初中二次函数知识点总结

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1、-二次函数知识点一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如是常数，的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数的构造特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项二、二次函数的根本形式1. 二次函数根本形式：的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值2. 的性质： 上加下减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性

2、质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值3. 的性质：左加右减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上*=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下*=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值4. 的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上*=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下*=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到

3、处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的根底上值正右移，负左移；值正上移，负下移概括成八个字左加右减，上加下减方法二：沿轴平移:向上下平移个单位，变成或沿*轴平移：向左右平移个单位，变成或四、二次函数与的比较从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中五、二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，假设与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，

4、与轴的交点，与轴的交点.六、 二次函数的性质 1.当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值 2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：，为常数，；2. 顶点式：，为常数，；3. 两根式：，是抛物线与轴两交点的横坐标.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的

5、关系 1.二次项系数二次函数中，作为二次项系数，显然 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小2. 一次项系数 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴 在的前提下，当时，即抛物线的对称轴在轴左侧；当时，即抛物线的对称轴就是轴； 当时，即抛物线对称轴在轴的右侧 在的前提下，结论刚好与上述相反，即当时，即抛物线的对称轴在轴右侧；当时，即抛物线的对称轴就是轴； 当时，即抛物线对称轴在轴的左侧总结起来，在确定的前提下，决定了

6、抛物线对称轴的位置的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是左同右异总结： 3. 常数项 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置 总之，只要都确定，则这条抛物线就是唯一确定的二次函数解析式确实定：根据条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.

7、抛物线顶点或对称轴或最大小值，一般选用顶点式；3. 抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 抛物线上纵坐标一样的两点，常选用顶点式九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； 2. 关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； 3. 关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是；关于原点对称后，得到的解析式是； 4. 关于顶点对称即：抛物线绕顶点旋转180关于顶点对称后，得到的解析式是；关于顶点对称后，得到的解析式是 5. 关于点对称 关于

8、点对称后，得到的解析式是根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择适宜的形式，习惯上是先确定原抛物线或表达式的抛物线的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系二次函数与轴交点情况：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.图象与轴的交点个数： 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根这两点间的距离. 当时，图象与轴只有一个交点； 当时，图象与轴没有交点.当时，图象落在

9、轴的上方，无论为任何实数，都有；当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有 2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，； 3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大小值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数中，的符号，或由二次函数中，的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和一点对称的点坐标，或与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.抛物线与轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根抛物线与轴只有一个交点二次三

10、项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根抛物线与轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根. 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例，提醒二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的在联系：图像参考：十一、函数的应用二次函数应用二次函数考察重点与常见题型1 考察二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：以为自变量的二次函数的图像经过原点， 则的值是2 综合考察正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系考察两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数的图像在第一、二、三象限，则函数的图像大致是 y y

11、 y y 1 1 0 * o-1 * 0 * 0 -1 * A B C D3 考察用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为，求这条抛物线的解析式。4 考察用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：抛物线a0与*轴的两个交点的横坐标是1、3，与y轴交点的纵坐标是（1） 确定抛物线的解析式；2用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5考察代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号例1 1二次函数的图像如图1，

12、则点在 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2二次函数y=a*2+b*+ca0的图象如图2所示，则以下结论：a、b同号；当*=1和*=3时，函数值相等；4a+b=0；当y=-2时，*的值只能取0.其中正确的个数是 A1个 B2个 C3个 D4个 (1) (2)【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键例2.二次函数y=a*2+b*+c的图象与*轴交于点(-2，O)、(*1，0)，且1*12，与y轴的正半轴的交点在点(O，2)的下方以下结论：abO；4a+cO，其中正确结论的个数为( ) A 1个 B. 2个 C. 3个 D4个答案：D会用待定系数法求二次函

13、数解析式例3.：关于*的一元二次方程a*2+b*+c=3的一个根为*=-2，且二次函数y=a*2+b*+c的对称轴是直线*=2，则抛物线的顶点坐标为( ) A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D(3，2)答案：C例4、2006年市如图单位：m，等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向形移动，直到AB与CD重合设*秒时，三角形与形重叠局部的面积为ym21写出y与*的关系式；2当*=2，3.5时，y分别是多少.3当重叠局部的面积是形面积的一半时，三角形移动了多长时间.求抛物线顶点坐标、对称轴.例5、抛物线y=*2+*-1用配方法求它的顶点坐标和对称轴2假设该抛物线与*轴的两个交点为A、

14、B，求线段AB的长【点评】此题1是对二次函数的根本方法的考察，第2问主要考察二次函数与一元二次方程的关系例6.：二次函数y=a*2-(b+1)*-3a的图象经过点P(4，10)，交*轴于，两点，交y轴负半轴于C点，且满足3AO=OB(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点M，使锐角MCOACO假设存在，请你求出M点的横坐标的取值围；假设不存在，请你说明理由(1)解：如图抛物线交*轴于点A(*1，0)，B(*2，O)，则*1*2=30，又*1O，*1O，30A=OB，*2=-3*1*1*2=-3*12=-3*12=1. *10，*1=-1*2=3点A(-1，O)，P(4，10

