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1、 带电球体电场与电势的分布王峰（市启秀中学物理学科 226006）在高三物理复习教学中，遇到带电体的、外部场强、电势的分布特点问题时，我们一般以带电金属导体为例，指出其部场强处处为零，在电势上金属体是一个等势体，带电体上的电势处处相等；但对带电金属导体的、外部场强、电势的大小的分布特点及带电绝缘介质球的、外部电场、电势的大小分布很少有详细说明；而在电场一章的复习中，常常会遇到此类问题，高三学生已初步学习了简单的微积分，笔者在此处利用微积分的数学方法，来推导出上述问题的答案，并给出相应的“”和“”的关系曲线图，供大家参考。本文中对电场、电势的分布推导过程均是指在真空环境中，即相对介电常数； 对电
2、势的推导均取无穷远处为电势零参考点的，即。1、 带电的导体球：因为带电导体球处于稳定状态时，其所带电荷全部分布在金属球体的表面，所以此模型与带电球壳模型的电场、电势分布的情况是一致的。1.1电场分布： 1.1.1部（rR）：如图（2）所示，要计算带电金属球（壳）的外部点的电场强度，可以把带电导体球的表面分割成许多的单元面，将每个单元面上电荷在点产生的电场进行叠加，求出点的合场强。由于球面上单元面的对称性特点，可知点的电场强度的方向最终应该沿连线的方向。dsdsdEdEdE+dEOPRr图（2）A上述求电场强度的理论方法是浅显易懂的，但数学处理上比较复杂，需要采用二重积分的方法；即先要对和所在球
3、面上的带电圆环进行的环积分，对求出的环形电场再进行沿直径方向的的积分，最终求出带电球体在点的合场强。积分过程如下：如图（2）所示，设，球表面电荷的面密度为 取球面极坐标，则，其中为沿直径方向的从积分角，为带电圆环的从的还积分。 由可知： 又又 由此可以看出，带电金属球体或金属球壳在外部空间某点产生的电场强度，与其上电荷全部集中在球心时产生的电场强度相等。 当时，有，所以带电金属球或带电球壳的、外电场强度的分布在处电场强度的值有突变的情况。1.1.3图景：如图（3）所示，是带电金属球或带电球壳（导体或绝缘体壳均相同）的电场强度的大小随点到圆心的距离的关系图线。rE0RPO图（3） 1.2电势分布
4、：1.2.1部（rR）：由上述电势理论同样可得： 当时，有，所以带电金属球的、外电势的分布是连续不间断的。Rr0OP图（4）1.2.3图景：如图（4）所示，是带电金属球或带电球壳（导体或绝缘体壳均相同）的电势的大小随点到圆心的距离的关系图线。2、 带电的绝缘体球：这种带电体的电荷是均匀分布在整个球体的各个部位，即电荷的体密度处处相同。2.1电场的分布：2.1.1部（rR）：和带电导体球（或球壳）一样，仍可视为集中在球心处的点电荷在该处产生的电场。 （） 当时，有电场强度的最大值，所以，带电绝缘体球的、外部的电场强度是连续分布的；在处，电场强度最大。2.1.3图景：如图（6）所示，是带电绝缘体球
5、的、外部的电场强度的大小随P点到圆心O的距离r的关系图线。rE0RPO图（6） 2.2电势的分布：2.2.1部（rR）：由上述电势理论同样可得： 当时，即在球体的圆心处电势最高，有 当，即在此球壳处处电势为所以带电绝缘体球的、外电势的分布曲线是连续的。2.2.3图景：如图（7）所示，是带电绝缘体球的、外部的电势的大小随P点到圆心O的距离r的关系图线。Rr0PO图（7） 本文运用数学的积分思想对电场、电势的分布进行推导，引导高三复习的同学从数学角度认识物理过程，加强了数学和物理知识的联系，深化了学生的物理形象思维和抽象思维。但高三学生复习本节知识点时，对于积分的推导过程不必太关注，但对电场、电势
6、推导的结论、图景要作为高考必备知识点给予特别记忆和储存，以达到在高考时节省用在选择题中时间的目的。参考书目：1、凯华、熙谋电磁学1985年6月第二版 高等教育 2、普通高中课程标准实验教材物理31 2004年5月第一版 人民教育联系方式： 单位: 市启秀中学物理学科 王峰 Post: 226001 Tele: 051385582985(宅) （0）13815211388 Email: ntwangfeng163. wfwxch163. 通讯地址：市濠景园14幢102室 王峰 226006个人简介：王峰 男 72年生 市启秀中学高中物理教师 中学一级 2006年就读师大学物理科学与技术学院教育硕士研究生
带电球体电场和电势地分布
