动量守恒定律的典型例题

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1、动量守恒定律的典型例题【例1】把一支枪固定在小车上，小车放在光滑的水平桌面上枪发射出一颗子 弹.对于此过程，下列说法中正确的有哪些？A .枪和子弹组成的系统动量守恒B. 枪和车组成的系统动量守恒C. 车、枪和子弹组成的系统动量守恒D. 车、枪和子弹组成的系统近似动量守恒，因为子弹和枪筒之间有摩擦力.且 摩擦力的冲量甚小【分析】本题涉及如何选择系统，并判断系统是否动量守恒.物体间存在相互作 用力是构成系统的必要条件，据此，本题中所涉及的桌子、小车、枪和子弹符合 构成系统的条件.不仅如此，这些物体都跟地球有相互作用力. 如果仅依据有相 互作用就该纳入系统，那么推延下去只有把整个宇宙包括进去才能算是

2、一个完整 的体系，显然这对于分析、解决一些具体问题是没有意义的. 选择体系的目的在 于应用动量守恒定律去分析和解决问题， 这样在选择物体构成体系的时候，除了 物体间有相互作用之外，还必须考虑“由于物体的相互作用而改变了物体的动 量”的条件.桌子和小车之间虽有相互作用力，但桌子的动量并没有发生变化.不 应纳入系统内，小车、枪和子弹由于相互作用而改变了各自的动量， 所以这三者 构成了系统.分析系统是否动量守恒，则应区分内力和外力.对于选定的系统来 说，重力和桌面的弹力是外力，由于其合力为零所以系统动量守恒.子弹与枪筒 之间的摩擦力是系统的内力，只能影响子弹和枪各自的动量，不能改变系统的总 动量.所

3、以D的因果论述是错误的.【解】正确的是C.【例2】一个质量M=1kg的鸟在空中vo=6m/s沿水平方向飞行，离地面高度 h=20m，忽被一颗质量m=20g沿水平方向同向飞来的子弹击中，子弹速度v=300m/s,击中后子弹留在鸟体内，鸟立即死去，g=10m/s2.求：鸟被击中后经 多少时间落地；鸟落地处离被击中处的水平距离.【分析】子弹击中鸟的过程，水平方向动量守恒，接着两者一起作平抛运动。【解】把子弹和鸟作为一个系统，水平方向动量守恒.设击中后的共同速度为u, 取vo的方向为正方向，则由Mvo + mv = (m + M)u，Mv 0 + mvm + M1X6 + 2OX1Q-3X3OO20X

4、105+ 1=11.76m/s.击中后，鸟带着子弹作平抛运动，运动时间为鸟落地处离击中处水平距离为S= ut= 11.76X 2m = 23.52m.【例3】一列车沿平直轨道以速度vo匀速前进，途中最后一节质量为 m的车厢 突然脱钩，若前部列车的质量为 M，脱钩后牵引力不变，且每一部分所受摩擦 力均正比于它的重力，则当最后一节车厢滑行停止的时刻，前部列车的速度为A. v0B.D.【分析】列车原来做匀速直线运动，牵引力F等于摩擦力f，f=k（m + M）g（k为比 例系数），因此，整个列车所受的合外力等于零.尾部车厢脱钩后，每一部分所 受摩擦力仍正比于它们的重力.因此，如果把整个列车作为研究对象

5、，脱钩前后 所受合外力始终为零，在尾部车厢停止前的任何一个瞬间，整个列车（前部+尾部） 的动量应该守恒.考虑刚脱钩和尾部车厢刚停止这两个瞬间，由(m+M)v 0=0+Mv得此时前部列车的速度为【答】B 【说明】上述求解是根据列车受力的特点， 恰当地选取研究对象，巧妙地运用了 动量守恒定律，显得非常简单.如果把每一部分作为研究对象， 就需用牛顿第二 定律等规律求解有兴趣的同学，请自行研究比较.【例4】质量mi=10g的小球在光滑的水平桌面上以 v仁30cm/s的速率向右运动， 恰好遇上在同一条直线上向左运动的另一个小球. 第二个小球的质量为 m2=50g， 速率v2=10cm/s.碰撞后，小球m

