高教社杯全国大学生数学建模竞赛储油罐的变位识别与罐容表标定

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1、2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他 公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D中选择一项填写）：A我们的参赛报名号为（如果赛区设置

2、报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）： 西北工业大学参赛队员（打印并签名）：1.张树2. 张鼎文3. 王渊指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：张胜贵日期：2010年9 月_10_日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：储油罐的变位识别与罐容表标定摘要在本论文中， 我们将理论推导与数据分析相结合， 逐步给出了储油罐变位识 别和灌容量标定问题的解决方法。对于问题一，我们首先分析在无变位情况下，

3、 不计油罐中注油管、出油管和油浮子杠杆所占空间时油罐内储油量U0(h) 与试验数据之间的差异，通过数据拟合，确定了用U0 (h) 近似表示实际储油量的误差o(h)(我们称之为系统误差)；然后针对纵向倾斜角度为4.1的情况，用不计油 罐中注油管、出油管和油浮子杠杆所占空间时油罐内储油量 U,(h)与0(h)作之差 为实际储油量的近似值， 将此值与试验数据作对比， 发现有很好的精度， 从而以 此作为灌容表标定函数，并给出油位高度间隔为1cm的灌容表的标定值。对于问 题二，我们首先确定在无变位情况下， 不计油罐中注油管、 出油管和油浮子杠杆 所占空间时油罐内储油量 U (0,0, h) ，将此与所给

4、数据中的原始灌容表作对比， 发 现误差很小， 这说明此时的系统误差可以忽略不计； 所以在同时存在纵向倾斜和 横向偏转的时候， 用不计油罐中注油管、 出油管和油浮子杠杆所占空间时油罐内 储油量 U ( , ,h) 作为实际储油量的近似函数；根据所给数据，通过建立了一个 优化模型，我们确定了纵向倾斜和横向偏转的角度2.6，并在此基础上，给出油位高度间隔为10cm的灌容表的标定值；进一步，我们将模型计算 结果与实际检测数据作详细对比， 均得到较小的误差， 验证了模型的正确性和方 法的可靠性。关键字：变位识别 罐容表标定 数值积分 数据拟合10一、问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且

5、一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进 /出油量与罐内油位高度 等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系） 进行实 时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生 纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照 有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图 1是一种典型的储油罐尺寸及形 状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图 2是其罐体纵向倾斜变位的示意 图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问

6、题。（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两 端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为=4.1 0的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表 的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型， 即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度 ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2）,根 据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm 的罐容表标定值。进一步利用附

7、件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正 确性与方法的可靠性。二、模型假设1假定对储油罐的尺寸数据测量精确无误差；2假定在附件一及附件二所给时间段内储油罐倾斜的角度不会再次发生改变;3假设在储油罐中油量较多时，储油罐不会因液压而产生形变；4假设储油罐偏斜的角度均不会超过10 ； 三、符号说明Uo h无变位时两端平头椭圆体储油罐不计其中注油管、出油 管和油浮子杠杆所占空间时的液面咼度为h时的储油量U1 h纵向发生4.1变位后储油罐的不计其中注油管、出油管和油浮子杠杆所占空间时的液面咼度为h的储油量0 h问题一中油罐的系统误差函数Vo h无变位时两端平头椭圆体储油罐实际罐容表标定函数V1 h纵向

8、发生4.1变位后储油罐的实际罐容表标疋函数U 0,0,h无变位时实际储油罐不计其中注油管、出油管和油浮子 杠杆所占空间时的液面咼度为h时的储油量V 0,0,h实际储油罐不发生变位时实际罐容表标定函数U , ,h发生变位的实际储油罐不计其中注油管、出油管和油浮 子杠杆所占空间时的液面咼度为h时的储油量V , ,h实际储油罐发生变位时实际罐容表标疋函数四、模型建立及求解问题一：4.1 不发生变位的罐容表标定模型对于储油罐不倾斜的情况，我们首先来求当不计油罐中注油管，出油管和油 浮子杠杆所占空间的前提下，当油位高度为 h时，储油量Uo h。JlY采用积分的方法可以获得Uo h的表达式 取垂直于中心轴

