福建师范大学22春《常微分方程》在线作业二及答案参考63

《福建师范大学22春《常微分方程》在线作业二及答案参考63》由会员分享，可在线阅读，更多相关《福建师范大学22春《常微分方程》在线作业二及答案参考63（16页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、福建师范大学22春常微分方程在线作业二及答案参考1. 函数x=xy(1-x-y)的极值点是_ (A)(0，0) (B)(0，1) (C)(1，0) (D)(，)函数x=xy(1-x-y)的极值点是_(A)(0，0)(B)(0，1)(C)(1，0)(D)(，)D因为=y(1-2x-y)，=x(1-x-2y) 令，即 解得：， 又因为 ， 当(x，y)=(0，0)时，A=0，B=1，C=0，B2-AC=10，所以，点(0，0)不是极值点 当(x，y)=(0，1)时，A=-2，B=-1，C=0，B2-AC=10，所以，点(0，1)不是极值点 当(x，y)=(1，0)时，A=0，B=-1，C=-2，B

2、2-AC=10，所以点(1，0)不是极值点， 当(x，y)=(，)时，A=-，B=-，C=-，B2-AC=-0且A0，所以，点(，)是函数的极大值点 故应选(D). 2. 证明：若齐次线性微分方程组的每个解当t+时有界，则零解是稳定的。证明：若齐次线性微分方程组的每个解当t+时有界，则零解是稳定的。设是方程组的基解矩阵， 即 ， 于是方程组的所有解可表示成形式(C为任一常数矩阵)。由方程组的每个解有界知，不等式成立(M是一常数)。因此， 对，取，从不等式x(t0)=C有 x(t)MCM=， 故零解是稳定的 3. 试证明： 设fL(R1)，a0，则级数在R1几乎处处绝对收敛，且其和函数S(x)以

3、a为周期，且SL(0，A)试证明：设fL(R1)，a0，则级数在R1几乎处处绝对收敛，且其和函数S(x)以a为周期，且SL(0，A)证明 因为我们有 ，所以在0，a上几乎处处绝对收敛，由于以x+a代替x，上述级数不变，故它在R1上也就几乎处处绝对收敛又有 4. 以下数列中是无穷大量的为( )A.数列Xn=nB.数列Yn=cos(n)C.数列Zn=sin(n)D.数列Wn=tan(n)参考答案：A5. 求经过三点A(1,1,2)，B(3,-2,0)，C(0,5,-5)的平面方程求经过三点A(1,1,2)，B(3,-2,0)，C(0,5,-5)的平面方程设平面方程为ax+by+cz+d=0 由于点

4、A,B,C在平面上，故点的坐标满足平面方程组，即 设(x,y,z)是平面上任意一点，得以a,b,c,d为未知量的齐次方程组 因为a,b,c,d不全为零，说明方程组有非零解，即D=0，故系数行列式 由此可知平面方程为29x+16y+5z-55=0 6. 下列说法不正确的是( )。A.无穷小的和仍为无穷小B.无穷大的和仍为无穷大C.有界函数与无穷大的乘积仍为无穷大D.收敛数列必有界参考答案：ABC7. y=1/(x-2)有渐近线( )。A.x=2B.y=2C.x=-2D.x=0参考答案：A8. 仿射变换把菱形变成_。仿射变换把菱形变成_。参考答案：平行四边形9. 证明下列方程(组)存在唯一的稳定极

5、限环：证明下列方程(组)存在唯一的稳定极限环：将方程组转化为二阶方程： 此为李纳方程f(x)=3x2-1，g(x)=x+x5f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且f(0)=-10，xg(x)=x2+x60，同时有唯一正零点x=1，当x1时F(x)单调增加，且当x时F(x)方程存在唯一稳定极限环$f(x)=(x2n-)，g(x)=x2m-1， 10. 设，求可逆矩阵P，使P-1AP为上三角矩阵设，求可逆矩阵P，使P-1AP为上三角矩阵，11. 试证明： 设m(E)，f(x)，f1(x)，f2(x)，fk(x)，是E上几乎处处有限的可测函数，则fk(x)在E上依测度收敛于f(试证明：设m(E)，f

