专升本高等数学电子教案要点

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1、1写在教学前面的话高等数学学习建议1 1、首先，要花点时间全面浏览一下教材，了解一下高等数学这门课程主要有哪 几块内容组成，每一块主要讲些什么东西。你们不是初学者，相信对高等数学 不会十分陌生，即便是有些内容没有学过2 2、其二，要听好课，最好不要缺课，你的自学能力再强，我看还是听老师讲一 遍的效果好，有经验的老师会告诉你事情的来龙去脉，重点在哪，难点如何处 理等等。断断续续的听课，高兴就来，不高兴就不来，听课内容不连续，麻烦 和问题会越积越多；3 3、围绕重点多做习题。数学练习真的太多太多，要围绕重点多做些习题，重点 内容所配置的习题往往包含了几个知识点，技巧性也比较高，这些习题要多做 些，

2、力求达到熟能生巧的目的；4 4、对一些暂时搞不清的问题，不要急于求成一次就把它弄明白，少数问题搞不 懂，少量的题目不会做，摆一摆放一放，不要紧，学到后面了回过头来，你会 什么都明白了；5 5、还有一点，你要善于总结（思维导图），一个章节、一个单元学完了，你要 用自己习惯的方式做好总结，主要内容有哪些？主要的公式定理？主要的计算2微积分章节授课次序:1、第一章函数、极限与连续2、第九章无穷级数3、第二章导数与微分4、第三章导数的应用5、第六章多元函数微分学6、第四章不定积分7、第八章微分方程8、第五章定积分及其应用9、第七章二重积分3第一章函数、极限和连续第一节函数、函数的概念1 1、 函数的概

3、念：y =f（x） ,x D（1 1） 函数两要素：D和f（2 2） 判断两个函数是否为同一个函数的方法：只要两个函数的定义域相同，对 应法则也相同，那么这两个函数就是同一个函数。2 2、单值函数和多值函数单值函数的特点： 对应3 3、显函数和隐函数（1 1） 形如y=f（x）的函数称为显函数。（2 2） 由方程F（x,y） =0所确定的函数y=y（x）称为一个隐函数。有些微分方程 的通解就是隐函数。（3） 隐函数有的可以显化，女口x2 y2= 1= y = -1 -x2（多值函数）而有些隐函数不能显化，如x2y2siny =14 4、分段函数：在自变量的不同取值范围内，函数不能用一个表达式表

4、示，而是 要用两个或者两个以上的表达式表示。这样的函数称为分段函数。5 5、 函数的定义域通常是指使函数表达式有意义的自变量的取值范围。求函数的定义域时，一般要注意：1（1 1） 如果 ，要求f（X）=0f（x）2如果2nf（x）（n为正整数），要求f（x）一04(3)如果logaf(x) (a. 0且a= 1)，要求f(x). 0(4)如果arcsinf(x)和arccosf(x)，要求f(x) 1(5)分段函数的定义域：是将分段函数所有的取值区间做并集。6 6、函数的表示法：表示函数通常用公式法辅之以图示法(数形结合)例题精讲(P4-P5)1 1、求下列函数的定义域:(1(1)y =9 -

5、x2log2(x x-1)(历年真题)(2)(2)y= w4 _x2+ ln(x+ 1)(历年真题)(3(3)y y2x -1arcs in_7_、x2-x -6(4)(4)y= arccos( 1 -x) ln1x1 -x二、函数的几种常见性态(有界性、单调性、奇偶性、周期性)1 1、有界性(1) 有上界：y = f(x)(x I)满足f(x)兰M(存在常数 M M)上不去(2)有下界：y = f(x)(x乏I)满足f(x)色m(存在常数 m m)下不来(3) 有界：y= f (x)(x | )满足f(x)兰M(存在正常数 M M事实上：f(x)|兰M = -M f(x)兰M，有界即既有上界

