线性代数PPT全集

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1、课程简介课程简介线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题问题. 线性关系是指数学对象之间的关系是以一次形式线性关系是指数学对象之间的关系是以一次形式来表达的来表达的. 最简单的线性问题就是解线性方程组最简单的线性问题就是解线性方程组.行列式和矩阵为处理线性问题提供了有力的工具，行列式和矩阵为处理线性问题提供了有力的工具，也推动了线性代数的发展也推动了线性代数的发展. 向量概念的引入，形成了向向量概念的引入，形成了向量空间的概念，而线性问题都可以用向量空间的观点加量空间的概念，而线性问题都可以用向量空间的观点加以讨论以讨论. 因此向量空间及其线

2、性变换，以及与此相联系因此向量空间及其线性变换，以及与此相联系的矩阵理论，构成了线性代数的中心内容的矩阵理论，构成了线性代数的中心内容.它的特点是研究的变量数量较多，关系复杂，方法上它的特点是研究的变量数量较多，关系复杂，方法上既有严谨的逻辑推证、又有巧妙的归纳综合，也有繁既有严谨的逻辑推证、又有巧妙的归纳综合，也有繁琐和技巧性很强的数字计算，在学习中，需要特别加琐和技巧性很强的数字计算，在学习中，需要特别加强这些方面的训练。强这些方面的训练。 第一章第一章 行列式行列式第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算第三章第三章 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 及线性方程组及线性方程组第四章第四章 向量

3、组的线性相关性向量组的线性相关性基础基础基本内容基本内容用向量的观点讨论用向量的观点讨论基本问题并介绍向基本问题并介绍向量空间的有关内容量空间的有关内容第五章第五章 相似矩阵及二次相似矩阵及二次型型矩阵理论矩阵理论一、二元线性方程组与二阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式用消元法解二元用消元法解二元( (一次一次) )线性方程组线性方程组: :第一章第一章 行列式行列式 22221211212111bxaxabxaxa(1)(2)(1) a22:a11a22x1 + a12a22x2 = b1a22,(2) a12:a12a21x1 + a12a22x2 = b2a12,两式相减消去两式相减

4、消去x2, 得得(a11a22 a12a21) x1 = b1a22 b2a12;1.1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式;212221121122211baabxaaaa ）（，得，得类似地，消去类似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa ）（时时，当当021122211 aaaa方程组的解为方程组的解为，211222112122211aaaabaabx ）（3.211222112112112aaaaabbax 由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定. 由四个数排成二行二列（横为行、竖为列）由四个数排成二行二列（横为行、竖为列）的数表的数表)4(22211211

5、aaaa)5(42221121121122211aaaaaaaa行行列列式式，并并记记作作）所所确确定定的的二二阶阶称称为为数数表表（表表达达式式 即即.2112221122211211aaaaaaaaD 11a12a22a12a主对角线主对角线副对角线副对角线2211aa .2112aa 二阶行列式的计算二阶行列式的计算若记若记,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式 .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabx

6、axa,2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa.2211112babaD 则二元线性方程组的解为则二元线性方程组的解为,2221121122212111aaaaababDDx .2221121122111122aaaababaDDx . 12,12232121xxxx求解二元线性方程组求解二元线性方程组解解1223 D)4(3 , 07 112121 D,14 121232 D,21 DDx11

7、 , 2714 DDx22 . 3721 二、三阶行列式333231232221131211)5(339aaaaaaaaa列列的的数数表表行行个个数数排排成成设设有有,312213332112322311322113312312332211)6(aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa（6 6）式称为数表（）式称为数表（5 5）所确定的）所确定的. .323122211211aaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa (1)(1)沙路法沙路法三阶行列式的计算三阶行列式的计算322113312312332211aaa

8、aaaaaa D333231232221131211aaaaaaaaaD . .列标列标行标行标333231232221131211aaaaaaaaaD 333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 如果三元线性方程组如果三元线性方程组 ;,333323213123232

9、221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式的系数行列式333231232221131211aaaaaaaaaD , 0 利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组 2 2. . 三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项, ,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行, ,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积, ,其中三项为正其中三项为正, ,三项为三项为负负. . ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD

10、若记若记333231232221131211aaaaaaaaaD 或或 121bbb ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD 记记,3332323222131211aabaabaabD 即即 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123

11、221131112abaabaabaD 得得 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD 得得 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa.3323122221112113baabaabaaD ,3333123221131112abaabaabaD .3

12、323122221112113baabaabaaD 则三元线性方程组的解为则三元线性方程组的解为:,11DDx ,22DDx .33DDx 333231232221131211aaaaaaaaaD ,3332323222131211aabaabaabD 2-43-122-4-21D 计计算算三三阶阶行行列列式式按对角线法则，有按对角线法则，有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 . 094321112 xx求解方程求解方程方程左端方程左端1229184322 xxxxD, 652 xx解解得得由由052 xx3.2 xx或或例例4

13、 4 解线性方程组解线性方程组 . 0, 132, 22321321321xxxxxxxxx由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式111312121 D 111 132 121 111 122 131 5 , 0 同理可得同理可得1103111221 D, 5 1013121212 D,10 0111122213 D, 5 故方程组的解为故方程组的解为:, 111 DDx, 222 DDx. 133 DDx 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的程组引入的.对角线法则对角线法则二阶与三阶行列式的计算二阶与三阶行列式的计算.211222112

