3最优化教案设计对偶理论的及灵敏性分析报告报告材料

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1、word第5章对偶原理与灵敏度分析一、实际问题的提出：实际问题：甲工厂生产两种产品，这两种产品都要在A,B,C三种不同的设备上加工，按工艺资料规定：ABC2元2h4h0h3元2h0h5h各设备计划期内用于生产这两种产品的能力分别为12h，16h，15h。又知道企业生产一件产品获利2元，生产一件产品获利3元。问企业甲应如何安排生产这两种产品，能使总的利润收入最大？目标函数： max Z=2x1+3x2约束： S.t. 2x1 +2x2 12 (a) 4x116 (b) (LP1)5x215 (c)x1,x20最优解(x1,x2)=(3,3) 现假设有乙工厂为扩大生产想租借甲工厂拥有的设备资源，问

2、甲工厂分别以什么样的价格才愿意出租自己的设备？设：A,B,C三种设备每小时出租价格分别为1，2，3，元。一般出租设备的条件是租金收入不低于自己组织生产时的获利收入。所以有 21+42 2 21+ 533出租拥有的全部设备的总收入为121+162+153对乙工厂来讲希望在满足上述两条件下，使支付的总的租金最少，因而可以建立另一个线型规划模型：min 121+162+153 21+42 2 21+ 533 (LP2)1,2 ,30 最优解(1,2 ,3)=(1,0,1/5)这是同样资源从不同角度考虑问题所得到的两个线性规划问题，LP1)称为原问题，(LP2)就称为它的对偶问题。二、数学角度对LP1

3、)，每给出一个可行解，就给出了LP1)问题的一个下界，如x(1)=(3,0)T, Z=6x(2)=(0,3)T, Z=9我们想寻求LP1)的上界 1/2a+1/4(b)+1(c)得到： 2x1 +6x2 25而 2x1 +3x2 2x1 +6x2 25即25是LP1)的一个上界。怎样选择系数，找到LP1)的上确界呢？设系数分别为1,2 ,3满足：1a+2 (b)+3c121+162+153整理，得：21+42x1+21+ 53x2121+162+153为了求目标函数的上界，要求满足21+42 2 21+ 533为求上确界，要求min 121+162+153这引出了另一个问题(LP2) min

4、Z=121+162+153 S.t 21+42 2 21+ 5331,2 ,30与前面一样出现了原/对偶的成对的线型规划问题。总结前面的例题我们得到原问题： max f=cjxj S.t. aij xj bi i=1mXj0 j=1n对偶问题：(LP2) min Z=bii S.t aijicj j=1ni0 i=1m矩阵形式：max cX min bb s.t. ATc X0 0对偶问题的对偶是原问题。将(LP2)写成(LP1)的形式，有max -bii S.t. -aiji -cj j=1ni0 i=1m写出它的对偶形式：min - cjxj S.t -aijxj-bi i=1mXj0 j

5、=1n即为： max cjxj S.t. aij xj bi i=1mXj0 j=1n三对偶问题的一般形式线形规划中的对偶可以概括为三种形式：1. 对称形式的对偶对称形式的对偶定义如下：原问题： 5.1.10对偶问题：C 5.1.20根据对称对偶的定义，原问题中约束条件的个数，恰好等于对偶变量的个数；原问题中变量的个数，恰好等于对偶问题中约束条件的个数。 按照上述定义，很容易写出一个线性规划问题的对偶问题。 例5.1.1 设原问题是：510 那么，上述问题的对偶问题是：1-10 考虑具有等式约束的线性规划问题： 5.1.30 为了利用对称对偶的定义给出5.1.3的对偶问题，先把5.1.3写成等

6、价形式：0即 5.1.4 设对偶变量为u，v根据对称对偶的定义，5.1.4的对偶问题是：0令，显然没有非负限制，于是得到： 5.1.5定义5.1.5为5.1.3的对偶问题。5.1.3和5.1.5构成的对偶与称对偶不同，前者原问题中有个等式约束，而且对偶问题中的个变量无正负号限制，它们称为非对称对偶。 例5.1.2 给定原问题：0它的对偶问题是：543 实际中有许多线性规划问题同时含有“，“与“=型几种约束条件。下面定义这类线性规划问题的对偶问题。 设原问题是：= 5.1.60 其中，是 矩阵，是矩阵，是矩阵，和分别是维，和 维列向量，是维列向量，是维列向量。 现在，我们利用非对称对偶的表达式5

