张清华 图论课后题问题详解

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1、word第1章 图论预备知识1.1 解：(1) p=,a,b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,c(2) p=,a,b,c,a,b,c(3) p=,(4) p=,(5)p=,a,b,a,a,b,a,b,a,b,a,b,a,a,b,a,b,a,b,a,b,a,b,a,a,b,a,b,a,b1.2 解：(1) 真 (2) 假 (3)假 (4)假解：(1) 不成立，A=1 B=1,2 C=2 (2) 不成立，A=1 B=1,2 C=1,3证明：设(x,y)(AB)X(CD) 说明xAB,yCD由于 xA,yC 所以(x,y)A X C由于xB,yD 所以(x,y)B X D所以(x,y)A X C

2、B X D反过来，如果x,y(A X C) B X D由于(x,y)A X C所以 xA,yC由于(x,y)B X D所以xB,yD所以x(AB) y(CD)所以 (x,y)(AB)X(CD)所以(AB)X(CD)= (A X C) B X D解：Hasse图12249431025极大元9,24,10,7极小元3,2,5,7最大元24最小元2解 (1)R=|x整除y468(2)关系图为：9102571(3)不存在最大元，最小元为2解：(1)R=,(2) 略(3) IAR 故R是自反的。R R 但是R 故不满足传递性解：(1) 不成立 A=1 B=2 C=3 D=4 如此左式=，, 右式=,(2

3、) 不成立 A=1,3 B=1 C=2,4 D=2 如此左式=右式=,(3) 不成立 A=1 B=2 C=3 D=4 如此左式=, 右式=,(4) 成立证明：设(A-B)X C x(A-B) yCxAxB yCA X CB X C(A X C)-(B XC)故得A-BX C=A X C-B X C略略解：A为n个元素的优先级和，A上有2n2 个不同的二元关系，理由为：设A，B为集合，AXB的任何子集所定义的二元关系称作从A到B的二元关系，特别当A=B时，称作A上的二元关系，假如|A|=n，如此|AXA|=n2，那么A上共有2n2个不同的二元关系。略解：1)真.由于R1和R2和R2都是自反的,因

4、而对任何,都有(x,x)R1,(x,x)R2.因此,对任何xA,都有(x,x)R1R2.所以R1R2是自反的。2)假.令A=a,b,R1=(a,b),R2=b,a.那么R1R2=(a,a),它就不是A上的反自反关系.3)假.令A=a,b,c,R1=(a,b),(b,a),R2=(b,c),(c,b).那末R1R2=(a,c),就不是A的对称关系.4)假.令A=a,b,c,d,R1=(a,c),(b,c),R2=(c,b),(d,a)易证R1,R2都是反对称关系.但是R1R2=(a,b),(b,a)就不是A上的反对称关系.5)假.令A=a,b,c,R1=(a,c),(b,a),(b,c),R2=

5、(c,b),(a,c),(a,b),易证R1和R2都是传递关系,但R1R2=(a,b),(b,b),(b,c)就不是A上的传递关系.证明：由任意的a，存在一个b，使得R,由对称性所以R,由传递性R,所以R是等价关系。证明：xA，R,SRS，所以RS有自反性；x,yA,因为R,S是反对称的，RSRS(RS) (RS)(RR) (SS)x=yy=xx=y所以，RS有反对称性。x,y,zA,因为R,S是传递的，RSRSRSRSRRSSRSRS所以，RS有传递性。所以RS也是A上的偏序关系。解：r(R)=,s(R)=,t(R)=, (1)证明：对任意a,b,a+b=a+b,故得(a,b)R(a,b),

6、关系R具有自反性;如果(a,b)R(c,d),如此a+d=b+c,c+b=d+a,故得(c,d)R(a,b),关系R具有对称性;如果(a,b)R(c,d),(c,d)R(e,f),如此a+d=b+c,c+f=d+e,故得a+f=b+e,(a,b)R(e,f),关系R具有传递性;于是关系R是等价关系.略略解： (1) 单射(2) 满射(3) 既不是单射，也不是满射(4) 满射(5) 双射解：(1) O(n3)(2) O(n5)(3) O(n3n!)第2章图解：(1)a:出度为3、入度为1b:出度为2、入度为2c:出度为2、入度为3d:出度为2、入度为3e:出度为2、入度为2(2)a:出度为3、入

