福建师范大学2022年3月《常微分方程》期末考核试题库及答案参考56

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1、福建师范大学2022年3月常微分方程期末考核试题库及答案参考1. 求直线L在平面：x-y+z+8=0上的投影直线方程求直线L在平面：x-y+z+8=0上的投影直线方程2. 若y=ln(2x)，则y&39;=1/2x。( )A.错误B.正确参考答案：A3. 为了比较甲、乙两组生产的灯泡的使用寿命，现从甲组生产的灯泡中任取5只，测得平均寿命为，标准差s1=28h，从乙组为了比较甲、乙两组生产的灯泡的使用寿命，现从甲组生产的灯泡中任取5只，测得平均寿命为，标准差s1=28h，从乙组生产的灯泡中任取7只，测得平均寿命为，标准差s2=32h，设这两总体都近似服从正态分布，且方差相等，求总体均值差1-2的

2、置信度为0.95的置信区间(-19.74，59.74)4. 问正方形的下列性质哪些是仿射性质? (1)对边平行； (2)四角相等； (3)四边相等；问正方形的下列性质哪些是仿射性质? (1)对边平行； (2)四角相等； (3)四边相等； (4)对角线互相平分； (5)对角线互相垂直； (6)对角线是角的平分线； (7)对角线相等； (8)面积等于一边的平方正确答案：(1)、(4)是仿射性质(1)、(4)是仿射性质5. 函数f(x)=1/x在(0，+)是减函数。( )A.错误B.正确参考答案：B6. 计算下列曲线围成的平面图形的面积： (1) yex，ye-x ，x1 ；(2)yx34x，y0；

3、 (3) yx2，yx，y2计算下列曲线围成的平面图形的面积： (1) yex，ye-x ，x1 ；(2)yx34x，y0； (3) yx2，yx，y2x； (4)y212(x3)，y21正确答案：解 (1)另所求平面图形面积为A如图612所示则rn解(1)另所求平面图形面积为A,如图612所示,则7. 设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则( ) A当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数 B当f(x)是偶函数时，F设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则()A当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数B当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数C当f(x)是周期函数，

4、F(x)必为周期函数D当f(x)是单调增函数，F(x)必为单调增函数8. 直线y=0是曲线y=e-x的水平渐近线。( )A.正确B.错误参考答案：A9. 下面的函数哪些是一对一函数，哪些是一一对应函数： (1)f：NR，其中f(n)=log10n+1； (2)f：NR，其中 (3)f：RR下面的函数哪些是一对一函数，哪些是一一对应函数：(1)f：NR，其中f(n)=log10n+1；(2)f：NR，其中(3)f：RR，其中f(r)=2r+15(1)(2)是一对一函数，(3)是一一对应函数 本题要注意定义域和值域各自的范围 10. 设(1)区域D含有实轴的一段L； (2)函数u(x，y)+iv(

5、x，y)及 u(z，0)+iv(z，0) (z=x+iy) 都设(1)区域D含有实轴的一段L； (2)函数u(x，y)+iv(x，y)及 u(z，0)+iv(z，0) (z=x+iy) 都在区域D内解析，则(试证)在D内 u(x，y)+iv(x，y)u(z，0)+iv(z，0)正确答案：设f1(z)=u(xy)+iv(xy)rn f2(z)=u(x0)+iv(x0)rn 依唯一性定理在L上有f(z)=f1(z)而L每一点都是L的极限点而且LGf1(z)f2(z)都在G内解析由唯一性定理有f1(z)=f2(z)设f1(z)=u(x,y)+iv(x,y)f2(z)=u(x,0)+iv(x,0)依唯

6、一性定理,在L上有f(z)=f1(z),而L每一点都是L的极限点,而且LG,f1(z),f2(z)都在G内解析,由唯一性定理有f1(z)=f2(z)11. 设Aa是Cnn上的相容矩阵范数，B，C都是n阶可逆矩阵，且B1a及C1a都小于或等于1，证明对任何A设Aa是Cnn上的相容矩阵范数，B，C都是n阶可逆矩阵，且B1a及C1a都小于或等于1，证明对任何ACnn，Ab=BACa定义了Cnn上的一个相容矩阵范数正确答案：首先证明Ab=BACa是一个矩阵范数正定性 对任意A0则BAC0即BACa0且BACa=0当且仅当A=0齐次性 Ab=B(A)Ca=BACa=Ab. rn 三角不等式A1+A2b=