6、又有下界。从图像上 观察，有界函数的图形会被两条平行于x x 轴的直线夹在中间。(4)无界(5)常用有界函数：sinx 1，cos - 1，sinf(x)兰1，cosf(x)兰1arctan x v，0 arccot x y= cos(x 的最小正周期都是 例题精讲2 2、函数y= log2x区间在()有界(历年真题)4 4、讨论下列函数的周期性，如果是周期函数，求出其周期A A ( 0,10,1 ) B.B. (0 0,)3 3、判断下列函数的奇偶性：(1 1)f(X)=1 n( 1 x2x)(3)f (x)二xln( 1 x2-x)C.C. (1 1,D D ( 1,21,2 )(2 _、

7、(2)(2)f(x) =(2. 3)x7(3)(3)y = 3cos：x 2)8三、反函数(1) 概念(2) 单调函数一定存在反函数，且原函数和反函数单调性一致(3) 原函数和反函数的图形关于直线y = x对称。(4) 反函数的求法。例题精讲fxce，x a 05 5、求函数y=e，x=0的反函数并指出其定义域。2(x +1)，x0四、基本初等函数(1(1)要求熟练掌握基本初等函数(幕函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数)的表达式、定义域、值域、图像(要记忆)及 4 4 种性态。(P9-P11P9-P11)3一3 -y = x、y=x、y=x、y=x、y=、x、y= x。(3)掌握指

8、数函数、对数函数、四类三角函数sinx、cosx、tanx、cotx的图形。(4)(4)掌握反三角函数的定义域，主值区间和图形。 根据图形记忆：(5)(5)掌握三角函数的常用公式。五、复合函数(1)(1) 概念(2)(2) 会求复合函数(2(2)能正确分析复合函数复合过程(前提：熟练掌握各基本初等函数的表达式)(2(2)常见的幕函数图形:lim arcta nxx-):limarctan x :x_.，2limarccotx= 0 x-j :limarccot x =x29六、初等函数(1)(1) 概念(2)(2) 一般说来，分段函数不是初等函数。例题精讲6 6、 已知函数f(x)的定义域是I

9、1，21，求下列函数的定义域：(1 1)y = f (x21)( 2 2)y = f (ax)( 3 3)y二f (sin x 1)( 4 4)y = f (Ig x)7 7、 填空题：(1)_设f (x)的定义域为1 ,2 ，则函数f (1 In x)的定义域为 _ (历年真题)(2) 设y=f(x- 1)的定义域为0 ,a】，则f(x)的定义域是_(3) 设y= f (Igx)的定义域为【1,2】，则f(x)的定义域是_(4)设f(x) = /lx| 1，则f 一3)的定义域是21 x oC2 2、如果数列Xn有一个子列极限不存在，或者有两个子列极限存在但不相等，则数列X发散。如数列( $

10、 n + 1二、函数极限1 1、limf(x) = A =x-_.:limf(x) = lim-f(x) =AX ,x_2 2、limf(x) =A：=Xjxolimf(x)二limf(x) =AXX(/X.Xoi3 3、极限值limf(x)与函数值f(x。)是否存在无关例题精讲(P21)A.A.有定义且有极限B.B.C.C.有定义但无极限D.D.2+3x，x CO2 2、f (x) J2亠a 则lim f (x)X-2，x工0 xT_xsin1+bx 0时，xsi n xtan xarcs in xarcta n xex-1ln（1x）13-0)1/8 8D.D.等价无穷小（历年真题）当x

11、0时，下列结论不正确的是（(1 x)： 1:x(:1_cosx.2ln( 1x2)A.A.21 -cosxxB.B.xex-1C.C.9 9、F列函数在指定的变化过程中，（1A.A.ex(xr )B.B.沁(x )C.C.x）（历年真题）xln(1 x)）是无穷小量。In(1x) (x、1)D.D.D.D.1010、当x、-:时,与sin31等价的无穷小是（x(x 0)x1A.A.In(1 )x13B.B.ln (1)C.C.ln (1 )D.D.Vxx1ln(1亍)x1111、当x 0时,2ax2与tan 1是等价无穷小，则a -4四、极限的计算方法1 1、函数极限的计算公式和法则同样适用于

