函数的数值逼近PPT学习教案

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1、会计学1函数的数值逼近函数的数值逼近2一、函数的工程化表达一、函数的工程化表达1.对于很多实际工程计算问题，函数是通过实验或观测得到的，表达形式上为函数表，无解析表达形式。2. 虽然有些函数存在解析的表达式，但形式过于复杂而不易使用。第1页/共121页3二、问题的提出二、问题的提出设 是R中若干个不同的点，每个点 对应一个数值 0niixixiyR它们可以是实测得到的，也可以是一个已知函数的值 。如何近似由这组数据 确定的函数？并由此可提出两类问题：ifx0,niiix y1.作一条曲线，其类型是事先给定的（如：代数多项式），使该曲线经过给定点 。这就是所谓的插值问题。2.作一条指定的曲线，使

2、该曲线能在“一定意义”下逼近这一组数据。这就是所谓的曲线拟合问题。, 0,1,iix yin第2页/共121页4n(1)复杂函数的计算;n(2)函数表中非表格点计算n(3)光滑曲线的绘制;n(4)提高照片分辩率算法n(5)定积分的离散化处理;n(6)微分方程的离散化处理;n(7)积分方程的离散化处理;00.20.40.60.811.21.41.61.82-0.4-0.200.20.40.6插值方法的应用插值方法的应用: :第3页/共121页5三、插值的定义与存在性三、插值的定义与存在性求 P( x ) 的方法就是插值法。若存在一简单函数P(x)，使得l P( x )为 f (x) 的插值函数l

3、点 x0 , x1, , xn 为插值节点l (1)式为插值条件l f ( x ) 为被插函数l a , b 为插值区间设 f(x)C a , b, 取点 a x0 x1xnb, 0,1,(1)iiP xyin成立，则称第4页/共121页6若P ( x ) 是次数不超过n 的实系数代数多项式, 即则称P( x)为n 次插值多项式. 相应的插值法称为多项式插值法(代数插值法)。P ( x ) = a0 + a1 x + + an x nx 0 y y = P(x) a=x0 x1 x2 x3 xn=b (xi, yi)y = f (x)曲线 P ( x) 近似 f ( x) 第5页/共121页7

4、研究问题：（1）满足插值条件的P ( x) 是否存在唯一？（2）若满足插值条件的P ( x) 存在，如何构造P ( x)？（3）如何估计用P ( x)近似替代 f ( x) 产生的误差？第6页/共121页8证明：由(1)式010000111101nnnnnnnnnaa xa xyaa xa xyaa xa xy(2)定理 若插值结点 x0,x1, xn是(n+1)个互异点,则满足插值条件 P(xk)= yk (k = 0,1,n) 的n次插值多项式 P(x)=a0 + a1x + anxn 存在且唯一。第7页/共121页9点是互异的0011011|()01nnijn ijnnnxxxxAxxx

5、x 为范德蒙行列式。只要插值节点互不相同，则系数矩阵非奇异。故方程组解存在且唯一。第8页/共121页10说明：第9页/共121页11x 0 y y = f (x) 的几何意义)(1xLy 一、线性插值与抛物线插值一、线性插值与抛物线插值1. 线性插值(n =1) 设已知区间 xk , xk+1端点处的函数值yk= f (xk)，yk+1 = f (xk+1)，1111()()kkkkLxyLxyy = L1(x)xk xk+1 求线性插值多项式L 1(x ) ，使其满足 过两点 (xk , yk) 与 (xk+1, yk+1) 的直线第10页/共121页121111( ),( )kkkkkkk

6、kxxxxl xlxxxxx111( )()kkkkkkyyyLxxxxx11111( )kkkkkkkkyxxxxxxxxL xy或L1(x)是两个线性函数的线性组合称为节点上线性插值基函数111( )( )( )kkkkyyL xl xlx 线 性 函 数 y10 xk xk+1 x1111()1,()0,()0()1kkkkkkkklxlxlxlx y10 xk xk+1 x lk(x) lk+1(x)1111()()kkkkkkkkxxlxxxxxlxxx 节点上的线性插值基函数：满足第11页/共121页13几何意义:过三点(xk-1, yk-1), (xk , yk) 与(xk+1,

7、 yk+1)的抛物线 2. 抛物插值法 (n =2 时的二次插值) 设插值节点为：xk-1, xk, xk+1 ,求二次插值多项式L2(x)，使得L2( x j ) = y j , j = k-1, k, k+1 .先求 插值基函数l k-1(x), l k (x), l k+1(x) (二次函数),111111111111()1,()()0;()1,()()0;() 1,()()0,kkkkkkkkkkkkkkkkkklxlxlxlxlxlxlxlxlx满足：(4) y0 y1 y2 = 1 0 0y0 + 0 1 0y1+ 0 0 1y2L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)

