大学用三角函数公式大全

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1、word倒数关系：tancot=1sincsc=1cossec=1商的关系：sin/cos=tan=sec/csccos/sin=cot=csc/sec平方关系：sin2()+cos2()=11+tan2()=sec2()1+cot2()=csc2()平常针对不同条件的常用的两个公式sin2()+cos2()=1tan *cot =1一个特殊公式sina+sin*sina-sin=sina+*sina-证明：sina+sin*sina-sin=2 sin(+a)/2 cos(a-)/2 *2 cos(+a)/2 sin(a-)/2=sina+*sina-坡度公式我们通常半坡面的铅直高度h与水平

2、高度l的比叫做坡度也叫坡比， 用字母i表示，即 i=h / l, 坡度水平面的夹角记作a(叫做坡角，那么 i=h/l=tan a.锐角三角函数公式正弦： sin =的对边/ 的斜边余弦：cos =的邻边/的斜边正切：tan =的对边/的邻边余切：cot =的邻边/的对边二倍角公式正弦sin2A=2sinAcosA余弦1.Cos2a=Cos2(a)-Sin2(a)2.Cos2a=1-2Sin2(a)3.Cos2a=2Cos2(a)-1即Cos2a=Cos2(a)-Sin2(a)=2Cos2(a)-1=1-2Sin2(a)正切tan2A=2tanA/1-tan2(A)三倍角公式 sin3=4sin

3、sin(/3+)sin(/3-)cos3=4coscos(/3+)cos(/3-)tan3a = tan a tan(/3+a) tan(/3-a)三倍角公式推导sin(3a)=sin(a+2a)=sin2acosa+cos2asina=2sina(1-sina)+(1-2sina)sina=3sina-4sin3acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cosa-1)cosa-2(1-cosa)cosa=4cos3a-3cosasin3a=3sina-4sin3a=4sina(3/4-sina)=4sina(3/2)-sina=4sina(sin60-si

4、na)=4sina(sin60+sina)(sin60-sina)=4sina*2sin(60+a)/2cos(60-a)/2*2sin(60-a)/2cos(60-a)/2=4sinasin(60+a)sin(60-a)cos3a=4cos3a-3cosa=4cosa(cosa-3/4)=4cosacosa-(3/2)2=4cosa(cosa-cos30)=4cosa(cosa+cos30)(cosa-cos30)=4cosa*2cos(a+30)/2cos(a-30)/2*-2sin(a+30)/2sin(a-30)/2=-4cosasin(a+30)sin(a-30)=-4cosasin

5、90-(60-a)sin-90+(60+a)=-4cosacos(60-a)-cos(60+a)=4cosacos(60-a)cos(60+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60-a)tan(60+a)现列出公式如下: sin2=2sincos tan2=2tan/(1-tan2() cos2=cos2()-sin2()=2cos2()-1=1-2sin2() 可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用。包括一些图像问题和函数问题中三倍角公式sin3=3sin-4sin3()=4sinsin(/3+)sin(/3-) cos3=4cos3()-3cos=4coscos(/3

6、+)cos(/3-) tan3=tan()*(-3+tan()2)/(-1+3*tan()2)=tan a tan(/3+a) tan(/3-a)半角公式sin2(/2)=(1-cos)/2 cos2(/2)=(1+cos)/2 tan2(/2)=(1-cos)/(1+cos) tan(/2)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin万能公式sin=2tan(/2)/1+tan2(/2) cos=1-tan2(/2)/1+tan2(/2) tan=2tan(/2)/1-tan2(/2)其他sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin+2*(n-1)/

7、n=0 cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+cos+2*(n-1)/n=0 以与 sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0四倍角公式sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA2-1) cos4A=1+(-8*cosA2+8*cosA4) tan4A=(4*tanA-4*tanA3)/(1-6*tanA2+tanA4)五倍角公式sin5A=16sinA5-20sinA3+5sinA cos5A=16cosA5-20cosA3+5cosA tan5

8、A=tanA*(5-10*tanA2+tanA4)/(1-10*tanA2+5*tanA4)六倍角公式sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA2) cos6A=(-1+2*cosA2)*(16*cosA4-16*cosA2+1) tan6A=(-6*tanA+20*tanA3-6*tanA5)/(-1+15*tanA2-15*tanA4+tanA6)七倍角公式sin7A=-(sinA*(56*sinA2-112*sinA4-7+64*sinA6) cos7A=(cosA*(56*cosA2-112*cosA4+64*cosA6-7)

9、 tan7A=tanA*(-7+35*tanA2-21*tanA4+tanA6)/(-1+21*tanA2-35*tanA4+7*tanA6)八倍角公式sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA2-1)*(-8*sinA2+8*sinA4+1) cos8A=1+(160*cosA4-256*cosA6+128*cosA8-32*cosA2) tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA2-7*tanA4+tanA6)/(1-28*tanA2+70*tanA4-28*tanA6+tanA8)九倍角公式sin9A=(sinA*(-3+4*sinA2)*(64*sinA6-96*si

