专题二：立体几何---线面垂直、面面垂直

《专题二：立体几何---线面垂直、面面垂直》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题二：立体几何---线面垂直、面面垂直（13页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、word专题二：立体几何-线面垂直、面面垂直一、知识点1线面垂直性质定理2线面垂直判定定理3面面垂直性质定理2面面垂直判定定理线面垂直的证明中的找线技巧通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直1如图1，在正方体中，为的中点，AC交BD于点O，求证：平面MBD证明：连结MO，DB，DBAC，DB平面，而平面DB设正方体棱长为，如此，在Rt中，OMDB=O，平面MBD评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明利用面面垂直寻求线面垂直2如图2，是ABC所在平面外的一点，且PA平面ABC，平面PAC平面PBC求证：BC平面PAC证明：在平面PAC内作ADPC交PC于D因为平面P

2、AC平面PBC，且两平面交于PC，平面PAC，且ADPC，由面面垂直的性质，得AD平面PBC又平面PBC，ADBCPA平面ABC，平面ABC，PABCADPA=A，BC平面PAC评注：条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过此题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直线面垂直面面垂直这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理同

3、学们应当学会灵活应用这些定理证明问题下面举例说明3如图所示，ABCD为正方形，平面ABCD，过且垂直于的平面分别交于求证：，证明：平面ABCD，平面SAB又平面SAB，平面AEFG，平面SBC同理可证评注：此题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化4如图，在三棱锥BCD中，BCAC，ADBD，作BECD，为垂足，作AHBE于求证：AH平面BCD 证明：取AB的中点，连结CF，DF， ， 又，平面CDF平面CDF， 又，平面ABE，平面BCD评注：此题在运用判定定理证明线面垂直时，将

4、问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直如此反复，直到证得结论5如图，是圆的直径，是圆周上一点，平面ABC假如AEPC ，为垂足，是PB上任意一点，求证：平面AEF平面PBC证明：AB是圆的直径，平面ABC，平面ABC，平面APC平面PBC，平面APC平面PBCAEPC，平面APC平面PBCPC，AE平面PBC平面AEF，平面AEF平面PBC评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直如此需从条件出发寻找线线垂直的关系10如图, 在空间四边形SABC中, SA平面ABC, ABC = 90, ANSB于N, AMSC于M。求证

5、: ANBC;SC平面ANM分析:要证ANBC, 转证, BC平面SAB。要证SC平面ANM, 转证, SC垂直于平面ANM内的两条相交直线, 即证SCAM, SCAN。要证SCAN, 转证AN平面SBC, 就可以了。证明:SA平面ABCSABC又BCAB, 且ABSA = ABC平面SABAN平面SABANBCANBC, ANSB, 且SBBC = BAN平面SBCSCC平面SBCANSC又AMSC, 且AMAN = ASC平面ANM例2如图940，在三棱锥SABC中，SA平面ABC，平面SAB平面SBC图9401求证：ABBC；1【证明】作AHSB于H，平面SAB平面SBC平面SAB平面S

6、BC=SB，AH平面SBC，又SA平面ABC，SABC，而SA在平面SBC上的射影为SB，BCSB，又SASB=S，BC平面SABBCAB例3如图941，PA平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分别是AB、PC的中点求证：平面MND平面PCD【证明】取PD中点E，连结EN，EA，如此EN CD AM，四边形ENMA是平行四边形，EAMNAEPD，AECD，AE平面PCD，从而MN平面PCD，MN平面MND，平面MND平面PCD【注】证明面面垂直通常是先证明线面垂直，此题中要证MN平面PCD较困难，转化为证明AE平面PCD就较简单了另外，在此题中，当AB的长度变化时，可求异

7、面直线PC与AD所成角的X围例4如图942，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点图942求证：平面MNF平面ENF【证明】M、N、E是中点，即MNEN，又NF平面A1C1，MNNF，从而MN平面ENFMN 平面MNF，平面MNF平面ENF4如图945，四棱锥PABCD的底面是边长为a的正方形，PA底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB图9451求证：平面PCE平面PCD；2求点A到平面PCE的距离1【证明】PA平面ABCD，AD是PD在底面上的射影，又四边形ABCD为矩形，CDAD，CDPD，ADPD=DCD面PAD，PDA为二面角

8、PCDB的平面角，PA=PB=AD，PAADPDA=45，取RtPAD斜边PD的中点F，如此AFPD，AF 面PAD CDAF，又PDCD=DAF平面PCD，取PC的中点G，连GF、AG、EG，如此GF CD又AE CD，GF AE四边形AGEF为平行四边形AFEG，EG平面PDC又EG 平面PEC，平面PEC平面PCD2【解】由1知AF平面PEC，平面PCD平面PEC，过F作FHPC于H，如此FH平面PECFH为F到平面PEC的距离，即为A到平面PEC的距离在PFH与PCD中，P为公共角，而FHP=CDP=90，PFHPCD，设AD=2，PF=，PC=，FH=A到平面PEC的距离为【拓展练习

9、】一、备选题1如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA平面ABC1求证：平面PAC平面PBC；2假如D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面1【证明】C是AB为直径的圆O的圆周上一点，AB是圆O的直径BCAC；又PA平面ABC，BC平面ABC，BCPA，从而BC平面PACBC 平面PBC，平面PAC平面PBC2【解】平面PAC平面ABCD；平面PAC平面PBC；平面PAD平面PBD；平面PAB平面ABCD；平面PAD平面ABCD2ABCABC是正三棱柱，底面边长为a，D，E分别是BB，CC上的一点，BDa，ECa1求证：平面ADE平面ACCA；2求截面ADE的面积1【证明】分别取AC、AC的中点M、N，连结MN，如此MNAABB，B、M、N、B共面，M为AC中点，BC=BA，BMAC，又BMAA且AAAC=ABM平面AACC设MN交AE于P，CEAC，PNNA又DBa，PNBDPNBD，PNBD是矩形，于是PDBN，BNBM，PDBMBM平面ACCA，PD平面ACCA，而PD平面ADE，平面ADE平面ACCA2【解】PD平面ACCA，PDAE，而PDBMa，AEaSADEAEPD二、练习题精彩文档