初中数学里常用地几种经典解题方法介绍

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1、word总共三局部：一、初中数学里常用的几种经典解题方法 二、中考经典错题集三、综合知识讲解初中数学里常用的几种经典解题方法介绍1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的根底，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、

2、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。3、换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比拟复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个局部或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。4、判别式法与韦达定理一元二次方程ax2+bx+c=0a、b、c属于R，a0根的判别，=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非

3、常广泛的应用。韦达定理除了一元二次方程的一个根，求另一根；两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以与解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。5、待定系数法在解数学问题时，假如先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。6、构造法在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式

4、、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。7、反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否认相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。反设是反证法的根底，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否认的表述形式是有必要

5、的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否如此推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与条件矛盾；与的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。8、面积法平面几何中讲的面积公式以与由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或

6、计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。9、几何变换法在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉与的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。另一方面，也可将变换

7、的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。几何变换包括：1平移；2旋转；3对称。选择题是给出条件和结论，要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择题的题型构思精巧，形式灵活，可以比拟全面地考察学生的根底知识和根本技能，从而增大了试卷的容量和知识覆盖面。填空题是标准化考试的重要题型之一，它同选择题一样具有考查目标明确，知识复盖面广，评卷准确迅速，有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点，不同的是填空题未给出答案，可以防止学生猜估答案的情况。要想迅速、正确地解选择题、填空题，除了具有准确的计算、严密的推理外，还要有解选择题、填空

8、题的方法与技巧。下面通过实例介绍常用方法。1直接推演法：直接从命题给出的条件出发，运用概念、公式、定理等进展推理或运算，得出结论，选择正确答案，这就是传统的解题方法，这种解法叫直接推演法。2验证法：由题设找出适宜的验证条件，再通过验证，找出正确答案，亦可将供选择的答案代入条件中去验证，找出正确答案，此法称为验证法也称代入法。当遇到定量命题时，常用此法。3特殊元素法：用适宜的特殊元素如数或图形代入题设条件或结论中去，从而获得解答。这种方法叫特殊元素法。4排除、筛选法：对于正确答案有且只有一个的选择题，根据数学知识或推理、演算，把不正确的结论排除，余下的结论再经筛选，从而作出正确的结论的解法叫排除

9、、筛选法。5图解法：借助于符合题设条件的图形或图象的性质、特点来判断，作出正确的选择称为图解法。图解法是解选择题常用方法之一。6分析法：直接通过对选择题的条件和结论，作详尽的分析、归纳和判断，从而选出正确的结果，称为分析法.第二章应知应会知识点2.1代数篇一数与式一有理数1有理数的分类2数轴的定义与应用3相反数4倒数5绝对值6有理数的大小比拟7有理数的运算二实数8实数的分类9实数的运算10科学记数法11近似数与有效数字12平方根与算术根和立方根13非负数14零指数次幂负指数次幂三)代数式15代数式代数式的值16列代数式四整式17整式的分类18整式的加减乘除的运算19幂的有关运算性质20乘法公式

10、21因式分解五分式22分式的定义23分式的根本性质24分式的运算六二次根式25二次根式的意义26根式的根本性质27根式的运算二方程和不等式一一元一次方程28方程方程的解的有关定义29一元一次的定义30一元一次方程的解法31列方程解应用题的一般步骤二二元一次方程32二元一次方程的定义33二元一次方程组的定义34二元一次方程组的解法代入法消元法加减消元法35二元一次方程组的应用三一元二次方程36一元二次方程的定义37一元二次方程的解法配方法因式分解法公式法十字相乘法38一元二次方程根与系数的关系和根的判别式39一元二次方程的应用四分式方程40分式方程的定义41分式方程的解法转化为整式方程检验42分