7、B(A1+A2)CaBA1Ca+BA2Ca=A1bA2b下面证明相容性A1A2b=B(A1A2)Ca=(BA1C)C1B1(BA2C)aBA1CaC1B1aBA2CaBA1CaC1aB1aBA2CaBA1CaBA2Ca=A1bA2b证毕首先证明Ab=BACa是一个矩阵范数正定性对任意A0,则BAC0,即BACa0,且BACa=0当且仅当A=0齐次性Ab=B(A)Ca=BACa=Ab.三角不等式A1+A2b=B(A1+A2)CaBA1Ca+BA2Ca=A1bA2b下面证明相容性A1A2b=B(A1A2)Ca=(BA1C)C1B1(BA2C)aBA1CaC1B1aBA2CaBA1CaC1aB1aB

8、A2CaBA1CaBA2Ca=A1bA2b证毕12. 怎样利用斯托克斯公式计算第二类曲线积分LPdx+Qdy+Rdz?怎样利用斯托克斯公式计算第二类曲线积分LPdx+Qdy+Rdz?一般说来，当所给的曲线积LPdx+Qdy+Rdz满足下列两个条件时，可考虑用斯托克斯公式进行计算 (1)积分曲线L为一平面与一曲面的交线；(2)比较简单 13. 设uab2c，va3bC，试用n、b、c来表示2u3v设uab2c，va3bC，试用n、b、c来表示2u3v正确答案：2u3v2(ab2c)3(a3bc)5a11b7c2u3v2(ab2c)3(a3bc)5a11b7c14. 若f(x)dx=F(x)+C，

9、则f(ax+b)dx=_若f(x)dx=F(x)+C，则f(ax+b)dx=_F(ax+b)+C15. 在有界闭区域D上的多元初等函数，必取得介于最大值和最小值之间的任何值。( )A.正确B.错误参考答案：A16. 寄存器A是一个8位寄存器，输入为x，寄存器操作为以下语句描述 P:A8x，AiAi+1 试说明该寄存器的功能。寄存器A是一个8位寄存器，输入为x，寄存器操作为以下语句描述P:A8x，AiAi+1试说明该寄存器的功能。从高位输入的8位串行移位寄存器。17. 数列有界是数列收敛的( )A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件参考答案：B18. 设f(x,y)为定

10、义在平面曲线弧段上的非负连续函数，且在上恒大于零。 (1)试证明； (2)试问在相同条件下，第二型设f(x,y)为定义在平面曲线弧段上的非负连续函数，且在上恒大于零。(1)试证明；(2)试问在相同条件下，第二型曲线积分是否成立？为什么？(1)设为光滑曲线(若分段光滑就分段积分)，且 则 由已知条件知 故由定积分的性质，有 (2)在与(1)相同条件下，一般不能成立。这是因为第二型曲线积分与曲线的方向有关。 例：取 在L1上， 在L2上， 但 19. 证明：对任一多项式p(x)，一定存在x1与x2，使p(x)在(-，x1)与(x2，+)上分别严格单调。证明：对任一多项式p(x)，一定存在x1与x2

11、，使p(x)在(-，x1)与(x2，+)上分别严格单调。正确答案：20. 设数项级数收敛，则( )必收敛。 A B C D设数项级数收敛，则()必收敛。ABCDB21. 设，求可逆矩阵P，使P-1AP为上三角矩阵设，求可逆矩阵P，使P-1AP为上三角矩阵，22. 已知函数y=|x|/x，则下列结论正确的是( )。A.在x=0处有极限B.在x=0处连续C.在定义域内连续不可导D.在定义域内连续可导参考答案：D23. 函数y=2008x+cosx-sinx的2008阶导数等于( )A.2008B.cosx-sinxC.sinx-cosxD.sinx+cosx参考答案：B24. 举例说明：若级数，对

