14点直线与圆锥曲线的位置关系课件

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1、点、直线与圆锥曲线的位置关系一、知识概述本周主要学习了点、直线与圆锥曲线的位置关系，点和圆锥曲线一般有三种位置关 系，即点在曲线外，点在曲线上，点在曲线内，而直线与圆锥曲线一般也有三种位置关 系，即相离、相切、相交另外还要注意弦长公式，焦半径公式，以及掌握这些公式在 具体问题中的运用方法二、重难点知识归纳1点M（）与圆锥曲线C: f（x , y）=0的位置关系已知椭圆:：的焦点为宀上,双曲线/1 上的焦点为 宀上，抛物线7 -二宀；的焦点为F，一定点M（ 了 ：）, M点到抛物 线的准线的距离为d,则有：曲线条件结论椭圆1 + 1碑1=2工十挙1口O点在曲线上1十皿皿不菩1口D点在曲线外1加屮

2、吨心右嗒邛ad点在曲线内双曲线II叫网Z茸-巻i。b点在曲线上|阿| 一吨心手-奔1点在曲线外II呼鸟n孚-务1点在曲线内抛物线M点在曲线上玄 2px.点在曲线外MFd,2p点在曲线内2 直线I : Ax + By + C=0与圆锥曲线C : f(x , y) = 0的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离对于抛物线来说，平行于 对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的 直线与双曲线只有一个交点，但并不相切这三种位置关系的判定条件可归纳为：设直线 I: Ax + By + C=0,圆锥曲线 C: f(x,y)=0，由 I / =-消去y(

3、或消去x)得：丄相交(2)丄.-相离(3)丄.相切注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件.3 .弦长公式若直线y=kx+b与圆锥曲线f(x,y)=0相交，交点为 匚】1 ； I 1，那么则有|曲|= J1 +芒区-可|二Jl + |乃-乃三、典型例题剖析1例1.若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆-:总有公共点，求m的取值范围解析例2椭圆C:2 2+2L = i43上有相异两点关于直线I: y=4x + m对称，求m的取值范围解析2 2例3直线y=kx+1与双曲线-1的左支交于A、B两点，直线I过点(-2, 0)和AB的中点求直线I在y轴上

4、的截距b的取值范围解析2j例4 已知双曲线，直线I: y=k(x-1)试讨论实数k的取值范围(1) 直线I与双曲线有两个公共点；(2) 直线I与双曲线只有一个公共点;(3) L与双曲线没有公共点；解析例5求过定点P ( 0, 1)且与抛物线“ 二只有一个公共点的直线方程解析例一解法1:考虑到直线与椭圆总有公共点，由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件 可求.由椭圆方程及椭圆的焦点在 x轴上，知：0V * 5.y 二b + 1I” y2 得+5?)?+10+5(1-) = 0+= 1 由I 5 m又因为直线与椭圆总有公共点,所以上述方程对一切实数k成立.即 I1 -_ - 11，亦即 匸 “对一切

5、实数 k 成立.一八| IL, ：, 故m的取值范围为：;解法二：由于直线过定点(0,1)，而直线与椭圆总有公共点，所以定点(0 , 1)必在椭圆内部或边界上，由点与椭圆的位置关系的充要条件易求.由椭圆方程及椭圆的焦点在 x轴上知：0v m 5.又直线与椭圆总有公共点.二直线所经过的定点(0 , 1)必在椭圆内部或边界上.+ 即(-2胖-4xx(4na-12)0一则可解得一二”+卩2二一2（码+西）+ 2=石起丄（气+門儿+必） 又点在直线I : y=4x+m上.121613J13.w = n+fn? 1 w =m n.3 二:,又一屈13713 Bn 2132丽：.-tn -即一 一242

6、B132屈2卑故m的取值范围为丄 L-.例三解析：设 A B两点的坐标分别为0忑+為u2厂（X+1）（花 +1）3。，即2+10（兀1+可因为AB的中点为 _所以直线I的方程为ml .令x=o，得2 _ 1曲+上+2一 ,+1-?十在，因为10）的焦点F作一直线交抛物线于的长分别为p、q,则:等于（)EIb .Hd.4a9.已知双曲线3的焦点为Fl、F2，点M在双曲线上且 MFi丄x轴，则Fl到直线F2M的距离为()365屈EIa .一Ib .65Elc.-EId . r2 1鼻 + 二=l(ai0)-心怒10点P(-3, 1)在椭圆二的左准线上，过点P且方向为-.-C. 4a的光线，经直线“

7、】反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为()、填空题11椭圆工 1的两焦点为Fi, F2, 直线过Fi交椭圆于P、0,则厶PQF2的周长为 .12. 若直线I过抛物线(a0)的焦点，并且与y轴垂直，若I被抛物线截得的线段长为4,则a=.13. 过点且被点M平分的双曲线 T7 -的弦所在直线方程为 .14已知F1、F2是椭圆- +y2=1的两个焦点,P是该椭圆上的一个动点,则|PF1| |PF21的最大值是.答案三、解答题15如图，0为坐标原点，过点P( 2,0)且斜率为k的直线I交抛物线y2=2x于M( X1,yJ,N(X2, y2)两点.(1) 写出直线.的方程；(2) 求X1X2与y

8、y的值；(3) 求证：OM丄ON .答案2 】X 丿16已知椭圆C:丿+ = 1 (ab 0)的左右焦点为 F1、F2,离心率为e.直线I: y= ex+ a与x轴.y轴分别交于点 A、B, M是直线I与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线I的对称点，设=九-二.(I)证明：入=1-e2；(H)若 - , PF1F2的周长为6;写出椭圆C的方程.答案-2L = i(aoo)17. 已知双曲线C的方程为 J J,过右焦点F作双曲线在第一、三象限的渐近线的垂线.，设垂足为P,且与双曲线C的左、右支的交点分别为 A、B。(1) 求证：点P在双曲线C的右准线上;(2) 求双曲线C的离心率的取值范围答