10、nA4+36*sinA2-3) cos9A=(cosA*(-3+4*cosA2)*(64*cosA6-96*cosA4+36*cosA2-3) tan9A=tanA*(9-84*tanA2+126*tanA4-36*tanA6+tanA8)/(1-36*tanA2+126*tanA4-84*tanA6+9*tanA8)十倍角公式sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA2+2*sinA-1)*(4*sinA2-2*sinA-1)*(-20*sinA2+5+16*sinA4) cos10A=(-1+2*cosA2)*(256*cosA8-512*cosA6+304*cosA4-48*

11、cosA2+1) tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA2+126*tanA4-60*tanA6+5*tanA8)/(-1+45*tanA2-210*tanA4+210*tanA6-45*tanA8+tanA10)N倍角公式根据棣美弗定理，(cos+ i sin)n = cos(n)+ i sin(n) 为方便描述，令sin=s，cos=c 考虑n为正整数的情形： cos(n)+ i sin(n) = (c+ i s)n = C(n,0)*cn + C(n,2)*c(n-2)*(i s)2 + C(n,4)*c(n-4)*(i s)4 + . +C(n,1)*c(n-1)*(i s

12、)1 + C(n,3)*c(n-3)*(i s)3 + C(n,5)*c(n-5)*(i s)5 + . =比拟两边的实部与虚部 实部：cos(n)=C(n,0)*cn + C(n,2)*c(n-2)*(i s)2 + C(n,4)*c(n-4)*(i s)4 + . i*(虚部)：i*sin(n)=C(n,1)*c(n-1)*(i s)1 + C(n,3)*c(n-3)*(i s)3 + C(n,5)*c(n-5)*(i s)5 + . 对所有的自然数n， 1. cos(n)： 公式中出现的s都是偶次方，而s2=1-c2(平方关系)，因此全部都可以改成以c(也就是cos)表示。 2. sin

13、(n)： (1)当n是奇数时： 公式中出现的c都是偶次方，而c2=1-s2(平方关系)，因此全部都可以改成以s(也就是sin)表示。 (2)当n是偶数时： 公式中出现的c都是奇次方，而c2=1-s2(平方关系)，因此即使再怎么换成s，都至少会剩c(也就是 cos)的一次方无法消掉。 (例. c3=c*c2=c*(1-s2)，c5=c*(c2)2=c*(1-s2)2)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin2(a/2)=(1-cos(a)/2cos2(a/2)=(1+cos(

14、a)/2tan(a/2)=(1-cos(a)/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a) 和差化积sin+sin = 2 sin(+)/2 cos(-)/2 sin-sin = 2 cos(+)/2 sin(-)/2cos+cos = 2 cos(+)/2 cos(-)/2cos-cos = -2 sin(+)/2 sin(-)/2tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)两角和公式tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan)tan

15、(-)=(tan-tan)/(1+tantan)cos(+)=coscos-sinsincos(-)=coscos+sinsinsin(+)=sincos+cossinsin(-)=sincos -cossin积化和差sinsin =-cos(+)-cos(-) /2coscos = cos(+)+cos(-)/2sincos = sin(+)+sin(-)/2cossin = sin(+)-sin(-)/2双曲函数sh a = ea-e(-a)/2ch a = ea+e(-a)/2th a = sin h(a)/cos h(a)公式一：设为任意角，终边一样的角的同一三角函数的值相等：sin2

16、k+= sincos2k+= costan2k+= tancot2k+= cot公式二：设为任意角，+的三角函数值与的三角函数值之间的关系：sin+= -sincos+= -costan+= tancot+= cot公式三：任意角与 -的三角函数值之间的关系：sin-= -sincos-= costan-= -tancot-= -cot公式四：利用公式二和公式三可以得到-与的三角函数值之间的关系：sin-= sincos-= -costan-= -tancot-= -cot公式五：利用公式-和公式三可以得到2-与的三角函数值之间的关系：sin2-= -sincos2-= costan2-= -

17、tancot2-= -cot公式六：/2与3/2与的三角函数值之间的关系：sin/2+= coscos/2+= -sintan/2+= -cotcot/2+= -tansin/2-= coscos/2-= sintan/2-= cotcot/2-= tansin3/2+= -coscos3/2+= sintan3/2+= -cotcot3/2+= -tansin3/2-= -coscos3/2-= -sintan3/2-= cotcot3/2-= tan(以上kZ)Asin(t+)+ Bsin(t+) =(A +B +2ABcos(-) sin t + arcsin (Asin+Bsin) /