12、数列极限的计算。1（1 1）lm七=0（。o）1（3）xm；=03 3、初等函数的连续性：(2 2)lim qn=0(q c1)(4 4)lim x =x如果初等函数f(x)在点x有定义，则lim f(x)=f(x)。x02 2、基本结果:4 4、极限的四则运算法则（略）1415重要极限Ilim沁=1x)0 xlim = 1x10sin xlim叱=1xxlim = 1x0tan x6 6、有界函数与无穷小之积仍为无穷小基本题型 I I :求limf(x)，且f(x)在点x0有定义，则lim f (x)= f (x0)x xo基本题型求limf(x)，而f (x)在点X。无定义，通过因式分解、

13、有理化或者通Xj0分等恒等变换化简f(x)后，回到基本题型 I I。基本题型皿：求mm_1xm釜Vm，分子分母同时除以x的最高次方。可以记忆公式:当a。= 0 , bo= 0, ,m,n为非负整数时，有5 5、两个重要极限般形式：limsin：(x)：(x)(须满足lim：(x)lim (1丄)xr.：x1lim(1 x)：=ex：0lim (1 -1)x.4二e1lim(1 -x)；= e，x 0般形式：lim(1=严(须满足lim:(x)1lim (1：；Xx)-(x)(须满足lim：(x)可以记忆公式：！,im(1p)a、bx亠cabe16(2(2)举例：求lim.S(1(1)记忆几个有

14、界函数 ：sinX X24848.1 tan x 71 sin xtan3xx2x5x2-1)46464949xcosx、lim /I 说I3 ,.r x+12251512313sin x x cos5353、limx 10(1 cosx) ln(1 x)11用夹逼准则求：lim.(1 2n- 3n)n。第三节函数的连续性一、函数连续概念和间断点的分类1 1、 函数y = f(x)在点x0处连续：ljm/y =0( (也x =x-冷，心y =f (x +xj -f (x) )2 2、函数y=f(x)在点x处连续的直观意义：当自变量的改变量x很微小时，函数值的改变量y也很微小。3 3、函数y=f

15、(x)在点X。处连续必须同时满足三个条件(判断连续方法 1 1)：(1) 函数y二f(x)在点X。(的某一邻域内)有定义；Jn sinn!limJ n 1lim e- sin xx.5252、lim3xsinx+C0SX+15555、x- sinxxm0k厂(历年真题)5858、lim1x)0ln x5959(历年真题)6464、lim (cot X)smx65656767、利用夹逼准则证明：lim(i J n21n22-3x 25757、lim x匸- x2- x 1| | 6060、lim xlnx_axix a1)-1 ln x16363、lim x 龙16666ln (x a)、叫 /

16、x a、x.aln(e - e )1+)=1 o.nn1x1、lim x(ex-1)x_)：:6262、lim(x7 x 1lim (In x)xx_.JI56、呱*-arcta nx5454、lim ( ./1 2 3 r .j1 2 3亠 亠(n_ 1) n :.8 8、515124(2)lim f (x)存在；25(3 3)lim f (x)二f (x0)。X_o如果上述条件有一个不满足，则函数y = f(x)在点x处间断，点Xo称为函数y = f (x)的间断点。4 4、左、右连续(1)y二f(x)在点X。处左连续:limf(x)二f(x。)X0(2)y二f(x)在点X。处右连续:li

17、mf(x)=f(x)x_o+y=f(x)在点Xo处连续二y = f(x)在点Xo处既左连续也右连续。(判断连续方法 2 2)5 5、间断点的分类：设点Xo为函数y = f(x)的间断点，(1)第一类间断点：lim f(x)和lim f(x)都存在，x厂jx+1可去间断点:lim f(x)二lim f(x)一XTXo2跳跃间断点:lim f(x)=lim f (x)(2) 第二类间断点：limf(x)或limf(x)不存在。XTXoXTXo十十特别的，当lim f(x)=或lim f(x)=或lim f(x)=，则点xo称为无穷间断点XTX)IX十(3) 初等函数的间断点往往是无定义的点(4)分