7、度为1b:出度为1、入度为2c:出度为3、入度为3d:出度为3、入度为2e:出度为0、入度为3解：构成无向图的度序列：(1)、(2)、(3)、(4)、(6)构成无向简单图的度序列：(2)、(3)、(4)解：补图为：解：设图G中结点数为n,如此有3x4+3x(n-3)=2x12.求得n=7,即图G有7个结点.2.5 证明将习图2.2的两图顶点标号为如下的(a)与(b)图作映射f : f(vi)ui (1 i 10)容易证明，对vivjE(a),有f(vivj)=uiujE(b) (1 i 10, 1j 10 )由图的同构定义知，两个图是同构的。解：同构对应关系：a8、b7、c4、d9、e5、f6

8、、g1、h2、i10、j3.即所有结点的入度和等于所有节点的出度和，即所有结点的入度的平方和等于所有节点的出度的平方和。解：(1)(2)证明：用反证法。设无向图G只有两个奇点u,v，假如u,v不连通，即它们之间没任何通路，如此G至少有两个连通分支G1,G2，且u,v分别属于G1和G2，于是G1和G2中各有一个奇度结点，与握手定理矛盾，因此u,v必连通。解：点割集为：v1，v3、v4、v6割点为：v4、v6解：强连通图：(a单相连通图：bcd弱连通图：abcd证明:设v0v1vk为G中一条最长路，如此v0的邻接顶点一定在该路上，否如此，与假设矛盾。现取与v0相邻的脚标最大者，记为l，如此ld,于

9、是得圈v0v1v2vlv0,该圈长为l+1，显然不小于+1。证明：证其逆否命题：e不是割边当且仅当e含在G的某个圈中。必要性：设e=xy不是割边。假定e位于G的某个连通分支G1中，如此G1-e仍连通。故在G1_e中有(x,y)路P，P+e便构成G1中一个含有e的圈。充分性：设e含在G的某个圈C中，而C含于某连通分支G1中，如此G1-e仍连通。故W(G-e)=W(G)，这说明e不是割边,证毕。证明：用数学归纳法证明：1n=1时，G为平凡图，显然G连通。2n=2时，此时G为K2，当然连通。3假设当n=kk2时，结论成立。当n=k+1时，假如此时每个结点度数为k，如此结论显然成立，否如此必存在一个结

10、点v度数至多只有k-1度，即这个结点最多只有k-1条边和它相连。因为此时总的边数,如此其它k个结点之间的边数。根据归纳假设，显然这k个结点之间是连通的，而根据上面我们知道，至少有一条边使v和其它结点相连，所以此时这个图是连通的,结论成立。证明：1因为G连通，且G无割边，所以任意两个结点u,v，都存在简单道路p=uwv.又因为G无割边，所以，删除边wv后，子图依然连通，即w,v存在简单道路,以此类推，可以找到一条和p每条边都不一样的p=vu,这样p和p就构成了一条回路。2因为G中任意两个结点都位于同一回路中，所以任意结点u,和任意边e的两个端点v1,v2都分别在两个回路C1，C2中，如果C1=C

11、2=uv1v2u,那么将回路中v1v2,用v1v2=e替换，就得到新的新的回路，并满足要求。如果C1C2，C1=uv1u,C2=uv2u,那么构成新的道路P=uv1uv2u,在其中将重复边剔出掉，得到新的回路C3，其中包含v1,v2结点，可以将回路中v1v2用v1v2=e替换，就得到新的新的回路，并满足要求。3对任意两条边e1,e2其端点分别为u1,u2,v1,v2。根据2存在回路C1=u1v1v2u1,C2=u2v1v2u2。那么可以形成新的闭道路P=u1v1v2u2v1v2u1,在其中将重复边剔出到，得到新的回路C3，其中包含e2和u1,u2结点，可以将回路中u1u2用u1u2=e1替换，

12、就得到新的新的回路，包含e1,e2,满足要求。(4)因为任意两条边都在同一回路中，所以不存在割边。假设边e是割边，那么删除此边，图不连通，分支中的任何一对不在同一分支中的边，不能构成回路，与条件矛盾。所以，G中无割边。解：(1)deg(v1)=2、deg(v2)=3(2)否 (3) 4(4)略V1到V4长度为1、2、3、4的路各有1、1、2、3条。解：无向图G:解：(1) G中长度为3的通路有23条，其中有7条为回路。(2) 图G为强连通图解：(1)当r=1时，没有长度大于等于1的圈。当2rs时，有长度为4,6,2r的圈，它们都是偶圈，因而非同构的圈共有r-1种。(2)至多有r个顶点彼此不相邻