11、式方程的增根的定义43分式方程的应用五不等式和不等式组44不等式组的有关定义45不等式的根本性质46一元一次不等式的解法47一元一次不等式组的解法48一元一次不等式组的应用三函数一位置确实定与平面直角坐标系49位置确实定50坐标变换51平面直角坐标系内点的特征52平面直角坐标系内点坐标的符号与点的象限位置53对称问题：P(x,y)Q(x,- y关于x轴对称 P(x,y)Q(- x,y)关于y轴对称 P(x,y)Q(- x,- y)关于原点对称54变量自变量因变量函数的定义55函数自变量因变量的取值X围使式子有意义的条件图象法56函数的图象：变量的变化趋势描述二一次函数与正比例函数57一次函数的

12、定义与正比例函数的定义58一次函数的图象：直线，画法59一次函数的性质增减性60一次函数y=kx+b(k0)中kb符号与图象位置61待定系数法求一次函数的解析式一设二列三解四回62一次函数的平移问题63一次函数与一元一次方程一元一次不等式二元一次方程的关系图象法64一次函数的实际应用65一次函数的综合应用1一次函数与方程综合2一次函数与其它函数综合3一次函数与不等式的综合4一次函数与几何综合三反比例函数66反比例函数的定义67反比例函数解析式确实定68反比例函数的图象：双曲线69反比例函数的性质增减性质70反比例函数的实际应用71反比例函数的综合应用四个方面面积问题四二次函数72二次函数的定义

13、73二次函数的三种表达式一般式顶点式交点式74二次函数解析式确实定待定系数法75二次函数的图象：抛物线画法五点法76二次函数的性质增减性的描述以对称轴为分界77二次函数y=ax2+bx+c(a0)中abc与特殊式子的符号与图象位置关系78求二次函数的顶点坐标对称轴最值79二次函数的交点问题80二次函数的对称问题81二次函数的最值问题实际应用82二次函数的平移问题83二次函数的实际应用84二次函数的综合应用1二次函数与方程综合2二次函数与其它函数综合3二次函数与不等式的综合4二次函数与几何综合2.2几何篇1过两点有且只有一条直线2两点之间线段最短3同角或等角的补角相等4同角或等角的余角相等5过一

14、点有且只有一条直线和直线垂直6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短7经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行8如果两条直线都和第三条直线平行这两条直线也互相平行9同位角相等两直线平行10内错角相等两直线平行11同旁内角互补两直线行12两直线平行同位角相等13两直线平行内错角相等14两直线平行同旁内角互补15三角形两边的和大于第三边16三角形两边的差小于第三边17三角形三个内角的和等18018直角三角形的两个锐角互余19三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21全等三角形的对应边对应角相等22有两边和它们的夹角对应相等的两个三

15、角形全等(SAS)23有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)24有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)25有三边对应相等的两个三角形全等(SSS)26有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)27在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28到一个角的两边的距离一样的点在这个角的平分线上29角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等31等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32等腰三角形的顶角平分线底边上的中线和高互相重合33等边三角形的各角都相等并且每一个角都等于6034等腰三角形的判定定理如

16、果一个三角形有两个角相等那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)35三个角都相等的三角形是等边三角形36有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形37在直角三角形中如果一个锐角等于30那么它所对的直角边等于斜边的一半38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40和一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42关于某条直线对称的两个图形是全等形43如果两个图形关于某直线对称那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44两个图形关于某直线对称如果它们的对应线段或延长线相交那么交点在对称轴

17、上45如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分那么这两个图形关于这条直线对称46直角三角形两直角边ab的平方和等于斜边c的平方即a+b=c47如果三角形的三边长abc有关系a+b=c那么这个三角形是直角三角形48四边形的内角和等于36049四边形的外角和等于36050多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)18051任意多边的外角和等于36052平行四边形的对角相等53平行四边形的对边相等54夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形的对角线互相平分56两组对角分别相等的四边形是平行四边形57两组对边分别相等的四边形是平行四边形58对角线互相平分的四边形是平行四边形59一组对边平行