14、2211211aaaaaaaa ,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa三、小结 使使求一个二次多项式求一个二次多项式,xf .283, 32, 01 fff解解设所求的二次多项式为设所求的二次多项式为 ,2cbxaxxf 由题意得由题意得 , 01 cbaf , 3242 cbaf ,28393 cbaf得一个关于未知数得一个关于未知数 的线性方程组的线性方程组,cba,又又, 020 D.20,60,40321 DDD得得, 21 DDa, 32 DDb13 DDc

15、故所求多项式为故所求多项式为 . 1322 xxxf1.2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数 引例引例: 用用1, 2, 3三个数字三个数字, 可以组成多少个没有重可以组成多少个没有重复数字的三位数？复数字的三位数？这是一个大家熟知的问题这是一个大家熟知的问题, 答案是答案是: 3! = 6. 将此问题将此问题推广推广: 把把n个不同的元素按先后次序排成个不同的元素按先后次序排成一列一列, 共有多少种不同的排法共有多少种不同的排法. 定义定义: 把把 n 个不同的元素排成一列个不同的元素排成一列, 叫做这叫做这 n 个个元素的元素的全排列全排列(或或排列排列). n 个不同的元素的所有排列的种

16、数个不同的元素的所有排列的种数, 通常用通常用 Pn 表表示示, 称为称为排列数排列数. Pn = n (n1) (n2) 2 1 = n! 一、全排列一、全排列二、排列的逆序数二、排列的逆序数 定义定义: 在一个排列在一个排列 i1 i2 is it in 中中, 若数若数 isit,则称这两个数组成一个则称这两个数组成一个逆序逆序.例如例如: 排列排列32514 中中, 我们规定各元素之间有一个标准次序我们规定各元素之间有一个标准次序. 以以 n 个不个不同的自然数为例同的自然数为例, 规定规定由小到大为标准次序由小到大为标准次序.3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序 定义定义: 一

17、个排列中所有一个排列中所有逆序逆序的总数称为此的总数称为此排列的排列的逆序数逆序数.前面的数比前面的数比后面的数大后面的数大3 2 5 1 4逆序数为逆序数为31010故此排列的逆序数为故此排列的逆序数为: 3+1+0+1+0 = 0+1+0+3+1 = 5.例如例如: 排列排列32514 中中,计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列;逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列. 方法方法1: 分别计算出排在分别计算出排在1,2, , n 前面比它大的数前面比它大的数码的个数并求和码的个数并求和, 即先分别算出即先分别算出

18、 1,2, , n 这这 n 个元素个元素的逆序数的逆序数, 则所有元素的逆序数的总和即为所求排列则所有元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数的逆序数. 方法方法2: 依次计算出排列中每个元素依次计算出排列中每个元素前面比它大前面比它大的的数码的个数并求和数码的个数并求和, 即算出排列中每个元素的逆序数即算出排列中每个元素的逆序数, 则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数. 方法方法3: 依次计算出排列中每个元素依次计算出排列中每个元素后面比它小后面比它小的的数码的个数并求和数码的个数并求和, 即算出排列中每个元素的逆序数即算出排列中每个元素的

19、逆序数, 则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.例例1: 求排列求排列32514的逆序数的逆序数.解解: 在排列在排列32514中中, 3排在首位排在首位, 则则3的逆序为的逆序为0;2的前面比的前面比2大的数只有一个大的数只有一个3, 故故2的逆序为的逆序为1;3 2 5 1 40 1 0 3 1没有比没有比5大的数大的数, 故其逆序为故其逆序为0;个个, 故其逆序为故其逆序为3; 4的前面比的前面比4大的数有大的数有1个个, 故逆序为故逆序为1.5的前面的前面1的前面比的前面比1大的数有大的数有3即即于是排列于是排列32514的逆序数为的

20、逆序数为 t = 0+1+0+3+1 = 5.解解:此排列为此排列为偶排列偶排列.例例2: 计算下列排列的逆序数计算下列排列的逆序数, 并讨论其奇偶性并讨论其奇偶性.(1) 217986354.2 1 7 9 8 6 3 5 40 1 0 0 1 3 4 4 5于是排列于是排列217986354的逆序数为的逆序数为:t = 0+1+0+0+1+3+4+4+5 = 18.(2) n(n1)(n2) 21解解: n (n1) (n2) 2 1012(n1)(n2) ,21 nnt = 0+1+2+ +(n2)+(n1)于是排列于是排列n(n1)(n2) 21的逆序数为的逆序数为: 此排列当此排列当

21、 n=4k, 4k+1 时为偶排列时为偶排列; 当当 n=4k+2, 4k+3 时为奇排列时为奇排列.(3) (2k)1(2k1)2(2k2)3(2k3) (k1)(k +1)k.(2k) 1 (2k1) 2 (2k2) 3 (2k3) (k1) (k+1) k解解:0121233(k1) (k1) kt = 0+1+1+2+2+ +(k1)+(k1)+k于是排列于是排列(2k)1(2k1)2(2k2) (k1)(k +1)k的逆序数为的逆序数为: .2122kkkk 此排列当此排列当 k 为偶数时为偶排列为偶数时为偶排列, 当当 k为奇数时为为奇数时为奇排列奇排列.1. n个不同的元素的所有

