华中科技大学硕士研究生考试电动力学习题集

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1、电动力学习题集一、思考题1、写出麦克斯韦方程组积分式和微分式，并说明建立方程组依据了哪些试验定 律。E?dlL ?ds S tB?dl答：麦克斯韦方程组积分式为：LE?dsS：B?dsS0 jS-dV0 V0 ?dst麦克斯韦方程组微分式为:?E?B依据的试验定律为：静电场的高斯定理、 的安培环路定理、磁场的高斯定理。静电场与涡旋电场的环路定理、磁场中2、位移电流是怎样定义的？它与传导电流有何区别? 答：我们知道恒定电流是闭合的：J0.恒定电流在交变情况下，电流分布由电荷守恒定律制约，它一般不再闭合。一般说来，在 非恒定情况下，由电荷守恒定律有J 0. t现在我们考虑电流激发磁场的规律： B

2、0J. 取两边散度，由于B 0,因此上式只有当J 0时才能成立。在非恒定情形下，一般有J 0,因而式与电荷守恒定律发生矛盾。由于电荷守恒定律是精确的普遍规律，故应修改 式使服从普遍的电荷守恒定律的要求。把式推广的一个方案是假设存在一个称为位移电流的物理量Jd ,它和电流J合起来构成闭合的量J Jd 0, *并假设位移电流Jd与电流J 一样产 生磁效应，即把 修改为 B 0 J Jd。此式两边的散度都等于零，因而理论上就不再有矛盾。由电荷守恒定律J - 0.电荷密度与电场散度有关系式 tE .两式合起来0得： J 0 10.与*式比较可得Jd的一个可能表示式位移电流与传导电流有何区别：位移电流本

3、质上并不是电荷的流动，而是电场的变化。它说明，与磁场的变化会感应产生电场一样，电场的变化也必会感应产生磁场。 而传导电流实际上是电荷的流动而产生的。并由此写出恒定电流的连续性方3、分别写出电荷守恒定律的积分式和微分式, 程。答：电荷守恒定律的积分式和微分式分别为:J ?dsdVSV t?J 0 t恒定电流的连续性方程为：？J 0 4、在有介质存在的电磁场中，极化强度矢量p和磁化强度矢量M各是怎样定义 的？并写出P与；M与j; E、D与p以及B、H与M的关系。答：极化强度矢量p：由于存在两类电介质：一类介质分子的正电中心和负电中 心不重和，没有电偶极矩。另一类介质分子的正负电中心不重和， 有分子

4、电偶极 矩，但是由于分子热运动的无规性， 在物理小体积内的平均电偶极矩为零， 因而 也没有宏观电偶极矩分布。在外场的作用下，前一类分子的正负电中心被拉开， 后一类介质的分子电偶极矩平均有一定取向性，因此都出现宏观电偶极矩分布。而宏观电偶极矩分布用电极化强度矢量 P描述，它等于物理小体积 V内的总电偶极矩与 V之比，P 一巴.pi为第i个分子的电偶极矩，求和符号表示对 V V内所有分子求和。磁化强度矢量M:介质分子内的电子运动构成微观分子电流， 由于分子电流取向的无规性，没有外 场时一般不出现宏观电流分布。在外场作用下，分子电流出现有规则取向，形成 宏观磁化电流密度Jm 0分子电流可以用磁偶极矩

5、描述。把分子电流看作载有电 流i的小线圈，线圈面积为a,则与分子电流相应的磁矩为：m ia.介质磁化后，出现宏观磁偶极矩分布，用磁化强度M表示，它定义为物理小体积V内的总磁偶极矩与 V之比，miM .Vp?P,jMM,D 0E P,H -B M05、写出导体表面的边界条件。答：理想导体表面的边界条件为：n E 0，n?D ,。它们可以形象地表述 n H . n?B 0.为：在导体表面上，电场线与界面正交，磁感应线与界面相切。6、在球坐标系中，若电势不依赖于方位角 ，写出这种情形下拉氏方程的通解。解：拉氏方程在球坐标中的一般解为：Rn bnmmn dnm m，anmR -nT Pn cos co