9、线的截面，其中当液面高 度为H时竖截面微元面积A。可由如下定积分 求得：h b XAo 2 a 12dxb ： b2h b2ab 丁 cos d Sinh barcs in2ab b darcsin 12abarcsin 口arcsin 1cos2 d2abh barcs inbarcsin 11-absin 22h barcsinbarcsin 1abarcsin 口arcs in 1ab sin 2arcsin2sin 2arcs in1A椭圆ab arcs inab ab . c . h b sin 2arcsin -22b1abh b一 sin 2arcsin 2b由此得到储油罐的部分

10、容积函数如下：Uo h L Aoh b abL ab arcsin 一b 2显然可以用Uo h近似表达实际情况下的罐容表 V0 h 。把附件一中无变位进油数据中的h代入Uo h的得到的容积值与实测值进行对比（如下图1），不难看出，用Uo h表达实际罐容表存在较大误差，经计算其n Uo hi Vo h平均相对误差为3.49%。我们认为这个差异主要是由油罐中注i1V。hn油管，出油管和油浮子所占空间所引起的系统误差以下我们对Uo h与实测数据Vo h之差作函数拟合（如下图2），得到该系统误差 0 h的表达式为 0 h 0.017467h 0.15014。图1 Uo h与实测数据误差图图2误差散点图

11、与拟合后函数0 h我们用Uo hh作为储油容积与h关系的近似表达式重新求解平均相对误差，已经降到0.67%,已经相当精确。为进一步验证上述修正模型的正确性， 我们利于附件一中无变位出油数据对 修正模型加以验证。由于不知道出油时初时油量，我们用实测与理论上出油增量 的平均相对误差进行验证。使用 MATLAB计算平均相对误差仅有0.93%,表示该 修正模型可以比较好的作为实际情况的一个近似。4.2变位后的罐容表标定模型储油罐在纵向发生的4.1变位时，我们首先来求当不计油罐中注油管，出油管和油浮子所占空间的前提下，当 油位高度为h时，储油量U1 h。为了简化积分运算我们采取了 将垂直罐底的液高h转换

12、为水平状态下液高h2的方法2，左图3是储油罐的正面简化示意图，其中：QG h,FG D,GO L1,CO L.当BA与KE相交于各自中点时，该截面下，梯形和正方形面积是相等的。再根据 积分原理，可以证明这两种液面下，储油罐的部分容积是相等的。这样就完成了 将垂直罐底的液高h转换为水平状态下液高h2，利用矩形面积等于梯形面积的方法，求出h2与h的关系。AB为倾斜时的液面，EK为水平状态下的液面，矩形面积 SekOCh2L。在梯形 ABOC中,BO hL1 tan , ACboLta n ，梯形面积Saboc-bo2AC L，令Nh L1 tan1则有：SaBOC12N N Lta n L1 2N

13、2Lta nL因 SekOCSaboc则有：h2 N 扣 2若低端液面降至右底角以下，利用矩形面积等于直角三角形面积的方法导出H2与H的关系式（或H2与N的关系式）。这时，矩形底长小于 L，矩形和三角1形底长均为Ncot ，矩形面积S hzNcot ，直角三角形面积S NN cot因S S，所以1 h2-N32根据上面进行的换算，可以很方便的将椭圆体型的储油罐的部分容积表示成 解析函数式。2 2设椭圆方程为2 1，液咼为h2，R2 R当 N R| 1L tan 时，S 2 ； h2 R 百 JRX dx化简积分表达式，得到解析式如下lr2D!h2LRRsinh2 D1 h2Ri液位继续升高，当