6、2恰好停止.那么，碰撞后小球 mi的速度是多 大，方向如何？【分析】取相互作用的两个小球为研究的系统。 由于桌面光滑，在水平方向上系 统不受外力.在竖直方向上，系统受重力和桌面的弹力，其合力为零.故两球碰 撞的过程动量守恒.【解】设向右的方向为正方向，则各速度的正、负号分别为vi=30cm/s，v2=10cm/s，v2=0.据动量守恒定律有mi vi +m2v2=mivi+m2v2.贝IJ10x30-50xiO-10xv +o.解得 v1=-20cm/s.即碰撞后球m1的速度大小为20cm/s，方向向左.【说明】通过此例总结运用动量守恒定律解题的要点如下.(1) 确定研究对象.对象应是相互作用

7、的物体系.(2) 分析系统所受的内力和外力，着重确认系统所受到的合外力是否为零，或合 外力的冲量是否可以忽略不计.选取正方向，并将系统内的物体始、末状态的动量冠以正、负号，以表示动 量的方向.(4)分别列出系统内各物体运动变化前(始状态)和运动变化后(末状态)的动量之 和.(5)根据动量守恒定律建立方程，解方程求得未知量.【例5】甲、乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏.甲和他的冰车的总质量 共为M=30kg，乙和他的冰车的总质量也是 30kg.游戏时，甲推着一质量为 m=15km的箱子，和他一起以大小为vo=2m/s的速度滑行.乙以同样大小的速度 迎面滑来.为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推

8、给乙，箱子到乙处时乙迅速把 它抓住.若不计冰面的摩擦力，求甲至少要以多大的速度(相对于地面)将箱子推出，才能避免和乙相碰.【解】设甲推出的箱子速度为V,推出后甲的速度变为V1，取V0方向为正方向, 据动量守恒有(M + m)vo= Mvi + mv. (1)乙抓住箱子的过程，动量守恒，则Mv + mvo=(M + m)v2.(2)甲、乙两冰车避免相撞的条件是 V2VI,取v2=v1. (3)联立(1)、(2)、(3)式，并代入数据解得v=5.2m/s.【说明】本题仅依据两个动量守恒的过程建立的方程还能求解，关键是正确找出临界条件，并据此建立第三个等式才能求解.【例6】两辆质量相同的小车A和B，

9、置于光滑水平面上，一人站在 A车上， 两车均静止.若这个人从 A车跳到B车上，接着又跳回A车，仍与A车保持相 对静止，则此时A车的速率A 等于零B 小于B车的速率C.大于B车的速率D .等于B车的速率【分析】设人的质量为mo,车的质量为m.取A、B两车和人这一系统为研究 对象，人在两车间往返跳跃的过程中，整个系统水平方向不受外力作用， 动量守 恒.取开始时人站在A车上和后来又相对A车静止时这两个时刻考察系统的动 量，则0= (mo + m)VA+ mvB，得久E两车速度之比空=一_m0 + m可见，两车反向运动，A车的速率小于B车的速率.【答】B.【说明】本题中两车相互作用前后动量在一直线上，

10、 但两者动量方向即速度方向 均不甚明确，因此没有事先规定正方向，而是从一般的动量守恒表达式讨论.由注为负值，可知两车运动方向相反.【例7】甲、乙两船在平静的湖面上以相同的速度匀速航行，且甲船在前乙船在 后.从甲船上以相对于甲船的速度 v，水平向后方的乙船上抛一沙袋，其质量为 m.设甲船和沙袋总质量为M，乙船的质量也为M .问抛掷沙袋后，甲、乙两船 的速度变化多少？【分析】由题意可知，沙袋从甲船抛出落到乙船上，先后出现了两个相互作用的 过程，即沙袋跟甲船和沙袋跟乙船的相互作用过程.在这两个过程中的系统，沿水平方向的合外力为零，因此，两个系统的动量都守恒.值得注意的是，题目中 给定的速度选择了不同

11、的参照系.船速是相对于地面参照系，而抛出的沙袋的速 度v是相对于抛出时的甲船参照系.【解】取甲船初速度V的方向为正方向，则沙袋的速度应取负值.统一选取地 面参照系，则沙袋抛出前，沙袋与甲船的总动量为 MV .沙袋抛出后，甲船的动量为(M-m)v甲，沙袋的动量为m(v甲-v).根据动量守恒定律有MV=（M-m）v 甲+ m（v 甲-v）.取沙袋和乙船为研究对象，在其相互作用过程中有MV + m（v 甲-v） = （M+m）v 乙.（2）联立（I）、（2）式解得v宀忖=：y-M 乙+ m)则甲、乙两船的速度变化分别为m(Mm)M(M + m)【例8】小型迫击炮在总质量为1000kg的船上发射，炮弹

