专题复习一常用的数学思想和方法

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1、学习好资料欢迎下载Y y(万件)x(元)43I U2II1020406080(80,4).5=60k+b 4=80k+b z=yx-40y-120=（专题复习一）常用的数学思想和方法一、常用的数学思想（数学中的四大思想）1.函数与方程的思想用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想，函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概 括，是在知识和方法反复学习中抽象岀的带有观念的指导方法。深刻理解函数的图象和性质是应用函数思想解题的基础，运用方程思想解题可归纳为三个步骤：将所面 临的问题转化为方程问题；解这个方程或讨论这个方程，得出相关的结论；将所得出的结论再返回到原问 题中去。2数形结合思

2、想在中学数学里，我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开，也就是说，代数问题可以几何化，几何 问题也可以代数化，“数”和“形”在一定条件下可以相互转化、相互渗透。3分类讨论思想在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异。分各种不同情况予以考察，这是一种重要数学思想方 法和重要的解题策略 ，引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下几个方面：（1）由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；（2）由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；（3）由于图形的不确定性引起的讨论；（4）由于题目含有字母而引起的讨论。分类讨论的解题步骤一般是：（1）确定讨论的对象以及被讨论对象的全体；（2 ）

3、合理分类，统一标准，做到既无遗漏又无重复 ；（3）逐步讨论，分级进行；（4）归纳总结作岀整个题目的结论。4.等价转化思想等价转化是指同一命题的等价形式可以通过变量问题的条件和结论，或通过适当的代换转化问题的形式，或利用互为逆否命题的等价关系来实现。常用的转化策略有：已知与未知的转化；正向与反向的转化；数与形的转化；一般于特殊 的转化；复杂与简单的转化。二、常用的数学方法主要有换元法、配方法和待定系数法三种。三、例题解析3【例1】（2004年北京市东城区）解方程：x+1-=2.x+1解：设x + 1 = y，则原方程化为y-3=2去分母，得y -2y-3=0 .解这个方程，得y1=-1,y 2=

4、3.当 y = 1 时，x + 1 = - 1,所以 x =-2；当 y = 3 时，x + 1 = 3，所以 x= 2.经检验，x= 2和x= 2均为原方程的解.点拨解分式方程通常是采用去分母或还元法化为整式方程，并特别要注意验根。【例2】已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点（1，4）和点（5，0），贝U该抛 物线的解析式为。解析函数 y=ax2+bx+c的对称轴为x=2, b=-4a将点（1，4）、（5，0）的坐标分别代215入y=ax2+bx+c得:a+b+c=425a+5b+c=0.解得a=-2，b=2,c= ?故抛物线的解析式为y=-ix2+2x+|.点拨利用待定

5、系数法可求函数的解析式、代数式及多项式的因式分解等符合题设条件 的数学式。【例3】（05年长沙市）某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品.已知每件 产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120万元.在销售过程中发现，年销售量 y （万件）与销售单价 x （元）之问存在着如图所示的一次函数关系. 求y关于x的函数关系式； 试写出该公司销售该种产品的年获利z （万元）关于销售单价 x （元）的函数关系式（年 获利=年销售额一年销售产品总进价一年总 开支）当销售单价x为何值时，年获利最大？ 并求这个最大值；若公司希望该种产品一年的销售获利不低 于40万元，借助中函数的

6、图象，请你帮助 该公司确定销售单价的范围.在此情况下， 要使产品销售量最大，你认为销售单价应定 为多少元？解：设y=kx+b，它过点（60，5），解得 20b=8 y=-210x+8,1 2(-2x+8) (x-40 ) -120=- 2x + 10x-440;当x=100元时，最大年获得为 60万元.1 2令 z=40,得 4O=_20X + IOx-440，整理得:2x -200X + 9600=0解得：Xi=80,x 2=120,由图象可知，要使年获利不低于40万元，销售单价应在80元到120元之间.(8分)又因为销售单价越低，销 售量越大，所以要使销售量最大，又要使年获利不低于40万元