6、smCnmR -nT Pn cos sinmn,mRn,mR式中anm,bnm,Cnm和dnm为任意的常数，在具体的问题中由边界条件定出。Pnm COS为缔合勒让德函数。若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，则电势 不依赖于 方位角，这球形下通解为:an和bn是任意常数，由=anRn -bn-r Pn cos , Pn cos 为勒让德函数,nRn 达朗贝尔方程为:边界条件确定。7、研究磁场时引入矢势A的根据是什么？矢势A的意义？答：引入矢势A的根据是：磁场的无源性。矢势 A的意义为：它沿任一闭合回 路的环量代表通过以该回路为界的任一曲面的磁通量。只有 A的环量才有物理 意义,而每点上的A (x

7、)值没有直接的物理意义。8、什么是平面时谐电磁波？平面时谐电磁波有那些性质？写出一般坐标系下平 面电磁波的表达式。答：平面时谐电磁波是交变电磁场存在的一种最基本的形式。 它是传播方向一定 的电磁波，它的波阵面是垂直于传播方向的平面， 也就是说在垂直于波的传播方 向的平面上，相位等于常数。平面时谐电磁波的性质：(1)电磁波为横波，E和B都与传播方向垂直；(2) E和B同相，振幅比为v;（3 E和B互相垂直，EX B沿波矢k方向 9、电磁波在导体中和在介质中传播时存在那些区别？电磁波在导体中的透射深 度依赖于哪些因素？答：区别：（1）在真空和理想绝缘介质内部没有能量的损耗，电磁波可以无衰减地传播；

8、（2）电磁波在导体中传播，由于导体内有自由电子，在电磁波电场作用 下，自由电子运动形成传导电流，由电流产生的焦耳热使电磁波能量不断损耗。因此，在导体内部的电磁波是一种衰减波。 在传播的过程中，电磁能量转化为热 量。电磁波在导体中的透射深度依赖于：电导率和频率10、写出电磁场用矢势和标势表示的关系式。B A答：电磁场用矢势和标势表示的关系式为：E At11、写出推迟势的基本公式和达朗贝尔方程。x ,tx,t答：推迟势为：40rdv?Ac2 tx ,tdvA x,t2a2at22 *12、爱因斯坦建立狭义相对论的基本原理是什么？其内容如何？答：（1）相对性原理：所有的惯性参考系都是等价的。物理规律

9、对于所有惯性参考系都可以表为相同的形式。（2）光速不变原理：真空中的光速相对于任何惯性 系沿任一方向恒为c,并与光源运动无关。13、写出相对论时空坐标变换公式和速度变换公式。x vt2 v2 cy答：坐标变换公式：zt ；x cux速度变换公式:ux v1 vux12c14、导出洛仑兹变换时，应用了哪些基本原理？还做了哪些附加假设？洛仑兹变 换同伽利略变换二者的关系怎样？答：应用的基本原理为：变换的线性和间隔不变性。基本假设为：光速不变原理(狭义相对论把一切惯性系中的光速都是 c作为基本假设，这就是光速不变原 理)、空间是均匀的并各向同性，时间是均匀的、运动的相对性。洛仑兹变换与 伽利略变换二

10、者的关系：伽利略变换是存在于经典力学中的一种变换关系， 所涉 及的速率都远小于光速。洛仑兹变换是存在于相对论力学中的一种变换关系，并 假定涉及的速率等于光速。当惯性系S(即物体)运动的速度V c时，洛伦兹变换就转化为伽利略变换，也就是说，若两个惯性系间的相对速率远小于光速， 则它以伽利略变换为近似。15、你学过哪些四维力学矢量？其形式如何？答：四维力学矢量为：(1)能量一动量四维矢量(或简称四维动量)：p pW cdxdx.、(2)速度矢重：U (3)动重矢重：pmU (4)四维电流餐x, ict (6)四维势ddt度矢量：JoU ,J J,ic(5)四维空间矢量:(8)四维波矢量：k k,i

