因式分解(竞赛题)含答案

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1、-因式分解序号公式记忆特征1*2+(a + b)*+ab = (*+a)(*+b) 十字相乘法(1) 常数项两数积(2) 一次项系数两数和(3) 二次项系数为12a2-b2 = (a-b)(a+b)平差公式3a2+2ab+b2 = (a+b)2 a2-2ab+b2 = (a-b)2完全平公式4a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc = (a+b+c)2完全平公式扩展(1) 三数平和(2) 两两积的2倍5a3+3a2b+3ab2+b3 = (a+b)3a3-3a2b-3ab2+b3 = (a-b)3完全立公式对照完全平公式相互加强记忆6a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2)a3-b3

2、= (a-b)(a2+ab+b2)(1) 近似完全平公式(2) 缺项之完全立公式(a+b)(a+b)2-3ab=(a+b)3-3ab(a+b)(a-b)(a+b)2+3ab=(a-b)3+3ab(a+b)7a3+b3+c3-3abc = (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)对照公式4相互加强记忆8an-bn = (a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+abn-2+bn-1) n=整数平差公式扩展(1) 短差长和；(2) a指数逐项递减1；(3) b指数逐项递增1；(4) 长式每项指数和恒等于 n-1。9an-bn = (a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-+a

3、bn-2-bn-1) n=偶数立差公式扩展(1) 短式变加长式加减相间；(2) a指数逐项递减1；(3) b指数逐项递增1；(4) 每项符号b指数决定偶加奇减。10an+bn = (a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1) n=奇数立和公式扩展比照公式9的异同运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式例1 分解因式：(1)-2*5n-1yn+4*3n-1yn+2-2*n-1yn+4；(2)*3-8y3-z3-6*yz；解 (1)原式=-2*n-1yn(*4n-2*2ny2+y4)=-2*n-1yn(*2n)2-2*2n

4、y2+(y2)2=-2*n-1yn(*2n-y2)2=-2*n-1yn(*n-y)2(*n+y)2(2)原式=*3+(-2y)3+(-z)3-3*(-2y)(-Z) =(*-2y-z)(*2+4y2+z2+2*y+*z-2yz)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc此题实际上就是用因式分解的法证明前面给出的公式(6)分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)这个式也是一个常用的公式，此题就借助于它来推导解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)

5、=(a+b+c)(a+b)2-c(a+b)+c2-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c0时，则a3+b3+c3-3abc0，即a3+b3+c33abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立如果令*=a30，y=b30，z=c30，则有等号成立的充要条件是*=y=z这也是一个常用的结论变式练习1分解因式：*15+*14+*13+*2+*+1分析这个多项式的特点是：有16项，

6、从最高次项*15开场，*的次数顺次递减至0，由此想到应用公式an-bn来分解解因为*16-1=(*-1)(*15+*14+*13+*2+*+1)，所以说明在此题的分解过程中，用到先乘以(*-1)，再除以(*-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用2拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零在对*些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的*一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进展因式分解例3分

7、解因式：*3-9*+8分析此题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧解法1 将常数项8拆成-1+9原式=*3-9*-1+9=(*3-1)-9*+9=(*-1)(*2+*+1)-9(*-1)=(*-1)(*2+*-8)解法2 将一次项-9*拆成-*-8*原式=*3-*-8*+8=(*3-*)+(-8*+8)=*(*+1)(*-1)-8(*-1)=(*-1)(*2+*-8)解法3 将三次项*3拆成9*3-8*3原式=9*3-8*3-9*+8=(9*3-9*)+(-8*3+8)=9*(*+1)(*-1)-8(*-1)(*2+*+1)=(*-1)(*2+*-

8、8)解法4 添加两项-*2+*2原式=*3-9*+8=*3-*2+*2-9*+8=*2(*-1)+(*-8)(*-1)=(*-1)(*2+*-8)说明由此题可以看出，用拆项、添项的法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸法巧性最强的一种变式练习1分解因式：(1)*9+*6+*3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(*+1)4+(*2-1)2+(*-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1解 (1)将-3拆成-1-1-1原式=*9+*6+*3-1-1-1=(*9-1)+(*6-1)+(*3-1)=(

9、*3-1)(*6+*3+1)+(*3-1)(*3+1)+(*3-1)=(*3-1)(*6+2*3+3)=(*-1)(*2+*+1)(*6+2*3+3)(2)将4mn拆成2mn+2mn原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)(3)将(*2-1)2拆成2(*2-1)2-(*2-1)2原式=(*+1)4+2(*2-1)2-(*2-1)2+(*-1)4=(*+1)4+2(*+1)2(*-1)2+(*-1)4-(*2-1)2=(*+1)

10、2+(*-1)22-(*2-1)2=(2*2+2)2-(*2-1)2=(3*2+1)(*2+3)(4)添加两项+ab-ab原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)b(a+b)+1+(ab+b2+1)=a(a-b)+1(ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式构造较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式这道题目使我们体会到

