三角形培优训练100题集锦(1)

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1、word三角形培优训练专题【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接如此成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。【常见辅助线的作法有以下几种】1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折。2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转。3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作

2、垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移或“翻转折叠。5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。6、 某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。

3、1、，如图ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值X围.2、如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF，D是中点，试比拟BE+CF与EF的大小.3、如图，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分BAE.4、以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系与数量关系1如图当为直角三角形时，探究：AM与DE的位置关系和数量关系；2将图中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0AB，AD平分BAC，P为AD上任一点，连结PB、PC。求证：PC-PBAC-AB。26、如图2-7-5，从等腰RtABC的直角顶

4、点C向中线BD作垂线，交BD于F，交AB于E，连结DE。求证：CDF=ADE。27、在ABC中，ACB90，ACBC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E. 1当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ADCCEB；DEADBE； 2当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DEADBE； 3当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。28、：ABC为等边三角形，M是BC延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点A，且60角的顶点E在BC上滑动，点E不与B、C重合，斜边和ACM的平分线CF交于点F1如图1当点E在BC边

5、中点位置时 1) 猜测AE与EF满足的数量关系是。 2) 连结点E与边得中点，猜测和满足的数量关系是3) 请证明你的上述猜测如图当点在边得任意位置时：此时和有怎样的数量关系，并说明你的理由？E29、AC平分MAN，MAN=120，1在图1中，假如ABC=ADC=90，求证：AB+AD=AC 。2在图2中，假如MAN=120，ABC+ADC=180，如此1中的结论还成立吗？假如成立请你给出证明，假如不成立请说明理由？30、如图1，在中，点为边中点，直线绕顶点旋转，假如点在直线的异侧，直线于点，直线于点，连接1延长交于点如图2，求证：；求证：；2假如直线绕点旋转到图3的位置时，点在直线还成立吗？假

6、如成立，请给予证明；假如不成立，请说明理由；3假如直线绕点旋转到与边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断还成立吗？不必说明理由.题图1题图2题图331、如图1，正方形的边在正方形的边上，连接1试猜测与有怎样的位置关系，并证明你的结论.2将正方形绕点按顺时针方向旋转，使点落在边上，如图2，连接和你认为1中的结论是否还成立？假如成立，给出证明；假如不成立，请说明理由.32、等边ABC和点P，设点P到ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，ABC的高为h。 “假如点P在一边BC上如图1，此时h3=0,可得结论h1+h2+h3h请直接应用上述信息解决如下问题： AEDCAMPBMAF

7、EDPCBPDMCBFE当点P在ABC内如图2、点P在ABC外如图3这两种情况时，上述结论是否还成立？假如成立，请给予证明；假如不成立，h1、h2、h3与h之间的关系如何？请写出你的猜测，不需证33、在RtABC中，A90，CE是角平分线，和高AD相交于F，作FGBC交AB于G，求证：AEBGABCDEFG34、如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BCCBODAEBAODCE1求AEB的大小；2假如OAB固定不动，保持OCD的形状和大小不变，将OCD绕着点O旋转OAB和OCD不能重叠，求AEB的大

8、小.35、如图，图1等腰与等腰共点于，且，连结、，假如、 求证：； 假如将等腰绕点旋转至图2、3、4情况时，其余条件不变，与还相等吗？为什么? 请你用图2加以证明36、如图1，中，点、是线段上两动点，且，于，交于点，直线交直线于. 判断的形状，并说明理由. 如图2，假如点、是直线上两动点，其他条件不变，判断的形状，并说明理由.37、如图1，在等腰直角中，为的中点，为上一动点，在上，且满足，于. 求证： 如图2，点在的延长线上，其他条件不变，中的结论是否成立？ 在图3中画出当点在延长线上的情况，并给出相应的证明； 还有什么样的情况？在图4中画出图形，给出证明.38、，如如下图，BACBCA,BD

9、CD,CEAB,求证：AE2AD。39、如图，ABC是等边三角形，E是AC延长线上的任意一点，选择一点D，使得CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：CMN是等边三角形。40、如图，在ABC中，点D、E在边BC上，CAEB，E是CD的中点，且AD平分BAE.ABCDE(1) 当BAC=90时，求证：BD=AC.(2) 当BAC90时，是否还有BDAC成立？假如成立，请说明理由；假如不能，也说明理由。41、：如图，中，于，平分，且于，与相交于点是边的中点，连结与相交于点1求证：；2求证：；3与的大小关系如何？试证明你的结论42、如图1，一等腰直角三角尺的两条直角边与