7、，销售单价应定为 80元.1点拨解此类问题，要仔细阅读题目理清思路，从而建立数学模型(函数模型)【例4】(2007年福建漳州)如图，已知矩形 ABCD , AB= 3, BC=3，在BC上取两点E、F ( E 在F左边)，以EF为边作等边三角形 PEF,使顶点P在AD上，PE、PF分别交AC于点G、H .(1) 求厶PEF的边长；(2) 在不添加辅助线的情况下，(3) 若厶PEF的边EF在线段BC结论.解(1)过P作PQ丄BC于Q矩形ABCD/ B=90 ，即卩 AB 丄 BC, PQ=AB= 3 PEF是等边三角形/ PFQ=60 在Rt PQF中Sin60 =pF，： PF=2 PEF的边

8、长为2.(2) 正确找出一对相似三角形正确说明理由 ABCCDA理由：矩形 ABCD, AB / BC,/ B= / D ABC CDA(3) 猜想：PH与BE的数量关系是：证：在 Rt ABC 中，AB= 3,BC=3当F与C不重合时，从图中找出一对相似三角形，并说明理由;上移动.试猜想：PH与BE有何数量关系？并证明你猜想的 tan/仁BC= 3仁30 PEF是等边三角形/ 2=60 ,PF=PE=2, V/ 2= / 1 + / 33=30 / 1= / 3 FC=FH/ PH+FH=2, BE+EF+FC=3 PH-BE=1点评本题是一道很典型的几何型探索题，在近几年的中考压轴题中稳占

9、一席之地，预计2007年仍会保持这一趋势。在本题中，第1小题较简单，第2小题则需学生仔细观察图形，做出准确猜想后再验证，第3小题对学生的探究能力的要求更高一些，但由于解法较多，入题的通道较宽，因此难度并非十分大，体现数学联系的转化思想。又AD/ BC【能力测试】一、选择题1 .若a的值使得x2+4x+a= (x+2) 2-1成立，则a的值为 ()A . 5B . 4C. 3D . 2PH-BE=12. (2005.杭州市)在右图的几何体中，上下底面都是平行四边形 面都是梯形，那么图中和下底面平行的直线有：(A)1 条(B)2 条(C)4 条(D)8 条2 23 .方程2x-x =的正根的个数为

10、()xA . 0B . 1C . 24.以下四个图案中,既是轴对称又是中心对称图形的有15.把一个面积为1的正方形等分成两个面积为1的矩形，接着把面积为1/2的矩形等分成两个A.4个B.3个5.（2005.河南省）下列各数中，适合方程的一个近似值A . 1.5 B. 1.66 .若点p （ m,n）在第二象限，则点A .第一B .第二C. 2个C. 1Q (-m,-n )在C 第三D.（精确到D1个0.1 )是.1.8面积为1/4的矩形，再把面积为 1/4的矩形等分成两个面积为11111+ + 一 + 一 + 一 +64试利用如下图揭示的规律计算）象限7. （2005.山西省）8抛物线的对称轴

11、是x=2,且经过点P（3,0）。 为A 、-1D 第四则的值1/8的矩形，如此进行下去,1 + 128125616. （2006年河南省）要拼出和图中的菱形相似的较长对角线为88cm的大菱形（如图2）需&在直角坐标系中，O为坐标原点，A(1 ,1),则符合条件的点P共有（）(A)4 个(B)3 个(C)2个9 .某商店把一商品按标价的九折出售（即优惠兀，则该商品的进价为在x轴上确定一点 巳使厶AOP为等腰三角形,（D）1 个10%）,仍可获利20%若该商品的标价为每件 28 （ ）.1图1图2要图1中的菱形的个数为（A）21 元 （B） 19.8 元（C） 22.4 元（D） 25.2 元10

12、 . （2005.武汉市）已知O O的半径为8cm如果一条直线和圆心O的距离为8cm，那么这条直线和这个圆的位置关系为（）A .相离B .相切C .相交D .相交或相离三、计算题：17.如图，线段 AB= 4，点O是线段AB上的点，点C、D是线段OA、OB的中点，小明很轻松地求得 CD=2 .他在反思过程中突发奇想：若点O运动到线段AB的延长线上或直线 AB、填空题11.已知关于x的方程x2-3x+m=0的一个根是另一个根的 2倍，贝U m的值为外，原有的结论“ CD=2 ”是仍然成立呢？请帮小明画出图形分析，并说明理由.12 .如图，在 ABC中，/ ACB=90 , AC=5，斜边在x轴上