22、排列种数为个不同的元素的所有排列种数为n!个个;2. 排列具有奇偶性排列具有奇偶性;3. 计算排列逆序数常用的方法计算排列逆序数常用的方法.三、小结三、小结1.3 n 阶行列式的定义阶行列式的定义333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 一、概念的引入一、概念的引入三阶行列式三阶行列式说明说明(1) 三阶行列式共有三阶行列式共有6项项, 即即3!项项. 说明说明(2) 每项都是位于不同行不同列的三个元素每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积的乘积. 说明说明(3)

23、每项的正负号都取决于位于不同行不同每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的列标排列的逆序数列的三个元素的列标排列的逆序数(行标为标准排列行标为标准排列). 例如例如 a13a21a32, 将行下标标准排列将行下标标准排列, 列下标排列列下标排列312的逆序数为的逆序数为.)1(321321333231232221131211 ppptaaaaaaaaaaaat (312)=1+1=2, 偶排列偶排列. a13a21a32 的前面取的前面取+号号. 例如例如 a11a23a32, 将行下标标准排列将行下标标准排列, 列下标排列列下标排列132的逆序数为的逆序数为t (132)=0+1=1

24、, 奇排列奇排列. a11a23a32的前面取的前面取号号.其中其中是对列下标的所有排列求和是对列下标的所有排列求和(3!项项), t 是列下标是列下标排列排列 p1p2p3 的逆序数的逆序数.二、二、n 阶行列式的定义阶行列式的定义定义定义: 设由设由 n2 个数排成一个个数排成一个 n 行行 n 列的数表列的数表作出表中位于不同行不同列的作出表中位于不同行不同列的 n 个数的乘积个数的乘积, 并冠以并冠以符号符号(1)t, 得到形如得到形如 其中其中 p1p2 pn 为自然数为自然数1, 2, , n 的一个排列的一个排列, t为排列为排列p1p2 pn的逆序数的逆序数. nnppptaa

25、a2121)1( 的项的项,nnnnnnaaaaaaaaa212222111211所有这所有这 n! 项的代数和项的代数和 nnppptaaa2121)1(称为称为(由上述数表构成的由上述数表构成的) n 阶行列式阶行列式.nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 记作记作简记作简记作 det(aij). 数数 aij 称为行列式称为行列式 det(aij) (第第 i 行第行第 j 列列)的元素的元素. nnppptaaaD2121)1(即即 说明说明1. 行列式是一种特定的算式行列式是一种特定的算式, 它是根据求解它是根据求解方程个数和未知量个数相同的线性方程组的需要而定方

26、程个数和未知量个数相同的线性方程组的需要而定义的义的; 说明说明2. n 阶行列式是阶行列式是 n! 项的代数和项的代数和; 说明说明3. n 阶行列式的每项都是位于不同行阶行列式的每项都是位于不同行, 不同不同列列 n 个元素的乘积个元素的乘积,nnpppaaa2121的符号为的符号为(1)t; 说明说明4. 一阶行列式的符号一阶行列式的符号 | a | = a, 不要与绝对值不要与绝对值符号相混淆符号相混淆, 一般不使用此符号一般不使用此符号.0004003002001000例例1: 计算对角行列式计算对角行列式.0004003002001000解解: 分析分析.展开式中项的一般形式是展开

27、式中项的一般形式是,43214321ppppaaaa, 011 pa从而这个项为零从而这个项为零,同理可得同理可得: p2=3, p3=2, p4=1.所以只能所以只能 p1=4;若若p1 4, 则则 432114321 t.24 即行列式中非零的项为即行列式中非零的项为:(1) t (4321) a14 a23 a32 a41即即例例2: 计算计算上三角行列式上三角行列式.00022211211nnnnaaaaaa解解: 分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是.2121nnpppaaa所以非零的项只可能是所以非零的项只可能是: a11 a22 ann .从最后一行开始讨论非零项

28、从最后一行开始讨论非零项. 显然显然pn=n, pn1=n1, pn2=n2, , p2=2, p1=1, nnntaaa2211121 .2211nnaaa nnnnaaaaaa00022211211即即8000650012404321 D显然显然= 1 4 5 8nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa121111211222111000000 .2211nnaaa 同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式对角行列式对角行列式;21n n 21n 21( -1)321)121.n t n n(1 2(1)121nn .12121nnn 例例5: 设设nnnnnnaaaaaaaaaD2122

29、221112111 nnnnnnnnnnabababaabababaaD221122222111112112 证明证明: D1=D2. 中中b的指数正好是的指数正好是a的行标与列标的差的行标与列标的差2D证证: 由行列式定义有由行列式定义有 nnnpppnpppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD2121212121222211121111 nnnnppppnppnpppppptbaaa21212121()2()1211nnnnnnnnnnabababaabababaaD221122222111112112 nnnnppppppnnpppppptbaaa2121212121211由于

