几何问答之中点题型

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1、几何问题之中点题型1 1 掌握三角形的内角和定理；2 2 了解三角形三边的关系，并且能进行简单的应用；3 3 学习用三角形边、角的关系进行简单的计算和证明；4 4 学习分析问题、解决问题的能力。一中点有关联想归类：1.1. 等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质；2.2. 直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”；3.3.三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”；4 4、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八 字型”全等三角形）；5.5.有中点时常构造垂直平分线；6.6.有中点时，常会出现面积的一半（中

2、线平分三角形的面积）；7.7.倍长中线。知识结构* * * -北二.与中点问题有关的四大辅助线：1.1.出现三角形的中线时，可以延长（简称“倍长中线”）；2.2.出现直角三角形斜边的中点，作斜边中线；3.3.出现三角形边上的中点，作中位线；4.4.出现等腰三角形底边上的中点，构造“三线合一”三.几何证明之辅助线构造技巧:1.假如作一条辅助线，能起到什么作用；2 2 常作那些辅助线能与已知条件联系更紧密，且不破坏已知条件。ILU-*模块一、出现三角形的中线，可 以延长一、基础回顾1.1.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。2.若点C是线段AB的中点，则：11从线段来看

3、：AC BC -AB;22从点与点的相对位置来看：点C在点A、B之间，且点A B关于点C对称。3.三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点所得的线段叫做三角形的中线。1一个三角形有三条中线；2每条中线平分三角形的面积；3三角形的三条中线交于一点，每条中线被该点（重心）分成1: 2的两段；4三角形的三条中线把三角形分成六个面积相等的小三角形。二、如何延长三角形的中线1.1.延长 1 1 倍的中线：如图，线段AD是ABC的中线，延长线段AD至E,使DE AD（即延长 1 1 倍的中线），再连接BE、CE。1总的来说，就可以得到一个平行四边形ABCD和两对（中心选转型）全等三角形ABD

4、ECD、ACDEBD，且每对全等三角形都关于点D中心对称；2详细地说，就是可以转移角：BADCED，CAD BED，ABD ECD，ACD EBD，ADBECD，ADCEDB；可以移边：AB EC,AC EB；可以构造平行线：AB/EC,AC/EB；可以构造边长与AB、AC、AD有关的三角形：ABE、ACE。（1 1 ）延k长倍的中线：（k 0且k 1）如左（右）下图，点E为ABC中线AD（DA延长线）上的点，延长AD至F,使ED FD，连接BE、CE、BF、CF 在平行四边形BFCE中就可以得到类似（1 1）中的 结论。注意：通常在已知条件或结论中测及到与BE、CE有关的边与角时，会用这种辅

5、助线 、全等三角形ttr、整体做题思路：中线倍长平行四边形利用性质解决冋题例 1.1.如图，ABC中，AB AC,AD是中线. .求证：DAC DAB。【证明】：延长AD到点E使得AD DE，联结CE/ AD是ABC中线 BD CD在ADB和EDC中：AD DEADB EDC；ADB也EDCBD CDAB CE,DAB E又AB ACCE ACDACEDACDAB? ?点评：1 1 比较角度大小，常用两个方法：一是利用三角形的角度关系，将其中一个角表示为 另外一个角加上第三个角；二是利同一三角形中大边对大角进行比较大小；2.2.倍长中线是常用构造辅助线方法，并再结合同一三角形中大边对大角。例

6、2.2.如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE AC，延长BE交AC于F. .求证：AF EF。H【证明】：延长ED到点H使得ED DH，联结CH/ AD是ABC中线 BD CD在EDB和CDH中：DE DHEDB CDH；EDB也CDHBD CDCHBE,BEDH又BEACCHACCADHAEFDEBH CADAEFCADAF EF【解答】：延长AD到点E使得AD DE，联结CE例 3.3.已知ABC中，AB 12,AC30，求BC边上的中线AD的范围。/ AD是ABC中线 BD CD在ADB和EDC中 : :ADDEADB EDC；BD CDAB CE在AEC中