13、，点 A的坐标为（2, 0）,则直角18 . （2005年梅州市）东海体育用品商场为了推销某一运动服，先做了市场调查，得到数卖出价格x（元/件）50515253销售量p （件）500490480470据如下表:（1）以x作为点的横坐标，p作为纵坐标，把表中的 数据，在图8中的直角坐标系中描出相应的点，观察连结 各点所得的图形，判断 p与x的函数关系式；p (件)j-1111i ii L iI-Ti丄i亠1二丄二-F*iiiii1iii|iri1tLiJI1lIiIi厂IT1IiiIiIiiIi1i1Ib,IIiJIi5004904804701*-50515253 x (元 /件)边BC所在的直

14、线解析式为13 .把抛物线目-x2向上平移2个单位，那么所得抛物线与的两个交点之间的距离是14 如图，用长度相等的火柴棒拼成由三角形组成的图形，第n个图形需要火柴棒的根数是（2）如果这种运动服的买入件为每件40元，试求销售利润y （元）与卖出价格 x （元/件）的函数关系式 （销售利润=销售收入一买入支出）；（3）在（2）的条件下，当卖出价为多少时，能获得最大利润?19如图，M为正方形ABCD边AB上的任意一点（不与 A、B两点重合），E是AB延长线上 的一点，MN _DM，且交.CBE的平分线所在直线于 N 21 .如图，正方形（1）求证：MD =MN ;（2） 若将上述条件中的“ M为AB

15、边上的任意一点（不与A、B两点重合）”改为“ M为直线AB上任意一点（不与 A、B两点重合）”，其余条件不变，则结论 “ MD =MN ”成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明 理由.20.如图1 ,在平面直角坐标系中， 两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，点A在第二象限内，点 B，点C在x轴的负半轴上，Z CAO=30；, OA=4 .（1）求点C的坐标；（2）如图2,将厶ACB绕点C按顺时针方向旋转30到厶ACB 的位置，其中A C交直线OA于点E , A B分别交直线 OA CA于点F, G，则除 A BCAOC外，还有哪几对全等的三角形，请直接写出答案；（不再另外添加辅

16、助线）（3）在（2）的基础上，将厶A CB 绕点C按顺时针方向继续旋转， 当厶COE的面积为空 时,4求直线CE的函数表达式.图1x图2若点A在直线y = 2x上运动，求B点所在直线的解析式.xABCD的各边都平行于坐标轴，A、C分别在直线22 已知：半径为 1的O 01与x轴交于 A B两点，圆心 01的坐标为（2,0），二次函数-x2 bx c的图象经过A B两点，其顶点为 F .（1）求b, c的值及二次函数顶点 F的坐标；（2） 写出将二次函数 y =-x2 bx C的图象向下平移 1个单位，再向左平移 2个单位的图象的函数表达式；（3）若经过原点O的直线I与O 01相切，求直线I的函

17、数表达式.23.如图，以O为原点的直角坐标系中， A点的坐标为（0, 1）,直线x=1交x轴于点B. P为线 段AB上一动点，作直线 PC丄PO,交直线x=1于点C.过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M ,(1)交直线x=1于点N.当点C在第一象限时，设 AP长为m,四边形POBC的面积为S,请求出S与m间的函P的坐标；如果不可能，请说明理由参考答案一、选择题I. C 2.C 3.A 4.B5.C 6.D 7.B8.A9.A 10.B二、填空题1 c K255II. 212.y=x+4 13.2 ： 2 ; 14.2n+115.16.1212 256三、 计算题：17 (略)V AB 二

18、AD.AM = AP:.A = 90P= NBM 二 4518解：(1) p与x成一次函数关系。设函数关系式为p=kx+b ,则5=5kb(490=51k + b解得：k= 10, b=1000 , p= 10X+1000经检验可知：当 x=52 , p=480,当x=53, p=470时也适合这一关系式 所求的函数关系为 p= 10X+1000(2)依题意得：y=px 40p=( 10x+1000)x 40( 10x+1000)2 y= 10x +1400x 400007 - CDMAMD,. CDP=. DMN = 90.CDM CDPAMD . DMN 即.MDP=/BMN：DMP 三.