8、y2，构造法：第12页/共121页14求 lk-1(x):11( )()(),kkklxA x xx x11111111111111()()( )()()()()( )()()()()( )()()kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkx xxxlxxxxxx xxxlxxxxxx xxxlxxxxxL2( x j ) = y j , j = k-1, k, k+1 . (5)1111() ()kkkkAxxxx再构造插值多项式由(4)式21111( )( )( )( )kkkkkkLxylxy lxylx 插值条件第13页/共121页15y 1 0 xy 1 0 xy 1 0 xxk-

9、-1 xk xk+1 xk- -1 xk xk+1 xk- -1 xk xk+1 121111111111111() ()()() ()() ()() ()() ()() ()kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkxxxxyLxxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxL2(x)是三个二次函数的线性组合第14页/共121页16二次插值的应用一例极值点近似计算二次插值函数: L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，001122()()()0dlxylxylxyd x222222*210201102210201102()()()12()()()xxyxxyxxyxxxyxx

10、yxxy1200102021101201220212()( ),()()2()( ),()()2()( )()()xxxlxxxxxxxxl xxxxxxxxlxxxxx极值点近似计算公式第15页/共121页17二、二、Lagrange 多项式插值多项式插值(n次次)求通过n +1个节点的n 次插值多项式Ln(x)定义 若n 次多项式 lk ( x ) (k = 0,1, ,n ) 在各节点 10nxxx1,;(),0,1,0,kjkjlxj knkj设Ln(x)满足插值条件：L n ( xj ) = y j ( j = 0, 1, , n ) .( 6 )先求插值基函数然后构造插值多项式则称

11、这n +1个n 次多项式为这n +1个节点上的n 次插值基函数。上满足条件 第16页/共121页18（类似于前面讨论n =1, 2 时的情形）011011()()()()( )()()()()nkkkknkkkkkxxxxxxxxlxxxxxxxxx其中， k = 0, 1 , , n .( 7 )011( )()()()()knkkl xA xxx xx xxx0111()()()()knkkkkkAxxxxxxxx()1,kklx1. 先求插值基函数第17页/共121页19, ,( ,( ),0 1 .,ijiixxxf xinij( )( )0,1.niiL xf xin，0()( )n

12、nkkkLxf xlx）0,( )(0,1,. )njkjkjj kxxlxknxx通常次数=n , 但特殊情形次数可n ,如：过三点的二次插值多项式共线时( 8 )2.构造插值多项式0()( )nnkkkLxf xlx）（Ln(x)是n+1个插值基函数的线性组合）其中( )yf x函数有数表则满足插值条件的插值多项式为构造插值多项式的方法： (1) 先求插值基函数 (2) 构造插值多项式第18页/共121页20定理（插值多项式余项）三、插值多项式的余项三、插值多项式的余项 , xa b10()( )nknkxxx( )(1)(2)( ) , ,( )( , ),nnfxa bfxa b设在上

13、连续在内存在( )( )( )nnR xf xL x截断误差:插值多项式的余项的余项（9）(1)1( )( )( )( )( ),() 1 !nnnnfR xf xL xxn( , )a b, ,( ,( ),0 1 .,ijiixxxf xinij( )yf x（1）函数有数表则对任意有插值多项式余项其中且依赖于x。有n次插值多项式Ln(x);第19页/共121页21证明： , a bx设 为上任一点，(1)(0,1,. ),ixxin若( )0,nRx 即右端 定理成立。 , (2),(0,1,., ),ixa bxxin若且()0 (0,1,.,),niRxin011( )( )()()

14、.()( )( )nnnRxk xxxxxxxk xx1( )( )( )( )( ), , nntf tL tk xtta b01( )( )( )()().(), , nnf tL tk x txtxtxta b()(),niif xLx则插值条件10()( )nknkxxx( )k xx其中为与 有关的待定函数可设做辅助函数当t=x时，Rn（x）当t=x时，Rn（x）第20页/共121页22( ) , ( )na bt在连续，()(1)(1)1( , )( )( )( )( )(1)!nnna bttftk x n在存在，且( )( , )1ta bn在内至少有个互异的零点，(1)( )

15、( ,)nta b在内 至 少 有 一 个 零 点 ，( )( , )ta bn在内至少有个互异的零点，( ):t则有性质( )0,( )0 (0,1,., )ixxin，即 在a, b上有n+2个互异的零点。( ) t由Rolle定理，(1)( , )( )0na b即存在， 使设该零点为 ，(1)()1( )( )( )()!0( )1() 1 !nnffk x nk xn第21页/共121页23(1)00,1, .( )( )(.,),(1 !.)nininifRxxxnxxin由(1)、(2)知定理结论成立。注:(1) 余项表达式仅当f (n+1)(x) 存在时才能应用，且唯一。(2)