12、每个固定的p满足条件 此级数仍可能不收敛。举例说明：若级数，对每个固定的p满足条件此级数仍可能不收敛。调和级数对每一个固定自然数p，有 但该级数是发散的 25. 设f(x，y，z)=Ax2By2Cz2DxyEyzFzx，试按h，k，l的正数幂展开f(xh，yk，zl)设f(x，y，z)=Ax2+By2+Cz2+Dxy+Eyz+Fzx，试按h，k，l的正数幂展开f(x+h，y+k，z+l)26. 某单人裁缝店做西服，每套衣服需要4道不同的工序，4道工序完工后才开始做另一套西服，每道工序所需时间所服从某单人裁缝店做西服，每套衣服需要4道不同的工序，4道工序完工后才开始做另一套西服，每道工序所需时间

13、所服从参数4u的负指数分布，平均需要2h。又设顾客前来定制西装的过程为泊松过程，平均每周来到5.5人(每人定制一套西服，且设每周工作6天，每天工作8h)。试问一位顾客从定货到做好一套西服平均需要多少时间?27. 设A，BAB-E是同阶可逆矩阵，则(A-B-1)-1-A-1)-1等于( ) (A) BAB-E (B) ABA-E (C) ABA-A (D) BAB-B设A，BAB-E是同阶可逆矩阵，则(A-B-1)-1-A-1)-1等于()(A) BAB-E(B) ABA-E(C) ABA-A(D) BAB-BC(A-B-1)-1-A-1)(ABA-A) =(B(AB-E)-1-A-1)(ABA

14、-A) =B(AB-E)-1(AB-E)A-A-1A(BA-E)=E 28. 确定下列方程的阶： (1)yx3x2yx13yx2 (2)yx2yx4yx2确定下列方程的阶： (1)yx3x2yx13yx2 (2)yx2yx4yx2正确答案：(1)(x3)x3 该方程为三阶差分方程rn(2)(x2)(x4)6 该方程为六阶差分方程(1)(x3)x3该方程为三阶差分方程(2)(x2)(x4)6该方程为六阶差分方程29. 曲线y=lnx/x的渐近线为( )。A.y=0B.y=1C.x=0D.x=1参考答案：AC30. 设y1=3，y2=3+x2，y3=3+x2+ex都是方程 (x2-2x)y-(x2

15、-2)y+(2x-2)y=6x-6的解，则方程的通解为_设y1=3，y2=3+x2，y3=3+x2+ex都是方程 (x2-2x)y-(x2-2)y+(2x-2)y=6x-6的解，则方程的通解为_正确答案：y=C1ex+C2e2+3y=C1ex+C2e2+331. 若函数在区间上有原函数，这函数是否在该区间上一定可积？若函数在区间上有原函数，这函数是否在该区间上一定可积？不一定例如函数容易知道F(x)在(-，+)上可导，且即函数f(x)在(-，+)上有原函数F(x)，但由于函数f(x)在x=0的任一邻域内无界，故函数f(x)在包含x=0的区间上不可积32. 在某一试验中变更条件xi四次，测得相应

16、的结果yi示于表71，试为这一试验拟合一条直线，使其在最小二乘意义上最在某一试验中变更条件xi四次，测得相应的结果yi示于表7-1，试为这一试验拟合一条直线，使其在最小二乘意义上最好地反映这项试验的结果(仅要求写出数学模型)。表7-1xi2468yi135633. 设f：X-，与g：X-，是可测函数，证明x：f(x)g(x)与x：f(x)=g(x)都是可测集设f：X-，与g：X-，是可测函数，证明x：f(x)g(x)与x：f(x)=g(x)都是可测集证明令h(x)=g(x)-f(x)由于f，g可测，故h可测又因为 x：f(x)g(x)=x：h(x)0=h-1(0，)， x：f(x)=g(x)=

17、x：h(x)=0=h-1(0)，(0，是-，中的开集，0是-，中的闭集故由可测函数的定义，h-1(0，)与h-1(0)都是可测的，结论成立 34. 曲线y=f(x)关于直线y=x对称的必要条件是( )A.f(x)=xB.f(x)=1/xC.f(x)=-xD.ff(x)=x参考答案：D35. 设f(x)=10x2，试按定义求f&39;(-1)设f(x)=10x2，试按定义求f(-1)f(-1)=-2036. y+4y&39;+4y=xe-2x的特解，应设为y*=(Ax2+Bx)e-2x之形式( )y+4y+4y=xe-2x的特解，应设为y*=(Ax2+Bx)e-2x之形式()正确37. 函数x=