6、(x)，f1(x)，f2(x)，fk(x)，是E上几乎处处有限的可测函数，则fk(x)在E上依测度收敛于f(x)的充分且必要条件是：证明 必要性 依题设知，对任给0，/2，存在N，使得 m(xE:|fk(x)-f(x)|)/2 (kN). 从而得+m(xE：|fk(x)-f(x)|)(kN)对取下确界更成立，再令k也然，由此即得所证 充分性 记Ek()=xE：|fk(x)-f(x)|，由假设知，对任给0，存在N，当kN时有从而对每个k：kN，可取k0，使得k+m(Ek(k)，自然有k(kN).现在令，则(kN)因此，对任给0，0，存在N，使得 m(xE：|fk(x)-f(x)|) (kN) 这

7、说明fk(x)在E上依测度收敛于f(x) 12. 仿射变换把圆变成_。仿射变换把圆变成_。参考答案：椭圆13. 把长为的线段截为两段，问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积最大?把长为的线段截为两段，问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积最大?正确答案：设一段长为x则另一段长为-x矩形面积为f(x)=x(-x)则f(x)=-2x=0故x=/2f(x)=-20故x=/2是f(x)的极大值点。 rn 故当两段等长度截开时以这两线段为边所组成的矩形面积最大。设一段长为x,则另一段长为-x,矩形面积为f(x)=x(-x),则f(x)=-2x=0,故x=/2,f(x)=-20,故x=/2

8、是f(x)的极大值点。故当两段等长度截开时,以这两线段为边所组成的矩形面积最大。14. 导数又可视为因变量的微分和自变量微分的商。( )A.正确B.错误参考答案：A15. 设(，)的联合密度函数为 试求：设(，)的联合密度函数为试求：$因为Cov(，)0，所以与不独立 相关系数为 16. y=x3cos2x求一阶、二阶导数y=x3cos2x求一阶、二阶导数y=3x2cos2x-2x2sin2x， y=6xcos2x-6x2sin2x-6x2sin2x-4x3cos2x =(6x-4x3)cos2x-12x2sin2x 17. 为了比较甲、乙两组生产的灯泡的使用寿命，现从甲组生产的灯泡中任取5只

9、，测得平均寿命为，标准差s1=28h，从乙组为了比较甲、乙两组生产的灯泡的使用寿命，现从甲组生产的灯泡中任取5只，测得平均寿命为，标准差s1=28h，从乙组生产的灯泡中任取7只，测得平均寿命为，标准差s2=32h，设这两总体都近似服从正态分布，且方差相等，求总体均值差1-2的置信度为0.95的置信区间(-19.74，59.74)18. 设uab2c，va3bC，试用n、b、c来表示2u3v设uab2c，va3bC，试用n、b、c来表示2u3v正确答案：2u3v2(ab2c)3(a3bc)5a11b7c2u3v2(ab2c)3(a3bc)5a11b7c19. 动物园里的成年热血动物靠饲养的食物维

10、持体温基本不变，在一些合理、简化的假设下建立动物的饲养食物量与动物动物园里的成年热血动物靠饲养的食物维持体温基本不变，在一些合理、简化的假设下建立动物的饲养食物量与动物的某个尺寸之间的关系假设处于静止状态的动物的饲养食物量主要用于维持体温不变，且动物体内热量主要通过它的表面积散失，对于一种动物其表面积S与某特征尺寸l之间的关系是Sl2，所以饲养食物量l220. 在椭圆上每一点有作用力F，其大小等于该点到椭圆中心的距离，而方向指向椭圆中心在椭圆上每一点有作用力F，其大小等于该点到椭圆中心的距离，而方向指向椭圆中心$021. 两个无穷大量的和仍是无穷大。( )A.错误B.正确参考答案：A22. 设

