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1、第六讲：广义积分(反常积分)反常积分概念:定积分是有界函数 f(x)在有限区间a,b上讨论的积分问题，但有的积分问题需要在无穷区间上讨论，或者是讨论无界函数的积分，这就是广义积分(或称反常积分) 第一类反常积分(无穷积分):.bf(x)dx 或 f(x)dxa.第二类反常积分(瑕积分)bf (x)dx 其中:alim f (x)-：:或x_alim f (x) vjb -在上两个定义式中,若积分存在，则称相应的反常积分收敛；若积分不存在,则称其为发散.例:计算广义积分七 1七C丄X2 dx e dxx230f xedx-8重要例题：讨论p-积分的敛散性：+ 03 11 Tdx = J1 x1
2、p-1p 1咼P兰1下面先针对第一类反常积分的敛散性的判断进行讨论 第一类反常积分的敛散性判别法：(仅讨论f (x)dx的形式)-a绝对收敛性：f (x)dx绝对收敛，或称 f (x)在区a若反常积分一 | f (x) | dx收敛，则称反常积分间a, ：)上绝对可积；若反常积分 | f (x) | dx发散，而反常积分 f(x)dx收敛，则称反常积分 aabo.a f(x)dx条件收敛，或称f (x)在区间a, ：)上条件可积。定理：(x)dx绝对收敛，则.f (x)dx必收敛a正项反常积分的敛散性判别：(即以下讨论中，被积函数都是非负的)比较判别法：设在a, ：)上恒有0乞f(x)乞K(x
3、)，其中K是正常数。则r -he4=0C1 )当(x)dx收敛时，f(x)dx也收敛;a也(2)当& f (x)dx发散时，& (x)dx也发散。例:比较判别法的极限形式设在a, ：)上恒有 f(X)_ 0， g(x) _ 0，且 lim= c。则:J枚 g(x)(1) 若0 ：c ： +二，贝V f (x)dx与g(x)dx具有相同的敛散性;LaLa(2) 若c=0，且g(x)dx收敛，则f (x)dx收敛；a a(3) 若 c = ：，且.g(x)dx发散，则.f(x)dx发散。a a例:xm11 xdx(m, n 0)1在实际做题中，经常取(x)p，由此可得如下两个定理：x柯西判别法：设
4、在a, ：)(0, ：)上恒有f(x) _0, K是正常数。K4=0若f(x) p，且p 1，则 f(x)dx收敛；X paK咼若f (x) 一二，且p乞1，则 f(x)dx发散。xp、a柯西判别法的极限形式:lim xpf (x)二 l ,x F：则若0乞l ： :，且p .1，则f (x)dx收敛；若 O ： 1 一 ：，且 p a且吧g(x)例:二 COSX dxx:c o xxar ct axnd x第二类反常积分的敛散性判别法:绝对收敛性：b若反常积分 | f (x) | dx收敛，则称反常积分abf (x) dx绝对收敛，或称 f (x)在区间aa,b)上绝对可积;bb若反常积分|
5、 f (x) |dx发散，而反常积分a-abf (x)dx收敛，则称反常积分 f(x)dx条La件收敛，或称f (x)在区间a,b)上条件可积。 定理：bb若.f (x)dx绝对收敛，则.f(x)dx必收敛aa正项反常积分的敛散性判别：(即以下讨论中，被积函数都是非负的)比较判别法：设在a,b)上恒有0乞f(x)空K (x)，其中K是正常数。则b(1 )当(x)dx 收敛时,abf (x)dx也收敛;abb(2 )当f (x)dx发散时，(x)dx也发散。a=a比较判别法的极限形式：bb对以b为唯一瑕点的两个瑕积分f(x)dx与 g(x)dx如果f (x),a ag(x)是非负函数，且lim丄
6、勺二1,则:x 山一g(x)b(1)当0乞I ：，且.g(x)dx收敛时，则.f (x)dx也收敛.aabb当0 ： I ,且 g(x)dx发散时，则f (x)dx也发散.aa柯西判别法:设x=a是f(x)在(a,b上的唯一奇点，在其任意闭区间上可积，c0,那么cb(1)如 0Ef(x)乞 且 pel 则f (x)dx 收敛.(x a)， ac如f(x) 一 L,且一1b则 f (x)dx发散.a柯西判别法的极限形式：设 Jim (x _a)p f (x) =kb(1)若 0 乞 k：，且 p ：:1,则 a f(x) dx收敛b(2)若0kE旳，且p Z1,那么a f (x)dx发散.例:(
7、1)1dx0 (1 - x2)(1 - k2x2)2(k 0)一 dx( 0)Au02A-D判别法：b若下列两个条件之一满足，则.f(x)g(x)dx收敛：(b为唯一瑕点)ab(1) (阿贝尔判别法).f (x)dx收敛，g(x)在a, b)上单调有界ab-(2) (狄利克雷判别法)F ( ) = f (x)dx在a, b )上有界，g(x)在a7(0,b - a上单调，且 lim g(x) = 0.XTb 例: 1sinxdx(0p 2)(8)练习题:In In x .,(1)sin xdx； 2 In x七c2sinx dx ；0匹12dx ；0 cos xsin x0 竺 dx ；x2 TxR(1 - x)qSn xdx ；p A qT(p,q 0)；JX - xM , idx0 In xi 1b kdx;0 xp e_xdx;0(9)广竺2dx ；(10):esinxsi n2xf 0 xpdx ；（11）:q-= x sin x11 xpdx1si n(x )-heY-dx0 xp(P-0)；(P 0)-(12)
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