18、段函数的间断点往往是分段点，这些分段点是否为间断点要从连续性的 三个条件判断。(常考题型)(5) 间断点的分类关键在于正确计算函数的左右极限二、连续函数的运算法则和初等函数的连续性。1 1、连续函数的四则运算法则2 2、复合函数的连续性设点Xo为u=g(x)的间断点，limg(x)二Uo存在，且f (u)在点uo处连续，则!inlof g(x)丄f_Hg(X)263 3、反函数的连续性4 4、初等函数的连续性(1)一切初等函数在其定义区间内都是连续的。即如果初等函数f(x)在点X。有 定义，一定有lim f(x)二f (xo)(2) 求初等函数的连续区间就等同于求其定义区间。三、闭区间上连续函

19、数的性质。1 1、 最大值最小值定理：如果函数f(x)在I a ,b 1上连续，则f (x)在I a ,b上一定有 最大值和最小值。2 2、 介值定理：如果函数f(x)在I a ,b 1上连续，且其最大值和最小值分别为M和m，则对于在m和M之间的任意常数C(m C乞M), ,则至少存在一点：=(a ,b)， 使得f( ) =C。3 3、 零点定理：如果函数f (x)在a,b上连续，且f(a)f(b)：0，则至少存在一点-(a ,b)，使得f( J =0。4 4、 利用零点定理证明方程根的存在性的步骤：(1) 构造一个函数f(x)，说明f(x)在la,b 1上连续；(2) 计算f(a)和f(b)

20、，说明f(a)f(b)：0；(3) 由以上条件根据零点定理可得结论。例题精讲1 1、 函数f(x) =5x2，自变量x有增量x时，函数f(x)相应的增量y= =()A.A.10 x xB.B.10 5：xC.C.10 x：x 5(：x)2D.D.10 x ( x)22 2、 函数f (x)在点x处有定义是f (x)在点x =x。处连续的()27A.A.必要条件 B.B.充分条件C.C.充要条件D.D.无关条件128,x 1且 x = 2,x=1的连续区间是,x = 2x 44 4、设f (x)，则x =0是f(x)的()xA.A.连续点B.B.可去间断点 C.C.跳跃间断点 D.D.无穷间断点

21、25 5、设函数f(x) =x+2x，则是()(历年真题)x(x+ 1)6、函数汁&冷的连续区间是 xa8 8 设函数f(x)=e，x是(亠，沒)上的连续函数，则a=_a+x, x X029 9、函数f(x) =： 2 一x在点x =-1处为第_ 类间断点。|x|(x3-1)3 -x ,In (x_1)函数f (x) = 0A.A. 1，)B.B.(1，: :：) ) C.C.(1,2) (2,: :：) ) D.D.1,2) (2,:：)A.A.可去间断点B.B.跳跃间断点 C.C. 无穷间断点 D.D.连续点.17 7、如果函数f(x)=xsin;，a +2 ,X在点x=0处连续，则a =

22、x = 0(1(1)f (x)(3)(3)f (x)=x2-3x 2(4)(4)f (x)=limdn I x(x-0)Jx2_1 ,X -11111、确定a,b的值，使得函数f(x)= b,x = -1a +arccosx,T v x兰1在x= -1处连续。x-1x 11291010、研究下列函数的连续性，如果有间断点，指出其间断点的类型r 2x,30(1)(1) a a 取什么值时，x是f(x)的连续点;(2)(2) a a 取什么值时，x =0是f (x)的间断点;(3)(3) 当a =2时，求函数f(x)的连续区间。1515、证明：方程x5=2x21至少有一个根介于 1 1 和 2 2

23、 之间1616、证明：方程x2x=1至少有一个小于 1 1 的正根。1717、 设函数f(x)在1-1,2 1上连续，并且1：;f(x)：2，证明至少存在一点(1,2)，使得f( H。1818、设函数f(x)和g(x)在a,b】上连续,且f(a) g(a)，f(b)：g(b)，试证：在(a ,b)内至少存在一点，使得f( Hg()。1919、设函数f(x)在(a ,b)内连续，且a f：Xn：b，则在,上必有一a(tan x sin x)X31212、确定a ,b的值，使得函数f(x)=1,In 1 +(a +b)xxX：: 0 x=0在x = 0处连续。x 0cosx1313、设分段函数x