11、f(x)在a，+)上连续且取得正值和负值，又，则f(x)在a，+)上必取得最大值和最小值设f(x)在a，+)上连续且取得正值和负值，又，则f(x)在a，+)上必取得最大值和最小值证 由假设，f(x)在a，+)上取得正值，故有x0a，+)，f(x0)0.由于，故对=f(x0)0，当xX时，有 显然x0a，X.由于f(x)在a，X上连续，故f(x)在a，X上必取得最大值M，且Mf(x0)而当xX时，f(x)f(x0)M.因此M=maxf(x)|xa，+)这就证明了f(x)在a，+)上必取得最大值 类似地，可以证明f(x)在a，+)上必取得最小值. 23. 当x0时，f(x)=tan2x/x的极限是

12、( )。A.0B.1C.2D.1/2参考答案：C24. 定积分是微分的逆运算。( )A.正确B.错误参考答案：B25. 顶点为(2，1，0)，轴为，母线和轴夹角为的圆锥面方程是_，(请用x，y，z的一个关系式表示)顶点为(2，1，0)，轴为，母线和轴夹角为的圆锥面方程是_，(请用x，y，z的一个关系式表示)2(3x+4y+z-10)2=13(x-2)2+(y-1)2+z226. 怎样利用斯托克斯公式计算第二类曲线积分LPdx+Qdy+Rdz?怎样利用斯托克斯公式计算第二类曲线积分LPdx+Qdy+Rdz?一般说来，当所给的曲线积LPdx+Qdy+Rdz满足下列两个条件时，可考虑用斯托克斯公式进

13、行计算 (1)积分曲线L为一平面与一曲面的交线；(2)比较简单 27. 我们知道，平面曲线x(t)的曲率中心的轨迹y(t)称为x(t)的渐缩线，x(t)称为y(t)的一条渐伸线，y(t)的我们知道，平面曲线x(t)的曲率中心的轨迹y(t)称为x(t)的渐缩线，x(t)称为y(t)的一条渐伸线，y(t)的切向量为x(t)的主法向量试将它推广到空间R3正确答案：设n(t)=cosV2(t)+sinV3(t)为点x(t)处的法向量其中=(nV2)为n(t)与V2(t)的夹角称直线y(t)=x(t)+n(t) (R)为该曲线在点x(t)处的法线显然主法线(=0)与从法线都是曲线在x(t)处的法线定义

14、如果曲线y(t)的切线是曲线x(t)的法线则称x(t)为y(t)的渐伸线；而y(t)为x(t)的渐缩线定理1设y(t)(atb)为空间R3中的曲线则y(t)的渐伸线为 其中c为常数分别为y(t)的弧长与单位切向量及曲率c取不同的值就得到不同的渐伸线(由此得到空间曲线与平面曲线的渐伸线在形式上是相同的并都有无数条)证明设y(t)的渐伸线为两边点乘并注意到y(t)的切线是渐伸线x(t)的法线所以(t)+y(t)=0积分得因此y(t)的渐伸线为定理2给定空间R3中的曲线x(t)(atb)则x(t)的渐缩线为其中k(t)V2(t)V3(t)分别为x(t)的曲率主法向量从法向量；而0=(t0)是任意常数

15、0取不同的值就得到不同的渐缩线rn证明设x(t)的渐缩线为y()=x(t)+(t)n(t)其中n(t)=cos(t).V2(t)+sin(t)V3(t) (t)=(n(t)V2(t)因为rn根据定理222y(t)的切线面(除脊线外)可展又因为y(t)为x(t)的渐缩线故y(t)的切线是x(t)的法线从而y(t)的切线面就是x(t)的法线面它是可展曲面再根据定理221有因为y(t)为x(t)的渐缩线所以y(t)的切向量就是x(t)的法向量于是上式两边点乘V1(t)得到0=1一(t)(t)cos(t)即此外从前式知cos(t)0且x(t)的渐缩线为设n(t)=cosV2(t)+sinV3(t)为点

16、x(t)处的法向量,其中=(n,V2)为n(t)与V2(t)的夹角,称直线y(t)=x(t)+n(t)(R)为该曲线在点x(t)处的法线显然,主法线(=0)与从法线都是曲线在x(t)处的法线定义如果曲线y(t)的切线是曲线x(t)的法线,则称x(t)为y(t)的渐伸线；而y(t)为x(t)的渐缩线定理1设y(t)(atb)为空间R3中的曲线,则y(t)的渐伸线为,其中c为常数,分别为y(t)的弧长与单位切向量及曲率c取不同的值就得到不同的渐伸线(由此得到空间曲线与平面曲线的渐伸线在形式上是相同的,并都有无数条)证明设y(t)的渐伸线为,两边点乘并注意到y(t)的切线是渐伸线x(t)的法线,所以