10、正方形的两条边分别重合在一起现正方形保持不动，将三角尺绕斜边的中点点也是中点按顺时针方向旋转1如图2，当与相交于点与相交于点时，通过观察或测量，的长度，猜测，满足的数量关系，并证明你的猜测；2假如三角尺旋转到如图3所示的位置时，线段的延长线与的延长线相交于点，线段的延长线与的延长线相交于点，此时，1中的猜测还成立吗？假如成立，请证明；假如不成立，请说明理由图1图2图343、如图1，的顶点在的边上不与、重合，且，点为的中点，直线交直线于点.1 猜测与的关系，并加以证明；2 当绕点旋转，其他条件不变，中的结论是否始终成立？假如成立，请你写出真命题；假如不成立请你在图2中画出相应的图形，并给出正确的

11、结论不需要证明44、如左图，中，一个直角三角板的直角顶点放在的中点处，绕点旋转，两直角边分别交于，交于.（1） 求证： ，（2） 如右图，将三角板继续旋转，两直角边分别交延长线于，交延长线于.中的结论是否正确？说明理由.45、如图，线段，点在的下方， 假如，在的上方作，且，作，且，连接，取的中点，连接，试判断的形状并证明。 假如与不相等，其他条件不变，1中的结论还成立吗？给出证明。46、 如图1，等腰直角与等腰直角有公共顶点，点、在同一条直线上，判断与的关系并加以证明. 如图2，等腰直角与等腰直角有公共顶点，点、与的关系并加以证明.47、如图，与中，.与交于点. 判断与的数量关系并加以证明.

12、猜测与的关系并加以证明.48、如图，在中，是边上的中线，平分交于，于，分别交、于、。猜测与的数量关系并证明.49、如图1，锐角中，为边上一点，为直线上一点，连接、，使得. 猜测线段与的数量关系并证明； 如图2，假如将“锐角改为“钝角，其他条件不变，中的结论是否正确？假如正确，请你给出证明；假如不正确，请你说明理由.50、如图，中，为边上一点，为射线上一点，且满足。请你在图中找出满足条件的点，并探究与的关系.51、如下列图，D在AC上，ABC、ADE是等腰直角三角形，M是EC中点。1探究：线段MD、MB的关系，并加以证明；2把ADE绕点A逆时针旋转135，其他条件不变，画出相应的图形，上述结论是

13、否成立？3将ADE绕点A逆时针旋转任意角度后，其他条件不变，线段MD、MB的关系，并加以证明。52、如图1，正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG1连接GD，求证：ADGABE；2连接FC，观察并猜测F的度数，并说明理由；图2MBEACDFGNNMBEACDFG图13如图2，将图1中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=ba、b为常数，E是线段BC上一动点不含端点B、C，以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上判断当点E由B向C运动时，F的大小是否总保持变53、 在ABC中，B=60，A

14、D，CE分别是BAC，BCA的平分线，AD，CE相交于点F，请你判别并写出FE与FD之间的数量关系；并证明你的结论54、如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点点G与B、C不重合，AEDG于E，CFAE交DG于F请你经过观察、猜测线段FC、AE、EF之间是否存在一定的数量关系？假如存在，证明你的结论；假如不存在，请说明理由55、如图，在ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB、AC引垂线，垂足分别为E、F点过C点作AB边上的高CG，请问DE、DF、CG的长之间存在怎样的等量关系？并加以证明56、线段AC上有一动点B，分别以AB、BC为边向线段的同一侧作等边三角形ABD和

15、BCE连接AE、CD如图，假如MN分别为AE、CD的中点1求证：AM=；2求MBN的大小；57、在ABC中，BC=2AB, B=2C，求证：A=9058、如图，AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF求证：AC=BF。59、如图，ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，求证EF=2AD。60、如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=AD+BC，M是CD的中点，求证：AM、BM分别平分DAB和CBA。61、如图，在正方形ABCD中,点E、F分别为BC和AB的中点，DE与CF交与M点，连接AM,求证：AM=AD。62、1如图，B、C、E