11、w c二、证明题1、试由毕奥沙伐尔定律证明？B 0证明J?B2、因此所以原式得证dvJ xdvrJ x dv1. -dv 又知 ： rA式中由试由麦克斯韦方程组证明电磁场的边界条件n E2 E10; n ? D2D1;n ? B2B10.矢量：A A,-(7)反对称电磁场四维张量：FcD ?ds dV SV解：即：Sn D2 Sn D1S.D2DiD2n Dm对于磁场B,把。B ds 0应用到边界上无限小的扁平圆柱高斯面上， 重复以S上推导可得：B2n B1n即：n B2 B10作跨过介质分界面的无限小狭长的矩形积分回路，矩形回路所在平面与界面垂直，矩形长边边长为l ,短边边长为l。因为。E

12、dl 0,作沿狭长矩形的E的路径积分。由于l比l小得多，当l 0时，E沿l积分为二级小量，忽略沿l的路径积分，沿界面切线方向积分为：E2t lE1tl 0即：E2tE1t0, * o *可以用矢量形式表小为：E2 Ei t 0 式中t为沿着矩形长边的界面切线方向单位矢量。.一 一 令矩形面法线方向单位矢量为t ,它与界面相切，显然有 t n t #将#式代入式，则 E2 E1 nt0, $ ,利用混合积公式ABC CAB,改写#式为：t E2 E1n 0此式对任意t都成立, 因此 E2 Ei n 0 ,此式表示电场在分界面切线方向分量是连续的。3、 试由麦克斯韦方程组证明静电场与电势的关系E答

13、：由于静电场的无旋性，得：oE?dl 0设Ci和C2为由P,点到P2点的两条不同路径。C1与C2合成闭合回路，因此 E?dl E?dl 0 C1C2即E?dl E?dl因 止匕， 电 荷 由CiC2R点移至P2点时电场对它所作的功与路径无关，而只和两端点有关。把单位正电荷由Pi点移至P2,电场E对它所作的功为：E?dl,这功定义为Pi点和P2点的电PiP2势差。若电场对电荷作了正功，则电势 下降。由此，P2P,E?dl由Pi这定义，只有两点的电势差才有物理意义，一点上的电势的绝对数值是没有物理 意义的。相距为dl的两点的电势差为 d E?dl.由于d dx dy dz x y z?dl,因此，

14、电场强度E等于电势的负梯度E .4、 试由静电场方程证明泊松方程2 -o答：已知静电场方程为：E 0（i）并知道E.（3）在均匀各向同性线?D .（2）性介质中，D E ,将（3）式代入（2）得 2 一, 为自由电荷密度。于是得到静电势满足的基本微分方程，即泊松方程。5、 试由恒定磁场方程证明矢势 A的微分方程2Aj o答：已知恒定磁场方程 B J（在均匀线性介质内），把A(2)代入(1)得矢势A的微分方程J.由矢量分析公式6、2A?AJ.0?A 2A.若取A满足规范条件试由麦克斯韦方程证明电磁场波动方程0?E(x)(x)答：麦克斯韦方程组E(x)?B x?A 0表明,得矢势A的微分方变化的磁

15、场可以激发电场，而变化的电场又可以激发磁场，因此,自然可以推论电磁场可以互相激发,形成电磁波。这个推论可以直接从麦克斯韦方程得到， 在真空的无源区域，电荷密度和电流密度均为零，并利用第一个方程，得到在这样的情形下，对麦克斯韦方程的第二个方程取旋度2E(x)旦工，再把第四个方程对时间求 t导，得到0需上，从上面两个方程消去2E x2E x0 t2这就是标准的波动方程对应的波的速度是c.7、试由电磁场方程证明一般情况下电场的表示式E证：在一般的变化情况中，电场 E的特性与静电场不同。t电场E一方面受到电荷的激发，另一方面也受到变化磁场的激发，后者所激发的电场是有旋的 在一般情况下，电场是有源和有旋