7、.1.3和5.1.5给出5.1.6的对偶问题。为此先引入松弛变量，把5.1.6写成等价形式：= =0其中是由个松弛变量组成的维列向量，是由个松弛变量组成的维列向量。上述问题5.1.7按照非对称对偶的定义，5.1.7的对偶问题是：即 5.1.8 00无限制其中，和分别是由变量组成的维，维，和维行向量。定义5.1.8为5.1.6的对偶问题。由5.1.8可知，原问题中的约束所对应的对偶变量有非负限制，所对应的对偶变量无正负限制，所对应的对偶变量有非正限制。根据以上分析，我们可以总结出构成对偶规划的一般规如此原问题对偶问题 对偶问题原问题目标函数：max 目标函数：min决策变量：n个 约束条件 n个

8、 (0) () 0 无限制 =目标函数决策变量系数 约束条件右端项约束条件：m个 决策变量：m个 (0) () 0 = 无限制例 252 5.1.9=30-11=10，05.1.2 对偶定理 下面研究对偶的根本性质。由于不同形式的对偶可以互相转化，因此我们仅表示并证明关于对称对偶的几个重要定理，其结论对于其他形式的对偶仍成立。原问题： 5.1.10对偶问题：C 5.1.20 设和分别是5.1.1和5.1.2的可行解，如此。证明：利用对偶定义很容易得出定理的结论。由于和0，如此有 5.1.10由于和0，如此有 5.1.11由5.1.10和5.1.11即知证毕上述定理明确，就原问题和对偶问题的可行

9、解而言，对于对偶中的两个问题，每一个问题的任何一个可行解处的目标函数值都给出另一个问题的目标函数值的界。极小化问题给出极大化问题的目标函数值的上界；极大化问题给出极小化问题的目标函数值的下界。推论1 假如和分别是5.1.1和5.1.2的可行解，且=，如此和分别是5.1.1和5.1.2的最优解。推论2 对偶规划5.1.1和5.1.2有最优解的充要条件是它们同时有可行解。推论3 假如5.1.1的目标函数值在可行域上无下界，如此5.1.2无可行解；反之，假如5.1.2的目标函数值在可行域上无上界，如此5.1.1无可行解。 设5.1.1和5.1.2中有一个问题存在最优解，如此另一个问题也存在最优解，且

10、两个问题的目标函数的最优值相等。证明 (看黑板)设5.1.1存在最优解。引进松弛变量，把5.1.1写成等价形式： 5.1.12 00 由于5.1.12存在最优解，因此能够用单纯形方法包括使用能防止循环发生的摄动法求出它的一个最优根本可行解，不妨设这个最优解是相应的最优基是。这时所有判别数均非正，即0 5.1.13 其中，是目标函数中基变量包括松弛变量中的基变量的系数组成的向量。考虑所有原来变量不包括松弛变量在基下的判别数，把它们所满足的条件5.1.13用矩阵形式同时写出，得到0即 5.1.14把所有松弛变量在基下对应的判别数所满足的条件5.1.13用矩阵形式表示，得到0 即0 5.1.15由5

11、.1.14和5.1.15可知，是5.1.2的可行解。 由于非基变量取值为零与目标函数中松弛变量的系数为零，因此有根据定理5.1.1的推论1，是5.1.2的最优解，且5.1.1和5.1.2的目标函数的最优值相等。类似地，可以证明，如果5.1.2存在最优解，如此5.1.1也存在最优解，且两个问题目标函数的最优值相等。证毕 对偶定理也可用其他方法证明。 由上述定理的证明过程可以得到下面一个结论。推论 1 假如线性规划5.1.1存在一个对应基的最优根本可行解，如此单纯形乘子是对问题5.1.2的一个最优解。 根据这个推论从定理的证明过程中，我们能够从原问题的最优单纯形表中直接获得对偶问题的一个最优解。即

12、把5.1.1化成标准形式，在最优单纯型表中松弛变量对应的判别数或剩余变量对应的判别数乘1即为5.1.2当原问题达到最优解对偶问题的最优解。5.1.3 互补松弛性质 利用对偶定理可以证明原问题和对偶问题的最优解满足重要的互补松弛关系。 设和分别是5.1.1和5.1.2的可行解，那么和都是最优解的重要条件是，对所有和，如下关系成立：1. 如果，就有2. 如果，就有3. 如果，就有4. 如果，就有其中是的第列，是的第行。证明 先证必要性。设和分别是5.1.1和5.1.2的最优解。由于以与0，如此有 5.1.16由于和0，如此 5.1.17由于和分别是5.1.1和5.1.2的最优解，根据定理5.1.2