13、。(3)至多有r条边彼此不相邻。(4)k= r 证明：反证法。假如存在某个具有奇数个面，且每个面均有奇数条棱的多面体V，不妨设V有r(r为奇数)个面，设为R1,R2,Rr，S1,S2,Sr分别为它们的棱数，均为奇数。作无向图G如下：在V的每个面中放一个顶点vi，i=1,2,r, 且两个面Ri与Rj有公共面就连边。假如存在这样的无向图G，如此d(vi)均为奇数Si，由握手定理得但因r,Si(i=1,2,n)均为奇数，上面等式不可能成立。故不存在这样的无向图G，从而也不存在满足要求的多面体。解：设G是n阶m条边的自补图,即G为n阶m条边的简单图,且GG 。于是，G 的边数m=m，且m+m=2m=n

14、(n-1)/2。于是n(n-1)=4m，因而n=4k，或n-1=4k，k为正整数。证明：为偶数(n为奇数)。于是，假如为奇数，必有dG(v)也为奇数。故与G中奇度顶点个数相等。解:都可以实现，如如下图解：(1)错误、(2)正确、(3)正确略解：无向完全图Kn当n3且n为奇数时才是欧拉图。当n3且n为偶数时存在欧拉路而不存在欧拉回路。2.29 略2.30 略2.31 略第3章树与最短路径该树的结点个数n=5，故边数m=n-1=4,因为，所以5个结点分配的度数为8，由于树是简单连通图，知，如此该树的度数序列必是如下情况之一，(1)1，1，2，2，2(2)1，1，1，2，3(3)1，1，1，1，4这

15、些度数序列对应的简单树为该树的结点个数为，如此边数，又因为，所以可知一棵树的结点个数之和为。设有n个一度结点，如此结点个数为=3+5+8+n，边数为=3+5+8+n-1,如此.可得n=23.设有n个一度结点，如此：反证法。假设没有结点度数大于等于3的结点，如此只有度为1的结点3个和度为2的结点n个。边数：3+n-1，度数：3+2n.所以23+n-1=3+2n。等式左边为偶数，右边为奇数，相互矛盾，假设不成立。所以至少有一个结点度数大于等于3.设度为的结点个数为如此如此由于，故全为0.当时，只有两个度为1的结点，所以T是一条直线。当时，有两个度为1的结点，其他结点度数都为2，T仍为一条直线。综上

16、T是一条直线。=假如为度数序列,如此该树的结点个数为n，边数为n-1,所以：为G的面，为的结点，G的对偶图为，可得又因为为欧拉图所以为偶数，为偶数，所以G的每一个面都有偶数条边围城。=：G的面，为的结点，G的对偶图为，可得，又因为G的每一面均有偶数条边围城，所以为偶数，所以为偶数。故中所有结点的度是偶数，无奇度结点，所以为欧拉图。证明：G有n个结点m条边，如此。假设每一个面的度数大于等于5，如此，整理得，这与题目给出的相矛盾，故假设不成立，即至少有一个面的度数小于5.证明：假设G和都是平面图，如此对图G可得1对图可得2；整理1式和2式得：，又因为，故，这与相矛盾，故假设不成立，即G和至少有一个

17、是非平面图。证明1由于G无割点所以G肯定无割边，且每两个面之间最多有一条公共边，所以是简单图，因此中至少有两个度一样的顶点，即G中至少有两个面一样的的度数。2设G中有k个度为5的面，又因为为简单平面图，所以G中至少有12个这样的面。没做出来证明：n=15，m=32+36+8/2=38，3n-6=45-6=39没做出来感觉题有问题1收缩边，所得图中存在与同胚的子图，故为非平面图。2收缩边，得到，故该图为非平面图。面的个数片B选取的片B选取的面参加的回路23456所以该图是非可平面图。面的个数片B选取的片B选取的面参加的回路257所以该图是非可平面图。对偶图结点太多，需加的边也多，此题计算太麻烦，感觉不好。文案大全