16、 在( a , b ) 内的具体位置通常不能给出。(3)若有 ,则截断误差限是() 1max( )na x bMfx 1( )( ) .()!1nnMR xxn , xa b从而余项大小和M 和|n+1(x)|有关，因此，在n和(4)n次插值多项式对次数不高于n次的多项式完全精确。若f(x)为次数不高于n次的多项式, 则 f(n+1)() =0, 从而Rn(x)=0.给定的情况下，n+1个插值节点应使|n+1(x)|尽量小。第22页/共121页24111( )( )( )( )()()( , )2!kkfR xf xL xxxxxa b余项为2211( )( )( )( )()()()( ,

17、)3!kkkfR xf xL xxxx xx xa b线性插值：(5)n = 1, 2 时的插值余项 ：抛物线插值：y 0 x( )f x1( )L xxk xk+1 0P1Py 0 x2( )L xxk- -1 xk xk+1 0P1P2P( )f x用通过两点P0,P1的直线L1(x)代替f(x)余项为：用通过三点P0,P1,P2的抛物线L2(x)代替f(x)第23页/共121页25ln ,yx设且有函数表120.50,0.70,xx解：2112121120.6(0.6)(0.6)0.524911xxxxxyyfLxxxx 11(2)2(0.6)(0.6)(0.6)( )10.01(0.5

18、)(0.7)(0.50.7)0.60.62!2RfLf 21100100,4925由于10.01( )0.02R x故(0.6)ln0.6,f试计算的近似值 并估计误差。内插式内插式较准确做线性插值误差：(1) 取插值节点：第24页/共121页261320.50,0.70,0.80 xxx21223130.6ln0.6(0.6)( )( )( )0.513343xLy l xy lxy l x ( )323133( )(0.6)()()()0.6 0.5 0.6 0.7 0.6 0.83!210,3fRxx 33221.3 10()(0.6)(0.6)5.34 100.6RfL内插式内插式f

19、(0. 6) = ln 0.6 的真值为：-0. 510826抛物插值更精确做抛物线插值(2) 取插值节点：误差：第25页/共121页27拉格朗日插值采用插值基函数的线性组合来构造插值多项式含义直观形式对称优点：缺点：计算量大已知节点为: 0.40,0.50,0.70,0.80，两节点可取为0.40与0.50或0.70与0.80，此时称为外插法,但不如以上的内插法精确。另外节点还可取为0.40与0.70或0.40与0.80等。插值多项式的阶数控制问题说明：说明：第26页/共121页28一、分段线性插值法一、分段线性插值法1. 尽可能充分使用已有的信息；2. 控制插值多项式的阶数( )( )nL

20、 xf x，( )( )( ), , nnR xf xL x xa b，lim( )0nnRx此时，问题：高次插值过程的收敛性如何？举例：Runge反例: (-5x5)21( )1f xx第27页/共121页29-5-4-3-2-1012345-0.500.511.52L10(t) f(t) f(x)取xk= 5+k 计算: f(xk) (k=0,1,10) , 构造L10(x).取:tk= 5+0.05k (k=0,1,200), 计算: L10(tk) 注:实际应用时取7n 。Runge现象：等距节点高次插值产生的小区间内逼近很差的现象第28页/共121页30结论：设 ，由Taylor 展

21、开式， , fxC a b2( )( )(,hf xIxO hxab），注：由图形可知， 在节点处的光滑性较差，为了提高光滑性，讨论新的插值方法。( )hIx0lim( )( )hhIxf xxab，因而有即 一致收敛于 。( )hI x( )f x在整个区间a，b上为折线。0a xnx b1x2x1nx几何意义：相邻两节点间的函数为一次线性函数, 图形为线段。插值节点满足: x0 x1xn 已知yj=f (xj) ( j= 0,1,2,n)1111( )jjhjjjjjjxxxxL xyyxxxx( j = 0,1,n-1)xxj，xj+1时, 线性插值函数第29页/共121页31二、保形插

22、值（二、保形插值（Hermite插值）的思想插值）的思想出发点：分段线性插值光滑性较差插值信息中引入函数的导数1. 讨论Hermite插值问题（以 一阶导数, i=0,1,n 为例）1( ) , yf xC a b函数表及导数表010101( )( )nnnxxxxf xyyyf xyyy已知2121( )( )(0,1, )niiniiHxyHxyin其中求2n+1次多项式 H2n+1(x) 使满足插值条件：问题：(12), , ,0 1 .,ijijxxxxi jnij第30页/共121页32定理:1( ) , f xC a b且已知( )f x函数表及导数表，如果则存在唯一次数不超过2n