13、，必有 5.1.18由5.1.16至5.1.18得到 5.1.19由5.1.19可知 5.1.20 5.1.21由于0，0，因此由5.1.20得到 由于0，0，因此由式5.1.21得出由此可知关系3.和4.成立。再证充分性。设和分别是5.1.1和5.1.2的可行解，且关系1.，2.3.和4.成立。 由于1.和2.成立，如此对每一个，有 5.1.22由此可推出，即 5.1.23由于关系3.和4.成立，如此对每一个，有 5.1.24 由此可推出，即 5.1.25由5.1.23和5.1.25得到 根据定理5.1.1的推论1，和分别是5.1.1和5.1.2的最优解。对于非对称形式的对偶规划，由于在原问

14、题中约束条件是而对偶变量无正负限制。因此互补松弛性质表示如下： 设和分别是5.1.3和5.1.5的可行解，那么和都是最优解的充要条件是，对于所有，如下关系成立：1. 如果，就有2. 如果，就有 对于对偶规划，当知道一个问题的最优解时，可以利用互补松弛定理求出另一个问题的最优解。 给定线性规划问题：原问题：120它的对偶问题是：2310 设用图解法求得对偶问题的最优解：下面用互补松弛定理求原问题的最优解。由于在最优解处，对偶问题的第3个约束成立严格不等式，因此在原问题中第3个变量。又由于的两个分量均大于零因此在原问题中前两个约束在最优解处成等式即把代入上述方程组，得到解此方程组，得到，。因此原问

15、题的最优解是目标函数的最优值。5.2 对偶单纯形方法 前面用单纯形法求解问题5.2.1时，往往需要引进人工变量，通过解一阶段问题求初始根本可行解。现在利用对偶性质给出一种不需要引进人工变量的求解方法，这就是对偶单纯形法5.2.1 对偶单纯形法的根本思想看例题 x1+x2 -4+8 +7-2x1-x24 2+2+1-2x1+8x2-8 -4 -31 -x1+3x2-7 00 x1+x2-2x1-x2 + y1=4-2x1+8x2 +y2=-8-x1+3x2 +y3=-7 y1 y2 y30-4+8 +7 2+2+ + Z1=1-4 -3+Z2 =1 Z1 Z20第一次迭代 x1 x2 y1 y2

16、 y3 by1y2y3-2-2 -1-143 1 0 0010001-4-8-7-1-1 00001 2 3 z1 z2 bz1z2212-4 1-3100111-48 7000第二次迭代 x1 x2 y1 y2 y3 by1x1y3010-5-2 1100-1001124-30-30041 2 3 z1 z2 b2 z215 1 0.5 2.5-1 0 1.53-12 0 3-4 0-4第三次迭代 x1 x2 y1 y2 y3 by1x1y2o10-7-2-3 1 0 0001-2-1-218760-4 00-171 2 3 z1 z2 b3z2272210130114-18-20-70-7

17、达到最优。由此看出可以不写出对偶表，只在原问题的单纯形表上进展转轴变换即可。原如此：1、先选离基变量：取负值最小者。 2、再选进基变量：原来的列比值现在变成行的比值，判别行与主行中的负值必取最小者。另外，注意到此时原问题的判别行一直保持着， 设是5.2.1的一个根本解，它对应的基矩阵为，记作，假如是5.2.1的对偶问题的可行解，即对所有，成立0，如此称为原问题的对偶可行的根本解。 根据上述定义，显然，对偶可行的根本解不一定是原问题的可行解 计算步骤 对偶单纯形法的计算步骤如下：1. 给定一个初始对偶可行的根本解，设相应的基为。2假如0，如此停止计算，现行对偶可行的根本解就是最优解。否如此，令3