16、的场，它不可能单独用一个标势来描述化情况下电场与磁场发生直接联系，因而电场的表示式必然包含矢势A因此在变 在内。BA式代入E-0 ,该式表小矢量 E -tt是无旋场，因此它可以用标势描述,0因此，在一般情况下电场的表示式为：E即得证。8、试由电场的边值关系证明势的边值关系证：电场的边值关系为：n E2 E10,式中n为由介质n? D2 Di*式可写为D2n D1n 1指向介质2的法线。利用，可用标势将表为:势的边值关系即得证。9、试由麦克斯韦方程组推导出亥姆霍兹方程答：从时谐情形下的麦氏方程组推导亥姆霍兹方程。在一定的频率下，有把时谐电磁波的电场和磁场方程:E x,tB x,tEiwtx ex

17、e.代入麦氏B x e iwt.方程组B,tD一 一1，消去共同因子e iwt后得0,0.EHEHiwH,iw E,在此注意一点。0,0.在w 0的时谐电磁波情形下这组方程不是独立的。取第一式的散度，由于E 0,因而 H 0,即得第四式。同样，由第二式可导出第三式。在此，在一定频率下，只有第一、二式是独立的，其他两式可由以上两式导出。程。取第一式旋度并用第二式得E w2 E 由E 2E2E ,上式变为2Ek2E0,此为亥姆霍兹方10、试由洛仑兹变换公式证明长度收缩公式l“1 70答：用洛伦兹变换式求运动物体长度与该物体静止长度的关系。如图所示，设物体沿x轴方向运动，以固定于物体上的参考系为。若

18、物体后端经过P1点（第事件）与前端经过P2点（第二事件）相对于同时，则PlP2定义为上测得的的坐标为X2物体长度。物体两端在 上的坐标设为X；和X2。在 上P1点的坐标为Xi , P2点两端分别经过Pi和P2的时刻为tit2 o对这两事件分别应用洛伦兹变换式得XiXivti 2 ,X2i v1 c2X2vt2i V2 c2，两式相减，计及tit2 ,有X2X2Xi 一Xi2i V2c* .式中X2Xi为上测得的物体长度l （因为坐标Xi和X2是在上同时测得的），X2 Xi为上测得的物体静止长度lo o由于物体对静止,2 vF c因而 E Q方，写成矢量式得4rQr3 . r 0r若r a,则球

19、面所围电荷为:3r 一43Qr33- a应用高斯定理得：Edsr2EQr33 . oa所以对测量时刻ti和t2没有任何限制。由由此得E q.r 4 oa3式得l l0三、计算题1、电荷Q均匀分布于半径为a的球体内，求各点的电场强度，并由此直接 计算电场的散度。解：作半径为r的球（与电荷球体同心）。由对称性，在球面上各点的电场强度有相同的数值E,并沿径向。当r a时，球面所围的总电荷为 Q,由高斯定理得2 QE ds 4 r E 一0现在计算电场的散度。当r a时E应取式，在这区域r 0,由直接计算可A 0,r 0因而 E -Q-4 0. r a4 0 r3当r a时E应取*式，由直接计算得 E

20、 Q- r -Q 一.r a 4 o a4 0a02、一半径为R的均匀带电球体，电荷体密度为，球内有一不带电的球形空腔，其半径为电，偏心距离为a, (a R1 R)求腔内的电场。解：这个带电系统可视为带正电的R球与带负电的的R1球的迭加而成。因此利用场的迭加原理得球形空腔的一点M之电场强度为：E r r3 03 0r r3 03、截面为S ,长为l的细介质棍,化强度为kx ,沿X轴P kxi沿X轴放置，近端到原点的距离为o求:(1)求每端的束缚电荷面密度;(2)求棒内的束缚电荷体密度(3)总束缚电荷。解:(1)求在棍端P2nP1nP2P2n0, Pin， PkxP1nPinP/x bP/xkb

21、k(bl)(2)P dp dxkxi(3)求qSl k b l kb S ksl 0求电场4、无穷大的平行板电容器内有两层介质，极板上面电荷密度为和束缚电荷分布。解：由对称性可知电场沿垂直于平板的方向，把板与介质1界面上，因导体内场强为零，故得D1E2B2EiH D B10,0.*应用于下*式应用到上板与介质2界面上得D2 f,由这两式得E1二 E21介质表面上。在两介质界面处，束缚电荷分布于E2n Emp 0 E2 E1在介质E2n E1n0E1在介质2与上板分界处,一p f 0 E2容易验证，p p p0,介质整体是电中性的5、在一平行板电容器的两板上加 U vocoswt的电压，若平板为

