实变函数直播课程PPT学习教案

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1、会计学1实变函数直播课程实变函数直播课程实变函数是高师院校数学专业的实变函数是高师院校数学专业的一门主要基础课，它的主要目的是改一门主要基础课，它的主要目的是改造数学分析的内容以更加适合研究造数学分析的内容以更加适合研究客观世界。从以区间，连续函数为主客观世界。从以区间，连续函数为主要研究对象拓广到以点集，可测函数要研究对象拓广到以点集，可测函数为主要研究对象。为主要研究对象。 第1页/共73页极极限限的的概概念念也也获获得得了了很很大大的的改改进进和和弱弱化化，使使函函数数分分析析性性质质的的讨讨论论，从从一一致致收收敛敛，一一致致连连续续等等很很强强的的束束缚缚中中解解脱脱出出来来。当当然

2、然最最主主要要的的是是勒勒贝贝格格积积分分取取代代黎黎曼曼积积分分，从从而而极极大大地地提提高高了了运运算算的的灵灵活活性性。 第2页/共73页总之，实变函数为现代数学各总之，实变函数为现代数学各分支的发展提供了一个更合理更方分支的发展提供了一个更合理更方便的分析基础，使得数学的现代化成便的分析基础，使得数学的现代化成了可能。了可能。 第3页/共73页实变函数论的产生实变函数论的产生 微积分产生于十七世纪，到了微积分产生于十七世纪，到了十八世纪末十九世纪初，微积分学已十八世纪末十九世纪初，微积分学已经基本上成熟了。数学家广泛地研究经基本上成熟了。数学家广泛地研究并建立起它的许多分支，是它很快就

3、并建立起它的许多分支，是它很快就形成了数学中的一大部门，也就是数形成了数学中的一大部门，也就是数学分析。学分析。 第4页/共73页 第5页/共73页十九世纪初，曾经有人试图证明任十九世纪初，曾经有人试图证明任何连续函数除个别点外总是可微的。何连续函数除个别点外总是可微的。后来，德国数学家维尔斯特拉斯提出后来，德国数学家维尔斯特拉斯提出了一个由级数定义的函数，这了一个由级数定义的函数，这个函数个函数是连续函数，但是维尔斯特拉斯证明是连续函数，但是维尔斯特拉斯证明了这个函数在任何点上都没了这个函数在任何点上都没导导数数，这这个证明使许多数学家大为吃惊。个证明使许多数学家大为吃惊。 第6页/共73页

4、由于发现了某些函数的奇特性由于发现了某些函数的奇特性质，数学家对函数的研究更加深入质，数学家对函数的研究更加深入了。人们又陆续发现了有些函数是连了。人们又陆续发现了有些函数是连续的但处处不可微，有的函数的有限续的但处处不可微，有的函数的有限导数并不黎曼可积；还发现了连续但导数并不黎曼可积；还发现了连续但是不分段单调的函数等等。是不分段单调的函数等等。 第7页/共73页这些都促使数学家考虑，我们要这些都促使数学家考虑，我们要处理的函数，仅仅依靠直观观察和猜处理的函数，仅仅依靠直观观察和猜测是不行的，必须深入研究各种函数测是不行的，必须深入研究各种函数的性质。的性质。 第8页/共73页比如，连续函

5、数必定可积，但是比如，连续函数必定可积，但是具有什么性具有什么性质的不连续函数也可积质的不连续函数也可积呢？如果改变积分的定义，可积分条呢？如果改变积分的定义，可积分条件又是什么样的？连续函数不一定件又是什么样的？连续函数不一定可导，那么可导的充分必要条件又是可导，那么可导的充分必要条件又是什么样的？什么样的？ 第9页/共73页上面这些函数性质问题的研究，上面这些函数性质问题的研究，逐渐产生了新的理论，并形成了一门逐渐产生了新的理论，并形成了一门新的学科，这就是实变函数。新的学科，这就是实变函数。 第10页/共73页实变函数的内容实变函数的内容 以实数作为自变量的函数就做以实数作为自变量的函数

6、就做实变函数，以实变函数作为研究对象实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它是的数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步发展，它的基础是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。点集论。 第11页/共73页实变函数论的内容包括实值实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。这里我们只对它的一论和测度论等。这里我们只对它的一些重要的基本概念作简要的介绍。些重要的基本概念作简要的介绍。 第12页/共73页实变函数论的积分理论研究实变函数论的积分理论研究各种积分的推广方法和它们的运算各种积分的推广方法和它们的运算规则