17、(t)+y(t)=0积分得因此,y(t)的渐伸线为定理2给定空间R3中的曲线x(t)(atb),则x(t)的渐缩线为其中k(t),V2(t),V3(t)分别为x(t)的曲率,主法向量,从法向量；而0=(t0)是任意常数,0取不同的值就得到不同的渐缩线证明设x(t)的渐缩线为y()=x(t)+(t)n(t),其中n(t)=cos(t).V2(t)+sin(t)V3(t),(t)=(n(t),V2(t)因为根据定理222,y(t)的切线面(除脊线外)可展又因为y(t)为x(t)的渐缩线,故y(t)的切线是x(t)的法线,从而y(t)的切线面就是x(t)的法线面,它是可展曲面再根据定理221,有因为

18、y(t)为x(t)的渐缩线,所以y(t)的切向量就是x(t)的法向量于是,上式两边点乘V1(t),得到0=1一(t)(t)cos(t),即此外,从前式知cos(t)0,且x(t)的渐缩线为28. 试列举所熟悉的一些代数系统试列举所熟悉的一些代数系统例如，(N，+)，(Q，-)，(R，)，(R-0，)29. 设f(x)在a，b上连续，且证明：在(a，b)内至少存在两点x1，x2，使 f(x1)=f(x2)=0设f(x)在a，b上连续，且证明：在(a，b)内至少存在两点x1，x2，使f(x1)=f(x2)=0证法1 若在a，b上f(x)0，则命题结论成立，设f(x)不恒为零，且 则F(a)=F(b

19、)=0，又F(x)在a，b上连续，可导，可知F(x)=f(x),因此 (*) 由于F(x)为a，b上的连续函数，且，可知必定存在一点(a，b)，使F()=0,否则，与(*)式矛盾， 在a，b上对F(x)利用罗尔定理，可知必定存在x1(a，)，x2(，b)，使得 F(x1)=f(x1)=0， F(x2)=f(x2)=0 证法2 由题设，f(x)为a，b上的连续函数，可知必定存在点x1(a，b)，使f(x1)=0,否则不妨设在(a，b)内f(x)0，则与题设矛盾 设f(x)在(a，b)内不存在第二个零点，则不妨设 设g(x)=(x1-x)f(x)， 则 可知 又得出矛盾，表明f(x)在(a，b)内

20、至少存在两个零点x1，x2 30. 下列集合中为空集的是( )A.x|ex=1B.0C.(x，y)|x2+y2=0D.x|x2+1=0，xR参考答案：D31. Z2上周期为7的拟完美序列a=1001011的递推关系式是A、ak3=ak1akB、ak2=ak1akC、ak2=ak1aZ2上周期为7的拟完美序列a=1001011的递推关系式是A、ak+3=ak+1-akB、ak+2=ak+1-akC、ak+2=ak+1+akD、ak+3=ak+1+ak正确答案： D32. 分别按下列条件求平面方程：分别按下列条件求平面方程：可取该平面的法向量为j=(0，1，0)，于是所求平面方程为y+5=0$可先

21、设该平面方程为Ax+By=0，以(-3，1，-2)代入，得-3A+B=0，即B=3A，代入上面方程并消去A，所求方程为x+3y=0$记M1(4，0，-2)，M2(5，1，7)，则该平面的法向量n，且nOx，而=(0，9，-1)，所以=(0，9，-1)，于是所求平面方程为9(y-0)-(z+2)=0，即9y-z-2=033. 设函数f(x-2)=x2+1，则f(x+1)=( )A.x2+2x+2B.x2-2x+2C.x2+6x+10D.x2-6x+10参考答案：C34. 设A为n阶正交矩阵，Rn，求证设A为n阶正交矩阵，Rn，求证35. 下列函数中，奇函数是( )。A.y=x5+sinxB.y=