18、假如对所有0，如此停止计算，原问题无可行解。否如此，令4以为主元进展主元消去，返回2.。下面举例说明对偶单纯形法的迭代过程。 用对偶单纯形法解如下问题：230，先引进松弛变量把上述问题化成标准形式：0，为得到一个对偶可行的根本解，把每个约束方程两端乘以-1，这样，变换后的系数矩阵中含有二阶单位矩阵，从而给出根本解它是对偶可行的。把变换后的系数置于单纯形表： -2 -1-4 0 1 0 -2 -2 -20-40 1 -3-12 -8-16 -12 0 0 0 由于因此第2行为主行。又故第4列为主列。以为主元进展主元消去运算，得到下表： -2-1-4 0 1 0 -20 10 -6 -2-16 0

19、 0 -3 9，第1行为主行。因此第2列为主列，以为主元进展主原消去，得到 2 1 4 0 -1 0 2 0-2 1-2 0-8 0 -2 -3 13，第2行为主行。由于最小值因此可以从第1列和第3列中任选一列，比如选第1列，作为主列。以为主元进展主元消去，得到： 0 1-4 4 1 -1 1 1 04 -2-1 0 00 -4 -4 -2 14由于0，现行对偶可行的根本可行的根本解也是可行解，因此得到最优解目标函数最优值 我们从上述最优单纯形表上还可得到对偶问题的最优解： 关于初始对偶可行的根本解 运用对偶单纯形法，需要先给定一个对偶可行的根本解。如果初始对偶可行的根本解不易直接得到，如此解

20、一个扩大问题，通过这个问题的求解给出原问题的解，构造扩大问题的方法如下： 1先给出5.2.1的一个根本解不保证可行，不妨设的前列线性无关，由这列构成基矩阵。这样，5.2.1化成 5.2.80其中是非基变量下标集，。2再增加一个变量和一个约束条件 5.2.9其中是充分大的正数。得到5.2.8的一个扩大问题： 5.2.100， 在5.2.10中，以系数矩阵的前列和第列组成的阶单位矩阵为基，立即得到=0， 这个根本解不一定是对偶可行的。但可由此出发求出5.2.10的一个对偶可行的根本解。用表示约束矩阵的第列。令让离基，选进基以为主元，进展主元消去运算，这时就能得到一个对偶可行的根本解。理由如下： 正

21、如前面屡次指出的，主元消去运算前后判别数之间的关系是 5.2.11其中是运算后在新基下的判别数。 当时，因此有0 5.2.12当时，因此有 5.2.13由5.2.12和5.2.13可知，主元消去后，在新基下的判别数均非正，因此所得到的根本解是对偶可行的。 由于5.2.10的对偶问题有可行解，因此用对偶单纯形方法求解时，仅有如下两种可能的情形： 1.扩大问题没有可行解。这时，原来的问题也没有可行解。如假如不然，设是原来问题的一个可行解，那么就是扩大问题5.2.10的可行解，这是矛盾的。 2.得到扩大问题的最优解：这时，是原来问题的可行解。如果扩大问题的目标函数最优值与无关，如此也是原来问题的最优

22、解。因为原来问题假如有可行解 是扩大问题的可行解，且，与假设矛盾。 用对偶单纯形方法解如下问题：460 解：先引进松弛变量，把上述问题化成标准形式0， 为得到一个根本解，把第1个方程两端乘以-1。这样，作为基变量，作为非基变量。然后增加约束条件 得到原来问题的扩大问题：把扩大问题的约束矩阵至于单纯形表中：-1-1-1 1 0 0 -4 1 22 01 0 61 1 10 0 1 M 2 -10 0 0 0 0 由于，因此以为主元，进展主元消去运算，得到下表：000 1 0 1 0 11 01 -11 1 10 0 1 0 -3-2 00 -2 现已得到扩大问题的一个对偶可行的根本解。下面用对偶

23、单纯形法求解此问题。首先确定离基变量，由于 ，因此取第2行为主行。这一行只有负元，以它为主元进展主元消去，得到下表：011 1 1 0 2 0-1 -1 0-1 11 2 20 1 06 0 -5-4 0 -2 0 -12由于0，因此对偶可行的根本解也是可行解，且为最优解。由此得到原问题的最优解。目标函数最优值 用对偶单纯形方法解如下问题：540，引进松弛变量，再把每个等式两端乘以-1，取为基变量，为非基变量。构造扩大问题如下：=50，把约束矩阵至于单纯形表中：以为主元,进展主元消去，得到扩大问题的对偶可行的根本解。然后，用对偶单纯形方法求解此问题。现将各次迭代结果依次列表如下-1-12 -3