22、圆形，半径为a,板间距离为d,试求(1)、两板间的位移电流jD;(2)、电容器内离轴r处的磁场强度; (3)、电容器内的能流密度。D E ._ET 7,jD 7jDez -v0w SinwtezdjD解：（1）jDU _Ud d tKsinwtd；H dlH(2)HrH Jd2v0w-2a时，v0w rSinwt2drSinwteHa2d(3) Esdsu2 ad dHa2 auH2 2a Vn w - 八一0- SinwtCoswt d6、内外半径分别为a和b的球形电容器，加上v v0coswt的电压，且 不大,故电场分布和静态情形相同计算介质中位移电流密度jD及穿过半径R a R b的球面

23、的总位移电流解：位移电流密度为:v0 coswt穿过半径 R_ 2Jd jD4 RVoW sin wt ab的球面的总位移电流JD为：4 R2v0w0,sin wt a7、一根长为l的细金属棒，铅直地竖立在桌上，设所在地点地磁场强度为 H , 方向为南北，若金属棒自静止状态向东自由倒下，试求两端同时接触桌面的瞬间 棒内的感生电动势，此时棒两端的电势哪端高？解：金属棒倒下接触桌面时的角速度11w2 mg -式中为棒的质量,22w由下式给出I为棒绕端点的转动惯量（/ml2）, g为重力加速度，代入得1ml2w2 mgl3，w 31g棒接触桌面时的感生电动势为:E dl v B dllowx oHd

24、x w 0Hlxdx o31g0H123l3 0H此时棒的A点电动势高。8、证明均匀介质内部的体极化电荷密度总是等于体自由电荷密度的证：P P即证明了均匀介质内部的体极化电荷密度p总是等于体自由电荷密度9、点电荷q放在无限大的导体板前，相距为 a,若q所在的半空间充满均匀的 电介质，介质常数为 ，求介质中的电势、电场和导体面上的感生面电荷密度。解：设象电荷q位于 a,0,0，尝试解为：一& T,x 04 r r1) 求q与a设在导体板上，工旦里c4 R R当 R,R,0, c 0.与0噎Ra2yLz2, Rq.R222a y z222222222a y z q a y z q此式对任何V、z都

25、成立，故等式两边v、z的对应项系数应相等,即:22q2 2 22 22 2a q a q , a2 2 a qa a.(2)求 EEx222222x a y z,r x a y z.q 1r 1r r Tx 4 rrxxrxq x a x aA3-34 r r(3)求D2n Din , Din 0.Dx/x0 Ex/xoqa2R310、两块接地的导体板间的夹角为=90、60的情形分别求其电势。,当板间放一点电荷 q时，试用镜像法就解：设点电荷q处于两导体面间R,0 一点，两导体面间夹角为,各象电荷处在以R为半径的圆周上，它们的位置可用旋转矢量 R表示，设q及其各个象电荷的位置矢为R。、Ri、，

26、则有R0 Rei ,RR3R4R5R6R7R8i 2ReR1eR2ei2i 2 2R4eR6ei22i 2Re , R2i 2ReRei2Rei4i 2Rei 4Rei 4ReReRe iR1 Rei, R2 Re i ,21)iiR3 Re , R4 Recii2, e eR4 R3,象电荷只有3个，各象电荷所处在的直角坐标为:x Rcos , x2 Rcos , x3 Rcos , y1 Rsin , y - Rsin , y Rsin .111ri23式中 r X x Rcos 2 y Rsin 2 z2,空间任意一点的电势,XRcos2yRsin22z ,XRcos2yRsin22z