12、的质量为2kg .若炮弹 飞离炮口时相对于地面的速度为 600m/s,且速度跟水平面成45角，求发射炮 弹后小船后退的速度？【分析】取炮弹和小船组成的系统为研究对象，在发射炮弹的过程中，炮弹和炮 身（炮和船视为固定在一起）的作用力为内力.系统受到的外力有炮弹和船的重 力、水对船的浮力.在船静止的情况下，重力和浮力相等，但在发射炮弹时，浮 力要大于重力.因此，在垂直方向上，系统所受到的合外力不为零，但在水平方 向上系统不受外力（不计水的阻力），故在该方向上动量守恒.【解】发射炮弹前，总质量为1000kg的船静止，贝U总动量Mv=0 .发射炮弹后，炮弹在水平方向的动量为 mvicos45，船后退的

13、动量为（M-m）V2.据动量守恒定律有0=mvi cos45+ (M-m)v 2.取炮弹的水平速度方向为正方向，代入已知数据解得m cos 4亍M - m10002 X 600 = _ 86m Z S【例9】两块厚度相同的木块A和B，并列紧靠着放在光滑的水平面上，其质量 分别为mA=2.0kg, mB=0.90kg它们的下底面光滑，上表面粗糙另有质量 mc=0.10kg的铅块C（其长度可略去不计）以vc=10m/s的速度恰好水平地滑到 A的 上表面（见图），由于摩擦，铅块最后停在本块 B上，测得B、C的共同速度为 v=0.50m/s,求木块A的速度和铅块C离开A时的速度.【分析】C滑上A时，由

14、于B与A紧靠在一起，将推动B 一起运动.取C与A、 B这一系统为研究对象，水平方向不受外力，动量守恒滑上后， C在A的摩擦 力作用下作匀减速运动，（A + B）在C的摩擦力作用下作匀加速运动待 C滑出 A后，C继续减速，B在C的摩擦力作用下继续作加速运动，于是 A与B分离, 直至C最后停于B上.【解】设C离开A时的速度为vc,此时A、B的共同速度为va,对于C刚要滑 上A和C刚离开A这两个瞬间，由动量守恒定律知mC/c=(mA+mB)vA+mC/C(1)以后，物体C离开A，与B发生相互作用.从此时起，物体 A不再加速，物体 B将继续加速一段时间，于是 B与A分离.当C相对静止于物体B上时，C与

15、 B的速度分别由vC和va变化到共同速度V.因此，可改选C与B为研究对象， 对于C刚滑上B和C、B相对静止时的这两个瞬间，由动量守恒定律知mCvC+mBvA=(mB+mC)v(2)由(I)式得 mCvc=mcvc-(mA+ mB)vA代入(2)式 mCvTmA+mCJvA+mBvAmB+mCJv.得木块A的速度mA010x10-(0 90 + 0.10)x0.5020 0.25m f s.所以铅块C离开A时的速度叫010x10-(0 90 + 0.10)x0.50 =m f 気2Q 0.25m f s.【说明】应用动量守恒定律时，必需明确研究对象，即是哪一个系统的动量守 恒另外需明确考察的是系

16、统在哪两个瞬间的动量如果我们始终以（C + A + B）这一系统为研究对象，并考察 C刚要滑上A和C刚离开A，以及C、B刚相对 静止这三个瞬间，由于水平方向不受外力，则由动量守恒定律知mcvc=(mA+mB)vA+mcvc=mA/A+(mB+mC)v.同样可得；_ mcvc-(mA + mB)vA7 c，垃C01x10-(2.0 + 090)x025;=-m / s,0.10=2.75m / 【例10】在静止的湖面上有一质量 M=1OOkg的小船，船上站立质量 m=50kg的人，船长L=6m，最初人和船静止.当人从船头走到船尾（如图），船后退多大 距离？（忽略水的阻力）分析有的学生对这一问题是