24、_ 0 x：0 (a1414、lim arctan(S)= =x 031点，使得f()x1)2)心)n32第九章 无穷级数第一节常数项级数的概念和性质一、 常数项级数的概念Q01、Un =5U2U3Unn -100U1U2U3U4八UnUn称为级数的通项，n丄Sn二U1 U2 U3Un称为级数的前 n n 项（部分）和3 3、由级数定义得出判定：Un敛散性的步骤：（该方法仅适用于Sn易求的级数）n =1(1(1)先求Sn= UiU2uun；( 2 2)再求limSnn_二、常用级数公式1、C（C = 0为常数）发散n 4三、级数的基本性质1、如果Un和Vn分别收敛于 s s 和 W,W,则级数

25、 7（Un Vn）也收敛，收敛于S Wn t n *n -1如果 aUn收敛，vVn发散，则级数v（Un V.）定发散n zin dn T2 2、如果1化Sn=S（常数），则称级数vun收敛于 S S;n 4如果化Sn不存在，则称级数二Un发散。n -12 2、记几何级数aqn（a= 0）a1 -q33如果 aUn和vVn均发散，则级数 a （比Vn）敛散性不确定n dn =1n T342、Un和&kUn(k= 0)敛散性相同。n二n J3 3、去掉、添加或者改变级数的有限项后得到的新级数与原来的级数敛散性相同4 4、如果埶收敛，则愛.=0逆否命题:如果limUn包0，则窗Un发散。n二第二节

26、常数项级数的概念和性质一、正项级数的审敛法(正项级数&Un满足叫一0)n -1(一)比较审敛法设正项级数 aUn和 aVn满足：Un乞Vn5 =1,2/ )n An =12 2、大的收敛则小的收敛,3 3、使用比较审敛法判断级数Un敛散性的方法n T(1 1)预判：观察J Un，根据记忆的级数公式预判其敛散性;n =1(2)如果预判Un收敛，则Un乞？，且?收敛，根据大的收敛则小的收敛n tn -1如果预判Un发散，则Un- ?，且匸?发散，根据小的发散则大的发散n =1n d1P-P-级数明+ -nmnpn匸1、(1)如果Vn收敛，则Un也收敛;n Tn =1(2)如果二Un发散，则；Vn也

27、发散n Tn T收敛发散4 4、记忆常用级数公式:P乞135_OQOQI I设正项级数Un和 7Vn，令lim出=In un丄nTVn则当0:：I:时，7 Un和V Vn同时收敛或者同时发散n =1n =4例题精讲1 1、判定下列级数的敛散性（1 1）当I：1时，a Un收敛；（2）当I 1或I -* :时，a Un发散；n _1n -1（3 3）当I = 1时，级数敛散性无法确定。2 2、当级数的通项Un中一般含有an, nn,n!之类的表达式时，一般用比值判别法 判定敛散性；当级数的通项Un形如 P-P-级数时，用比值判别法往往会得出1=1，无法判定。例题精讲2 2、判定下列级数的敛散性n

28、(1 1) 务n【n（2）:几(3 3)斗n mn:_2(4 4) ncosxn =135 5、比较审敛法的极限形式:(1(1)1n25(2)(2)oOzn g12n1(3)(3)QOnJn32(4)(4)2n3n31(5)(5)2nnl(F(6(6)CO、sinn -4(8)(8)(9(9)（二） 比值审敛法1 1、设正项级数二Un,n -1HnHn令n3n + 1(7)(7)0zng36、交错级数的审敛法1 1、 交错级数形如：-(-1)nUn或者(-1)nJUnnJn2 2、 莱布尼兹判别法(1(1)当 l l ：1时，二Un绝对收敛;n T如果交错级数 J J(-1)nJUn n 满足