15、)代入解析式得解得a=2 b=3二次函数的解析式为y-2*2-4*-6(2)存在点M使MC0ACO(2)解：点A关于y轴的对称点A(1，O)，直线A，C解析式为y=6*-6直线AC与抛物线交点为(0，-6)，(5，24)符合题意的*的围为-1*0或O*5当点M的横坐标满足-1*O或O*ACO例7、 函数的图象经过点Ac，2， 求证：这个二次函数图象的对称轴是*=3。题目中的矩形框局部是一段被墨水污染了无法识别的文字。1根据和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式.假设能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；假设不能，请说明理由。2请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的

16、条件，把原题补充完整。点评： 对于第1小题，要根据和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论函数图象的对称轴是*=3当作来用，再结合条件图象经过点Ac，2，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第2小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第1小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。解答 1根据的图象经过点Ac，2，图象的对称轴是*=3，得解得所以所求二次函数解析式为图象如下列图。2在解析式中令y=0，得，解得所以可

17、以填抛物线与*轴的一个交点的坐标是3+或抛物线与*轴的一个交点的坐标是令*=3代入解析式，得所以抛物线的顶点坐标为所以也可以填抛物线的顶点坐标为等等。函数主要关注：通过不同的途径图象、解析式等了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为变化过程中变量之间关系的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。用二次函数解决最值问题例1边长为4的形截去一个角后成为五边形ABCDE如图，其中AF=2，BF=1试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积例2 *产品每件本钱10元，试销阶段每件产品的销售价*元与产品的日销售量y件之间的关系如下表：*元152030y件252010 假设日

18、销售量y是销售价*的一次函数 1求出日销售量y件与销售价*元的函数关系式； 2要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元.此时每日销售利润是多少元. 【解析】1设此一次函数表达式为y=k*+b则 解得k=-1，b=40，即一次函数表达式为y=-*+40 2设每件产品的销售价应定为*元，所获销售利润为w元 w=*-1040-*=-*2+50*-400=-*-252+225产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元二次函数一、 选择题：1. 抛物线的对称轴是 A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线2. 二次函数的图象如右图，则点在 A. 第一象限B. 第二象限C. 第

19、三象限D. 第四象限3. 二次函数，且，则一定有 A. B. C. D. 04. 把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是，则有 A. ，B. ，C. ，D. ，5. 反比例函数的图象如右图所示，则二次函数的图象大致为 6. 下面所示各图是在同一直角坐标系，二次函数与一次函数的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的选项是 7. 抛物线的对称轴是直线 A. B. C. D. 8. 二次函数的最小值是 A. B. 2C. D. 19. 二次函数的图象如下列图，假设，则 A. ，B. ，C. ，D. ，二、填空题：10. 将二次函数配方成的形式，则y=_.11. 抛物线与*轴

20、有两个交点，则一元二次方程的根的情况是_.12. 抛物线与*轴交点的横坐标为，则=_.13. 请你写出函数与具有的一个共同性质：_.14. 有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点：甲：对称轴是直线；乙：与*轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：15. 二次函数的图象开口向上，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式：_.16. 如图，抛物线的对称轴是，与*轴交于A、B两点，假设B点坐标是，则A点的坐标是_.三、解答题：1. 函数的图象经过点3，2.1求这个函

21、数的解析式；2当时，求使y2的*的取值围.2. 如右图，抛物线经过点，与y轴交于点B.1求抛物线的解析式；2P是y轴正半轴上一点，且PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标.1. 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m.1求此抛物线的解析式；2现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，甲地距此桥280km桥长忽略不计. 货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，突然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨货车接到通知时水位在CD处，当水位到达桥拱最高点O时，制止车辆通行.

22、试问：如果货车按原来速度行驶，能否平安通过此桥.假设能，请说明理由；假设不能，要使货车平安通过此桥，速度应超过每小时多少千米.2. *机械租赁公司有同一型号的机械设备40套. 经过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为270元时，恰好全部租出. 在此根底上，当每套设备的月租金提高10元时，这种设备就少租出一套，且未租出的一套设备每月需要支出费用维护费、管理费等20元，设每套设备的月租金为*元，租赁公司出租该型号设备的月收益收益=租金收入支出费用为y元.1用含*的代数式表示未租出的设备数套以及所有未租出设备套的支出费用；2求y与*之间的二次函数关系式；3当月租金分别为4300元和350元时，租赁公司的月收益分别是多少元.此时应该租出多少套机械设备.请你简要说明理由；4请把2中所求的二次函数配方成的形式，并据此说明：当*为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大.最大月收益是多少. z.