30、由于 p1+ p2+ + pn= 1 + 2 + + n, .1212121212nnnnppppppppptaaaD 所以所以 .12211212121DaaaDnnnnpppppppppt 故故 行列式是一种根据特殊需要而定义的行列式是一种根据特殊需要而定义的特定算式特定算式. n 阶行列式共有阶行列式共有n!项项, 每项都是位于不同行每项都是位于不同行, 不同列的不同列的 n 个元素的乘积个元素的乘积, 正负号由下标排列的逆序数决定正负号由下标排列的逆序数决定.三、小结三、小结 1211123111211xxxxxf 已知多项式已知多项式 1211123111211xxxxxf 求求 x

31、3 的系数的系数.思考题解答思考题解答含含 x3 的项有仅两项的项有仅两项, 即即对应于对应于= x3+ (2x3)故故 x3 的系数为的系数为(1).(1)t(1234)a11a22a33a44+ (1)t(1243)a11a22a34a43一、对换的定义一、对换的定义1.4 对对 换换 定义定义: 在排列中在排列中, 将任意两个元素对调将任意两个元素对调, 其余元素其余元素不动不动, 这种作出新排列的手续叫做这种作出新排列的手续叫做对换对换 将相邻两个元素对调将相邻两个元素对调, 叫做叫做相邻对换相邻对换.a1 a2 al a b b1 bma1 a2 al b a b1 bma1 a2

32、al a b1 bm b c1 cna1 a2 al b b1 bm a c1 cn例如例如二、对换与排列奇偶性的关系二、对换与排列奇偶性的关系 定理定理1: 一个排列中的任意两个元素对换一个排列中的任意两个元素对换, 排列改排列改变奇偶性变奇偶性.对换对换 a与与b即除即除 a, b 外外, 其它元素的逆序数不改变其它元素的逆序数不改变.证明证明: 先考虑相邻对换的情形先考虑相邻对换的情形.a1 a2 al a b b1 bma1 a2 al b a b1 bm例如例如因此因此, 相邻对换排列改变奇偶性相邻对换排列改变奇偶性.当当 ab 时时, 对换后对换后 a 的逆序数不变的逆序数不变,

33、b 的逆序数增加的逆序数增加1;a1a2alab1bmbc1cna1a2albb1bmac1cn对一般对换的情形对一般对换的情形, 例如例如对换对换 a与与b经过经过m次相邻对换次相邻对换, 排列排列a1a2alab1bmbc1cn对对换为换为a1a2alabb1bmc1cn,再经过再经过m+1次相邻对换次相邻对换, 对对换为换为a1a2albb1bmac1cn,共经过了共经过了2m+1次相邻对换次相邻对换. 所以所以, 由相邻对换的结果知由相邻对换的结果知: 一个排列中的任意两一个排列中的任意两个元素对换个元素对换, 排列改变奇偶性排列改变奇偶性.次相邻对换次相邻对换mnmlccbbabaa

34、111次相邻对换次相邻对换1 mnmlccabbbaa111111,lmnabaa bbcc次相邻对换次相邻对换12 m111,lmnaa bbccba.abnmlccbbbaaa111abab对一般对换的情形对一般对换的情形, 例如例如a1a2alab1bmbc1cna1a2albb1bmac1cn对换对换 a与与b 推论推论: 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数奇排列调成标准排列的对换次数为奇数, 偶偶排列调成标准排列的对换次数为偶数排列调成标准排列的对换次数为偶数.证明证明: 由定理由定理1知知, 对换的次数就是排列奇偶性的对换的次数就是排列奇偶性的变化次数变化次数,而标准排列是偶排列而

35、标准排列是偶排列(逆序数为逆序数为0), 论成立论成立.因此因此, 推推下面讨论下面讨论行列式的另一种定义行列式的另一种定义形式形式.对于行列式的任一项对于行列式的任一项 ,12121njinpjpippptaaaaa 其中其中12ijn为自然排列为自然排列, 其逆序数其逆序数0, t 为列标排列为列标排列p1p2pipjpn的逆序数的逆序数, ,12121nijnpipjppptaaaaa 成成与与jijpipaa对换元素对换元素 ,12121nijnpipjppptaaaaa 此时此时, 行标排列行标排列12jin的逆序为奇数的逆序为奇数, 而列标而列标排列排列p1p2pjpipn的逆序也

36、改变了一次奇偶性的逆序也改变了一次奇偶性. 换后换后行标排列逆序与列标排列逆序之和行标排列逆序与列标排列逆序之和的的奇偶性不变奇偶性不变, 即即t(1jin)+t(p1pjpipn)与与t(p1pipjpn)具具有相同的奇偶性有相同的奇偶性.因此因此, 对对 njinpjpippptaaaaa21211 故故 一般地一般地, 经过若干次对换行列式的任一项乘积元经过若干次对换行列式的任一项乘积元素的位置后得到的符号仍为素的位置后得到的符号仍为(1)t.因此因此, 总可以经过总可以经过若干次对换行列式的任一项若干次对换行列式的任一项, 得得 ,1121212121nqqqsnppptnnaaaaa