29、:n二(1(1) U Un- Un1(n二1,2,)(2(2)limu un= 0n则级数J(-1)nUn收敛，且其和S 7n二例题精讲oO13 3、判定v(-1)nn敛散性心n3三、 任意项级数的审敛法1 1、任意项级数JUn中的Un为任意实数n d2 2、判定定理 1 1 ：如果级数 Z Z |U|Un收敛，则级数送Un也收敛n =1n =13 3、对于任意项级数v Un，有n T(1(1)如果级数JU Un收敛,n T则级数E Un也收敛，此时称Un绝对收敛nqn T(2(2)如果级数无 U Un发散,n m而级数E4 4、判定定理 2 2：设任意项级数 7Un，n d，则(2)当l 1

30、或l八:：时，a Un发散n二137从以上定理可知：对于任意项级数Z Un，如果用比值判别法判定送|Un发散，则nJn=17 Un一定发散。n =15 5、任意项级数二Un的判定步骤。n z!例题精讲4 4、判定下列级数的敛散性，如果收敛是绝对收敛还是条件收敛？（1 1） （-1）n一（2 2）、（-1）心（2 2）（_i）n-1_nn+1nA2n丄2n 15 5、P251P251 历年真题第三节幂级数的收敛半径和收敛域一、函数项级数的概念QQ1 1、 Un（X）二U） U（X）Un（X）（X I）（ 1 1）n 4任取X。I带入（1 1），得到一个常数项级数： Un（X。）二U/X。）U2（

31、X。）Un（X。）（ 2 2）n 41如果 aUn（X0）收敛，则X0成为-Un（X）的收敛点，所有收敛点的集合成为n dn d(4)(-1)n-1n U12n1oO(5)(5)、n Asinn382如果vUn（Xo）发散，则Xo成为XUn（X）的发散点，所有发散点的集合成为n dn dQQUn（X）的收敛域；n d39a Un（X）的发散域；n二3显然，收敛域 U U 发散域= =12 2、举例：几何级数总axn（a工0）是定义在（皿，+渋）上的函数项级数，当x 1n丄收敛，当X1时发散。那么送axn（ah 0）的收敛域就是（-1,1），在n二幕级数（一）幕级数的概念1 1、van（x -

32、Xo）n或者VO1（X - Xo）n称为关于X - Xo的幕级数，事实上，n =0n（二）幕级数二anXn的收敛域和收敛半径n =t收敛的X的取值区间就是送anXn的收敛区间，也就是送anXn的收敛区间n Tn d(1)当X二0时，7 a“xn= 0，所以X= 0是 7anXn的收敛点;n =1nmQQQQ如果l = 0,无论X取何值都有l x| = 0 1，则瓦anXn收敛，此时送anXn的收敛n =1n =12如果I =匕，无论X取何值都有lx =则送a“xn收敛，此时送a“xn的收敛(-1,1)内,QQ axn(a= 0)n -1Sfx），S（x）称为和函数。1 - x（2 2）当 x

33、x由比值审敛法nm：諾oOCO、an(x - Xo)n二a。.二an(x -x)nn =0n z42 2、vanXn或者vanXn称为关于X的幕级数，事实上，7 aX =a r anXnn -on =1nJn A1、分析：对于幕级数送anXn，用比值审敛法讨论E anXn的敛散性，使得送anXnn dn Tn T7 anl x40n丄nJ域仅为X = 0。11 13如果0C I 亦，瓦a“xn收敛必须有IX1，即X厂，得厂X，此时n 41111 1 1 :-anXn的收敛开区间为（-1，1）。而X =一1时-anXn的敛散性须单独讨论，从n A111n J而确定收敛域的开闭。由以上分析可知，幕

34、级数-=anXn的收敛域是一个以原点为中心，从-R到R的区n二1O0间。定义R= 1，称R为幕级数 aanxn的收敛半径。1n J2 2、求幕级数anXn的收敛半径和收敛域的方法：n =1（1 1） 计算町护卜1（2 2） 当I = 0时，R=订沁，收敛域为（：，：）当I =二时，R= 0，收敛域为x = 0。411当0门:：时，此时-anXn的收敛开区间为（J，J。而In dI IqoOx二-时 7anxn的敛散性须单独讨论，从而确定收敛域的开闭In d例题精讲1 1、求幕级数 annxn的收敛半径和收敛域n =1n2、求幂级数 1 -的收敛半径和收敛域n =1X(1(1)41第二章导数与微

