现代数学概论

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1、会计学1现代数学概论现代数学概论.，的和，与。记作第1页/共25页，。的积，记作与aaa交换律结合律.0,均有。0分配律aaa分配律baba第2页/共25页乘法结合律baab1,ba vbFuaFbvauFvu,ba,数.,UbvauUvu均有及KU,.,21第3页/共25页 的线性子空间。和分别是和校：像：UVFFUuFUuFVUuuFFkerIm0;ker;ImUFFUVUFVUdimImdimkerdim,dim1那么的线性函数，而且到是由都是线性空间，而和（像与校定理）如果定理第4页/共25页不变子空间。的（关于为。则称的线性映射，若到为由的子空间。为设定义). 1FUVVFVUUFU

2、V的特征向量。的关于特征值为为特征值，而则称使得存在数若对定义FFV,. 2第5页/共25页.dimdimdim,dim.dim,0000UVCoVUVCoVVWWVUWVWVUwvuUWUVU则我们有：若的余维，记作为的补空间。它的维数称为并称记作且且显然使得：的另一子空间和的子空间的唯一均存在中的任一元素定义：如果对线性空间第6页/共25页。数况，我们引进所谓的范有关。为了避免这种情与基的选择不是在于长度与距离均但是，这种处理方法的或则令且。如：中选择一组基，通常的办法是在度式距离。而间中，我们需要引进长在有限维实或复线性空距离与巴拿赫空间一.).(.,.,.,.,.22222112122

3、2212211221121nnnnnnnnnyxyxyxvuxxxuxxxueyeyeyvexexexuWVUeeeU第7页/共25页 是一种范数。，则令例：设是一种范数。则令所构成的，上的有界纯量函数是又某个集合例：设为范数。则称三角不等式非负性且均有：及数使得的函数非负实数集到：设存在由线性空间定义uxfUbaCUMtuututIUvuvuuaauuuuaUvuuuUbaIt,max,sup.)3(2) 1 (000,1第8页/共25页 不一定处有定义。不一定是线性映射，也注：是一个压缩映射。则称均有：，即它不会使距离增大，一个函数到它自身的完备赋范空间是一个：如果定义压缩映射定理二。为巴

4、拿赫空间例：是唯一的）。序列具有极限点（它必中任一如果赋范线性空间巴拿赫空间：完备赋范空间定义义：定。为此我们有如下定在无穷维空间中却不一但序列均有唯一的极限。空间中每一个在有限维序列：TTvuvTuTUvuUTbaccauchyUcauchyuuucauchynjkkj4,3.,-20lim),min(第9页/共25页 .0. 1,. 1,651,01.,100000000uuuucuucuuuTuTuuuuruuuvuTuuuTrcuvuVUurcvucvTuTruvruuUTuUo 但于是有。则我们有：两个解先证唯一性：假设存在证明：的解。便有唯一满足条件则方程使得：如此接近于中给定的点

5、。如果是是给定的数，而及其中均有：压缩映射，它满足条件为一个为巴拿赫空间，设压缩映射定理定理第10页/共25页 有意义。从而）式利用（我们进一步有取取取法）再证存在性（逐次逼近10101000101000010101220010011,1051.:.:. 2uTruucrcuuuuTuTuuuuuTuvuuuvuTuuuvuTuuuTuvuuvuTuunnn第11页/共25页 0010101111201122011202010112,.,.0.1.1111.111111uvuTukuvuTuuTuTuuruuuuuUjrcrcccuuuuuujcccrrcrccccuurccuuuTrrccc

6、uuuuuurccuucuTuTuukkkkjjkjjkkjkjkjkkkkkk取极限便有：两边让即在时，当可知，从而由压缩映射性质它满足具有极限是完备的，所以序列由于空间则上式右边令进行下去，从而得到：我们的步骤可以无限地一般地有也有意义。从而于是又第12页/共25页 .1,. 1.6 . 4. 3,.1,. 25. 100000uFcFucuFUuVUFVUTuuuTurcuuTuuTuv但不依赖于依赖于为有界的。其中则称，有：于的线性函数，如果对到是由都是巴拿赫空间，而定义有界线性函数一有界性，连续性，紧性造微分方程的解。西和皮卡用它来构求实函数的零点，而柯逼近面积，牛顿用它来腊人用它来

7、数学中的重要方法，希此证明中的逼近程式是之下的不动点。是即存在，使得那么便有一个满足足够接近，与并设如果我们在定理中取定理不含有什么结果。）式右边是负的，则此如果（：注第13页/共25页 右边的竖线表示范数，我们又有数另一方面，对于某一个其中两边取范数即得：的一组基，则有：是而证明：设均是有界的。的任何线性函数到空间，那么由有限维是：如果定理3.,.max2.,.,dim1111111010112211111121nnnnnnnnnnnnnnexexcxxceFeFcxxcexexFexexexueFxeFxexexFUeeenUVUU第14页/共25页 。然而我们却有：是有界的了的线性函数就

8、不再自动到时，由当，使得最后，我们令即可。于是我们取，即有则如果取上有一个正的最小值此它在上的正值连续函数，因是，则的一个紧子集。如作：或是是，则事实上设VUUucuFUucccmcxmxhmxxhxxhxxxxxmKKxhexexexxhexexexxCRKxxCRxxxKnnnnnnnnnnnlim41,0,.,.1.,.,1012122112211121第15页/共25页 与连续性矛盾。，这与连续性，而，这时时，所构成的序列，使得当必存在一个由向量无界，则必有界。否则假如连续，则反过来，假如是连续的。，即中便收敛于在的序列，那么于中收敛是，所以，假若有界，那么我们有：证明：设。立有界性和