18、 A2 +B2; +2ABcos(-) 表示根号,包括中的内容三角函数的诱导公式六公式公式一sin(-) = -sincos(-) = costan (-)=-tan公式二sin(/2-) = coscos(/2-) = sin公式三 sin(/2+) = coscos(/2+) = -sin公式四sin(-) = sincos(-) = -cos公式五sin(+) = -sincos(+) = -cos公式六tanA= sinA/cosAtan/2+=cottan/2=cottan=tantan+=tan诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式sin=2tan(/2)/1+(tan(

19、/2)cos=1-(tan(/2)/1+(tan(/2)tan=2tan(/2)/1-(tan(/2)其它公式 (1) (sin)2+(cos)2=1平方和公式(2)1+(tan)2=(sec)2(3)1+(cot)2=(csc)2证明下面两式，只需将一式,左右同除(sin)2，第二个除(cos)2即可(4)对于任意非直角三角形，总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证：A+B=-Ctan(A+B)=tan(-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同

20、样可以得证,当x+y+z=n(nZ)时，该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA)2;+(cosB)2+(cosC)2=1-2cosAcosBcosC(8)sinA)2+(sinB)2+(sinC)2=2+2cosAcosBcosC其他非重点三角函数csc(a) = 1/sin(a)sec(a) = 1/cos(a)(seca)2+(csca)2=(seca)2(cs

21、ca)2幂级数展开式sin x = x-x3/3!+x5/5!-+(-1)(k-1)*(x(2k-1)/(2k-1)!+。 (-x)cos x = 1-x2/2!+x4/4!-+(-1)k*(x(2k)/(2k)!+ (-x)arcsin x = x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + (|x|1)arccos x = - ( x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ) (|x|；比拟两边的实部与虚部实部：cos(n=C(n,0)*cn + C(n,2*c(n-2*(i s)2 + C(n,4*c(n-4*(i s)4 + . i*虚部：i*si

22、n(n=C(n,1*c(n-1*(i s)1 + C(n,3*c(n-3*(i s)3 + C(n,5*c(n-5*(i s)5 + . 对所有的自然数n：cos(n：公式中出现的s都是偶次方，而s2=1-c2平方关系，因此全部都可以改成以c也就是cos表示。sin(n：当n是奇数时：公式中出现的c都是偶次方，而c2=1-s2平方关系，因此全部都可以改成以s也 就是sin表示。当n是偶数时：公式中出现的c都是奇次方，而c2=1-s2平方关系，因此即使再怎么换成s，都至少会剩c也就是 cos的一次方无法消掉。例. c3=c*c2=c*1-s2，c5=c*(c22=c*1-s22特殊公式sina+

23、sin*sina-sin=sina+*sina-证明：sina+sin*sina-sin=2 sin+a)/2 cos(a-)/2 *2 cos+a)/2 sin(a-/2=sina+*sina-坡度公式我们通常把坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度也叫坡比， 用字母i表示，即i=h / l,坡度的一般形式写成l : m平面的夹角记作a叫做坡角，那么i=h/l=tan a.半角公式万能公式辅助角公式编辑注:该公式又称收缩公式 / 强提公式 / 化一公式 等asin +bcos =(a2+b2)sin(+)，其中tan =b/aasinA+bcosB=根号下a方+b方根号下a方+b方分之as

24、inA+根号下a方+b方分之bcosB) 令根号下a方+b方分之a=cosC 如此根号下a方+b方分之b=sinC asinA+bcosB=根号下a方+b方sinAcosC+cosBsinC)=根号下a方+b方sin(A+C)双曲函数编辑sh a = ea-e(-a)/2ch a = ea+e(-a)/2th a = sin h(a)/cos h(a)公式一：设为任意角，终边一样的角的同一三角函数的值相等：sin2k+= sincos2k+= costan2k+= tancot2k+= cot公式二：设为任意角，+的三角函数值与的三角函数值之间的关系：sin+= -sincos+= -cost

25、an+= tancot+= cot公式三：任意角与 -的三角函数值之间的关系：sin-= -sincos-= costan-= -tancot-= -cot公式四：利用公式二和公式三可以得到-与的三角函数值之间的关系：sin-= sincos-= -costan-= -tancot-= -cot公式五：利用公式-和公式三可以得到2-与的三角函数值之间的关系：sin2-= -sincos2-= costan2-= -tancot2-= -cot公式六：/2与3/2与的三角函数值之间的关系：sin/2+= coscos/2+= -sintan/2+= -cotcot/2+= -tansin/2-= coscos/2-= sintan/2-= cotcot/2-= tansin3/2+= -coscos3/2+= sintan3/2+= -cotcot3/2+= -tansin3/2-= -coscos3/2-= -sintan3/2-= cotcot3/2-= tan以上kZ)Asint+ Bsint+ =(A+2ABcos- sint + arcsin (Asin+Bsin / A2 +B2 +2ABcos-表示根号，包括中的内容文档