35、分第一节导数的概念-、导数的概念1 1、函数y = f(x)在点X。的导数：f。)= =蚂三=鹦f(Xo+)_f(x。)(1)仪表示函数y相对于自变量 x x 在X。，x+Ax上的平均变化率，Z_ I导数f (x)=蚂g表示函数y在点X。处的瞬时变化率。(2)f(x。)还可记作：厂?仝,铁厶,警2。f(X。-2h)-f(X0)f(X)-f(Xo)f(X。)二lm-f(x)= =lim-hT- 2hXTX-x _ X。(4(4)函数y二f(x)在点 X X-的左、右导数：f(X-,x) -f(X-)左导数：f_(X-)= =|m-心 T。一Ax右导数：f(x-)=llmf(X。f(X。)imf(

36、X)f(X。) 。，=Xx.xjX -X。1函数y = f (x)在点x。可导二左导数f_(x。)和右导数f.(x。)都存在且相等。2左、右导数主要用于计算分段函数分界点的导数。2 2、设函数y二f(x)在(a ,b)内可导，贝卩函数y二f(x)在(a ,b)内的导(函)数:y = f(x)在(a,b )内的导数可记作：y,f (x),虫dx3 3、P256P256 历年真题(3(3)导数疋义的不同形式:OX Xf fh) _f(X。)hf (x X)f (x)df(x)dxf(刈=.讥fXo）= f（X）X -Xo42(2)y =f(x)在点X0的导数f(x。)就是它的导函数f (X)在点x

37、。处的函数值:(3)利用式可以求一些简单函数的导数。二、导数的几何意义1 1、 导数的几何意义：y二f(x)在点Xo的导数f(X。)在几何上表示曲线f (x)在点(Xo, f (Xo)处切线的斜率k:k =f (Xo)；2 2、 曲线f(X)在点(Xo，f (Xo)处的切线方程：y一f (Xo) = f (Xo)(X Xo)曲线f(x)在点(Xo，f (Xo)处的法线方程：y f (Xo)=；(x Xo)(f (X)式0)f (Xo)3 3、特别的,如果y = f(x)在点Xo的导数f(Xo)V那么曲线f (x)在点(Xo，f (Xo)处的切线方程为X=Xo，曲线f (x)在点(Xo，f (X

38、o)处的法线方程为y =f (Xo)。如果y = f(x)在点Xo的导数f(Xo)=O,那么曲线f (X)在点(Xo，f(Xo)处的切线方程为y = f(Xo)，曲线f (x)在点(Xo，f (Xo)处的法线方程为X=Xo。三、函数的可导性和连续性之间的关系。1 1、 如果y = f(x)在点X处可导,那么y = f(x)在点X处连续。反之，如果y二f(x)在点X处连续，y二f(x)在点X处却不一定可导。2 2、f (X)在点Xo处可导冒f(x)在点Xo处连续島Ximmf(x)存在例题精讲一、选择题.11 1、 函数f(x)二2xSinX，x=o在点x=o处().o,x = OA A .无定义

39、 B.B. 不连续 C.C. 可导 D.D.连续但不可导2 2、 函数f(x) = x-2在点x=2处的导数为().A A . 1 1 B.B. O O C.C. -1-1 D.D.不存在433 3、如果 八f(x)在点X。处可导，且曲线f(x)在点(X。，f(x。)处的切线方程平行于X轴，则f(x)().A.A.等于 0 0B.B.小于 0 0 C.C.大于 0 0 D.D.不存在4 4、函数f (x) = *x+2，Qx-1,0兰x4在点X,处().XZ1A.A.无定义B.B.不连续 C.C.可导 D.D.连续但不可导5 5、f(x)在点x处可导是f(x)在点x处连续的()A A 必要条件