14、N Di 2R|=（即水平液高h2 Ri的情况）时，这部分的容积计算式为：LR2 1hTh2VR1R2L一2D1h2 h2R,h2LR1R2sin1-8R卒R-当液位升至量油孔处。即 N D,，而h, 2R2 （下尺点内竖直径）时所求体 积为：VRR2L魚 D, h2 h2 h R RR2sin1- - - N arctan 9通过上面的积分运算，求得一个分段函数 U, h。我们认为储油罐在纵向发生的 4.1变位时，由于不计油罐中注油管，出 油管和油浮子所占空间所产生的系统误差与无变位情况下基本一致，所以可以用U1 h 0h来近似表示。即h =U1 h 0 h。将附件一中的倾斜变位进油数据分别

15、与 V1 h和U1 h中的对应数据做差求得相应的平均相对误差，经过操作发现，U1 h与实际数据间的平均相对误差高达3.79%，经过系统误差修正后的模型 V h与实际数据间的平均相对误差仅为从而说明采用系统误差 h可以得到较精确的修正模型，从而据此作为罐容表标定函数，得到罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值表如下表1H/m 0.010.020.030.040.050.060.070.080.090.1U/m3 0.00080.00270.00540.0090.01370.01950.02640.03460.0440.0548H/m0.110.120.130.140.150.160.170

16、.180.190.2U/m30.06690.08050.09560.11220.13120.15370.17720.20180.22730.2537H/m0.210.220.230.240.250.260.270.280.290.3U/m30.28110.30920.33810.36770.39810.42920.46080.49310.5260.5595H/m0.310.320.330.340.350.360.370.380.390.4U/m30.59350.62810.66310.69860.73460.7710.80780.8450.88260.9206H/m0.410.420.430.

17、440.450.460.470.480.490.5U/m30.95890.99751.03651.07571.11531.15511.19521.23551.2761.3168H/m0.510.520.530.540.550.560.570.580.590.6U/m31.35771.39891.44021.48171.52331.5651.60691.64891.6911.7332H/m0.610.620.630.640.650.660.670.680.690.7U/m31.77541.81771.861.90241.94481.98722.02972.07212.11442.1568H/m0

18、.710.720.730.740.750.760.770.780.790.8U/m32.19912.24132.28352.32552.36752.40942.45112.49272.53412.5754H/m0.810.820.830.840.850.860.870.880.890.9U/m32.61652.65742.69822.73872.77892.8192.85872.89822.93742.9763H/m0.910.920.930.940.950.960.970.980.991U/m33.01493.05323.09113.12863.16583.20253.23893.27473

19、.31023.3451H/m1.011.021.031.041.051.061.071.081.091.1U/m33.37963.41353.44683.47963.51183.54343.57443.60463.63413.6629H/m1.111.121.131.141.151.161.17U/m33.69093.71813.74433.76973.79413.81753.8397表1对比两个罐容表得出 变化对Ui h产生影响，通过改变 的值得出一个有 变化规律的曲线集，从下图的三条曲线中可以看出引起Ui h的规律性变化。问题二：4.30,0时罐容表的标定模型类似问题一，我们首先在不计油罐

20、中注油管，出油管和油浮子所占空间的前 提下求出当油高为h时罐容量U 0,0,h。对U 0,0,h积分分两部分进行，第一部分为对球冠体的积分；第二部分为对主体圆柱体的积分第一部分，对球冠体的积分:有左示意图，圆的阴影部分的面积S r2 arccos h r . 2rhr根据题目中图1可以根据圆的性质求得球冠体的半径R求1.625m，由左示意图，对球冠体按z轴方向进行积分得:V球冠2r hr arccosrh r . 2rh h2 dz其中 r . 1.6252 z 1.52h r 0.625第二部分，主体圆柱体的积分：同样的道理，根据微元法解决主体圆柱体部分的积分，化简后的积分表 达式为：V圆柱