7、。由于积分归根到底是数的运规则。由于积分归根到底是数的运算，所以在进行积分的时候，必须给算，所以在进行积分的时候，必须给各种点集以一个数量的概念，这个概各种点集以一个数量的概念，这个概念叫做测度。念叫做测度。 第13页/共73页什么什么是是测度呢？简单地说，测度呢？简单地说， 线线段的长度段的长度, ,平面平面图形图形的的面积面积, ,空间空间立立体体的的体积体积就是它的测度。就是它的测度。 测度的概念测度的概念对于实变函数论十分重要。集合的测对于实变函数论十分重要。集合的测度这个概念是由法国度这个概念是由法国 数学家勒贝格数学家勒贝格提出来的。提出来的。 第14页/共73页为为了了推推广广积

8、积分分概概念念，1 18 89 93 3 年年，约约当当在在他他所所写写的的分分析析教教程程中中，提提出出了了“约约当当容容度度”的的概概念念并并用用来来讨讨论论积积分分。1 18 89 98 8 年年，法法国国数数学学家家波波莱莱尔尔把把容容度度的的概概念念作作了了改改进进，并并把把它它叫叫做做测测度度。波波莱莱尔尔的的学学生生勒勒贝贝格格后后来来发发表表积积分分、长长度度、面面积积的的论论文文，提提出出了了“勒勒贝贝格格测测度度”、“勒勒贝贝格格积积分分”的的概概念念。 第15页/共73页勒贝格还在他的论文积分和圆函数勒贝格还在他的论文积分和圆函数的研究中，证明了有界函数黎曼可的研究中，证

9、明了有界函数黎曼可积的充分必要条件是不连续点构成积的充分必要条件是不连续点构成一个零测度集，这就完全解决了黎曼一个零测度集，这就完全解决了黎曼可积性的问题。可积性的问题。 第16页/共73页勒勒贝贝格格积积分分可可以以推推广广到到无无界界函函数数的的情情形形，这这个个时时候候所所得得积积分分是是绝绝对对收收敛敛的的，后后来来由由推推广广到到积积分分可可以以不不是是绝绝对对收收敛敛的的。从从这这些些就就可可以以看看出出，勒勒贝贝格格积积分分比比起起由由柯柯西西给给出出后后来来又又由由黎黎曼曼发发扬扬的的老老积积分分定定义义广广大大多多了了。也也可可以以看看出出，实实变变函函数数论论所所研研究究的

10、的是是更更为为广广泛泛的的函函数数类类。 第17页/共73页总之，实变函数论和古典数学总之，实变函数论和古典数学分析不同，它是一种比较高深精细的分析不同，它是一种比较高深精细的理论，是数学的一个重要分支，它的理论，是数学的一个重要分支，它的应用广泛，它在数学各个分支的应用应用广泛，它在数学各个分支的应用是现代数学的特征。是现代数学的特征。 第18页/共73页实变函数论不仅应用广泛，是实变函数论不仅应用广泛，是某些数学分支的基本工具，而且它的某些数学分支的基本工具，而且它的观念和方法以及它在各个数学分支观念和方法以及它在各个数学分支的的应用，对形成近代数学的一般拓扑应用，对形成近代数学的一般拓扑

11、学和泛涵分析两个重要分支有着极学和泛涵分析两个重要分支有着极为重要的影响。为重要的影响。 第19页/共73页数学分析中最重要的概念之一是黎曼积分。数学分析中最重要的概念之一是黎曼积分。从黎曼积分的记号从黎曼积分的记号 dxxfba可以看出，它含有可以看出，它含有两个要素两个要素及及一个运算一个运算 （1）积分区间积分区间 （2）被积函被积函数数 （3）积分运算积分运算 xfba,第20页/共73页第21页/共73页本课程的中心内容：本课程的中心内容： 推广黎曼积分为勒贝格积分推广黎曼积分为勒贝格积分记号：记号： dxxfE注意注意 这里这里E E是欧几里德是欧几里德(Euclid)(Eucli