18、相等的四边形是平行四边形60矩形的四个角都是直角61矩形的对角线相等62有三个角是直角的四边形是矩形63对角线相等的平行四边形是矩形64菱形的四条边都相等65菱形的对角线互相垂直并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半即S=(ab)267四边都相等的四边形是菱形68对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形的四个角都是直角四条边都相等70正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分每条对角线平分一组对角71关于中心对称的两个图形是全等的72关于中心对称的两个图形对称点连线都经过对称中心并且被对称中心平分73如果两个图形的对应点连线都经过某一点并且被这一点平分那么这两个图形关于这一点

19、对称74等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等那么在其他直线上截得的线段也相等79经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰80经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边81三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半82梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半L=(a+b)S=Lh83如果a:b=c:d那么ad=bc如果ad=bc那么a:b=c:d84如果a/b=c/d那么(ab)/b=(cd)/d85如果a/b=c/d=m/n(b+d+n0)那么

20、(a+c+m)/(b+d+n)=a/b86三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例87平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例88如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例那么这条直线平行于三角形的第三边89平行于三角形的一边并且和其他两边相交的直线所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似91两角对应相等两三角形相似(ASA)92直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93两边对应成比例且夹角相等两三角形相似(SAS)94三边对应成比例两

21、三角形相似(SSS)95如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例那么这两个直角三角形相似96相似三角形对应高的比对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97相似三角形周长的比等于相似比98相似三角形面积的比等于相似比的平方99任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点

22、的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心定长为半径的圆106和线段两个端点的距离相等的点的轨迹是着条线段的垂直平分线107到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109不在同一直线上的三个点确定一条直线110垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧111平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧112圆的两条平行弦所夹的弧相等113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形114在同圆或等圆中相等的圆心角所

23、对的弧相等所对的弦相等所对的弦的弦心距相等115在同圆或等圆中如果两个圆心角两条弧两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等116一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半117同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也相等118半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弦是直径119如果三角形一边上的中线等于这边的一半那么这个三角形是直角三角形120圆的内接四边形的对角互补并且任何一个外角都等于它的内对角121直线L和O相交dr直线L和O相切d=r直线L和O相离dr122经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线123圆的切线垂直于

24、经过切点的半径124经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点125经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心126从圆外一点引圆的两条切线它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角127圆的外切四边形的两组对边的和相等128弦切角等于它所夹的弧对的圆周角129如果两个弦切角所夹的弧相等那么这两个弦切角也相等130圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等131如果弦与直径垂直相交那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项132从圆外一点引圆的切线和割线切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项133从圆外一点引圆的两条割线这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等134如果两

25、个圆相切那么切点一定在连心线上135两圆外离dR+r两圆外切d=R+r两圆相交R-rdR+r(Rr)两圆内切d=R-r(Rr)两圆内含dR-r(Rr)136相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦137把圆分成n(n3):依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形经过各分点作圆的切线以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形138任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆这两个圆是同心圆139正n边形的每个内角都等于(n-2)180/n140正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形141正n边形的面积Sn=pnrn/2p表示正n边形的周长142正三角形面积3a/4a表

26、示边长143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角由于这些角的和应为360因此k(n-2)180/n=360化为(n-2)(k-2)=4144弧长计算公式:L=nR/180145扇形面积公式:S扇形=nR/360=LR/2146内公切线长=d-(R-r)外公切线长=d-(R+r)第三章例题讲解【例】如图10，平行四边形ABCD中，AB5，BC10，BC边上的高AM=4，E为BC边上的一个动点不与B、C重合过E作直线AB的垂线，垂足为FFE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF。1求证：BEFCEG2当点E在线段BC上运动时，BEF和CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由3设BEx，DEF的

27、面积为y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？图10解析过程与每步分值1 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以1分 所以所以3分2的周长之和为定值4分理由一：过点C作FG的平行线交直线AB于H ，因为GFAB，所以四边形FHCG为矩形所以 FHCG，FGCH因此，的周长之和等于BCCHBH由 BC10，AB5，AM4，可得CH8，BH6，所以BCCHBH24 6分理由二：由AB5，AM4，可知 在RtBEF与RtGCE中，有：，所以，BEF的周长是， ECG的周长是又BECE10，因此的周长之和是246分3设BEx，如此所以8分配方得： 所以，当时，