40、B B充分条件C C充要条件D D 无关条件6 6、P52P52 历年真题二、填空题7 7、设函数y = f (x)在点x0处可导，则lim fdo-m-fE Th8 8 设函数f (x) = *X，x0，则f(0)=，f Y0) =Jn(1+x)，x启09 9、设函数f (x) = *: 21 -X，X 0 )，贝H f (x) =_xC Cg (x)dx二f (x) CD Df (x)dx二g(x) CA Af(x)=g(x)B Bd f (x) = d g (x)C Cf(x)二g(x)A Ag(x)dx = f(x) CB Bf (x)dx = g(x) - C678 8、 设xf (

41、x)d+C，贝 Sf(x)=_(历年真题)1 +x68第三、四节不定积分的计算一、不定积分的计算方法1 1、基本积分法被积函数化成几个简单函数的和，再逐项积分基本积分公式(1)kdx = kx Cax(4(4)jaxdx =+ C( ( JeJexdx = ex+ C) ) Ina(6 6)sinxdx二-cosx C(8 8)cscxdx - cotx C(9)(9)secxtanxdx =secx C(11(11)1 _x4 5dx =arcs inx + C41x(17(17)-2dxarctanC(a 0)a + xaa(13(13)Jta nxdx=Tn cosx+ C(15(15)

42、 secxdx=ln sec x +tanx+C(16(16)cscxdx=ln csc x -cotx+ C利用基本积分公式（2121 个）及不定积分性质（1 1）和（2 2），通过恒等变换将1(3)(3) f f dx= Inx + C * x(5)(5)cosxdx= sinx C(7)secxdx= tanx Cx dx-1)A Ag(x)dx = f(x) CB Bf (x)dx = g(x) - C69(10(10)cscxcotxdx - cotx C1(12(12)2dx二arctanx C1 + x(14(14) cotxdx= In sinx+C170,_dx = arcs

43、 inX+Ca2 x2a2 2、第一类换元积分法（凑微分法）（1 1）代数换元1对Wax+b，设叮ax+b =t2对坂且nVx，设Qx=t（n为厲和压的最小公倍数）（2 2）三角换元1对Pa? -x，设x = asint2对斗a2+x2，设x=atant，2 23对站xa，设x = asect4 4、分部积分法（用于解决被积函数是两类不同函数乘积的不定积分）（1 1）分部积分公式：udv二uv- vdu（运用公式后，.vdu用方法 1 1 和 2 2 求出），（2 2）运用公式正确选择 u u 和dv的一般规律：1若被积函数是幕函数与三角函数（或指数函数）的乘积时，可选u为幕函数;2若被积函数

44、是幕函数与反三角函数（或对数函数）的乘积时，可选u为反三角函数（或对数函数）；3形如eaxsin bxdx和eaxcosbxdx的不定积分，u可以任意选取(18(18)(a0)(19(19)2dxx - a1ln2a(20(20)Txa2dx=In x + Jx2+ a2+ C(21(21)22dxx - a=In x + lx2_ a2+ C3 3、第二类换元积分法（消去根式，回到方法1 1 和 2 2）,常见形式有:1715 5、几类简单有理函数的积分。171872例题精讲、填空题1 1、若F (x)二f(x)，贝卩sin xf (cosx)dx二2 2、设函数f(x)=e，则3 3、dx

45、 =_x若uv =xsinx,uVdx=cosx+C，贝U uvHdx =4 4、设函数f(x)二sin ax，贝卩xf (x)dx求下列不定积分(历年真题)1 1、-1dx211x1&2x - x2xIndxx2(1 sin -)dx4、+ xInx dx、x x - 1dx7、exdx三、求下列不定积分1、x(x 1)2dx(G-1)(以+1)、3xdx4 c 2x2x 5x3 , dxx24、2x .e1, dxe -1、(ex 2-丄 3x4)dxxx x xdx7、_2ghdh10、13、cos2dx2r cos2x1116、J 2.2dxcos xsin xcos2x ,dxcosx sin x14、 sin2 dx2secx -ta n x ,dxcosx1 - dx1 -sin x12151、22dxcos xsin x、 sin - (cos sin )dx2 2 21、-dx1 cosx171873