12、d)空间的空间的点集点集， 不必是区间不必是区间， 是是可测函数可测函数，而积分运，而积分运 算依赖所考虑的算依赖所考虑的测度测度。 xf第22页/共73页第23页/共73页第一章第一章 集集 合合 主要内容主要内容 集合及其运算集合及其运算 集的对等及其基数集的对等及其基数第24页/共73页 基本要求基本要求 1 理解集的概念，分清集的元与集的归属关系，理解集的概念，分清集的元与集的归属关系，集与集之间的包含关系的区别。集与集之间的包含关系的区别。2 掌握掌握集之间的并、交、差、余运算。集之间的并、交、差、余运算。3 掌握集列的上、下限集的概念及其交并表示。掌握集列的上、下限集的概念及其交并

13、表示。4 理解集列的收敛、单调集列的概念。理解集列的收敛、单调集列的概念。5 掌握掌握映射，两集合对等及集合基数等概念。映射，两集合对等及集合基数等概念。6 理解伯恩斯坦定理（不要求掌握证明），能利用理解伯恩斯坦定理（不要求掌握证明），能利用定义及伯恩斯坦定理证明两集合对等。定义及伯恩斯坦定理证明两集合对等。7 理解可数集，不可数集的意义，理解可数集，不可数集的意义，掌握掌握可数集、可数集、基数为基数为 C 的集合的性质，理解不存在最大基数的定理的集合的性质，理解不存在最大基数的定理的意义。的意义。 第25页/共73页可数集的性质可数集的性质A.A.任何无限集必任何无限集必含有可数子集含有可数

14、子集B.B.可数集的子集可数集的子集至多是可数的。至多是可数的。即或为有限即或为有限集或为可数集。集或为可数集。C.C.可数个可数集的并可数个可数集的并集是可数集。集是可数集。第26页/共73页 A=nxxxa,21LL,( )( )()nkxxxkkk., 2, 1;,21LL=则则 A A 为可数集。为可数集。第27页/共73页11|0|nnxxxx例例1：证：证明明第28页/共73页 ./1,/1, 1/1, 01|0|1nxxnxnxnxxxxn 从而从而则则令令：显然。显然。：第29页/共73页？真真子子集集之之间间的的一一一一对对应应一一个个怎怎样样建建立立无无限限集集与与它它的的

15、例例2第30页/共73页 是一一映射。是一一映射。则则时。时。当当）时，）时，（当当，作映射作映射。令令是互不相同的元素。是互不相同的元素。取取是一个无限集，是一个无限集，设设fXXxxnxxxxfxXXfxxxXXxxxXnnnn 01121021, 3 , 2 , 1,)(:,LLLLL第31页/共73页例例3：证：证明明成之集是至多可数集。成之集是至多可数集。间所间所直线上互不相交的开区直线上互不相交的开区第32页/共73页的。的。是至多可数是至多可数从而从而的一一映射，的一一映射，的子集的子集到到是从是从则则建立映射建立映射）（数数取有理取有理）（所成之集。所成之集。区间区间是直线上互

16、不相交的开是直线上互不相交的开设设OQOfybaQOfbayObaO,),(,:, 第33页/共73页直播课程二直播课程二第34页/共73页例例4：为为可可数数集集。则则成成的的集集合合。以以有有理理数数为为半半径径的的圆圆组组心心，为为平平面面上上以以有有理理点点为为中中设设AA第35页/共73页 。其其中中QrbarbyaxRyxrbaOOAO ,)()( |),(),(,2222第36页/共73页第二章第二章 点点 集集 主要内容主要内容 度量空间、度量空间、n n 维欧氏空间简介维欧氏空间简介聚点、内点、界点等概念聚点、内点、界点等概念开集、闭集、完备集。开集、闭集、完备集。直线上的开

17、集、闭集及完备集的构造。直线上的开集、闭集及完备集的构造。第37页/共73页1 明确明确n维欧氏空间中极限概念主要依维欧氏空间中极限概念主要依赖于距离这个概念，从而了解邻域概念在极赖于距离这个概念，从而了解邻域概念在极限理论中的作用。限理论中的作用。2 理解聚点，孤立点、内点、外点、界理解聚点，孤立点、内点、外点、界点的意义，掌握有关性质。点的意义，掌握有关性质。3 理解开集、闭集、完备集的意义，掌理解开集、闭集、完备集的意义，掌握其性质。握其性质。4 理解直线上开集、闭集、完备集的构理解直线上开集、闭集、完备集的构造。造。5 理解康托集的构造、特性。理解康托集的构造、特性。基本要求基本要求第