37、a 其中其中 s 为行下标排列为行下标排列 q1q2 qn 的逆序数的逆序数. nqqqsnaaaD21211 定理定理2: n 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为其中其中s为行标排列为行标排列q1q2qn的逆序数的逆序数, 并按行标排列求和并按行标排列求和.定理定理3: n 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为 nnqpqpqptaaaD22111 其中其中 t 为行标排列为行标排列 p1p2pn与列标排列与列标排列 q1q2qn的逆的逆序数之和序数之和. 并按行标排列并按行标排列(或列标排列或列标排列)求和求和.因此因此, 我们可以得到行列式的另一种定义形式我们可以得到行列式的另一种定义

38、形式:根据以上讨论根据以上讨论, 还可以如下定义还可以如下定义 例例1: 试判断试判断 a14a23a31a42a56a65 和和a32a43a14a51a25a66是否六阶行列式中的项是否六阶行列式中的项. 解解: a14a23a31a42a56a65的行标为顺序排列的行标为顺序排列, 列标排列列标排列的逆序数为的逆序数为:t(431265)=0+1+2+2+0+1=6(偶数偶数)所以所以 a14a23a31a42a56a65是六阶行列式中的项是六阶行列式中的项. 将将a32a43a14a51a25a66的行标按标准次序排列的行标按标准次序排列, 则其则其列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为

39、:t (452316) = 0+0+2+2+4+0 = 8 (偶数偶数)所以所以 a32a43a14a51a25a66 不是六阶行列式中的项不是六阶行列式中的项. 解解: 将将a23a31a42a56a14a65的行标按标准次序排列的行标按标准次序排列, 则则其列标排列的逆序数为其列标排列的逆序数为:t (431265) = 0+1+2+2+0+1 = 6 (偶数偶数)所以所以 a23a31a42a56a14a65 的前边应带正号的前边应带正号.例例2: 在六阶行列式中在六阶行列式中, 下列两项各应带什么符号下列两项各应带什么符号.(1) a23a31a42a56a14a65; (2) a32

40、a43a14a51a66a25 . 项项a32a43a14a51a66a25的行下标与列下标的逆序数之的行下标与列下标的逆序数之和为和为 t (341562)+t (234165) =(0+0+2+0+0+4)+(0+0+0+3+0+1)= 6+4 = 10 (偶数偶数)所以所以 a32a43a14a51a66a25的前边应带正号的前边应带正号.例例3: 用行列式的定义计算用行列式的定义计算nnDn0000000010020001000 解解: 由于行列式由于行列式Dn每行每列中仅有一个非零元素每行每列中仅有一个非零元素, 所所以以Dn =(1)t a1 n-1 a2 n-2 an-1 1 a

41、n nDn = (1)t 12(n1)n = (1)t n!即即而而t = t (n1)(n2)21 n = 0+1+2+ +(n3)+(n2)+0 = (n1)(n2)/2 !.1221nDnnn 所以所以三、小结三、小结1. 对换排列中的任意两个元素对换排列中的任意两个元素, 排列改变奇偶性排列改变奇偶性.2. 行列式的三种定义方法行列式的三种定义方法: nqqqsnaaaD21211 nnqpqpqpraaaD22111 nnppptaaaD21211其中其中 r 为行标排列为行标排列 p1p2pn与列标排列与列标排列 q1q2qn的逆的逆序数之和序数之和. 并按行标排列并按行标排列(或

42、列标排列或列标排列)求和求和.思考题思考题证明在全部证明在全部 n 阶排列中阶排列中(n 2), 奇偶排列各占一半奇偶排列各占一半.思考题解答思考题解答 证证: 设在全部设在全部 n阶排列中有阶排列中有s个奇排列个奇排列, t 个偶排列个偶排列,则则 s + t = n！现来证！现来证 s = t . 若若将所有将所有 s个奇排列的前两个数作对换个奇排列的前两个数作对换, 则这则这 s 个个奇排列全变成偶排列奇排列全变成偶排列, 故必有故必有s = t = 若若将所有将所有 t 个偶排列的前两个数作对换个偶排列的前两个数作对换, 则这则这 t 个个偶排列全变成奇排列偶排列全变成奇排列, 如此产

43、生的如此产生的 s 个偶排列不会超个偶排列不会超过所有的过所有的 s 个奇排列个奇排列, 所以所以 t s .过所有的过所有的 t 个偶排列个偶排列, 所以所以 s t .如此产生的如此产生的 t 个奇排列不会超个奇排列不会超2!n1.5 行列式的性质行列式的性质 一、行列式的性质一、行列式的性质行列式行列式DT称为行列式称为行列式D的的转置行列式转置行列式. nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112nnTaaaD2211 记记将将D的行列互换就得到的行列互换就得到TD证明证明: 记行列式记行列式 D=det(aij) 的转置行列式为的转置

44、行列式为: 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等, 即即DT = D.,212222111211nnnnnnTbbbbbbbbbD 按定义按定义 .1121212121 nppptnppptTnnaaabbbD即即 bij=aji ( i, j=1, 2, , n), .12121 nppptnaaaD又由行列式的另一种表示得又由行列式的另一种表示得,所以所以, DT = D, 结论成立结论成立 说明说明: 性质性质1行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位, 因此因此行列式的性质凡是对行成立的结论行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立对列也同样成立.