28、y有最大值9分最大值为10分【例】如图二次函数yax2bxc(a0)与坐标轴交于点ABC且OA1OBOC31求此二次函数的解析式2写出顶点坐标和对称轴方程3点MN在yax2bxc的图像上(点N在点M的右边)且MNx轴求以MN为直径且与x轴相切的圆的半径解析过程与每步分值1依题意分别代入1分解方程组得所求解析式为4分25分顶点坐标，对称轴7分3设圆半径为，当在轴下方时，点坐标为8分把点代入得9分同理可得另一种情形圆的半径为或10分【例3】两个关于的二次函数与当时，；且二次函数的图象的对称轴是直线1求的值；2求函数的表达式；3在同一直角坐标系内，问函数的图象与的图象是否有交点？请说明理由解析过程与

29、每步分值1由得 又因为当时，即， 解得，或舍去，故的值为 2由，得， 所以函数的图象的对称轴为， 于是，有，解得， 所以 3由，得函数的图象为抛物线，其开口向下，顶点坐标为；由，得函数的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标为； 故在同一直角坐标系内，函数的图象与的图象没有交点【例4】如图,抛物线与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点.1求点A的坐标;2以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标;3设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点

30、P的横坐标为x,当时,求x的取值X围. 解析过程与每步分值解：1A(-2,-4)2四边形ABP1O为菱形时，P1(-2,4)四边形ABOP2为等腰梯形时，P1()四边形ABP3O为直角梯形时，P1()四边形ABOP4为直角梯形时，P1()3由条件可求得AB所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线的函数关系式是y=-2x当点P在第二象限时，x0,过点A、P分别作x轴的垂线，垂足为A、P如此四边形POAA的面积AAB的面积， 即x的取值X围是【例4】随着绿城某某近几年城市建设的快速开展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉与树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正

31、比例关系，如图所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图所示注：利润与投资量的单位：万元1分别求出利润与关于投资量的函数关系式；2如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？解析过程与每步分值解：1设=,由图所示，函数=的图像过1，2，所以2=，故利润关于投资量的函数关系式是=；因为该抛物线的顶点是原点，所以设=，由图12-所示，函数=的图像过2，2，所以，故利润关于投资量的函数关系式是；2设这位专业户投入种植花卉万元，如此投入种植树木万元，他获得的利润是万元，根据题意，得=+=当时，的最小值是14；因为，所以所以所以所以，即，此时当时，的

32、最大值是32.【例5】如图， ，现以A点为位似中心，相似比为9:4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C1求C点坐标与直线BC的解析式;2一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象;3现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为的点P解析过程与每步分值解:1过C点向x轴作垂线，垂足为D，由位似图形性质可知：ABOACD， 由，可知： C点坐标为直线BC的解析是为： 化简得： 2设抛物线解析式为，由题意得： ， 解得： 解得抛物线解析式为或又的顶点在x轴负半轴上，不合题意，故舍去满足条件的抛物线解析式为准确画出函数图象3

33、 将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，设P到 直线AB的距离为h，故P点应在与直线AB平行，且相距的上下两条平行直线和上由平行线的性质可得：两条平行直线与y轴的交点到直线BC的距离也为如图，设与y轴交于E点，过E作EFBC于F点，在RtBEF中，可以求得直线与y轴交点坐标为同理可求得直线与y轴交点坐标为两直线解析式；根据题意列出方程组： ；解得：；满足条件的点P有四个，它们分别是，.【例6】如图，抛物线交轴于A、B两点，交向右平移2个单位后得到抛物线，交轴于C、D两点.1求抛物线对应的函数表达式；2抛物线或在轴上方的局部是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形.假如存

