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1、代数第一、二章复习 2005-10-31一、填空题6374 71，贝y A中元素的代数余子式等于-11 ；1)11 132、设A是3 阶方阵，Q A125已知A是秩为2的4阶矩阵，则r(A )=_0Q3A3nA33A9A1312 31353、设3阶方阵A40 60,B 24t，且 AB 0 ,10 3303则t =-7a1b1C1a1b1d14 设 A =a2b2C2,Ba2b2d2，且A=4 ,B=1，则a3b3C3a3b3d33A 2B = 543印 30& 2da1 b c1 2d1A 2B=3 a?3d C2 2d 232a2 d c2 2d23a3 3b；j C3 2d 3a3bsC
2、32d3a1biC1aibi2d19a2b2C29a2b22d2a3baC3a3b32d394 2 1 54 ；Aj0 A 0a1b1a1 b2abazda2b2a2bn6设 A =，其中ai0 , bi 0, i 1,2, ,n ,andanb2an bn则r(A) = 1；7、设A,B,C都是行列式等于3的3阶方阵，则行列式D 1!27(-A) 2C3Q 由于(1)9| B|( 3 A) 1；B 3A 1 B ( 3)3 A 127&已知 A为三阶方阵,且| A| 4 , A2 E 8 ,则A A 1 =2J?1 1 19、设A4行各元素的代数余子式之和为1 1 01 1 11 2 110
3、、设A为n阶可逆矩阵，B是将A中的第i行与第j行元素对调后的矩阵，则1 AB = _pij_ _。11 设A为5阶方阵，且|A =-4，则行列式 A A 46ana123hX113如果a21a222,线性方程组a21X1是1X314.已知行列式X40中元素(1,564322X2b2)的代数余子式A128 ,Q2X2b的解必元素(2,1)的代数余子式A21的值O15 .已知A为5阶方阵，且行列式5|A| a，则 |2A| _|2A| 2 aa11a12a135a13a2a1312如果Da21a22a233，则 D15a?13a?2a23=-45a31a32a3353313a32a33、选择题an
4、a12a134an2an3a12a131、如果Da21a22a231，则 D14a212a213a22a23a31a32a334a312a313a32a33(A)8(B)12(C)24(D)242 设A为4阶方阵，已知且，则3、设A,B,C是n阶方阵且ABC 必成立的是BCAE, E为n阶单位矩阵，则下列各式中(A)(B) ACB(C) BAC E(D)4、当adbe时，c;d=()1de1de(A)(B)adbebaadbeba1db1db(C)(D)be ad eaadbeea5、下列矩阵中，不是初等矩阵的是()1 00100100(A)0 01(B)010(C)010(D)0 10101
5、004001010101a11a12a13a113a31a2 3a32a133a336、若Pa21a22a23=a21a22a23，则a31a32a33a31a32a33P =()10 01030 03(A)01 0(B)010(C)0 1030 10011 01CBA Eaib1 0 0(D) 01003 1ai00bi0a2b20A7、设A，则=()0tha30b400a4(A)aia2a3a4bb2b3b4(B)aia2a3a4b1b2b3b4(C)(a2a3 b2b3)(aia4 bb4)(D)(aia2 bib2)(a3a4 bsbq)(A)(B)(C) A A i(D)ii 设，且
6、a ,c均不为零，则A i(A)(B)i412(C)(D)i2 .设(A)B是n阶方阵，且 r(B) 2(B) r(B) 2AB 0,r(A)(C) r(B)2，则(2(D)r(B) 2(A)A 2A i(B) Aii2E(C) A -A(D)2Ai9、设A、B都是n阶非零矩阵，且AB 0，则A和B的秩(B )(A)必有一个等于零(B)都小于n(C)一个小于n，个等于n(D)都等于028、设n阶方阵A满足A 2E，其中E是n阶单位阵，则必有()0，其中E为n阶单位矩阵,io 设n阶矩阵A满足则必有)(A2 E计算题2 0 11、 已知 A1321 71B 4 23 求(AB)T。2 0 1解：
7、法2 011710143AB423132171310201t 017T 0143AB14131713103 10法二14 2BT 72 01312 1At031 201714133 1014 221AB T BTAT7 2 0 0 31311 21121(1 )223133424553XyyyyyXyyy(2 )yyXyyyyyXyyyyyX(3 )X mx22、求行列式;XnXx2mXnXx2xnm111121(4)11n23、设A 020，已知AX E A X，求矩阵X 。1 014 .已知矩阵A1 110 11解：由于1011 00(A,E)1110 100110 01211333A 1
8、1123331113335、设A是n阶矩阵，满足aA1 0 00 1 00 0 1则2 1 133311233J 133E, A6、设3阶方阵A的伴随矩阵为A，且A7、如果可逆矩阵A的各行元素之和为0 ,求行列式A E的值1 1，求（4A） 1 2A。21计算A的各行元素之和等于什么？解：11 A1a11a11A aa111AaA1 a1 a耳1a12a138、设实矩阵A=a21a22a23满足条件：a31a32a33(1) ai jAi j ,(i,j1, 2,3），其中A j是ai j的代数余子式;（2） an1求行列式120119、设 A =021 ,B =20 ，求矩阵X使其满足矩阵方
9、程00153AX B。10 设 A, B为5阶方阵，|A| =一 1,|B| = - 2 ,求2AtB 1。3A 1B解 2ATB 125 AT| B 1 = 25( 1)(冷)=163A 1B11 .利用初等变换求矩阵 A的秩11 221（1 ）、A02 15120 31311 041解：1 122111 2211 12210 215102 1510 2151A2 031302 1510 00001 104100 2220 02221 12210 21510 02:220 0000r(A)=31111（2 ）、A11131123解：11111111A11131 ( 1)00241123001
10、211111111230012$2仪001200240000r(A)21 410(3 )、A2 1131 0310 263解：141010311031211321130151A1031141004410263026302631031103101510151r(A) 30 016 50 0 1650 016 50 0 001 112.已知A，求 A190 11 n19 119解由于An,因此A19类似地0 1011 0n 111 0n 1 0B,Bn；C,Cn1 1n1a 1na 12x1 x2；4x33x44X1X3x4311 .解线性方程组3x1 x2X317x17x33x43解：将增广阵化
11、为规范的阶梯阵：21434101132 21101132r121434r3 3r14r4 7r1311013110170733707331011310113or42r301212r3 r2(1)r201212-r3012310000212000424000424101131010301212r2r1r3r012 0 4*3(A0, 0)00016000 -1 600000000 0 0得同解方程组AoXo为XiXiX33X33x2 2x34移项添项即得x2 2x34x46X3X3x461324因此方程组通解为：Xx31(X3是任意数)006四.证明题1设方阵A满足A40,试证明 E A可逆，且
12、(EA)1E AA2A3(EA)(EAA2A3)=E23AAA(AA2 A3 A4)=E-4A E2 .设A为可逆矩巨阵，A2|A|E,证明：A A证明：由于A为可逆矩阵，且AA |A|E,又由已知A2 AE 故A2 AA两边左乘A 1得A A3、设n阶方阵A, B满足A B AB ,求证(1)A E 可逆；(2)AB=BA24、设n阶方阵A满足A 2A E 0 ,证明：矩阵A可逆证明由于 A2 2A E 0，有 A2 2A E A(A 2E) E 故矩阵A可逆，且A 1 A 2E。5、若A为方阵，证明 A AT, AAT, ATA是对称阵。证明(A AT)T AT (AT)T A AT, A AT 是对称阵。(AAT )T ( At)t at aat , aat 是对称阵(AtA)t at(at)t ata, ata 是对称阵
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