45、 互换行列式的两行互换行列式的两行(列列), 行列式变号行列式变号.设行列式设行列式,212222111211nnnnnnbbbbbbbbb nnninjnpnpipjpnijaaaaaaaaaaaaD11111111 nnnjninpnpjpipnjiaaaaaaaaaaaaD1111111 是由行列式是由行列式互换互换 i, j (i j 时，时，0,ija 则称则称 A 为为上三角矩阵上三角矩阵.若当若当 ij 时时1 12 2ijijijinnjca ba ba b11iikkjka b nikkjk ia b 0ika0kjb0.即即 C为上三角矩阵为上三角矩阵.定义定义设设 A 是

46、是 n 阶方阵，阶方阵，k 个个 A 的连乘积称为的连乘积称为 A 的的k 次幂，记作次幂，记作,kA即即 kkAAAA个当当 m，k 为正整数时，有为正整数时，有mkm+kA AA() mkmkAA当当AB不可交换时，一般不可交换时，一般() kkkABA B当当AB可交换时，可交换时，() kkkkkABA BB A定义定义 设设( )1110kkkkf xa xaxa xa是是 x 的的 k 次多项式，次多项式，A 是是 n 阶方阵，则称阶方阵，则称( )1110kkkkf Aa AaAa Aa E为方阵为方阵 A 的的 n 次多项式次多项式.若若 f(x)，g(x) 为多项式，为多项式

47、，A、B为为 n 阶方阵，则阶方阵，则f(A) g(A) = g(A) f(A)当当 AB 不可交换时，一般不可交换时，一般f(A) g(B) = g(B) f(A)特别当矩阵为对角阵特别当矩阵为对角阵 =diag( 1, 2, n ) 时时,则则f( )=a0E + a1 +ak k,120112111 nkkkknaaa 12()().()nfff 方阵方阵A的多项式可以类似一般多项式一样相乘或分的多项式可以类似一般多项式一样相乘或分解因式解因式. 例如例如(E + A)(2 E A) = 2 E + A A2,(E A)3 = E 3A + 3A2 A3.因为单位矩阵因为单位矩阵 E 与

48、任意同阶方阵可交换，所以有与任意同阶方阵可交换，所以有1122211()nnnnnnnnnnAkEAC kAC k ACkAk E 解解: 0010010010012A.002012222 .,001001kAA求求设设 例例4: 00100100201222223AAA 32323003033 由此归纳出由此归纳出 200021121 kkkkkAkkkkkkk 用数学归纳法证明用数学归纳法证明. 当当k=2时时, 显然成立显然成立.假设假设, 当当k=n时结论成立时结论成立, 对对 k=n+1时时, 001001000211211nnnnnnnnnnnnAAA 11110010211nnn

49、nnnnnnn 所以对于任意的所以对于任意的 k 都有都有: .00021121 kkkkkkkkkkkA 也可利用二项式也可利用二项式定理展开计算定理展开计算.101000100101000100001000AEB 记记于是于是()nnAEB 11222333nnnnnnnnnnECBCBCBC B 注意到：注意到：2010010001001000000B 001000000 3010010010001001001000000000B 001010000001000000 000000000 即当即当3n 时，时，nBO 所以所以()nnAEB 11222nnnnnECBCB 1122100

50、010001010001000001000000nnnnnCC112211000nnnnnnnnnCCC 四、矩阵的转置四、矩阵的转置 定义定义: 把矩阵把矩阵A 的行列互换的行列互换, 所得到的新矩阵所得到的新矩阵, 叫叫做做矩阵矩阵A 的转置矩阵的转置矩阵, 记作记作AT.例如例如:,854221 A;825241 TA .618 TB,618 B(1) (AT)T = A;(2) (A+B)T = AT + BT;(3) ( A)T = AT;(4) (AB)T = BTAT;转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质一般地一般地1211()TTTTkkkA AAA AA 证明（证明（4）设设

51、 (),(),(),ijm sijs nijm nAaBbABCc ()TTijn mB ADd 首先容易看到首先容易看到()TAB与与TTB A为同型矩阵为同型矩阵.因为因为1,sijikkjkca b 所以所以()TAB的第的第 i 行第行第 j 列列的元素为的元素为1,sjijkkikca b 又因为又因为TB中第中第 i 行的元素为行的元素为 B 中第中第 i 列的元素列的元素12,iisibbbTA中第中第 j 列的元素为列的元素为 A 中第中第 j 行的元素行的元素12,jjjsaaa于是于是TTB A的第的第 i 行第行第 j 列元素为列元素为1122ijijsijsb ab a

52、b a 1sjkkika b 故故()TTTABB A 解法解法1: 因为因为 102324171231102AB,1013173140 .1031314170 TAB例例5: 已知已知,102324171,231102 BA求求(AB)T.所以所以解法解法2: 213012131027241.1031314170 (AB)T=BTAT例例6：设设()ijn nAa（1）2A的第的第 i 行第行第 j 列的元素为列的元素为（2）TAA的第的第 i 行第行第 j 列的元素为列的元素为（3）TA A的第的第 i 行第行第 j 列的元素为列的元素为1nikkjka a 1nikjkka a 1nki