34、在，求出点N的坐标；假如不存在，请说明理由；3假如点P是抛物线上的一个动点P不与点A、B重合，那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线上，请说明理由.解析过程与每步分值【例7】如图，在矩形中，点是边上的动点点不与点，点重合，过点作直线，交边于点，再把沿着动直线对折，点的对应点是点，设的长度为，与矩形重叠局部的面积为1求的度数；2当取何值时，点落在矩形的边上？3求与之间的函数关系式；当取何值时，重叠局部的面积等于矩形面积的？DQCBPRABADC备用图1BADC备用图2解析过程与每步分值解：1如图，四边形是矩形，又，DQCBPRA图12如图1，由轴对称的性质可知，由1知，在中，根据题意得：，解这个

35、方程得：3当点在矩形的内部或边上时，当时，当在矩形的外部时如图2，DQCBPRA图2FE在中，又，在中，当时，综上所述，与之间的函数解析式是：矩形面积，当时，函数随自变量的增大而增大，所以的最大值是，而矩形面积的的值，而，所以，当时，的值不可能是矩形面积的；当时，根据题意，得：，解这个方程，得，因为，所以不合题意，舍去所以综上所述，当时，与矩形重叠局部的面积等于矩形面积的第四章兴趣练习4.1代数局部1. ：抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C 其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长OAOC是方程的两个根，且抛物线的对称轴是直线1求A、B、C三点的坐标；2求此抛

36、物线的解析式；yxBDOAEC3假如点D是线段AB上的一个动点与点A、B不重合，过点D作DEBC交AC于点E，连结CD，设BD的长为m，CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值X围S是否存在最大值？假如存在，求出最大值并求此时D点坐标；假如不存在，请说明理由2. ，如图1，过点作平行于轴的直线，抛物线上的两点的横坐标分别为1和4，直线交轴于点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为点、，连接1求点的坐标；2求证：；EDCAFBxOylEDCOFxy图1备用图3点是抛物线对称轴右侧图象上的一动点，过点作交轴于点，是否存在点使得与相似？假如存在，请求出所有符合条件的点的坐标；假如不存

37、在，请说明理由3. 矩形纸片的长为4，宽为3，以长所在的直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系；点是边上的动点与点不重合，现将沿翻折得到，再在边上选取适当的点将沿翻折，得到，使得直线重合1假如点落在边上，如图，求点的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；2假如点落在矩形纸片的内部，如图，设当为何值时，取得最大值？CyEBFDAPxO图ABDFECOPxy图3在1的情况下，过点三点的抛物线上是否存在点使是以为直角边的直角三角形？假如不存在，说明理由；假如存在，求出点的坐标4. 如图，抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C，抛物线的对称轴交轴于点E，点B的坐标为，01求抛物线的对称轴与点A的坐标；2

38、在平面直角坐标系中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？假如存在，请写出点P的坐标；假如不存在，请说明理由；ODBCAE3连结CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两局部？假如存在，请求出直线CM的解析式；假如不存在，请说明理由5. 如图， 抛物线a0与轴交于点A1，0和点B3，0，与y轴交于点C1求抛物线的解析式；2设抛物线的对称轴与轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使CMP为等腰三角形？假如存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；假如不存在，请说明理由3如图，假如点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边

39、形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标yCAMOBx图yCAOBx图二、动态几何6. 如图，在梯形中，厘米，厘米，的坡度动点从出发以2厘米/秒的速度沿方向向点运动，动点从点出发以3厘米/秒的速度沿方向向点运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止设动点运动的时间为秒1求边的长；2当为何值时，与相互平分；3连结设的面积为探求与的函数关系式，求为何值时，有最大值？最大值是多少？CcDcAcBcQcPc7. ：直线与轴交于A，与轴交于D，抛物线与直线交于A、E两点，与轴交于B、C两点，且B点坐标为 1，01求抛物线的解析式；2动点P在轴上移动，当PAE是直角三角形时，