7、，由两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，可得：AC AB AE AC AB18 2AD 429 AD 21? ? 点评： 求线段的范围，一般利用三角形中“两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”。模块二、斜边中线与中位线、出现直角三角形斜边的中点，作斜边中线1.1. 如图，在Rt ABC中，ACB 90，直角ACB所对的边AB称为Rt ABC的斜边，由ACBBCA，过点C作CD交AB于点D，且DACACD。QDACACD，AD CD. .QACB90o，BACABC 90o，又QACDBCDo90，BCDABC，BD CD，BD CD AD，2.2.发现线段CD为斜边AB上的中线，且等于斜

8、边的一半。ADB也EDC3.3.作斜边中线，可以构造出等腰三角形，从而得到相等的边、相等的角。4 4 通常在知道直角三角形斜边的中点的情况下，想到作斜边中线这条辅助线。、 出现三角形边上的中点， 作中位线 1 1 中位线： 连接三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线；也可以过三角形一边的中 点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线；以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么2 2 中位线的性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半；3 3 中位线辅助线能起到的作用：1在线段大小关系上，三角形的中位线是三角形第三边的一半，

9、起着传递线段长度的功能2在位置上，三角形的中位线平行三角形的第三边，起着角的位置转移和计算角的的功能4.通常在以下两种情况下，会作中位线辅助线：1有两个（或两个以上）的中点时；2有一边中点，并且已知或求证中涉及到线段的倍分关系时。 熟悉以下两个图形：【证明】：【分析】：要证的BD,CE不在同一个三角形中，而它们所在的三角形又不是同类三角形， 无法证明它们全等，由于F是DE的中点，想到利用中点构造中心对称图形或中位线来移动BD或CE的位置，把它们集中到同一个三角形中或把不同类三角形转化为同类三角形，使问 题得以解决。例 4.4.如图，在四边形的延长线分别交EFABCD中，AB CD，点E、F分别

10、是BC、AD的中点, 的延长线G、H。求证：BGEBA、CDCHE。连结BD，并取BD的中点为M,则ME是BCD的中位线，.ME二IcD,2“ 1由MF是ABD的中位线，MFAB,2证法一：如图 1 1 :连结ME、MF,MEFCHEMFEBGE, AB CD， ME MF，二MEF（证法二：如图 2 2，延长GE到K, ,使EKEK GE,连结CK也行。（其余方法略）EHBGE CHE。，连结BK（略）。或者延长GE到K, ,使MFE，从而ABC中,ABDE交BC于点F，若F是E日E)图 2【证明】：方法一：如图 2 2，过D作DM/CE交BC于M，易证DMF=ECF，再证BD DM。方法二

11、：如图 3 3，过E作EG/AB交BC的延长线于G。易证BDF=GEF, ,再证：EC EG。再证：BD CH。中位线. .再证BN CE。方法五：如图 6,6,连结BE, ,取BE的中点K，取BC的中点M连结MK、KF。则MK、KF分别为中位线。再证KM KF，得BD CE。方法六：如图 7,7,连结CD, ,取CD的中点H，取BC的中点I，连结HI、HF。则HI、HF分别为中位线。再证HI HF，得BD CE。例 6.6.已知如图，ABC中，D是BC边的中点，E是AD边的中点，连结BE并延长交AC于点F。求证：FC 2AF。方法三：如图 4,4,在AC上取点H, ,使CHCE, ,连结DH

12、。则CF为EDH的中位线。方法四：如图 5 5，在AB的延长线上取点N，使BNBD，连结NE。贝U FB为DNE的A图3图 4图 5c【证明】：如图 1 1，过点D做DG / BF，交AC于GD是BC边的中点，DG/BFFGGC。同理，AFFG2AF2FGFG GCFC即FC2AF例 7.7.如图 1-11-1，已知Rt ABC中，AB AC，在Rt ADE中，AD DE,连结EC，取EC中点M，连结DM和BM,（ 1 1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图 1-11-1，求证：BM DM且BM DM；（ 2 2）将图 1-11-1 中的ADE绕点A逆时针转小于45的角，如图