24、 1 0 0-5 -2 1 -1 10 1 0 -41 111 0 0 1 -1 2 3 0 0 0 00-3-30 -5 1 0 -2 -1 2 0 20 1 1 1 1 11 0 0 1 -4 -10 -3 0 0 -31100-3 0 011 0 0 10 1 -3 00 0 010 1 0 0 0 0 10 0 000 -1 -1 -2已经达到最优。扩大问题的最优解是目标函数最优值 由于取任何足够大的正数时，点都是原问题标准形式的可行解，当时，因此原来问题的目标函数值在可行域上无下界。灵敏度分析考虑线性规划问题灵敏度分析一词的含义是指对系统或事物因周围条件变化显示出来的敏感性程度的分析

25、。 线性规划问题的灵敏度分析：1当参数中的一个或几个发生时，问题的最优解会有什么变化。2参数在一个多大X围内变化时，问题的最优解不变。方法是把参数的改变计算反响到最终单纯型表上 5.4.10下面介绍C.b和A的变化所带来的影响。一、 改变系数向量C 设5.4.1的最优解为，目标函数的最优值，其中是最优可行基。分两种情形讨论： 1 非基变量的系数改变为这时， 不变，因此不改变。如果0，那么原来的最优解也是新问题的最优解，且最优值仍为。 如果0，改变后为进基变量。把原来的最优单纯形表中的换成，然后用单纯形法求新问题的最优解。 2.设为基变量，其系数改变为 由于基变量的系数向量改变，因此影响到各判别

26、数。改变后的判别数是 5.4.2 当时 系数不变 5.4.3当时，基判别数因此有 5.4.4目标函数值是 5.4.5 由5.4.3至5.4.5可知，改变为后，只要把原来单纯形表的第行的倍加到判别数行，并使对应的判别数，即可用单纯形方法继续做下去，求新问题的最优解。3X围公式：当，时 给定线性规划问题：640它的最优表是：1 1 11 06 3 0 11 110 3 0 12 012 考虑如下问题：1 把改变为，求新问题的最优解。2 讨论在什么X围内变化时原来的最优解也是新问题的最优解当然，最优值可以不同。 解：先解第1 个问题。由于是非基变量，因此改变只影响对应的判别数。改变后，在现行基下对应

27、的判别数 因此将原最优表中对应的判别数改为-2，并在此根底上继续迭代。1 1 11 063 0 11 110-2 0 12 0120 1 1 0 0 0 得到新问题的最优解目标函数的最优值 再解第2个问题。由于是基变量，因此改变将影响到各个判别数。设改变为，各个判别数变化如下：令所有判别数0，即解此不等式组，得到1。因此，当1时，原来的最优解也是新问题的最优解。改变为后，目标函数的最优值 5.4.3 改变右端向量 设改变为。这一改变直接影响到原来解的可行性。设改变以前最优基为。改变以后必出现如下两种情形之一： 10。这时，原来的最优基仍是最优基，而基变量的取值或者说最优解和目标函数最优值将发生

28、变化。 我们用表示的改变量，记作改变为后，新问题的最优解是： (5.4.6) 目标函数的最优值是： (5.4.7)由上式可知因此单纯形乘子的每个分量可以表达目标函数值随约束右端改变的灵敏度。 20。这时，原来的最优基对于新问题来说不再是可行基。但所有判别数仍小于或等于零，因此现行的根本解是对偶可行的。这样，只要把原来的最优表的右端列加以修改，代之以就可用对偶单纯形法求解新问题。3求b的变化X围，使原最优基保持不变考虑到为使如此应有，有，所以 给定线性规划问题：9240它的最优表是： 10 0 0 20 01 1 60 10 0 -40 -1 0 -2 -17现将右端改为，求新问题的最优解。 先

29、计算改变后的右端列：改变后，原来的最优基不再是可行基。下面用对偶单纯形法求新问题的最优解。先把原来的最优表做相应的修改； 10 0 -1 0 20 01 1 50 10 2 0 -40 -1 0 -2 -9离基，进基，经主元消去运算得到0 0 1 01 0 10 0 -3 -30 -2 0 0 -6新问题的最优解是： 目标函数的最优值 改变约束矩阵 有如下两种情形：1 非基列改变为。这一改变直接影响判别数和单纯形表中第列。改变后，有 如果0，如此原来的最优解也是新问题的最优解。 如果0，如此原来的最优基，在非退化的情形下，不再是最优基。这时，需将列改为，判别数改为，然后把作为进基变量，继续迭代