9、案18. 抛物线上有两个动点 A、B及一个定点 M , F为焦点，若 丄、 黑:丨、成等差数列。(1) 证线段AB的垂直平分线过定点 Q;(2) 若|MF|=4、|0Q|=6求抛物线方程。匸第1题答案错误！正确答案为D：-：第2题答案错误！正确答案为B：-：第3题答案错误！正确答案为A：-：第4题答案错误！正确答案为D|：|第5题答案错误！正确答案为B|：|第6题答案错误！正确答案为C：-；：第7题答案错误！正确答案为D：第8题答案错误！正确答案为C：第9题答案错误！正确答案为C：第10题答案错误！正确答案为A提示:2 2仝+ 11设椭圆164 上的点P (4cos Q 2sin 0则点P到直

10、线- ! -I I的距离|4c 翻血(& +彳-忑 |d=: -2过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,若直线AB的斜率不存在，则横坐标之和等于2,不适合。故设直线AB的斜率为k，则直线AB为“b代入抛物线：二得,ta?-2(ia+2)x+ia = 02(尸+ 2) _ , 尸_纟T A、B两点的横坐标之和等于 5,二 J,J则这样的直线有且仅有两条3直线I过(a, 0), (0, b)两点即为：二 -二，故原点到直线I的距离275 e = 一或 2,又0a0)的焦点F作一直线交抛物线于 P、Q两点,1 1、戸+l g二乃+设 P(Xi,yJ、Q(X2,y2),则 p= 上；.厂治

11、丄设直线PQ为，联立直线方程与抛物线方程可得1 + 2X:？ ao) = 310点P (- 3, 1)在椭圆的左准线上，故:点P （-3, 1）关于直线厂二的对称的点为Q,贝V Q （-3, -5），设椭圆的左焦点为F,则直线FQ为+ “ （工+ ?）新二斗& + 3故_1, E .答案：111.20 12. 13.3x + 4j-5=014. 4提示：11. PQF2的周长=42 212.1被抛物线截得的线段长即为通径长，故二=4，_ 313. 参考选择题（4），由 点差法可得斜率为-14. 由焦半径公式|PF1|=“ 二，尸冋=一二2 2 2PF* |pf2|=（ m）（【+ ：）=li

12、:则|PF1| |PH|的最大值是=4.15 解：（1）直线I的方程为.丄:由及y2=2x消去y可得:八：1.7I II 点M N的横坐标Xi与X2是的两个根,由韦达定理得和宀為/ = 2心得.：亠-一!- 注意到屮f 所以心二却证明：设OM ON的斜率分别为ki, k 2,则 一相乘得:r所以一二-16解:(I)证明：因为 A、B分别是直线l : r 与x轴、y轴的交点,所以AB的坐标分别是:X =0得护这里c二7?7歹y-I a所以点M的坐标是（- AM Aj|(-c +-,) =洱卫).：).由:.】a.aC A ee匕加a解得乂 = I-#1A =-(u)当-时,1I，所以一：二由厶M

13、FF2的周长为6,得一一上 -X “1222十所以.，二；.二-=.二：椭圆方程为-_17.解：（1）依题意得I的方程为y = -(x-c) 由宅 bA亀4竺) b 、 c cy = -(x-c)a所以点P在右准线1 上.方法与双曲线C左、右两支都相交方法二由得(/-0, b0)的右顶点A作斜率为1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C若AB-BC2,则双曲线的离心率是A .J：B门D 币答案：C解析:B直线l:y= x+ a与渐近线I i：bx ay=0交于abCl与渐近线 bbx + ay=O交于a2 -ab,A (a, 0),ab ab乔=1 abJa+brBC =2-ab

14、 _ ab.- 二 , b=2a.:K-屮二 4/. /二二 5,a- - ，故选 C.33. (2009年辽宁卷)已知，椭圆 C经过点A (1,)，两个焦点为(一1 , 0),( 1,0).(1) 求椭圆C的方程；(2) E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线 AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.解析：匚_ (1)由题意，c=1,可设椭圆方程为一 L 丄+2 二 1y 用二-3因为A在椭圆上，所以 - ，解得(舍去).所以椭圆方程为二.(2)设直线AE方程为y=k (x 1)+ -，代入-3 得(3+ 4脱芬 2上)x+4(* - 厅 -12 = 0设八

15、.因为点I在椭圆- 匕所以又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以 k代k,可得4（冷-123廿3+4X丿厂亡+上切=用丹=W（心+励）+2上=2所以直线EF的斜率?b- - r.- v.-:即直线EF的斜率为定值，其值为 .2 2x y_4、（浙江卷理）如图，椭圆-b0)与过点 A (2, 0) B(0,1)的直线有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率（I ）求椭圆方程；（口 ）设F2分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF!的中点，求证：/ ATM= ZAF iT.分析：本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质，同时考察解析几何的基本 思想方法和综合解题能力。解:y 1 -（I）过点、J的直线方程为1丁 +_17+F_x1 ,因为由题意得V = - x+1.2 有惟一解,（护+/ 咛=0即 有惟一解,所以 - 1|- 1（二： 11）,故-U-二.J3 小-护3又因为 一 即一 -故所求的椭圆方程为71（II ）由（I）得 一 故0迟（弘M （1+,0）.从而4+ 2尹占=1,2 z1 ,7=- + 1r - r -12解得-坷一 h所以讶因为p tan ZTAM = A乂2tan ZJTMF2 2_屁得tan 073/ =2 1