18、38页/共73页例例1没没有有极极限限点点。则则界界是是正正的的，相相异异两两点点的的距距离离的的下下确确，其其所所有有已已知知某某一一平平面面点点集集EE第39页/共73页 矛盾。矛盾。与与且且。这样。这样性质，存在性质，存在，根据聚点的，根据聚点的，则存在，则存在有聚点有聚点若若。设设rxxdrxxdxxdxxdxxdxxxExxdxBxxErxBxxEEyxyxyxdr ),(,43),(23),(),(),()2/ ),(;()2/;(0,| ),(inf210120012112001020010第40页/共73页例例2的一点。的一点。中中收敛于收敛于中任何一个收敛点列必中任何一个收敛

19、点列必为闭集的充要条件是：为闭集的充要条件是：点集点集AAA第41页/共73页是是闭闭集集。故故因因此此，从从而而则则存存在在：设设。则则是是闭闭集集，若若设设的的一一点点。中中收收敛敛于于中中任任何何一一个个收收敛敛点点列列必必为为闭闭集集的的充充要要条条件件是是：点点集集AAAAxxxnAxAxAAAAxxxnAxAAAAnnnn, 3, 2 , 1, , 3, 2 , 1,: LL第42页/共73页 主要内容主要内容 外测度及其性质。外测度及其性质。 Lebesgue可测集及其性质。可测集及其性质。 基本要求基本要求 理解测度的意义。理解测度的意义。 理解外测度的意义，理解外测度的意义，

20、掌握掌握其有关性质。其有关性质。 理解可测集的定义，理解可测集的定义，掌握掌握可测集的性质可测集的性质。了解并掌握不可测集的存在性这一结论。了解并掌握不可测集的存在性这一结论。第43页/共73页测。测。零测集及其任何子集可零测集及其任何子集可例例1 1例例2 2零测集。零测集。单调函数的间断点集是单调函数的间断点集是第44页/共73页的间断点集是零测集。的间断点集是零测集。单调函数单调函数而可数集是零测集，故而可数集是零测集，故可数集，可数集，单调函数的间断点集是单调函数的间断点集是第45页/共73页?00 EmmE能否推出能否推出例例3第46页/共73页。但但例如：例如：否。否。0, 0 Q

21、mmQ第47页/共73页。的真子集，且的真子集，且为为设设0*1 EmRE中是否必含有区间？中是否必含有区间？E例例4 4第48页/共73页不含区间。不含区间。但但例如：例如：否。否。EmECQE, 0, 第49页/共73页的真子集，的真子集，是开集是开集若开集若开集21GG?21mGmG 是否一定有是否一定有例例5 5第50页/共73页)1 , 1(),1 , 0()0 , 1(21 GG第51页/共73页EmRE*1有界，则必有有界，则必有若若 ， 其逆不真。其逆不真。例例6 6第52页/共73页无界。无界。但是，但是，反之，不成立。例如：反之，不成立。例如：。从而从而使得使得则存在实数则

22、存在实数有界，有界，若若QQmabEmbaEbaE, 0*),(, 第53页/共73页无界可测，是否必有无界可测，是否必有若若1RE 呢？呢？或或0 mEmE例例7 7第54页/共73页。无界，但是无界，但是否。例如：否。例如：0 mQQ第55页/共73页 mGG，是是否否有有对对任任一一开开集集?Gm例例8 8第56页/共73页第四章第四章 可可 测测 函函 数数 主要内容主要内容可测函数及其性质。可测函数及其性质。叶果洛夫定理。叶果洛夫定理。 可测函数的构造。可测函数的构造。依测度收敛。依测度收敛。第57页/共73页 基本要求基本要求 1 1 掌握掌握可测函数的定义及等价定义。可测函数的定

23、义及等价定义。2 2 掌握掌握可测函数的有关性质。可测函数的有关性质。3 3 理解简单函数的定义，理解简单函数的定义，掌握掌握可测函数可测函数与简单函数的关系。与简单函数的关系。4 4 掌握掌握可测函数列的收敛点集和发散点可测函数列的收敛点集和发散点集的表示集的表示方法。方法。 5 5 掌握掌握叶果洛夫定理，鲁津定理。叶果洛夫定理，鲁津定理。6 6 理解依测度收敛的意义，理解依测度收敛的意义，掌握掌握依测度收依测度收敛与敛与 a ae e 收敛的联系与区别。收敛的联系与区别。第58页/共73页.eaffn 无条件 mE 在黎斯定理条件下的子列在叶果洛夫条件下 在 黎 斯 定理条件下 在叶果洛夫