16、三点共线，且ABC与DCE是等边三角形，连接BD、AE分别交AC、DC于M、N点，且AE、BD交于P点，求APB的度数。2如果1题中的B、C、E三点不共线，其他条件不变，如上右图所示，求APB的度数。3如果1题中ABC与DCE都是等腰直角三角形时，其他条件不变，如如下图所示，求APB的度数。 4如果ACB与DCE都是以为顶角度数的等腰三角形时，其他条件不变，如上右图所示，求直线AE与直线BD夹角的度数。63、在ABC中， AB = AC，点D是直线BC上一点不与B、C重合，以 AD为一边在 AD的右侧作ADE，使 AD = AE，DAE =BAC，连接CE1 如图 1，当点D在线段BC上，如果

17、BAC = 90，如此BCE = 度；2设BAC =a ，BCE = b 如图 2，当点D在线段BC上移动，如此a，b 之间有怎样的数量关系？请说明理由；当点D在直线BC上移动，如此a，b 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论64、正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CFBE，垂足为F，连接OF，求OF的长65、1如图，在边长为2的菱形ABCD中，A=60，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将AMN沿MN所在直线翻折得到AMN，连接AC，求AC长度的最小值。2如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，ABC=ACB=ADC

18、=45，求BD的长66、阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，ABO和CDO均为等腰直角三角形,AOB=COD =90假如BOC的面积为1， 试求以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形的面积 ADCOBEBOCDA 图1 图2小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想方法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长CO到E, 使得OE=CO, 连接BE, 可证OBEOAD, 从而得到的BCE即是以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形如图2IHGFABCDE请你回答：图2中BCE的面积等于请你尝试用平移、旋转、翻折的方法

19、，解决如下问题：如图3，ABC, 分别以AB、AC、BC为边向外作正方形ABDE、AGFC、BCHI, 连接EG、FH、ID1在图3中利用图形变换画出并指明以EG、FH、ID的长 度为三边长的一个三角形保存画图痕迹；2假如ABC的面积为1，如此以EG、FH、ID的长度为三边长的三角形的面积等于图367、：在如图1所示的锐角三角形ABC中，CHAB于点H，点B关于直线CH的对称点为D，AC边上一点E满足EDA=A，直线DE交直线CH于点F (1) 求证：BFAC； (2) 假如AC边的中点为M，求证：； (3) 当AB=BC时如图2，在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与BE相等的线

20、段，并证明你的结论68、在中，是的中点，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段。 1 假如且点与点重合如图1，线段的延长线交射线于点，请补全图形，并写出的度数； 2 在图2中，点不与点重合，线段的延长线与射线交于点，猜测的大小用含的代数式表示，并加以证明； 3 对于适当大小的，当点在线段上运动到某一位置不与点，重合时，能使得线段的延长线与射线交于点，且，请直接写出的X围。69、：如图，ABC中，AB=AC，CDAB于D。 求证：BAC=2DCB 70、如图，在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE=CD，DMBC，垂足为M。 求证：M是BE的中点。71、：如图，

21、ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连接CE、DE。 求证：CE=DE.72、如图，ABC为等边三角形，且四边形ADFE的面积和BFC的面积相等，求DFB的度数。73、如图，在ABC中，ACB=90，ADAB，且AD=AB，BEDC，AFAC，BE、AF交于点F。求证：CF是ACB的角平分线。74、如图，在中，、分别为边、的高，为的中点，于求证：75、如图，点C在线段AB上，ADEB，AC=BE，AD=BC，CF平分DCE试探索CF与DE的位置关系，并说明理由76、1：P为正方形ABCD内一点，且PA=1，PB=2，PC=3，求APB的度数。2：P为等边ABC内一点，

22、且PA=3，PB=4，PC=5，求APB的度数。3如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，求BEQ周长的最小值。4如图，矩形ABCD，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE、BE，假如ABE是等边三角形，求的值。77、如图，ABC中，AB=AC，D、E、F分别为AB，BC，CA上的点，BD=CE，DEF=B 1求证：BDECEF；2假如A=40，求EDF的度数78、如图，四边形ABCD是正方形，E是正方形内一点，以BC为斜边作直角三角形BCE，又以BE为直角边作等腰直角三角形EBF，且EBF=90，连结AF。ADCEBF1求证：AF

23、=CE；2求证：AFEB；3假如AB=，求点E到BC的距离。79、1：如图，在AOB和COD中，OA=OB，OC=OD，AOB=COD=60，求证：AC=BD；APB=60度；2如图，在AOB和COD中，假如OA=OB，OC=OD，AOB=COD=，如此AC与BD间的等量关系式为_；APB的大小为_；3如图，在AOB和COD中，假如OA=kOB，OC=kODk1，AOB=COD=，如此AC与BD间的等量关系式为_；APB的大小为80、如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，B、C、G三点在一条直线上，且边长分别为2和3，在BG上截取GP2，连结AP、PF.1观察猜测AP与PF之