53、kjka a 设设A = ( aij )为为 n 阶方阵阶方阵, 对任意对任意 i, j, 如果如果aij = aji都成立都成立, 则称则称A为为; 如果如果aij = aji 都成立都成立, 则称则称A为为; 显然，若显然，若 A 是反对称矩阵，那么对任意是反对称矩阵，那么对任意 i，有有0iia由矩阵转置和对称矩阵、反对称矩阵的定义可得由矩阵转置和对称矩阵、反对称矩阵的定义可得:.证明证明: 因为因为 例例7: 设列矩阵设列矩阵X = (x1 x2 xn)T, 满足满足XTX = 1, E为为n 阶单位矩阵阶单位矩阵, H = E 2XXT, 证明证明: H为对称矩阵为对称矩阵, 且且H

54、HT = E.HT = (E 2XXT)T = ET 2(XXT)T = E 2XXT = H.所以所以, H为对称矩阵为对称矩阵.= E2 E(2XXT) (2XXT)E + (2XXT)(2XXT)= E 4XXT + 4(XXT)(XXT)= E 4XXT + 4X(XTX)XT = E 4XXT + 4XXT = E HHT = H2 = (E 2XXT)2 例例8: 证明任一证明任一n 阶方阵阶方阵A 都可表示成对称阵与反都可表示成对称阵与反对称阵之和对称阵之和.证明证明: 设设 C = A + AT,所以所以, C为对称矩阵为对称矩阵.)(21)(21TTAAAAA ,2121BC

55、 从而从而, 命题得证命题得证.则则 CT = ( A + AT)T = AT + A = C,设设 B = A AT,则则 BT = ( A AT)T = AT A = B,所以所以, B为反对称矩阵为反对称矩阵. 定义定义: 由由n 阶方阵阶方阵A 的元素所构成的行列式叫做的元素所构成的行列式叫做方阵方阵A 的行列式的行列式, 记作记作 | A | 或或 detA . 2 ,8632 A例如例如:8632 A则则方阵行列式的运算性质方阵行列式的运算性质| AT | = | A |;| kA | = kn| A |;(3) | AB | = | A | | B | = | B | | A |

56、 = | BA |.设设A、B是两个是两个 n 阶方阵，则阶方阵，则| |ABA B利用分块行列式的结论，行列式的性质利用分块行列式的结论，行列式的性质6及及矩阵乘法的定义矩阵乘法的定义.|AOA BEBAABEO( 1)nABAOE ( 1) |nABE ( 1) |( 1) nnAB| AB对于同阶方阵对于同阶方阵A和和B，一般，一般AB BA ，但是，但是|AB|=|BA|AOA BEB1111111100001001nnnnnnnnaaaabbbb 111,2,njjcb cjn 11111 1112211111 112211100100010nnnnnnnnnnnnnnaaa ba

57、ba baaa ba ba bbb 继续做继续做 2233,njjnjjn njnjcb ccb ccb c 例例9. 设设111211121121222122221212,nnnn*nnnnnnnnaaaAAAaaaAAAA=A =aaaAAA其中其中ijA是行列式是行列式 |A| 中元素中元素ija的代数余子式的代数余子式.证明：证明： *1| |nAA (1)|AAA AA E（2）当）当|A|不等于不等于0时，时，称称A 为矩阵为矩阵A的伴随矩阵。的伴随矩阵。证：设证：设*(),ijAACc其中其中ijc1122ijijinjna Aa Aa A |,0Ajiji ， 当时当时于是于是

58、*|AAAAA|A E两边取行列式得两边取行列式得:*|AAAEAA|nA因为因为|0A所以所以*1| |nAA类似可证：类似可证：|A AA E 六、共轭矩阵六、共轭矩阵 定义定义: 当当 A = (aij) 为复矩阵时为复矩阵时, 用用 表示表示aij 的共轭的共轭复数复数, 记记 , 称称 为为A 的共轭矩阵的共轭矩阵.ija)(ijaA A ;2AA .3BAAB 运算性质运算性质 ;1BABA 设设A, B为复矩阵为复矩阵, 为复数为复数, 且运算都是可行的且运算都是可行的, 则则:矩阵运算矩阵运算 加法加法数与矩阵相乘数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵转置矩阵对称阵与

59、伴随矩阵对称阵与伴随矩阵方阵的行列式方阵的行列式共轭矩阵共轭矩阵 (1) 只有当两个矩阵是同型矩阵时只有当两个矩阵是同型矩阵时, 才能进行加法才能进行加法运算运算. (2) 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时行数时, 两矩阵才能相乘两矩阵才能相乘, 且矩阵相乘且矩阵相乘不满足交换律不满足交换律. (3) 矩阵的数乘运算与行列式的性质矩阵的数乘运算与行列式的性质3不同不同.注意注意思考题思考题思考题解答思考题解答 设设A与与B为为 n 阶方阵阶方阵, 等式等式A2B2 = (A+B)(AB)成成立的充要条件是什么立的充要条件是什么?答答: 因为因为

60、 (A + B) (A B) = A2 + BA AB B2,故等式故等式A2 B2 = (A + B)(A B)成立的充要条件是成立的充要条件是:AB = BA.作业：作业：P5354 3，4，7，9，10在数的运算中在数的运算中, 当数当数 a 0 时时, 有有 aa-1 = a-1a = 1. 在矩阵的运算中在矩阵的运算中, 单位阵单位阵 E 相当于数的乘法运算中相当于数的乘法运算中的的1, 那么那么, 对于矩阵对于矩阵A, 如果存在一个矩阵如果存在一个矩阵A-1, 使得使得aa11 为为a 的倒数的倒数, 或称或称a的逆的逆(元元).其中其中 AA-1 = A-1A = E,则矩阵则矩