19、MNB.DM =MN点M在线段BA的延长线上.延长DA到点P, 使AP=AM，连接 PM. DPM = MBN 二 457 AMP AMD = PDM AMD 二 90nc(3)由 y= 10x2+1400x 40000 可知，当1400x =-2X(_10)=70 时,y有最大值卖出价格为70元时，能花得最大利润。19.证明：(1)在AD上截取AF JAM，连结FM .：DF 二AD -AF , MB 二AB -AM, AD 二 AB, AF 二AM , .DF MB . ZF DM ZDMA /BMN /DMA =90ZF dm zbmn .又.DF M =. MBN =135,. DF

20、M MBN .DM 二MN .(2)分两种情况点M在射线BE上.延长AD到点P,使DP=BM，连接PM.PDM - AMP7 DP 二 BMDPM 三 MBN.DM 二 MN综上可知，“ M为直线AB上任意一点(不与A、B两点重合)”其余条件不变，结论MD = MN ” 仍成立.20.解：(1 )丁在 Rt ACO 中，Z CAO = 30,OC = 2.C点的坐标为(-2,0).(2) A EF AGF , B GC CEO ,(3)如图1，过点E1作EM _ OC于点M .PD-CB M EV Sa cob =COE1M3 ,24OA = 4 ,x图121.解：设点A的横坐标为a.点A在直

21、线y = 2x 上,.点A的坐标为（a2 aT 在 Rt E1MO 中，Z EiOM -60 ,E1M.tan 60， . OMOM点Ei的坐标为（-1 ,乜）44设点C的横坐标为b1:点C在直线y = - x上3.2a -3:AB 二 BC设直线CEi的函数表达式为k1x b1，则1a，3b)点C的坐标为-2匕b| = 01k+h 方匕 + bj =l 44解得同理，如图2所示，点E2的坐标为（-，-4.点B所在直线解析式为y22.解：（1）由已知得:-2k2 b2 -0设直线CE2的函数表达式为y =k2x + b2，则*1k2.44k2、3解得b292、3，罷243yx -99a,? a

22、)43x4A(1,0) B(3,0)由题意：-1 b c = 0,-9 3b c = 0,解得:b = 4,c = -3,-顶点 F(21).(2) y - -x2 .22二 y = _x + 4x_3=_(x_2) +1 ,(3)设经过原点 O的直线丨：y = kx(k = 0)与O O1相切于点C .则 O1C _ OC , OO广 2, OQ = 1 , OC 3,Z OQC 二 30 ,设点C的坐标为(xc, yc).Xcyc=3 cos30=.3sin 30_ 3=?2兰“Lk，得k,22317 a 0,对称轴为直线m = 、22.当m：三时，S随着m的增大而减小.m = 0时，S取

23、得最大值-(0-厂22二12附加题：解： PBC可能为等腰三角形当P与A重合时，PC=BC=1，此时P (0, 1)由圆的对称性，另一条直线I的解析式是当点C在第四象限，且PB=CB 时，有 BN=PN=123.解：(1)v OM / BN , MN / OB ,Z AOB=90, 四边形OBNM为矩形。.2 m2 MN=OB=1, / PMO= / CNP=900 BC=PB=2 PN=2 -m NC=BN+BC=1AM PM,AO=BO=1 ,AO BO OM=PN/ OPC=900-m AM=PM OM=OA -AM=1 - AM , PN=MN -PM=1 -PM由知:NC=PM=0 / OPM+CPN=90 又/ OPM+ / POM=90 m=1/ AM=PM=APsin45 0 BN=OM=PN=1 亠 m2 NC=PM= m2 BC=BN-NC=1-辺 m-辽 m=2m2 2 PM=，BN=1 2 m=1 22 2 2 2使 PBC为等腰三角形的的点 P的坐标为(0，1)j-2,1 7)211S 二 Sopb - S PBCOBM bc_Pn22=1 m2 _ 一 2m 12(2) S存在最大值S 二 1 m2 _、2m 1 二 1 (m _、2)22 2