11、拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经历3换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的*一局部看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰例4分解因式：(*2+*+1)(*2+*+2)-12分析将原式展开，是关于*的四次多项式，分解因式较困难我们不妨将*2+*看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了解设*2+*=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(*2+*-2)(*2+*+5)=(*-1)(*+2)(*2+*+5)说明此题也可将*2+*+1看作一个整体，比方今*2+*+

12、1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试例5分解因式：(*2+3*+2)(4*2+8*+3)-90分析先将两个括号的多项式分解因式，然后再重新组合解原式=(*+1)(*+2)(2*+1)(2*+3)-90 =(*+1)(2*+3)(*+2)(2*+1)-90 =(2*2+5*+3)(2*2+5*+2)-90令y=2*2+5*+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2*2+5*+12)(2*2+5*-7)=(2*2+5*+12)(2*+7)(*-1)说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的根底变式练习1.分解因式：(*2+4*+8)2+3

13、*(*2+4*+8)+2*2解设*2+4*+8=y，则原式=y2+3*y+2*2=(y+2*)(y+*)=(*2+6*+8)(*2+5*+8)=(*+2)(*+4)(*2+5*+8)说明由此题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式1双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法对于*些二元二次六项式(a*2+b*y+cy2+d*+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式例如，分解因式2*2-7*y-22y2-5*+35y-3我们将上式按*降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2*2

14、-(5+7y)*-(22y2-35y+3)，可以看作是关于*的二次三项式对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)再利用十字相乘法对关于*的二次三项式分解所以，原式=*+(2y-3)2*+(-11y+1)=(*+2y-3)(2*-11y+1)上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到以下列图：它表示的是下面三个关系式：(*+2y)(2*-11y)=2*2-7*y-22y2；(*-3)(2*+1)=2*2-5*-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3这就

15、是所谓的双十字相乘法用双十字相乘法对多项式a*2+b*y+cy2+d*+ey+f进展因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解a*2+b*y+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字穿插之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字穿插之积的和等于原式中的d*例1 分解因式：(1)*2-3*y-10y2+*+9y-2；(2)*2-y2+5*+3y+4；(3)*y+y2+*-y-2；(4)6*2-7*y-3y2-*z+7yz-2z2解 (1)原式=(*-5y+2)(*+2y-1)(2)原式=(*+y+1)(*-y+4)(3)原式

16、中缺*2项，可把这一项的系数看成0来分解原式=(y+1)(*+y-2)(4)原式=(2*-3y+z)(3*+y-2z)说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似2求根法我们把形如an*n+an-1*n-1+a1*+a0(n为非负整数)的代数式称为关于*的一元多项式，并用f(*)，g(*)，等记号表示，如f(*)=*2-3*+2，g(*)=*5+*2+6，当*=a时，多项式f(*)的值用f(a)表示如对上面的多项式f(*)f(1)=12-31+2=0；f(-2)=(-2)2-3(-2)+2=12假设f(a)=0，则称a为多项式f(*)的一个根定理1(因式定理) 假设a是一元多项式f(*)的根，

17、即f(a)=0成立，则多项式f(*)有一个因式*-a根据因式定理，找出一元多项式f(*)的一次因式的关键是求多项式f(*)的根对于任意多项式f(*) 要求出它的根是没有一般法的，然而当多项式f(*)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根定理2的根，则必有p是a0的约数，q是an的约数特别地，当a0=1时，整系数多项式f(*)的整数根均为an的约数我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进展因式分解例2 分解因式：*3-4*2+6*-4分析这是一个整系数一元多项式，原式假设有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：1，2，4，只有

18、f(2)=23-422+62-4=0，即*=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式*-2解法1 用分组分解法，使每组都有因式(*-2)原式=(*3-2*2)-(2*2-4*)+(2*-4)=*2(*-2)-2*(*-2)+2(*-2)=(*-2)(*2-2*+2)解法2 用多项式除法，将原式除以(*-2)，所以原式=(*-2)(*2-2*+2)说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进展验证变式练习1.分解因式：9*4-3*3+7*2-3*-2分析因为9的约数有1，3，9；-2的约数有

19、1，为：所以，原式有因式9*2-3*-2解 9*4-3*3+7*2-3*-2=9*4-3*3-2*2+9*2-3*-2=*2(9*3-3*-2)+9*2-3*-2=(9*2-3*-2)(*2+1)=(3*+1)(3*-2)(*2+1)说明假设整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9*2-3*-2，这样可以简化分解过程总之，对一元高次多项式f(*)，如果能找到一个一次因式(*-a)，则f(*)就可以分解为(*-a)g(*)，而g(*)是比f(*)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(*)进展分解了3待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解