22、sinx+2cosxC.y=x2sinxD.y=x(x-1)(x+1)参考答案：ACD36. 若y=ln(2x)，则y&39;=1/2x。( )A.错误B.正确参考答案：A37. 已知某产品的净利润P与广告支出z有如下关系：Pba(xP)其中以，b为正的已知常数，且P(0)Po0，求P已知某产品的净利润P与广告支出z有如下关系：Pba(xP)其中以，b为正的已知常数，且P(0)Po0，求PP(x)正确答案：38. 按分散相质点的大小不同可将分散体系分为_。按分散相质点的大小不同可将分散体系分为_。正确答案：低分子分散系；胶体分散系；粗分散系低分子分散系；胶体分散系；粗分散系39. 求下列微分方

23、程的通解 x3y&39;-x2y+2xy&39;-2y=x3+3x求下列微分方程的通解x3y-x2y+2xy-2y=x3+3x令x=e，即=Inx，于是 ， 代入原方程可得 对应的齐次方程的通解为 又 ，分别为非齐次线性微分方程与的特解，故方程(*)的通解为令=Int，则原方程的通解为 40. 已知函数 在x=0处连续，求a、b的值。已知函数在x=0处连续，求a、b的值。因为 f(0)=1 又由题设f(x)在x=0处连续，知 即a=lnb=1 则a=1，b=e 41. 对10名正常男子空腹测定血糖结果为93，102，110，98，109，92，97，102，100，103(mg%)，求正常男子

24、的空腹血糖值的95%对10名正常男子空腹测定血糖结果为93，102，110，98，109，92，97，102，100，103(mg%)，求正常男子的空腹血糖值的95%可信区间。正常男子的空腹血糖值的95%可信区间是 96.3m104.9 42. 极值点一定包含在区间的内部驻点或导数不存在的点之中。( )A.正确B.错误参考答案：A43. 两个无穷小的差也为无穷小。( )两个无穷小的差也为无穷小。( )正确答案： 44. 设M=f(x，y，z)是二次可微的函数且 li=(cosi,cosi,cosi), i=1,2,3是三个相互垂直的方向向量试证明： a)设M=f(x，y，z)是二次可微的函数且

25、li=(cosi,cosi,cosi), i=1,2,3是三个相互垂直的方向向量试证明：a)b)a) (1) 由此直接得 (2) 由于矩阵 (3) 是从正交基(i，j，k)到正交基(l1，l2，l3)的过渡矩阵，故矩阵(3)是正交矩阵，由式(2)直接得出等式a) b)先求是式(1)中的第一个等式： 类似求，再把所得三个等式相加得 利用矩阵(3)的正交性，由此直接得等式b) 45. 设函数f(x)=x+1，当0xA.跳跃间断点B.可去间断点C.连续但不可导点D.可导点参考答案：C46. 设Ai(i=1，2，3，n)是正n边形的顶点，O是它的中心，试证设Ai(i=1，2，3，n)是正n边形的顶点，

26、O是它的中心，试证(如图所示)因为 ， 以上各式相加得 由于2，所以 47. 设随机变量X的数学期望E(X)=2，方差D(X)=4，则E(X2)=_设随机变量X的数学期望E(X)=2，方差D(X)=4，则E(X2)=_848. 二阶无零元素的行列式等于零的充要条件是其两行对应元素成比例( )二阶无零元素的行列式等于零的充要条件是其两行对应元素成比例()正确49. 对于总体分布的假设检验，一般都使用2拟合优度检验法，这种检验法要求总体分布的类型为( ) A离散型分布对于总体分布的假设检验，一般都使用2拟合优度检验法，这种检验法要求总体分布的类型为()A离散型分布B连续型分布C只能为正态分布D任何