61、阵A称为可逆矩阵称为可逆矩阵, 称称A-1为为A逆阵逆阵.2.3 逆逆 矩矩 阵阵或者从线性变换的观点来看：或者从线性变换的观点来看： 给定线性变换给定线性变换11111221221122221122nnnnnnnnnnya xa xa xya xa xa xya xa xa x 若记其若记其系数矩阵系数矩阵111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa 1122,nnxyxyXYxy则线性变换可记为：则线性变换可记为：YAX YAX |A YA AXA X |0A 若若|AXYA 记记,|ABA 则上式可以写作：则上式可以写作：XBY 这是一个从这是一个从 Y 到到 X 的线性变换

62、，的线性变换，它是线性变换它是线性变换YAX 的逆变换的逆变换.YAX XBY ()()YA BYAB Y ()()XB AXBA X 为恒等变换为恒等变换则有：则有：ABBAE 定义定义: 对于对于n 阶方阵阶方阵A, 如果存在一个如果存在一个n 阶方阵阶方阵B, 使得使得 AB = BA = E则称矩阵则称矩阵A是可逆的是可逆的, 并称矩阵并称矩阵B为为A的逆矩阵的逆矩阵. A的逆的逆矩阵记作矩阵记作A-1, 即即1AB（1）A与与1A为同阶方阵；为同阶方阵；（2）若）若 B 是是 A 的逆矩阵，那么的逆矩阵，那么 A 也是也是 B 的逆矩阵的逆矩阵;(3) 1EE 例如例如: 设设,21

63、212121,1111 BA由于由于 AB = BA =E, 所以所以 B 为为 A 的逆矩阵的逆矩阵.说明说明: 若若A是可逆矩阵是可逆矩阵, 则则A的逆矩阵是的逆矩阵是唯一的唯一的.事实上事实上: 若设若设B和和C是是A的逆矩阵的逆矩阵, 则有则有所以所以, A的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的, 即即AB = BA = E, AC = CA = E,可得可得: B = EB = (CA)B = C(AB) = CE =C.B = C = A-1.解解: 利用待定系数法利用待定系数法.例例1: 设设,0112 A求求A的逆矩阵的逆矩阵.是是A的逆矩阵的逆矩阵, dcbaB设设 100122b

64、adbca即即则则 dcbaAB0112 1001 100212badbca 2110dcba又因为又因为则则解得解得, 0112 2110 ,1001 所以所以.21101 A 2110 0112即即AB = BA = E, 如上求逆矩阵的方法对于方阵的阶较高时显然是如上求逆矩阵的方法对于方阵的阶较高时显然是不可行的不可行的, 必须寻求可行而有效的方法必须寻求可行而有效的方法.,|11 AAA证明证明: 若若A可逆可逆, 则有则有A-1, 使得使得AA-1 = E.定理定理1: 矩阵矩阵A可逆的充要条件是可逆的充要条件是| A | 0, 且且其中其中A*为矩阵为矩阵A的伴随矩阵的伴随矩阵.故

65、故 | A | A-1 | = | E | = 1, 所以所以, | A | 0.由由伴随矩阵的性质伴随矩阵的性质: AA*= A*A = | A | E, 知知当当| A | 0时时,11|,AAEAAAA按逆矩阵的定义得按逆矩阵的定义得,.|11 AAA说明：说明： （1）该定理揭示了矩阵可逆的充要条件，）该定理揭示了矩阵可逆的充要条件，并给出了逆矩阵的一种求法并给出了逆矩阵的一种求法公式法公式法.(2) 上（下）三角矩阵可逆当且仅当上（下）三角矩阵可逆当且仅当主对角元全不为主对角元全不为0，且当，且当 (, , )i01 2 ain时时11111212(,)(,)diagdiagnna

66、aaaaa这里逆矩阵由定义得到！这里逆矩阵由定义得到！12nA 若若当当 1 2 n 0时，时，A可逆，且可逆，且111111nnA 例例2、当、当a，b满足什么条件时，矩阵满足什么条件时，矩阵 A 不可逆，其中不可逆，其中012314710101234Aba012314710|101234Aba0123147100481002437410baaa解：解：3241rrrra12348102437410baaa 214rr1230022437410baaa12(2)2437baa(2)(37 )2(24 )baa(2)(1)ba由矩阵可逆的充要条件可知：由矩阵可逆的充要条件可知：当当a=1或或b=2时，时，A不可逆不可逆. 当当| A | = 0 时时, 称称A为为奇异矩阵奇异矩阵, 否则称否则称A为为非奇异非奇异矩阵矩阵. 由此可得由此可得, A是可逆矩阵的充分必要条件是是可逆矩阵的充分必要条件是A为非为非奇异矩阵奇异矩阵.若若A可逆，那么由可逆，那么由 AB = O11A ABA OB = O由由AB = AC11A ABA ACB = C证明证明: 由由 AB = E 得得, |