27、,XRcos2yRsin22 z .1R2Re iRe2)R34ReR42R5 ReR6ReR R5,象电荷只有5个。各象电荷所在处的直角坐标为:x1 R cos 3x2 Rcos ,_ . 2y1 Rsin 32x3 Rcos 32x4 Rcos 32y3Rsin _ . 2y4Rsin 3Rcos 一 3Rsin 一 ， y23Rcos 一 3Rcos 一3Rsin 一3Rsin 一3RsinX5 Rcos - 34y5 Rsin 一 3q 1140 r 1Rcos 一3Rsin 一 31111r2%r4各个r由相应的象电荷坐标确定11、真空中有一半径为Ro接地导体球，距球心为a a R0

28、处有一点电荷Q,求空间各点的电势。解：假设可以用球内一个假想点电荷 Q来代替球面上感应电荷对空间电场的作用。由对称性，Q应在OQ连线上。关键是能否选择Q的大小和位置使得球面上=0的条件使得满足?考虑到球面上任一点P。边界条件要求 Qr0.式中r为Q到P的距离,r为Q到P的距离。因此对球面上任一点，应有（1）由图可看出，只要选Q的位置使 OQP OPQ,则rR0常数（2） 设Q距球心为b角形相似的条件为bR0R2上.3由（1）和（2）式求出 aR0Q.(4) (3)和(4)式确 a定假想电荷Q的位置和大小。由Q和镜象电荷Q激发的总电场能够满足在导体面上 =0的边界条件，因此RoQ ar的正确解答

29、。球外任一点p的电势是：Q1QR0 a/,a式中r4 0 R a2 2Racos . R2 b2 2Rbcos为由Q到P点的距离,r为由Q到P点的距离，R为由球心。到P点的距离,为OP与OQ的夹角。12、求无限长理想的螺线管的矢势 A （设螺线管的半径为a,线圈匝数为n,通 电电流为I）解：分析:0 J xAdV , J x dV Idl。4 v rA?dlB?ds,又对于理想的无限长 螺线管来说，它的B为：0nI(1)当 r a 时，可得：2 rA r2B B 0nI 2 rA r2 0nIA -n rey2 ,A onia 1Aey2 r y2 y(2)当 r a 时，同理可得：2 rA

30、a2B 2 rA a2 0nI13、在大气中沿+ Z轴方向传播的线偏振平面波，其磁场强度的瞬时值表达式k0z Am_ 5_ 7J2 10 cos 10 t 4(1)求k 。 (2)写出E的瞬时值表达式解:1 k0w 107v 3 108 302 E v H 2410 4 cos 107 t k0z4_47E i 2410 cos 10 tk0z414、真空中波长为1厘米的平面电磁波垂直地入射到一块铝制厚板上，求此波的穿透深度，已知铝的电导率为3.4 107 m 值和符号）同步地作周期变化，这就是赫兹振子，试求赫兹振子的辐射能流，并 讨论其特点。解:= 3.4 107m,3 10810 23 1

31、010 Hz穿透深度为:2 2w ； 410 7 3.4 107 23 101010 52 3.4 345.0 10 mm15、已知海水的 r 1,1s m 1试计算频率v为50、106和109Hz的三种电磁波在海水中的透入深度。解：取电磁波以垂直于海水表面的方式入射，透射深度2r 10 r 041 v 50 Hz 时：12 v 106Hz 时：23 v 109Hz 时：310 7 J 21,250 410 7 1f 222、2106 410 7 1tr22 2109 410 7 172m0.5m16mm16、两金属小球分别带电荷 和一，它们之间的距离为l ,求小球的电荷(数1ikR .解：可

32、知赫兹振子激发的电磁场:（取球坐标原点在3 P e sin e 40c3R1 PeikRsln e4 C R电荷分布区内,并以P方向为极轴，则可知B沿纬线上振荡,平均能流2E沿径线上振荡。）0 密度为：一 1S Re2c*Re B2 o2n 232 2一一2 一-z-7 sinn.oC3R2因子sin2表示赫兹振子辐射的角分布,即辐射的方向性。在900的平面上辐射最强，而沿电偶极矩轴线方向0和 没有辐射。17、设有两根互相平行的尺，在各自静止的参考系中的长度为lo,它们以相同速率v相对于某一参考系运动，但运动方向相反，且平行于尺子，求站在一根尺上 测量另一根尺的长度。解：S系观察到S的速度22