20、题法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成*几个因式，但这几个因式中的*些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的程(或程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的法叫作待定系数法例3分解因式：*2+3*y+2y2+4*+5y+3分析由于(*2+3*y+2y2)=(*+2y)(*+y)，假设原式可以分解因式，则它的两个一次项一定是*+2y+m和*yn的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决

21、解设*2+3*y+2y2+4*+5y+3=(*+2y+m)(*+y+n)=*2+3*y+2y2+(m+n)*+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1所以原式=(*+2y+3)(*+y+1)说明此题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下变式练习1.分解因式：*4-2*3-27*2-44*+7分析此题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，假设原式有有理根，则只可能是1，7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集，原式没有一次因式如果原式能分解，只能分解为(*2+a*+b)(*2+c*+d)的形式解设原式=(*2+a*+b)(*2+c*+d)

22、=*4+(a+c)*3+(b+d+ac)*2+(ad+bc)*+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(*2-7*+1)(*2+5*+7)说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑此题如果b=1，d=7代入程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入程组，直到求出待定系数为止此题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式但利用待定系数法，使我们找到了二次因式由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地四、稳固练习：1.分解因式：(*2+*y+y2)-4*y(*2+y2)分析此题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多

23、项式叫作二元对称式对于较难分解的二元对称式，经常令u=*+y，v=*y，用换元法分解因式解原式=(*+y)2-*y2-4*y(*+y)2-2*y令*+y=u，*y=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(*2+2*y+y2-3*y)2=(*2-*y+y2)2五、真题精解：1） 多项式a*3+b*2+c*+d除以*-1时的余数是1，除以*-2时的余数是3，则，它除以(*-1)(*-2)时所得的余数是什么.第12届希望杯试题解：设原式=(*-1)(*-2)(a*+k)+(m*+n)，当*=1时，原式=1，即m+n=1；当*=2时，原式=3，即2m

24、+n=3，解此关于m、n的程组得m=2,n=-1，故原式除以(*-1)(*-2)时的余数为*-12） k为值时，多项式*2-2*y+ky2+3*-5y+2能分解成两个一次因式的积.*市竞赛试题解：原式中不含y的项为*2+3*+2可分解为(*+1)(*+2)，故可设原式=(*+1)+ay(*+2)+by，将其展开得：*2+(a+b)*y+aby2+3*+(2a+b)y+2，与原式比照系数得：a+b=-2, ab=k, 2a+b=-5，解之得a=-3,b=1,k=-33） 如果*3+a*2+b*+8有两个因式*+1和*+2，求a+b的值。美国犹他州中学竞赛试题解法1：设原式=(*+1)(*+2)(

25、*+k)，展开后得：*3+(3+k)*2+(3k+2)*+2k，比照原式系数得a=3+k, b=3k+2, 8=2k，所以a+b=4k+5=16+5=21解法2：因当*=-1或*=-2时，原式=0，分别代入后得a-b+8=0, 4a-2b+8=0，解得a=7, b=14，故a+b=14真题实练：1以下四个从左到右的变形中，是因式分解的是 A. (*+1)(*-1)=*2 B. (a-b)(m-n)=(b-a)(n-m) C. ab-a-b+1=(a-1)(b-1) D. m2-2m-3=m(m-2-3/m)第8届希望杯试题提示：此题简单，因式分解的概念2以下五个多项式中在有理数围可以进展因式分

26、解的有 a2b2-a2-b2-1*3-9a*2+27a2*-27a3*(b+c-d)-y(d-b-c)-2c+2d-2b 3m(m-n)+6n(n-m) (*-2)2+4* A.B. C. D. 第10届希望杯试题提示：立差公式、提取公因式，但排除法最快3设bc，且满足()(a-b)+(b-c)=a-c，则的值 A.大于零B. 等于零C. 小于零D. 正负号不确定第12届希望杯试题提示：按(a-b)和(b-c)重新整理分组合并4*2+a*-12能分解成两个整系数的一次因式乘积，则符合条件的整数a的个数是 A.3个B. 4个C. 6个D. 8个第7届希望杯试题提示：对-12以十字相乘法拆分穷举5

27、y-2*+1是4*y-4*2-y2-k的一个因式，则k的值是 A. 0B. -1C. 2D. 4第14届希望杯试题提示：完全平+平差6将多项式*2-4y2-9z2-12yz因式分解结果是 A. (*+2y-3z)(*-2y-3z)B. (*-2y-3z)(*-2y+3z)C. (*+2y+3z)(*+2y-3z)D. (*+2y+3z)(*-2y-3z)第9届希望杯试题提示：完全平+平差7分解因式：*2-4y2-9z2-12yz=。第9届希望杯试题提示：完全平+平差8分解因式：*5+*-1=。第9届希望杯试题提示：添项+立和9*3+3*2-3*+k有一个因式是*+1，则k=。第10届希望杯试题提示：分组成每项都含*+110分解因式：*y-1-*+y=。第10届希望杯试题提示：分组提取公因式. z.