18、xy(1-x-y)的极值点是_ (A)(0，0) (B)(0，1) (C)(1，0) (D)(，)函数x=xy(1-x-y)的极值点是_(A)(0，0)(B)(0，1)(C)(1，0)(D)(，)D因为=y(1-2x-y)，=x(1-x-2y) 令，即 解得：， 又因为 ， 当(x，y)=(0，0)时，A=0，B=1，C=0，B2-AC=10，所以，点(0，0)不是极值点 当(x，y)=(0，1)时，A=-2，B=-1，C=0，B2-AC=10，所以，点(0，1)不是极值点 当(x，y)=(1，0)时，A=0，B=-1，C=-2，B2-AC=10，所以点(1，0)不是极值点， 当(x，y)=(

19、，)时，A=-，B=-，C=-，B2-AC=-0且A0，所以，点(，)是函数的极大值点 故应选(D). 38. 设f(x，y)在点(x0，y0)处有f&39;x(x0，y0)=0，f&39;y(x0，y0)=0，则f(x，y)在(x0，y0)点处全微分是零( )设f(x，y)在点(x0，y0)处有fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0，则f(x，y)在(x0，y0)点处全微分是零()参考答案：错误错误39. 当x1时，与1-x2，指出题中的无穷小量是同阶无穷小量、等价无穷小量还是高阶无穷小量?当x1时，与1-x2，指出题中的无穷小量是同阶无穷小量、等价无穷小量还是高阶无穷小量? 当x1

20、时，与1-x2是同阶无穷小 40. 设向量组1，2，3线性无关，则12，23，31也线性无关设向量组1，2，3线性无关，则1+2，2+3，3+1也线性无关41. 微分方程yy=x21sinx的特解形式可设为( ) Ay*=ax2bxcx(AsinxBcosx) By*=x(ax2bxcAsin微分方程y+y=x2+1+sinx的特解形式可设为()Ay*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)By*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)Cy*=ax2+bx+c+AsinxDy*=ax2+bx+c+AcosxA42. 在球面坐标系中，证明A=为有势场，并求其势函数在球面坐标系中，

21、证明A=为有势场，并求其势函数在球面坐标系中 以，A=A=0代入，得 故A为有势场因此，存在势函数满足 A=-grad 即 于是有，, 由后两个方程，知与、均无关，仅为r的函数所以，积分第一个方程，即得势函数 如果用公式法求势函数，由于A为有势场，且，A=A=0，则 43. 设y=sintdt，求y&39;(0)，设y=sintdt，求y(0)，y(x)=sinx， y(0)=0， 44. 设函数f(x)，g(x)在a，b上连续，且在a，b区间积分f(x)dx=g(x)dx，则( )A.f(x)在a，b上恒等于g(x)B.在a，b上至少有一个使f(x)g(x)的子区间C.在a，b上至少有一点x

22、，使f(x)=g(x)D.在a，b上不一定存在x，使f(x)=g(x)参考答案：C45. 已知直线方程 L1： L2： 验证它们相交，并求它们所确定的平面方程已知直线方程L1：L2：验证它们相交，并求它们所确定的平面方程因为M1(1，1，0)是L1上的点，M2(-1，-2，-1)是L2上的点所以 因为 2，3，1)不平行于-1，1，1 故L1与L2相交 设M(x，y，z)是所求平面的任一点那么平面方程为 即 2x-3y+5z+1=0 46. 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论： 设在0，1上f(x)0，则f&39;(0)，f&39;(1)，f(1)f(0)选择以下题中给出的四个结论中一

23、个正确的结论：设在0，1上f(x)0，则f(0)，f(1)，f(1)-f(0)或f(0)-f(1)几个数的大小顺序为()(A) f(1)f(0)f(1)-f(0)(B) f(1)f(1)-f(0)f(0)(C) f(1)-f(0)f(1)f(0)(D) f(1)f(0)-f(1)f(0)B47. 现有10年期面值1000元的债券，半年换算名息率为8.4%，兑现值为1050元若前5年的半年换算名收益率为10%，后5年现有10年期面值1000元的债券，半年换算名息率为8.4%，兑现值为1050元若前5年的半年换算名收益率为10%，后5年的半年换算名收益率为9%，计算该债券的价格所有息票的现值为 而