13、 1-21-2，那么（1 1 ）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如 果成立，请给予证明。【分析】：图 1-11-1 中由于点M为直角三角形斜边EC的中点，显然要利用斜边中线的性质求解 图 1-21-2 中尽管ADE绕点A进行了旋转，但M为EC的中点的条件依然未变，于是仍然可以利用中点还原出中心对称基本图形，使问题得解；另一方面，由于旋转之后直角仍然存图 1-1图 1-2在，于是仍可以利用斜边中线及中位线来解决。AC【证明】: :(1 1)如图 2 2，在Rt ABC和Rt ADE中，M为公共斜边EC的中点, ,1cccDMEC BM32,652 123 2 2,456 2 5142

14、( 25)90 BM DM且BM DM(2 2)成立。方法一：如图 3 3 :延长DM至F，使MF DM，连结CF,BF，延长ED交AC于N易证：EMD也CMFDEM FCM.EN/FC2ACB5 455/ 290190( BAC)455 / /ABBC, ,AD DE CFBAD也BCFBD BF,ABD CBFDBF ABC 90oBD BFBDF为等腰直角三角形MFDMBMDM且BM DM方法二: :如图 4 4，取AC的中点F，取AE的中点G，连结MF,BF,MG,DGMF, ,MG为中位线仆1/ 1MFAE, ,MGAC2 21DG为斜边中线DG - AE2 DG MF。同理，GM

15、AC - BF2MFAG四边形AFMG为平行四边形 1234,14 90o23DGM也MFBBM DM, ,GMD MBFGMD BMG MBF BMG 90BM DM且BM DM1.1.如图 1 1，在ABC中，ABAC 5,BC6，点M为BC中点，MN AC于点N,则MN等于（)691216A.A.- -B B.C C.D D.55552.2.如图，ABC中，A=90o，D为斜边BC的中点，E、F分别为AB、AC上的点，且DE DF，若BE3，CF4，试求EF的长。A入EBDC3.3.如图，在ABC中，ABAC,E为BC边的中点,的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G。求证：BF CG4

16、.4.如图所示，已知D为BC中点，点A在DE上，且AB CE，求证：12。AD为BAC的平分线，过E作AD6.6.如图，已知正方形ABCD中，点E、F分别是BC、AB的中点。求证：AG AD5.5.如图，ABC中，D是BC边的中点，BEAB DE。AC于点E,若DAC 30o，求证:BDCEC7.7.如图，正方形CGEF的边CG与正方形ABCD的边BC在同一直线上（CGBC），连结练习题目答案3.【分析】：如下图，可以把FE看作FBC的一条中线；延长FE至点H，使EH FE, 连接CH。贝U CEH也BEF，所以CH BF,H 1。因为EG/ AD，所以12,3 G;AE,取线段AE的中点M。

17、探究：线段MD、1.1.C2.2. 【分析】：如下图，可以把ED看作EBC的一条中线。连接CG、FG。贝U CDGBDE;所以CG BE因为B1=900，所以12= FCG=90o因为DF垂直平分EG，所以FG延长ED至点G，使DG ED，3，2在Rt FCG中，由勾股定理得FGEFCG2CF232425，所以EF 5。23，所以1 G,所以H GCH CG。所以BF CG5.【提示】：廿1证法一：如图 1 1，取CE的中点G, ,连结DG，所以，DG为中位线，得DGBE, ,由21BE AC得AGD 90，在ADG中，DAC 30，得DG AD, ,于是AD BE。2（证法二：如图 2 2，

18、取BE的中点M, ,连结DM，类似法一可证AD BE。（其余方法 略）又因为由此得4.4.【提示】：证法一：如图易证ABABDFCD。CE,.CE CF22 2,取AC的中点证明。）（其余方法略） AB CF, ,- 1（证法二：如图，取AE的中点H，连结DG、GH;利用中位线来图 1图 2AA6.【提示】：为线段HD的中点，由CBF也DCE能证明DE CF，因此AG为直角三角形HGD斜边1中线，所以AG丄HD AD。27.【解答】猜想：MD MF并且MD MF证明：如图 1 1，延长DM交EF于点N,M是线段AE的中点，二MA ME。由题意可知：EAD FEM,AMD EMG，得MAD也MEGMD MN,AD NE证法一，如图 1 1，延长CF、DA交于H，易证AHF也BCF，得AHBC AD,A（证法二：如图 2 2，取CD中点H，连结AH，图 1图 2图 2图 1FG FE,AD DCFD FN DEN为等腰直角三角形，MD MF并且MD MF。图 1