(x +6)2=16y =3x _6 =4y =3J x -6 = -4y = 3x 6 = -4A（第4题答题图）5 5 / / 1010【解答】依题意，设b c = （n1）2，则a c二n2,a （n 1）2,n为正整数，且n 1。2（第 7 题答题图）& &如图，ABC是边长为 8 8 的正三角形，D为AB边上一点，OO1ACD的内切圆，OO2CDB的边

8、DB上的旁切圆。若OO1、OO2的半径都是r,则r二。【答案】、3【解答】如图，设。01切厶ACD的三边AC、CD、DA依次于点G、H、E，边DB切OO2于点F,CD、CB的延长线切OO2于点M、N。4 4 / / 1010二2(a b c) = (n -1)2n2(n 1)2二3n22，可见n为偶数，且3n222n2+4 nn2+2n24n-a -,b =-,c =-。2 2 2可见，n _6，且当n增大时，a2b2c2的值也随之增大。又n=6时，a =30,b =19,c =6符合要求。二a2b2c2的最小值为30219261297。7 7如图，ABCD为矩形，E为对角线AC的中点，A、B

9、在x轴上。若函数y =4（x 0）的图像过xD、E两点，则矩形ABCD的面积为。【答案】8【解答】设D（XDD）,E（xE,yE），则冷丫。二XEE=4。作EF _ AB于F,由E为AC中点，得F为AB中点，11EF = BC二AD。22 y=緘。结合少已卞2yE，得=2x。 OA二AF,AB二2AF二2OA二2xD。矩形ABCD的面积S =AB AD =2XD=8。y且C0AB （第 7 题图）O A F BxCAO1B7 7 / / 1010则由OOj、O2的半径都是r,ABC为正三角形，以及切线长性质定理，得AG=AE=尿，CH=CG=8屁BF=BN=r,CM=CN=8 + -3二EF二

10、HM二CM -CH = (8虫r)一(8一J3r) =4 3r33二AB=AE EF FB之目3r便r3r r。33 68, r3x2x1 T.3xl = 2018，则4x1 =。其中1.x 1表示不超过x的最大整数。【答案】1346【解答】设x = a m，其中a为整数，0 _ m：1。则lx I 2x .l 3x卜la m I I2(a m) I I3(a m) - 6a 2m I 3m I111当0 _ m：时，12m丨3m 1 = 0 0 = 0；当m：时，2m l3m 1 = 0 1 = 1；332122当 乞m：时，2m丨3m = 1 1 = 2；当 m : 1时，l2m丨3m 1

11、 = 1 2 = 3。233对任意实数x,xl2xl3x 1的值具有形式：6k,6k 1,6k 2,6k 3,k为整数。/2018 =6 336 2,业丨2x I 3x丨-2018。12x =336 m，其中 m：。234x I -4(336 m) I - 4 3364m I -1344 2 =1346。1010网络爬虫是一种互联网网页抓取工具。其算法与数学的一个重要分支图论有着密切的联系。图论可以追溯到大数学家欧拉提出的哥尼斯堡七桥问题”。图论中讨论的图是由一些节点和连接这些节点的线组成的。请你回答下列问题：残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骤。把一个矩形区域划分成n个凸多边形区域(这些凸多边形区域除公共边外， 没有公共部分)。已知构成这n个凸多边形的顶点中，恰有 6 6 个顶点在矩形内，1212 个顶点在矩形的边界上(含矩形的顶点) ；同时，任何 三个顶点不共线(除矩形边界上的顶点共线外) 。若围成这n个凸多边形的线段中，恰有 1818 条线段在矩形 区域内，则这n个凸多边形中四边形个数的最大值为。酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧荭。【答案】9【解答】设这n个凸多边形中，有kg个三角形，k4个四边形，k5个五边形，km个m边形。则这n个凸多边形的内角和为ka(3-2) 180 k4(4-2) 180(5-2) 180 L km(m-2) 180。r。(第 8 题图)9 9 若实数x满足