24、兑现值的现值为 1050(1+0.05)-10(1+0.045)-10元=415.08元， 故所求债券价格为 528.33元+415.08元=943.41元 48. 求下列微分方程的通解 x3y&39;-x2y+2xy&39;-2y=x3+3x求下列微分方程的通解x3y-x2y+2xy-2y=x3+3x令x=e，即=Inx，于是 ， 代入原方程可得 对应的齐次方程的通解为 又 ，分别为非齐次线性微分方程与的特解，故方程(*)的通解为令=Int，则原方程的通解为 49. 集合A=2，3，4，5，6表示( )A.A是由绝对值小于等于6的全体整数组成的集合B.A是由绝对值大于等于2，小于等于6的全体

25、整数组成的集合C.A是由全体整数组成的集合D.A是由绝对值大于2，小于6的整数组成的集合参考答案：B50. 求y3y&39;4y=0满足初始条件y(0)=1，y&39;(0)=1的特解。求y-3y-4y=0满足初始条件y(0)=1，y(0)=1的特解。答案：51. 无穷小量是一种很小的量。( )A.正确B.错误参考答案：B52. 设f(x)存在，求下列函数y的二阶导数：设f(x)存在，求下列函数y的二阶导数： $ 53. 两个无穷大量的和仍是无穷大。( )A.错误B.正确参考答案：A54. 设X1，X2，是AX=b的两个解，则X1-X2是_的一个解设X1，X2，是AX=b的两个解，则X1-X2

26、是_的一个解AX=055. 已知基金F以利息力函数(t0)累积，基金G以利息力函数(t0)累积若分别用aF(t)和aG(t)表示两个基金在t(t0)时已知基金F以利息力函数(t0)累积，基金G以利息力函数(t0)累积若分别用aF(t)和aG(t)表示两个基金在t(t0)时刻的累积函数，并令h(t)=aF(t)-aG(t)，试计算使h(t)达到最大的时刻T由题设条件有 根据h(t)定义得 h(t)=t-2t2， 由此求出 56. 设A为三阶矩阵，A的特征值为1，3，5，试求行列式det(A*-2E)的值，其中A*是A的伴随矩阵设A为三阶矩阵，A的特征值为1，3，5，试求行列式det(A*-2E)

27、的值，其中A*是A的伴随矩阵因A的特征值为1，3，5，所以A可逆，且detA=15，于是A*的特征值依次为， 所以A*-2E的特征值为15-2=13，5-2=3，3-2=1， 因此det(A*-2E)=1331=39 57. 试证明： 设f(x)在R1上具有介值性，若对任意的rQ，点集xR1：f(x)=r必为闭集，则fC(R1)试证明：设f(x)在R1上具有介值性，若对任意的rQ，点集xR1：f(x)=r必为闭集，则fC(R1)证明 反证法，假定x0R1是f(x)的不连续点，即存在00以及xnx0(n)，使得 |f(xn)-f(x0)|0，|xn-x|1/n 不妨设f(x0)f(x0)+0f(

28、xn)(nN)，取rQ：f(x0)rf(x0)+，则由题设知，存在n(位于x0与xn之间)，使得f(n)=r现在令n，根据点集x：f(x)=r的闭集性，可知f(x0)=r这一矛盾说明fC(R1) 58. 顶点为(2，1，0)，轴为，母线和轴夹角为的圆锥面方程是_，(请用x，y，z的一个关系式表示)顶点为(2，1，0)，轴为，母线和轴夹角为的圆锥面方程是_，(请用x，y，z的一个关系式表示)2(3x+4y+z-10)2=13(x-2)2+(y-1)2+z259. 设f(x)(x0)单调非降且恒大于0，又设X是一离散型随机变量且Ef(X)存在证明：对任意的t0，设f(x)(x0)单调非降且恒大于0，又设X是一离散型随机变量且Ef(X)存在证明：对任意的t0，设X的分布律为PX=ak=pk，k=1，2， 因为f(x)(x0)单调非减，故当t|ak|时，f(t)f(|ak|)于是，对任意的t0， 60. 在椭圆抛物面，zc的一段中，嵌入有最大体积的直角平行六面体，则该六面体的尺寸为长=_，宽=_，高=_在椭圆抛物面，zc的一段中，嵌入有最大体积的直角平行六面体，则该六面体的尺寸为长=_，宽=_，高=_a$b$