27、类型分布D50. 设向量组1，2，3线性相关，向量组2，3，4线性无关.问 (1) 1能否由2，3线性表出?证明你的结论. (2) 4设向量组1，2，3线性相关，向量组2，3，4线性无关.问(1) 1能否由2，3线性表出?证明你的结论.(2) 4能否由1，2，3线性表出?证明你的结论.(1) 解法1 1能由2，3线性表出.因为已知2，3，4线性无关，所以2，3线性无关，又因为1，2，3线性相关，由定理3.7即知1能由2，3线性表出. 解法2 1能由2，3线性表出.因为已知1，2，3线性相关，故存在不全为零的数k1，k2，k3，使 k11+k22+k33=0 其中k10.因为若k1=0，则k2，

28、k3不全为零，使k22+k33=0，即2，3线性相关，从而2，3，4线性相关，这和已知矛盾，故k10，于是得 (2) 4不能由1，2，3线性表出.用反证法：设4可由1，2，3线性表出，即有数1，2，3，使得4=11+22+33.由(1) 知，有1=l22+l33，代入上式，得 4=(2+1l2)2+(3+1l3)3 即4可由2，3线性表出，从而2，3，4线性相关，这与已知矛盾.因此，4不能由1，2，3线性表出.本题主要利用了部分组与整体组的线性相关性之间的关系.注意，由本题(1) 的结论已说明2，3是向量组1，2，3的一个极大无关组，由于在线性表出问题中，极大无关组可以代替向量组本身，注意到这

29、一点，则本题(2) 的结论是显然的. 51. 系统的热力学能的绝对值(U)_，但是系统发生状态变化导致的热力学能的变化值(U)_系统的热力学能的绝对值(U)_，但是系统发生状态变化导致的热力学能的变化值(U)_。正确答案：不可测量、可以测量不可测量、可以测量52. 当x1时，与1-x2，指出题中的无穷小量是同阶无穷小量、等价无穷小量还是高阶无穷小量?当x1时，与1-x2，指出题中的无穷小量是同阶无穷小量、等价无穷小量还是高阶无穷小量? 当x1时，与1-x2是同阶无穷小 53. 若同构的群认为是相同的，那么3阶群有_个，4阶群有_个若同构的群认为是相同的，那么3阶群有_个，4阶群有_个1$254

30、. 设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则( ) A当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数 B当f(x)是偶函数时，F设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则()A当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数B当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数C当f(x)是周期函数，F(x)必为周期函数D当f(x)是单调增函数，F(x)必为单调增函数55. 计算下列曲线围成的平面图形的面积： (1) yex，ye-x ，x1 ；(2)yx34x，y0； (3) yx2，yx，y2计算下列曲线围成的平面图形的面积： (1) yex，ye-x ，x1 ；(2)yx34x，y0； (3

31、) yx2，yx，y2x； (4)y212(x3)，y21正确答案：解 (1)另所求平面图形面积为A如图612所示则rn解(1)另所求平面图形面积为A,如图612所示,则56. 设函数f(x)在(a，b)内可导，且f&39;(x)=2，则f(x)在(a，b)内( )。A.单调增加B.单调减少C.是常数D.不能确定单调性参考答案：A57. 函数定义的5个要素中，最重要的是掌握变量间的依存关系和定义域。( )A.正确B.错误参考答案：A58. 函数在一点附近有界是函数在该点有极限的( )A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.在一定条件下存在参考答案：D59. 给定三点Ai(xi，yi)，i=

32、1，2，3 求证按最小二乘拟合这三点的直线过A1A2A3的重心给定三点Ai(xi，yi)，i=1，2，3 求证按最小二乘拟合这三点的直线过A1A2A3的重心记，则为A1A2A3的重心 设拟合直线为 y=a+bx， (5.7) 则a，b满足正规方程组 其中s0=3，考虑第一个方程 两边同除以3得，即点在直线(5.7)式上因而按最小二乘拟合三点Ai(i=1，2，3)的直线过A1A2A3的重心 60. 设f(x，y)可微；l是R2上的一个确定向量倘若处处有fl(x，y)=0，试问此函数f有何特征?设f(x，y)可微；l是R2上的一个确定向量倘若处处有fl(x，y)=0，试问此函数f有何特征?设l(cos，cos)，由于 fl(x，y)fx(x，y)cos+fy(x，y)cos0， 所以gradf(x，y)l