21、2R cosR hR2R h 2 L其中 R 1.5m L 8m由上述积分得到整体的积分解析表达式，即为实际储油罐的部分容积函数U 0,0, hV圆柱2V球冠R2 cos 1 - - RRh R2R h 2 L2 r h r arccoh r 2rh h2 dz其中 r1.6252z 1.52h r 0.625 R 1.5mL 8m分析附件2中的数据，我们发现”显示油高”和”显示油量容积”是未变位时的罐容表。因此可以利用这组数据对U 0,0,h进行修正和检验我们用MATLA计算出U 0,0,hi与实际测量值V 0,0,h之间的相对误差，并作出误差散点图如下图7图7 U 0,0,h与实际测量值的

22、对比可以看出此理想模型与实际测量值之间误差极小，且平均相对误差仅为0.12%，几乎可以忽略不计。这也就说明对此实际储油罐，由于其体积更大，系 统误差可以忽略不计，所以可以在同存在纵向倾斜和横向偏转的时候，用不计油罐中注油管，出油管和油浮子杠杆所占空间时油罐内储油量U ,，-作为实际储油量的近似函数。4.4实际储油罐的变位识别模型下面直接根据积分的方法得到罐内储油量与变位参数及油位高度关系的理想模型模型U , ,h下面，就该积分模型的建立做如下准备：准备1:换算油浮子计量高度h到油浮子处实际液位高度h!实际模型图从放大草图分析h和h!关系，圆柱体圆截面半径为 R=1.5m OAB由几何关系得到h

23、hi R cos2 2 2RhiR sin但是这种关系对于后续的计算造成很大的不便,考虑到实际情况下，是不允许横向偏转角度过大的，查阅相关资料发现一般不会超过10，因此sin 2十分接近于0，上式可以简化为hh, R cos R计算发现其相对误差随 减小而减小且最大误差不超过千分之一，可以忽略 不计。准备2：球冠体部分容积函数的近似计算对于球冠体部分，在储油罐倾斜时，其体积根据积分并不好表示也难以计算， 在误差允许基础上，对球冠体的部分容积函数进行近似计算可以有效地简化运 算，并得到较为合理的结果。查阅资料，我们从中华人民共和国国家计量检定规程中找到计算方法如下：1 倾斜时，球冠体的部分容积计

24、算仍用水平时的部分容积公式，但其液高需按 如下公式进行修正：h 4l sin2N N 23 R R(h为倾斜时的液高倾斜值，mm液面高端取正值，液面低端取负值；为罐体倾斜角，rad ； l为板顶内高，本题中为1mm R为板顶平均内直径，mmN为高端液高，mr)根据这一修正量对液高进行修正后可以得到较为精确的部分容积公式，并且简化了运算。准备3：垂直罐底的液高h转换为水平状态下液高h2此部分在4.2中已经有描述，此处不再赘述。通过本次转换，可以把复杂的 三重积分化为形式较为简单的二重积分，并且不会造成任何误差。通过上述的模型准备，我们对倾斜后的实际储油罐按下图进行分段积分,F面我们直接给出罐内储

25、油量与变位参数及油位高度关系的理想模型模型U , ,h的表达式如下:R2arccosRhr2 arccosr2Rh h；Ncoth r2r h 2dzLta nU , ,hR 0carccos-RR2 r larccosr 2 rr arccoshrLta n2 R h2 R arccos R3 2 r l r arccos0r 6tancos0hz(其中,Nh1L1 ta n2Rh, h22Lr l 2dzr2 r l 2dz2R h22Ll r2l 2dzLta nN 2Rrr2r larccosr2l dz2R，即为高端液面的高度;hihzcosiih2Ntan ; L 2m ； L 8