40、求点P的坐标3在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标yxODEABC8. ：抛物线的对称轴为与轴交于两点，与轴交于点其中、1求这条抛物线的函数表达式2在对称轴上存在一点P，使得的周长最小请求出点P的坐标3假如点是线段上的一个动点不与点O、点C重合过点D作交轴于点连接、设的长为，的面积为求与之间的函数关系式试说明是否存在最大值，假如存在，请求出最大值；假如不存在，请说明理由ACxyBO9. 如图1，抛物线经过坐标原点和轴上另一点，顶点的坐标为；矩形的顶点与点重合，分别在轴、轴上，且，1求该抛物线所对应的函数关系式；2将矩形以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿轴的正方向匀速平

41、行移动，同时一动点也以一样的速度从点出发向匀速移动设它们运动的时间为秒，直线与该抛物线的交点为如图2所示当时，判断点是否在直线上，并说明理由；设以为顶点的多边形面积为，试问是否存在最大值？假如存在，求出这个最大值；假如不存在，请说明理由yxMBCDOA图2PNEyxMBCDO(A)图1E10. 抛物线：1求抛物线的顶点坐标2将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线，求抛物线的解析式3如如下图，抛物线的顶点为P，轴上有一动点M，在、这两条抛物线上是否存在点N，使O原点、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形，假如存在，求出N点的坐标；假如不存在，请说明理由5432112345

42、6789PyxO【提示：抛物线的对称轴是顶点坐标是】11. 如图，抛物线C1：的顶点为P，与x轴相交于A、B两点点A在点B的左边，点B的横坐标是11求P点坐标与a的值；4分2如图1，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；4分3如图2，点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180后得到抛物线C4抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点点E在点F的左边，当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标5分yxAOBPM图1C1C2C3yxAOBPN图2C1C4QEF12

43、. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的三个顶点、抛物线过两点1直接写出点的坐标，并求出抛物线的解析式；2动点从点出发，沿线段向终点运动，同时点从点出发，沿线段向终点运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒过点作交于点过点作于点，交抛物线于点当为何值时，线段最长？连接在点运动的过程中，判断有几个时刻使得是等腰三角形？请直接写出相应的值yOxAFDQGEPBC13. 如图1，正比例函数和反比例函数的图像都经过点M2，且P，2为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B 1写出正比例函数和反比例函数的关系式；2当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在

44、这样的点Q，使得OBQ与OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； 3如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值图1图214. 如图，矩形ABCD中，AB = 6cm，AD = 3cm，点E在边DC上，且DE = 4cm动点P从点A开始沿着ABCE的路线以2cm/s的速度移动，动点Q从点A开始沿着AE以1cm/s的速度移动，当点Q移动到点E时，点P停止移动假如点P、Q从点A同时出发，设点Q移动时间为ts，P、Q两点运动路线与线段PQ围成的图形面积为Scm2，求S与t的函数关系式DEBPA CQ1

45、5. 如图，二次函数的图象与轴相交于两个不同的点、，与轴的交点为设的外接圆的圆心为点1求与轴的另一个交点D的坐标；2如果恰好为的直径，且的面积等于，求和的值 16. 如图，点坐标分别为4，0、0，8，点是线段上一动点，点在轴正半轴上，四边形是矩形，且设，矩形与重合局部的面积为根据上述条件，回答如下问题：1当矩形的顶点在直线上时，求的值；BCOEDAxy2当时，求的值；3直接写出与的函数关系式；不必写出解题过程4假如，如此17. 直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发，同时到达点，运动停止点沿线段运动，速度为每秒1个单位长度，点沿路线运动1直接写出两点的坐标；2设点的运动时间为秒，的面积为，

46、求出与之间的函数关系式；xAOQPBy3当时，求出点的坐标，并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标18. 如图1，过ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC的“水平宽a，中间的这条直线在ABC内部的线段的长度叫ABC的“铅垂高h我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半A2BC铅垂高水平宽h a 图1解答如下问题：如图2，抛物线顶点坐标为点C1，4，交x轴于点A3，0，交y轴于点B1求抛物线和直线AB的解析式；2 求CAB的铅垂高CD与；3 设点P是抛物线在第一象限内上的一个动点，是否存在一点P，使SPAB