33、lo c v2 vS测得S的尺子长度是2 c运动尺的收缩，只与相对运动的速度的绝对值有关,S测得S的尺子长度也是22lo c v18、静止长度为lo的车厢，以速度v相对于地面S运行，车厢的后壁以速度为Uo 向前推出一个小球，求地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间。解：S系的观察者看到长度为lo1 2的车厢以vv vi运动，又看到小球以 u ui追赶车厢。 小球从后壁到前壁所需的时间为：C2u v1V21oUo VUoV V1 VUo 2 cUo 1lo 1 vUUo22V cVUoc2VUot2t11 VUoc2V 2 X2 cX1X2x l01t2t11 0 . U019、一把直尺相对于

34、坐标系静止，直尺与 x轴交角，今有一观察者以速度V沿 X轴运动，他看到直尺与X轴交角 有何变化？解：设与观察者固结的坐标系，在12系，尺的长度平方是tg222x y zy2z2 12在X系xv12 x, y y, z22 1222 12tgy z y z tgx12 x 122。、两束电子作迎面相对运动，每束电子相对于实验室的速度v o.9c,试求:(1)实验室中观察者观察到的两束电子之间的相对速度；(2)相对于一束电子静止的观察者观察的另一束电子的速度。解：(1)实验室系统中，电子束相对速度为o.9c+o.9c=1.8c, 相对于一束电子静止的系统中，相对速度 U 代入v o.9c得:1 c

35、U o.994c21、设有一随时间变化的电场E Eo coswt ,试求它在电导率为，介电常数为的导体中，引起的传导电流和位移电流振幅之比，从而讨论在什么情况下，传 导电流起主要作用，什么情况下位移电流其主要作用。解：可知传导电流为：j i , 位移电流为：jD Eo coswtwsin wtEo. -j- 一。当 w 时，传导电流t tw起主要作用；当w时，位移电流起主要作用。22、矢势ABoyi , A Bxj ,其中B为常数，它们对应着同一磁场，因止匕,求式中的标量函数解：A A B0yi B0xj,Bo xy f z23、电荷-e固定在球坐标的原点，另一电荷Z轴上运动，具方程Z ae其

36、中a、b均为常数，试求：(1)此电荷系统的电矩;(2)辐射场强；(3) 辐射平均功率解：(1)bt=ezk eae ez(ez为Z轴正方向的单位矢量),2eab ep Sincrr b t _cSincr0H 2p Sinb t,2eab erc Sin(3)辐射功率P为:P 。E0H dsSc2242b teab 3e24 oc324、已知时变电磁场 E E0coskz wt i, B B0 cos kzwt j ,试从电磁场方程求常数Eo与Bo之间满足的关系。解：一般情况下，电磁场的基本方程是麦克斯韦方程组:tDt,3J, 20.4i由(1)式得：x即：j ky zE0 cos kzwt

37、iB0 cos kzwtkE0 sin kz wt jB0 sin kzwt wjEo25、 有电粒子在w Bo k谐振Z Zoe i t Z。、w为常数，设Z。、w c试求电偶极矩和辐射场。解：实际上此带电粒子在原点附近作简谐振动构成一个简单的振荡电偶极子系统,这个系统的的电偶极矩为：P Q l QZ QZ0eiwtk.般的振荡电偶极矩产生的辐射ikR 0e4 RJ x dVikR0e4 R0kikRP 二-eikR P4 oC3R若取球坐标原点在电荷分布区内，并以P方向为极轴，则可得，B沿纬线上振荡。士-1ikR .w2Qz0 ikR .有： B 3P esine 3 e sine4 oC3R4 oC3R26、已知矢势A5(x2y2 z2)i，求B ,若AA 5j 6k ,人与庆是否对应同一电磁场。解：222B A ( i j k) 5x2 y2 z2 i 10刁 10yk x y z而Ai j k5x2 y2 z2 i 5j 6k 10zj 10yk Ax y z矢势A与A为同一电磁场。