24、定理条件下 ffn.uaffn 第59页/共73页测测吗吗？上上的的常常数数函函数数均均可可任任何何点点集集 E例例1 1第60页/共73页数就不可测。数就不可测。的常值函的常值函否。例如：不可测集上否。例如：不可测集上第61页/共73页可可测测，其其可可测测，则则若若afEf 逆不真。逆不真。例例2 2第62页/共73页不可测。不可测。测，但测，但单点集或空集，当然可单点集或空集，当然可为为。则。则是不可测集。令是不可测集。令否。例如：设否。例如：设fafEExxxfE,)( 第63页/共73页可测能否推可测能否推或或从从| )(|)(2xfxf可测呢？可测呢？出出)(xf例例3 3第64页

25、/共73页不可测。不可测。均可测，但均可测，但和和则则是不可测集。令是不可测集。令否。例如：设否。例如：设fxfxfCExExxfE1| )(|1)(, 1, 1)(2 第65页/共73页第五章第五章积积 分分 论论 主要内容主要内容 黎曼积分的简单回顾。黎曼积分的简单回顾。 勒贝格积分的建立和性质。勒贝格积分的建立和性质。 积分的极限定理。积分的极限定理。 有界变差函数。有界变差函数。 不定积分与绝对连续函数。不定积分与绝对连续函数。第66页/共73页 基本要求基本要求 1 1 了解黎曼可积的充要条件是被积函数几乎处处了解黎曼可积的充要条件是被积函数几乎处处连续（不要求掌握证明）。连续（不要

26、求掌握证明）。 2 2 理解勒贝格积分的定义及其建立过程。理解勒贝格积分的定义及其建立过程。 3 3 理解理解 R R 积分与积分与 L L 积分的关系。积分的关系。 4 4 理解理解 L L 积分的性质，特别是掌握积分的性质，特别是掌握L L 积分的绝对积分的绝对可积性和绝对连续性。可积性和绝对连续性。 5 5 掌握掌握勒贝格控制收敛定理、列维定理、逐项积勒贝格控制收敛定理、列维定理、逐项积分定理、积分的可数可加性定理，法都引理。分定理、积分的可数可加性定理，法都引理。 6 6 理解有界变差函数及全变差的定义，掌握其性理解有界变差函数及全变差的定义，掌握其性质。质。 7 7 理解有界变差函数

27、的导数性质。理解有界变差函数的导数性质。 8 8 理解不定积分与绝对连续函数的意义。理解不定积分与绝对连续函数的意义。 第67页/共73页例例 1、 设设 ( )=的有理数的有理数，是是的无理数的无理数，是是10102xxxxxf问问( )10，在在xf上上 是是 否否 黎曼黎曼可可 积积 ？ 是是 否否 勒贝格可勒贝格可积积 ？若可积，则计算其？若可积，则计算其积积 分值。分值。 第68页/共73页答：答：( ) 10 ，在在xf上不黎曼可积，上不黎曼可积，因为因为)(xf的不连续点集为的不连续点集为) 1 , 0(，不是零测集。但，不是零测集。但上有界可测。从而勒贝格上有界可测。从而勒贝格

28、可积。可积。 ( ) 10 ，在在xf第69页/共73页记记1E为为 1 , 0的有理数，的有理数，2E为为 1 , 0的无理数，则的无理数，则 210.1021 ,021221dxxdxxdxxdxxdxxdxxdxxfEEEEE 第70页/共73页例例 2 2 计算：计算：xdxexnnxxn51022cos1lim 第71页/共73页00)()(sin110101051022limlimlim dxdxxfdxxfxdxxnnxnnnnn解解L,2,1,1,0,cos1)(522=+=-nxxexnnxxfxn则则1|)(|xfn且对任何且对任何 1 , 0 x都都有有0)(lim=xfnn。显然显然( )xfn可测，可测，由由Lebesgue控制收敛定理，控制收敛定理， 第72页/共73页