26、m ； l 20.625 r ； r.1.6252 z 1.5 2 ；h22R2R hi6ta n2R h c6 tan7R 1.5m)16根据前面的分析，U , ,h已经可以认为是实际情况V , ,h的一个很好近似了。因此可以对此函数由实验实测数据拟合出变位参量、。如果我们知道V , ,hi的实验数据，则可以根据以下优化方案选出符合实验数据的、2min U , ，h V ,，h010st010考虑实际情况，、的值不可能超过10。由于数据中不包含对应实测高度 h的容积值V,于是我们采取如下的优化方案选择、2minU,h 1 U，山 V h 1 V hs.t010010运行相关程序后，使用附件二

27、中数据多次实验，得到最佳的变位参量、的值为： 2.64.4罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值表如下:H/m0.040.050.060.070.080.090.10.110.120.13U/m33.26434.9626.87518.972311.22813.61916.12518.72721.40824.151H/m0.140.150.160.170.180.190.20.210.220.23U/m326.93929.75732.5935.4238.23441.01643.74946.41749.00351.489H/m0.240.250.260.270.280.290.30.310

28、.320.33U/m353.85756.08558.15160.02861.68263.07264.135为了检验这组结论的准确性，我们将、h代入到方程U , ,h中，按附件2给出的油标高度数据，求取相应的流出体积，与实验测得的流出体积进行 比较，得出平均相对误差为0.59%,下面给出其中一部分的数据表格。H/m 1.51681 1.51073 1.50765 1.50106 1.49455 1.48703 1.47698 1.46797 1.45725 1.45473U /m3 0.20147 0.17151 0.08686 0.18581 0.18349 0.21188 0.28301 0

29、.25356 0.30147 0.07083V /m3 0.20046 0.17084 0.08676 0.18761 0.18173 0.21027 0.28254 0.25304 0.30069 0.07011H/m 1.45053 1.44393 1.43235 1.42245 1.415931.41061.408011.39861.39153 1.38753U /m3 0.11802 0.18539 0.32502 0.27759 0.18268 0.149250.07249 0.26322 0.19758 0.11172V /m3 0.11847 0.18556 0.32397 0.

30、27701 0.18151 0.149460.07220.262950.19790.11101H/m 1.38126 1.37757 1.36805 1.36237 1.35095 1.348781.33849 1.33022 1.32284 1.31433U /m3 0.17501 0.10294 0.26535 0.15817 0.317650.06030.28570.22931 0.204390.2354V /m3 0.17485 0.10394 0.26382 0.15763 0.31784 0.059230.28614 0.22992 0.20409 0.23519H/m 1.305

31、06 1.30212 1.291341.28921.28426 1.28046 1.26919 1.266511.25871.25033U /m3 0.25606 0.08113 0.29713 0.05892 0.13593 0.10448 0.30943 0.07349 0.21395 0.22893V /m3 0.255780.08070.29781 0.05855 0.13484 0.10509 0.30959 0.07459 0.21387 0.22859H/m 1.24182 1.23117 1.22861 1.21844 1.21115 1.20221 1.19809 1.190

32、65 1.18163 1.17006U /m3 0.23237 0.29023 0.06967 0.27639 0.19774 0.24206 0.11139 0.20087 0.24306 0.31099V /m3 0.23285 0.29152 0.06958 0.27483 0.199230.24050.11457 0.19932 0.24363 0.31212从上面的分析检验中我们可以得出使用函数U , ,h对实际储油罐进行变位识别是正确而且可靠的。经过一、二问的理论推导和数据分析，得出在一些较为复杂以致无法得到解 析解的积分运算中，可以利用数值积分得到较为精确的结果，这种解决问题的方法，具有较高的可靠性。参考文献：1 董波 王本善，中华人民共和国国家计量检定规程（卧式金属罐容积章）JJG266-1996，中国计量科学研究院，1996年2 田铁军，倾斜卧式罐直圆筒部分的容积计算，现代计量测试，1999年第5期：32至36页，1999年。3 闵发龙，实用有关体积的计算研究，科技之窗研究与制造，2008年第三期：39至42页，2008年。4 姜启源 谢金星 叶 俊，数学模型，北京：高等教育出版社，2003年。13