30、。 2基列改为。 改变中的基向量可能引起严重后果。原来的基向量集合用取代后，有可能线性相关，因而不再构成基，即使线性无关，可以构成基，它的逆与原来基矩阵的逆可能差异很大。由于基向量的改变将带来全面影响，因此在这种情况下，一般不去修改原来的最优表，而是重新计算。 5.4.5 增加新的约束 设原有约束为，0，我们在此根底上增加一个新的约束 5.4.9其中是维行向量。下面分两种情形加以讨论。1 假如原来的最优解满足新增加的约束，那么它也是新问题的最优解。 这显然是的。为了说明这一点，我们记作设是原来的最优解，如此对每个，有 由于因此对每个，必有2 假如原来的最优解不满足新增加的约束，那么就需要把新的

31、约束条件增加到原来的最优表中，再解新问题。 设原来的最优基为，最优解为新增加的约束置入单纯形表之前，先引进松弛变量记，把5.4.9写成 5.4.10增加约束后，新的基与右端向量如下：对于增加约束后的新问题，在现行基下对应变量的判別数是 5.4.11与不增加约束时一样。的判别数是 5.4.12这是必然的，因为是基变量。现行的根本解是： 5.4.13 由5.4.11和5.4.12可知，上述根本解是对偶可行的。由于是原来的最优解，因此0。如果0，如此现行的对偶可行的根本解是新问题的可行解，因而也是最优解。如果，如此可用对偶单纯形法求解。 现在把新增加的约束置于原来的最优表中，也就是原最优表中增加第列

32、和第行。不妨设新的单纯形表5-3实际上，的分量不一定在的左边： 表 5-301 0 0进展初等行变换，把表中，下的矩阵化成单位矩阵，这个变数相当于左乘矩阵因此变换结果，右端向量为正是5.4.13的右端。接下去按对偶单纯形法的步骤求解。17求新问题的最优解。 增加约束后的问题是：924170 原问题的最优解不满足新增加的约束条件，需要引进松弛变量，把增加的约束条件写成再把把这个约束方程的系数至于原来的最优表，并相应地增加一列，得到下表：1 0 0 0 0 2 0 0 1 106 0 1 00-3 1 6 00 01 170 -4 0 -10 -2 0 -17 分别把第1行的3倍，第3行的-6倍加

33、到第4行，使基变量的系数矩阵化为单位矩阵，结果如下：1 0 0 0 0 2 0 0 1 106 0 1 000-4 0 -10-41 -80 -4 0 -10 -2 0 -17现行根本解是对偶可行的，即判别数均非正。用对偶单纯形方法求解。为离基变量，为进基变量，取主元，经主元消去运算，得到下表：1 0 0 0 0 1 0 1 04 0 1 000 1 00 1 20 -2 00 0 -13增加约束后，新问题的最优解是：目标函数的最优值五影子价格 从对偶理论看到，在单纯型法的每一步迭代中，有其中/是线性规划问题的右端项，表示第/种资源的拥有量。对偶变量/的意义，代表对一个单位第/种资源的估价，且

34、这种估价不是市场价格，而是根据资源在生产中做出的贡献而作出的估价。为区别起见，称为影子价格。1 资源的市场价格是数，相比照拟稳定。而它的影子价格如此有赖于资源的利用情况，是未知数。与企业的生产任务，产品结构相关联。2 影子价格是一种边际价格，在上式中/说明/的值相当于在给定的生产条件下，/每增加一个单位时目标函数z的增量。3 资源的影子价格实际上又是一种机会本钱，在纯市场经济条件下，第i种资源的市场价格低于影子价格时可买进。相反，当市场价格高于影子价格时就会卖出这种资源。随着资源的卖出买进，它的影子价格也随之发生变化，一直到影子价格与市场价格保持同等水平时，才处于平衡状态。4 互补定理中有/时/，当/时说明生产过程中，如果资源/未得到充分利用时，该种资源的影子价格为0，又当资源的影子价格不为0时，明确该种资源在生产过程中已消耗完毕。5 从影子价格的含义上考虑单纯型法的计算，因为有/ 当产值大于隐含本钱时，明确生产该项产品有利，可安排生产，否如此，用这些资源来生产别的产品更为有利。这就是单纯型法中各个检验数的经济意义。64 / 64