24、间的大小关系，并说明理由.2图中是否存在通过旋转、平移、反射等变换能够互相重合的两个三角形？假如存在，请说明变换过程；假如不存在，请说明理由.3假如把这个图形沿着PA、PF剪成三块，请你把它们拼成一个大正方形，在原图上画出示意图，并请求出这个大正方形的面积.81、如图，ABC与ADE都是等边三角形，连结BD、CE交点记为点F1BD与CE相等吗？请说明理由2你能求出BD与CE的夹角BFC的度数吗？3假如将条件改为：四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，连结BE、DG交点记为点M如图请直接写出线段BE和DG之间的关系？82、正方形四边条边都相等，四个角都是如图，正方形ABCD在直线MN的上方，

25、BC在直线MN上，点E是直线MN上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG1如图1，当点E在线段BC上不与点B、C重合时：判断ADG与ABE是否全等，并说明理由；过点F作FHMN，垂足为点H，观察并猜测线段BE与线段CH的数量关系，说明理由；2如图2，当点E在射线上不与点C重合时：判断ADG与ABE是否全等，不需说明理由；过点F作FHMN，垂足为点H，GD4，求CFH的面积83、如下列图，在中，于点，求证：84、如图矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把ADE沿AE折叠，当点D的对应点D落在ABC的角平分线上时，求DE的长85、：是的高，点在的延长线上，点在上，求

26、证：；86、如图，在矩形中，为延长线上一点且，为的中点求证：87、1如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，EAF=45，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG求证：EF=FG（2） 如图，等腰直角三角形ABC中，BAC=90，AB=AC，点M，N在边BC上，且MAN=45，假如BM=1，=3，求MN的长88、如图，且求证：是等腰三角形89、如图，ABC中，BAC=90，AB=AC，ADBC，垂足是D，AE平分BAD，交BC于点E在ABC外有一点F，使FAAE，FCBC1求证：BE=CF；2在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME求证：MEBC；D

27、E=DN90、如图，ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结EG，试判断ABC与AEG面积之间的关系，并说明理由.图291、a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地多少平方米？92、如图，中，是上一点，且，交于点求证：93、中，为上一点，使得，为上一点，使得，连、交于点试求的度数，并写出你的推理证明的过程94、如图，是的内心，且假如，求和的大小95、如图1，在RtACB中，AC=BC,点O是斜边AB的中点，将一个直角的顶点放在点O处，两直角边分别交AC、BC于M、N1求证：CM+=AC2如图2， 假如点M、N分别在AC、CB的延长线上，其它

28、条件不变,问1中的结论还是否成立？说明理由。图296、如图1在ABC中，AB=AC,ACAB,，过点C做AB的平行线m，取直线BC上一点P，连接AP，过P做AP的垂线，交直线m于点E，再过点P做BC的垂线，交直线AC于点F，1如图1，点F在线段CA的延长线上时，求证：CFCE=AC图12如图2，点F在线段CA的上时， AC、CE、CF三条线段的数量关系？说明理由。图23如图3，点F在线段AC的延长线上时， AC、CE、CF三条线段有怎样的数量关系？ 说明理由。图397、如图：在EAF的平分线上取点B做BCAF于点C，在直线AC上取一动点P,顺时针做PBQ=2ABC,另一边交AE于点Q,（1）

29、当点P在点A右侧时，求证：AQ+AP=2AC（2） 当点P在点A左侧时，AQ、AP、AC三条线段的数量关系？说明理由。98、如图1,在四边形ABCD中，ADBC,ABBC,AD=CD,C=60，DHBC于点H,点E是BC上一点，连接AE,将ABE沿AE翻折，点B落在点F处，射线EF交CD所在直线于点M，1假如点M在CD边上时求证：FM-DM=CH2如图2 假如点M在CD边的延长线上时，FM、DM、CH三条线段有怎样的数量关系？ 说明理由。99、1问题发现如图1，ACB和DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE 求AEB的度数； 写出线段AD，BE之间的数量关系并加以证明。2拓展探究如图2，ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACB=DCE=90，点A，D，E在同一直线上，CM为DCE中DE边上的高，连接BE，请判断AEB的度数与线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由3解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD=，假如点P满足PD=1，且BPD=90，请直接写出点A到BP的距离文档