9、连续性同时成的线性函数的到由定理100,.,. 221kkkkkkkkjkjkvFuFuvuuFkuFFFFuFVuFuUuuuucuFuFvucvuFvFuFFVU第16页/共25页 。有界线性算子代数。其元素通常称为所以它又可叫做巴拿赫赫空间，因为它也是一个巴拿赋范环是一个，由此推知，。成立，即证明了对所有的。则。令间。另外，若实际上是一个巴拿赫空空间也是完备的。因此个）上的一个范数，且这集合的线性有界函数所成的到由是一切（是线性空间的最大下界。则常数）成立的使（）成立的最佳常数，即表示使（假设用UULGFGFuuGFuGFuGFuGFuGFLVUVULLFFcF,)(,41第17页/共2

10、5页 。范数均等价巴拿赫空间的任意两个可得的。从而双射的逆映射也是连续巴拿赫空间之间的连续当：注）有界的知为线性显然，而由性泛函。（上的线均是是任意数。则中固定的点。而是是固定的数，其中令为紧区间，例：设。一回事，且时线性型和线性泛函是例：当线性泛函。，使层上称为有界线性函数的到来表示。它的元素是由。通常用对偶空间的称为。空间或是它的纯量空间是一个巴拿赫空间，而设定义对偶空间和线性泛函二.2.dimdim.1,.,max,.,.,.max,dimdimdim,.2.2121212211UUucccnufUufnItttccctuctuctucuftuUIICUUUnUKUUUKULCRKKUn

11、nnnnIt第18页/共25页 是有界的）。小，都不是前紧的（但正半径的球，不管多么：一个具有集不一定是前紧的。例在无线维空间中，有界的。中，有界集合都是前紧如在有限维巴拿赫空间（前紧集必定是有界集。：注。既是前紧的又是闭的称为紧的，如果。子序列每个点列都有一个收敛中称为前紧的，如果。包含它的所有极值点称为闭的，如果。其上范数有界称为有界的，如果在巴拿赫空间的子集定义紧性与紧算子三. 3). 2. 14321. 3.nRVVVV第19页/共25页 是紧的。的形式，其中个逆映射可以是有连续的逆映射，这便是连续双射。它，那么，如果等式有一边是零是有限数。此外都是闭的，而且和是紧的，那么是巴拿赫空间

12、，而（紧算子定理）倘若定理的恒等映射），有到是是紧的，而（其中且定理也是紧的。是紧算子时，乘积或当定理。一个闭线性子集的一切紧算子构成定理系列结论：关于紧算子，我们有一。紧的，或者称为紧算子成为），则的秩是有限数时例如，当（集合把有界集合映射为前紧。如果合有界集合映射为有界集，把有界函数的到巴拿赫空间间根据定义，由巴拿赫空GGEFEFEcoFEFEFEUULFUAcoAUUEFFEAKULAGFGFKULFFFFVU6ImdimkerdimImker,65Imdimkerdim,. 5. 4,. 3第20页/共25页 。是特征值，但它属于谱，原点不一定数，且只以原点为聚点它能全都具有有限的重特

13、征值，的谱最多包含可数多个因而序列的唯一可能的极限敛的特征值有有限的重数，而是收每个非零的特征值都是的线性组合。且两个解之差总是为有解的必要与充分条件方程使得个线性泛函上存在而在向量个线性无关的中存在这个定理断言，：注FuuuvfvfvfVuFufffpUuuuFEdinpUpppp. 2,.,0., 0, 0,.,.,ker. 121212121第21页/共25页 .0022, 1,01.2.,0,2,.14,43,32,21,0,)100,1.1.7 .4222221222uuvuvuvuvvuuvutsuttusuuuvuvuvvuuvuvvsvustuutsvtusvtuwubvuab

14、wavuwvbwuawbvauuvvuuvvuvuuvuvuvuUUU）可以推出，结合定义中的（，从而得到三角不等式又得到，再令我们得到中令在其中通常写为它称为施瓦兹不等式，推出不等式，立即可以由：注分配律）分配律）对称性）非负性若称为内积，如果满足：为实线性空间），上的实函数（：定义内积希尔伯特空间内积，欧几里得空间，一希尔伯特空间第22页/共25页 badxxgxfxgxfbaCwubvuabwavuwvbwuawbvauuuuuvvuvuu.,)4,)300,)2,0,.1. 2.2 , 1. 3中，例：。示间，其内积乘或积分表数希尔伯特空间函数空数学中用到的大多）如下：值，而相应的算律修改我们容许内积取得复数性空间相同。此时内积，方法大致与实线复线性空间也能够赋予限维希尔伯特空间。例：欧几里得空间是有家希尔伯特）。纪念德国数学间称为希尔伯特空间（具有内积的完备线性空定义希尔伯特空间二是一个范数。，可以得出综合第23页/共25页上的正交射影到称为我们把。而且属于，属于其中都可以表示为唯一的何中的任，则闭线性子空间为为希尔伯特空间，：设射影定理有如下的：关于正交补空间，我们。的显然是线性的，且是闭均正交。中的任何与组成，即的，中所有满足，由的正交补空间的线性子空间正交补空间和正交射影三VUvwvuVwVvwvuUVUVvVwwVWUVVU222,0,.第24页/共25页