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1、数轴上的运动问题在讲这个问题之前，我们先来看一道行程问题。【题1】甲乙两地相距 200米，小明从甲地步行到乙地，用时3分钟，小明的平均速度为多少米每秒?【分析】这个问题的本质，就是把实际生活中的问题剥离出来，抽象成了简单的数学问题，很多学生都会解；初学时，老师会画线段图，用线段的长度来将两点间的距离具象化，如下：小明甲地乙地【解法一】 直接利用：速度=路程十时间解决。200 180 (米/秒)910【解法二】用方程解。设速度为 x米/秒，根据路程=时间x速度，得：200二180x，解得x二_。9如果在线段图上，用一个具体的数来表示甲地和乙地，从甲往乙的方向规定为正方向建立数轴，这个 问题就转化
2、为数轴上的运动问题了。【题2】如图，数轴上有两点 A、B，点A表示的数为0 ,点B表示的数为200，一只电子蚂蚁 P从A出 发，以1个单位每秒的速度由 A往B运动，到B点运动停止。设运动时间为(1)(2)(3)(4)用含 用含 用含t的代数式表示电子蚂蚁 t的代数式表示电子蚂蚁 t的代数式表示电子蚂蚁当电子蚂蚁运动多少时间后，点APP运动的距离；P表示的数；P到数B的距离。P为线段AB的三等分点?to200【分析】引入数轴后，其本质是把线段图换成了带方向带单位长度的直线，将有限的实际距离推广到了无限的距离问题。所以，对于运动的点，处理的核心思想依然是路程=速度X时间。其余的点的距离，禾U用数轴
3、上两点间距离公式解决。(1 )根据路程=速度X时间，有： AP二t ;(2) AP =t，故点P表示的数为t ;(3) 点B表示的数为200,点P表示的数为t，且P在B左边，故PB二200 - t o(4 )若P为AB的三等分点，有两种情况： AP=2PB，即：t 二 2200 -t，解得 t 秒；3 2AP=PB，即：2t = 200 - t,解得 t 200.秒；3现在，我们将 【题2】一般化，线段 AB 一般化为在数轴上的一条定长线段，便得到如下的题：【题3】如图，数轴上有两点 A、B，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且数A和数B的距离为200 个单位长度，一只电子蚂蚁 P从A出发，
4、以1个单位每秒的速度由 A往B运动，到B点运动停止。设运动 时间为to(1) 用含a的代数式表示数 B ；(2) 用含a和t的代数式表示电子蚂蚁P表示的数；(3) 用含t的代数式表示电子蚂蚁 P到数B的距离。AP*ab【分析】一般化后，增加了字母参数，更加抽象化，难度也上升了，但若严格按照逻辑推理进行解题，难 度也会有所下降。(1) 由数轴上两点间距离公式可得：b -a二200,整理得：b二200 a ；(2) 由路程=速度x时间得，AP =t，即A、P两点间的距离为t ;同(1)可得，点P表示的数为a t o(3) 由于数B数P,故根据数轴上两点间距离公式有：BP =b - a t =a 2
5、00 - a t = 200 -t。我们发现，只要线段 AB的长度固定，点 P到B的距离跟A、B表示的数无关。接下来，我们将问题复杂化，变为双动点问题，请看【题4】。【题4】如图，数轴上有两点 A、B，点A表示的数为0，点B表示的数为200，一只电子蚂蚁P从A出 发，以1个单位每秒的速度由 A往B运动，到B点运动停止；另一电子蚂蚁 Q在同一时间从B出发，以2 个单位每秒的速度由 B往A运动，到A点运动停止。设运动时间为 to(1) 当电子蚂蚁 P、Q相距40个单位长度时，求运动时间t;(2) 用含t的代数式表示两只电子蚂蚁的距离。A pQ B0 200【分析】 本题的实质，就是行程问题中的相向