47、=SCAB，假如存在，图2xCOyABD11求出P点的坐标；假如不存在，请说明理由19. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为点在轴上某二次函数的图象经过、三点，且它的对称轴为直线点为直线下方的二次函数图象上的一个动点点与、不重合，过点作轴的平行线交于点1求该二次函数的解析式；2假如设点的横坐标为用含的代数式表示线段的长3求面积的最大值，并求此时点的坐标xyBFOACPx=120. 如下列图，菱形的边长为6厘米，从初始时刻开始，点、同时从点出发，点以1厘米/秒的速度沿的方向运动，点以2厘米/秒的速度沿的方向运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，设、运动的时间为秒时，与重叠局部的面积为平

48、方厘米这里规定：点和线段是面积为的三角形，解答如下问题： 1点、从出发到相遇所用时间是秒；2点、从开始运动到停止的过程中，当是等边三角形时的值是秒；3求与之间的函数关系式PQABCD21. 定义一种变换：平移抛物线得到抛物线，使经过的顶点设的对称轴分别交于点，点是点关于直线的对称点1如图1，假如：，经过变换后，得到：，点的坐标为，如此的值等于_；四边形为 A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形2如图2，假如：，经过变换后，点的坐标为，求的面积；3如图3，假如：，经过变换后，点是直线上的动点，求点到点的距离和到直线的距离之和的最小值BDCOAyxF1F2BDCOyxF1F2ABDCOyxF1F2

49、AP图1图2图322. 如图，直线交坐标轴于两点，以线段为边向上作正方形，过点的抛物线与直线另一个交点为1请直接写出点的坐标； 2求抛物线的解析式；3假如正方形以每秒个单位长度的速度沿射线下滑，直至顶点落在轴上时停止设正方形落在轴下方局部的面积为，求关于滑行时间的函数关系式，并写出相应自变量的取值X围；OABCDEyx4在3的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上两点间的抛物线弧所扫过的面积备用图23. 如图，点坐标分别为4，0、0，8，点是线段上一动点，点在轴正半轴上，四边形是矩形，且设，矩形与重合局部的面积为根据上述条件，回答如下问题：1当矩形的顶点在直线上时，求的值；2当时

50、，求的值；BCOEDAxy3直接写出与的函数关系式；不必写出解题过程4假如，如此24. 如下列图，某校计划将一块形状为锐角三角形的空地进展生态环境改造的边长120米，高长80米学校计划将它分割成、和矩形四局部如图其中矩形的一边在边上，其余两个顶点、分别在边、上现计划在上种草，每平米投资6元；在、上都种花，每平方米投资10元；在矩形上兴建爱心鱼池，每平方米投资4元1当长为多少米时，种草的面积与种花的面积相等？2当矩形的边为多少米时，空地改造总投资最小？最小值为多少？AGHKBEDFC25. ：是方程的两个实数根，且，抛物线的图象经过点1求这个抛物线的解析式；2设点是抛物线上一动点，且位于第三象限

51、，四边形是以为对角线的平行四边形，求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值X围；3在2的条件下，当的面积为24时，是否存在这样的点，使为正方形？假如存在，求出点坐标；假如不存在，说明理由QBOAPxy26. 如图，抛物线经过三点1求出抛物线的解析式；2P是抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与相似？假如存在，请求出符合条件的点P的坐标；假如不存在，请说明理由；3在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求出点D的坐标OxyABC4127. 如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆的圆心在坐标原点，且与两坐标轴分别交于四点抛物线与轴交于点，与直线交于点，且分别与圆相切于点和点1求抛物线的解析式；2抛物线的对称轴交轴于点，连结，并延长交圆于，求的长OxyNCDEFBMA3过点作圆的切线交的延长线于点，判断点是否在抛物线上，说明理由28. 如图1，：抛物线与轴交于两点，与轴交于点，经过两点的直线是，连结1两点坐标分别为_，_、_，_，抛物线的函数关系式为_；2判断的形状，并说明理由；3假如内部能否截出面积最大的矩形顶点