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1、绝密启用前 2015年全国高等学校招生统一考试汉阳一中仿真模拟（二）数学（理工类）试题 祝考试顺利 命题教师：_邵东 袁芳 高志福_审题教师： 毛建国 考试时间：2015年5月21日下午15:00-17:00 试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、已知是虚数单位，则复数的虚部是( ) A. 1 B. C. D. 02、下列四个结论：若，则恒成立；命题“若”的逆命题为“若”；“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件；命题“”的否定是“”其中正确结论的个数是（ ）A1个B2个C3个D4个3、已知函数，其中，则函数
2、 在上是增函数的概率为( )A B C D4、已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A.若 B.若C.若 D.若5、设是的展开式中项的系数（），若，则的最大值是( )A B C D 6、如图所示的程序框图的运行结果为，那么判断框中应填入的关于的条件是( )A B C D 7、对于函数，下列说法正确的是（ ） A是奇函数且在（）上递增 B是奇函数且在（）上递减 C是偶函数且在（）上递增 D是偶函数且在（）上递减8、如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变, 则鸡蛋中心（球心
3、）与蛋巢底面的距离为( ) A B C D9、点为双曲线的右焦点，点为双曲线左支上一点，线段与圆相切于点Q，且，则双曲线的离心率等于（ ） A2 B CD10、已知函数在的最小值为，则实数的取值范围是（ ）A B C D二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分(一)必考题（11-14题）11、已知向量满足，且，则与的夹角为 12、若圆C：2430关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值是_。13、在小语种自主招生考试中，某学校获得5个推荐名额，其中韩语2名，日语2名，俄语1名并且日语和韩语都要
4、求必须有女生参加学校通过选拔定下3女2男共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有 _种；14、在三棱锥中，底面为边长为的正三角形，顶点在底面上的射影为的中心， 若为的中点，且直线与底面所成角的正切值为，则三棱锥外接球的表面积为_第15题图（二）选做题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑.如果全选，则按第15题作答结果计分.）15(几何证明选讲选做题) 如图,圆上一点在直线上的射影为,点在半径上的射影为.若,则的值为_16(极坐标与参数方程选做题) 在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为的直线与曲线
5、(为参数)相交于两点,则三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. (本小题满分12分)已知,，其中，且满足，（）求，的值；（）若关于的方程在区间上总有实数解，求实数的取值范围18（本题满分12分）如图，已知正三棱柱的各棱长都是4，是的中点，动点在侧棱上，且不与点重合 （）当时，求证：；（）设二面角的大小为，求的最小值19（本题满分12分）某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失. 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突
6、发事件不发生的概率为0.9和0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.（总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.）20（本题满分12分）设数列，已知， （） （）设,求数列的通项公式；（）求证：对任意，为定值；（）设为数列的前项和，若对任意，都有，求实数的取值范围21（本题满分13分）如图，在以点为圆心，为直径的半圆中，是半圆弧上一点，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点.（）建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程；（）设过点的直线与曲线相交于不同的两点.若的面积不小于2，求直线斜率的取值范围. 22（本题满分14分）
7、已知函数. () 若直线与的反函数的图像相切, 求实数的值; （注：指数函数与对数函数互为反函数） () 若函数只有一个零点，求实数的值； () 设, 比较与的大小, 并说明理由. 2015届高三年级模拟仿真考试（二）数学（理科）答案12345678910ABCDBADCDD11、/3 12、4 13、24 14、 15、8 16、1617. 解：（）由题意知，=，由得，f（x）=asin2x+bcos2x，又，a=26分（）由（）得=，f（x）0，3 9分又有解，即f（x）=log3k有解，3log3k0，解得，实数k的取值范围为12分18（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱的各棱长都是4
8、，是的中点，动点 在侧棱CC1上，且不与点重合(1)当时，求证：；(2)设二面角的大小为，求的最小值解：法一：过E作ENAC于N，连接EF.(1) 如图1，连接NF、AC1，由直棱柱的性质知，底面ABC侧面A1C，又底面ABC侧面A1CAC，且EN底面ABC，所以EN侧面A1C.NF为EF在侧面A1C内的射影，在RtCNE中，CNCEcos601.则由，得NFAC1，AC1A1C，故NFA1C.由三垂线定理知EFA1C（6分）(2) 如图2，连接AF，过N作NMAF于M，连接ME.由(1)知EN侧面A1C，根据三垂线定理得EMAF，所以EMN是二面角CAFE的平面角，即EMN.设FAC，则04
9、5.在RtCNE中，NEECsin60，在RtAMN中，MNANsin3sin，故tan.又045，0sin.故当sin，即当45时，tan达到最小值，tan，此时F与C1重合.（12分）法二：(1)建立如图3所示的空间直角坐标系，连接EF，AF，则由已知可得A(0,0,0)，B(2，2,0)，C(0,4,0)，A1(0,0,4)，E(，3,0)，F(0,4,1)，于是CA1(0，4,4)，EF(，1,1)则CA1EF(0，4,4)(，1,1)0440，故EFA1C. .（6分）(2)设CF，(04)，平面AEF的一个法向量为m(x，y，z)，则由(1)得F(0,4，)AE(，3,0)，AF(
10、0,4，)，于是由mAE，mAF 可得即取m(，4)又由直三棱柱的性质可取侧面A1C的一个法向量为n(1,0,0)，于是由为锐角可得cos，sin，所以tan.由04，得，即tan .故当4，即点F与点C1重合时，tan取得最小值.(12分)19.解：不采取预防措施时，总费用即损失期望为4000.3=120（万元）；2分若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为10.9=0.1，损失期望值为4000.1=40（万元），所以总费用为45+40=85（万元）5分若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为10.85=0.15，损失期望值为4000.15
11、=60（万元），所以总费用为30+60=90（万元）；8分若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75（万元），发生突发事件的概率为（10.9）（10.85）=0.015，损失期望值为4000.015=6（万元），所以总费用为75+6=81（万元）.11分综合、，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少.12分20（本小题满分12分）解：（）所以，,即，又, 故数列是首项为，公比为的等比数列， 所以 3分（）解：， 所以，而，所以由上述递推关系可得，当时，恒成立，即恒为定值8 6分（）由（）（）知，所以，所以， 8分所以， 由得，因为，所以， 9分当为奇数时，随的增大而增大，且，当为偶数时，随的增大而减小，且，所以，的最大值为，的最小值为11分由，得，解得 所以，所求实数的取值范围是12分21、5分9分22、 3分（2）设，则在上，在上，在处极大值。 在上，在上，在处极小值函数只有一个零点，=只有一个零点，依题意，=8分14分15
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