6、运动问题，若用数轴不好理解，可以借助熟悉的行程问题来 辅助理解。(1 )在运动的过程中，点 P和点Q的位置有三种情况：P在Q的右边，P和Q重合，P在Q的左边，故运用两点间距离公式时，需要加个绝对值号，可以有效避免漏掉情况。另外，Q到A后，Q停止，但P继续往B运动，故也得考虑这种情况。 P、Q都在运动时，0秒- t乞100秒时，点P表示的数为t，点Q表示的数为200 - 2t，故P、Q两点间的距离为200 - 2t -1。根据题意有：200 - 2t -1| = 40。很自然地需要分类讨论，考虑了两种情况。 Q停止运动，P继续运动，此时 PQ距离100,故不符合题意。(2P与Q相遇之前，即P在Q
7、的左边，此时有数 Q数P, 0秒乞tv J00秒，此时：3PQ 二 200 - 2t -t = 200 - 3t P与Q相遇后，Q停止运动前，即 Q在P的左边，此时有数 P数Q, 200秒乞t 100秒，此时:3PQ 二 t - 200 - 2t 二 3t - 200 Q停止运动，P继续向B运动直至停止，数 Q为0,数P数Q , 100秒V t岂200秒，此时：【提炼】第（1）问题，禾U用数轴上两点间的距离公式，能有效解决漏掉情况的问题。下面，我们把线段等分点加进来，提升难度，请看【题5】和【题6】。其处理的核心，依然是 表示出相关的数。【题5】如图，数轴上有两点 A、B，点A表示的数为0，点
8、B表示的数为200，只电子蚂蚁 P从A出 发，以1个单位每秒的速度由 A往B运动，到B点运动停止；另一电子蚂蚁 Q在同一时间从B出发，以2 个单位每秒的速度由 B往A运动，到A点运动停止。设运动时间为 t。（1 ）当P为AQ中点时，求运动时间 t；（2）当Q为BP中点时，求运动时间 t。A pQ B0 200【分析】 搭上了线段中点，处理方式依然不变，用含t的代数式表示出数 Q、数P,利用两点间距离公式解题。（1 ）点P表示的数为t，点Q表示的数为200 - 2t，若P为AQ中点，有AP=PQ，即：t二200 - 2t - t，解得：t - 50秒；（2）点P表示的数为t,点Q表示的数为200
9、 - 2t,若Q为BP中点，有PQ=BQ，即：200 - 2t -t二2t，解得：t二40秒。【题6】已知数轴上A、B两点对应的数分别是-2和4，P为原点。若A、B、P三点分别以1个单位每秒、 4个单位每秒、2个单位每秒的速度向右运动，当A、B、P三点有其中一点为其余两点的中点时，求运动的时间。A PB-204【分析】按理说有三种情况，A为P、B中点，B为A、P中点，P为A、B中点，但结合条件，发现A不可能为P、B中点，故此种情况可以舍去。设运动时间为t，则运动过程中，点 A表示的数为t-2，点P表示的数为4t，点B表示的数为4+2t。 B 为 A、P 中点，有 AB=BP，即：4+2t-t+
10、2=4t-4-2t，解得:t=10 秒； P 为 A、B 中点，有 AP=PB，即：4t-t+2=4+2t-4t，解得：t=0.4 秒；接着丫我们迸一步加深难度，将动线段的等分点戏进棗，主或总带从动点，看处逵是否发生鳖化呢？请看LS7L *如图.点A表示的数是丸点B表示前数是L若Q是点B右侧一点，QA的中点为QB的四#132需分点为近点Q）当QEB的右侧运动时用两个结血=BN的值不变的值不蛮，其中只有一个结论是正萌的，谴煤判歸正尊的结论，并求出其頓.“AM B NQ301事析】此劲右一堆处* JIQ点町連Jt隶知.一临爭电减斗如肚4徇处茂讥处血滸武.还址比皎胡华酊* *it fiQ-m JT.對AQ A示的議就千欽阳令僧的祀就成豊示了.册33it BQn JH 点 Q 嵐不杓it冷（n+l A 3【解馬反思】0亠亍於-亍A B0C D
人教版七年级数学上册专题复习数轴上的动点问题讲义含部分答案