17、这样解答的.由船和人组成的系统，当忽略水的阻 力时，水平方向动量守恒.取人前进的方向为正方向，设 t时间内人由船头走到船尾，则人前进的平均速度为工 船在此时间内后退了通 t距离，则船后退的速度平均为工，水平方问动量守恒方程为t这一结果是错误的，其原因是在列动量守恒方程时，船后退的速度VT丝是相对于地球的，而人前进的速度上是相对于船的-相对于不同参 tt考系的速度代入同一公式中必然要出错.【解】选地球为参考系，人在船上行走，相对于地球的平均速度为口 船相对于地球后退的平均速度为二系统水平方向动量守恒方程 tt为L- x fm+ M - = 0,ttJ故x = L =12m.M + m【例11】一

18、浮吊质量M=2 x 104kg，由岸上吊起一质量 m=2X103kg的货物后， 再将吊杆OA从与竖直方向间夹角9 =60转到9 =30，设吊杆长L=8m，水 的阻力不计，求浮吊在水平方向移动的距离？向哪边移动？【分析】对浮吊和货物组成的系统，在吊杆转动过程中水平方向不受外力，动量 守恒.当货物随吊杆转动远离码头时，浮吊将向岸边靠拢，犹如人在船上向前走 时船会后退一样，所以可应用动量守恒求解.【解】设浮吊和货物在水平方向都作匀速运动，浮吊向右的速度为V,货物相对于浮吊向左的速度为u，则货物相对河岸的速度为（v-u）由0= Mv + m(v-u)，得耳=muM + m吊杆从方位角9转到B需时L s

19、in 9 -Lsin 日 f ）t =Lu所以浮吊向岸边移动的距离muM + mL(sin 9 - sin 9 J )(sin 8M +m2X1O3X82X10* +2X 103tn * 0 27m2J【说明】当吊杆从方位角9转到9 时，浮吊便向岸边移动一定的距离，这个距 离与吊杆转动的速度，也就是货物移动的速度无关。但为了应用动量守恒定律， 必须先假设浮吊和货物移动为某个速度。【例12】如图所示，一排人站在沿x轴的水平轨道旁，原点0两侧的人的序号 都记为n（n=1，2，3）.每人只有一个沙袋，x0 一侧的每个沙袋质量m=14kg， x pi时，车就反向滑行.于是由2nmvn-i M + (n

20、-l)mv n-i，M -mn m48-1414=2.43.取n=3，即车上堆积3个沙袋时车就反向运动.设车向负x方向滑行过程中，当第(n i)个人扔出沙袋后的车速为vz，其动 量大小为pi= M + 3m+ (n-l)m vn-i.车经过第n个人时，扔出沙袋的速度大小为2nvn-i，其动量大小为当满足条件P2=Pi时，车就停止.于是由M + 3m+ (n-l)mv n-i = 2n mvn-i，48 + 3x14-10=8.得10所以车停止时车上共有沙袋数为N=3+ 8=11(个).【说明】本题依据的物理道理是很显然的， 由于构思新颖，使不少同学难以从具 体问题中抽象出简化的物理模型， 以致

21、感到十分棘手.因此，学习中必须注重打 好基础和提高分析问题的能力.【例13】一个静止的质量为M的原子核，放射出一个质量为 m的粒子，粒子离 开原子核时相对于核的速度为 vo，原子核剩余部分的速率等于 C.【分析】取整个原子核为研究对象。由于放射过程极为短暂，放射过程中其他外 力的冲量均可不计，系统的动量守恒.放射前的瞬间，系统的动量 p1=0，放射 出粒子的这一瞬间，设剩余部分对地的反冲速度为v,并规定粒子运动方向为正 方向，则粒子的对地速度v=vo-v，系统的动量p2=mv-(M-m)v =m(vo-v)-(M-m)v.由P仁卩2，即O=m(vo-v)-(M-m)v 二mvo-Mv.得/ =【答】C.【说明】本题最容易错选成B、D.前者是没有注意到动量守恒定律中的速度必 须统一相对于地面，误写成o=mvo-(M-m)v.后者是已规定了正方向后，但计算矢量和时没有注意正负，误写成o=m(vo-v) + (M-m)v.2m - M对于矢量性较熟悉的读者，也可不必事先规定正方向，而根据解题结果加以判断, 如本题中，粒子对地速度可表示为 v=vo + V,由系统的动量守恒，O=mv+(M-m)v =m(vo + v) + (M-m)v.表示核的反冲速度与粒于运动速度方向相反.