23、+1次多项式H2n+1(x)满足插值条件(12)证明：唯一性。 2121nnQ xHxHx为次数21n的多项式且满足条件：( )0( )0(0,1, )iiQ xQ xin及21( )nHx都是插值问题(12)的解，则21( )nHx设有这说明(0,1, )ixx in都是( )Q x的二重零点，即Q(x)共有2n+2个零点 Q(x)0，即2121( )( )nnHxHx。第31页/共121页33()1,()0()0,()1jkjkjkjkxxxx（用构造法，同构造L-插值多项式的方法）存在性。思路：可以设想，如果构造出两组函数2n+1次多项式,0,1,jjjn满足 ：显然，多项式210( )

24、( )( )nniiiiiHxyxyx满足插值条件(12)。第32页/共121页34 第一，求Hermite 插值基函数为( )jx的二重零点且0111, , , ,jjnx xxxx( ) 1jjx0,( )nijiijjixxlxxx2222201112222201112() ()() ()()( )(1()() ()() ()()(1()jjnjjjjjjjjjnjjx xx xx xx xx xxc x xxxxxxxxxxxc x xl x（）(13)其中c为待定常数,1,()0,()0,(0,1, )jkjkkjxkjxkn当时当时的2n+1次多项式( ),(0,1,., )jxj

25、n。(a)求满足插值条件：可令由第33页/共121页35(13)式求导，得2( )( )2 () 1 ( ) ( )jjjjjxclxc xxl x l x()0jjx，20()()2 () ()jjjjjjjjxclxlx lx 0,()122 ()2()njjjjiijjjjilxclxlxxx 20,1( )1 2()( )(0,1, )njjjiijjixxxlxjnxx01( )0000( )000100jnxxxxxf xfx，(b) 已知( ) (0,1,2, )jxjn求2n+1次多项式,使满足插值条件： 第34页/共121页36由于0111,jjnxxxxx为( )jx的二重

26、零点且( ) 0,jjx又由()1jjx，则有222220111( )()() ()() ()()jjjjnxA x xx xx xx xx xx x可令()0 , (0 , 1,)1,()0 ,jkjkxknkjxkj当时当时2222201111()() ()() ()()jjjjjjjjjnxA xxxxxxxxxx22220111()() ()()jjjjjjnAxxxxxxxx 2( )() ( ),(0,1, )jjjxxx lxjn于是(14)第35页/共121页37第二，求多项式21( )nHx210( )( )( ) nnjjjjjHxx yx y210( )( ( ) ( )

27、 ) ,(0,1, )nnijijjijijHxx yx yyin（满足插值条件(12)的多项式）210( )( )( ) )nnijiijijijHxx yx yy事实上,有即(15)式是满足插值条件(12)的插值多项式 .所以存在2n+1次多项式满足插值条件(12). 2( )() ( )jjjxxx lx；( ),( ),(0,1, )jjxxjn为Hermite插值基函数,即其中20,1( )(1 2() ( )njjjii jjixx xl xxx；(15)第36页/共121页38Quiz: 给定 xi = i +1, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5. 下面哪个是 (x)的

28、图像？x0-10.5123456yxy0-10.5123456斜率=1 求Hermite多项式的基本步骤： 写出相应于条件的(x)，(x)的组合形式； 对每一个(x)，(x)找出尽可能多的条件给出的根； 根据多项式的总阶数和根的个数写出表达式； 根据尚未利用的条件解出表达式中的待定系数； 最后完整写出H2n+1(x)。第37页/共121页3921( )nbHx（ ）为Hermite插值多项式，21(22 )( )( ) ,( ) ( ,)nnafxCa bfxa b，(, , , ,0,1, )ijijx xa bxx i jn( , )a bx且与有关。2121(22)22201(22)21

29、( )( )( )( )() ()()(22)!( )( ),(22)!nnnnnnRxf xHxfxxxxxxnfxn则2. Hermite插值余项定理 (Hermite插值余项)证明与Lagrange余项公式证明类似.设第38页/共121页403. 带导数的两点插值(重要特例:当n=1时)1( ) , f xC a b函数表及导数表111( )( )kkkkkkxxxfxyyfxmm求3次多项式H3(x)使满足插值条件:33113311(),() (), ()kkkkkkkkHxyHxyHxmHxm3( )H x存在且唯一，表达式为结论：问题：已知第39页/共121页411 ,kkxx x

30、2111211112112111( )(12)()( )(12)()( )()()( )()() ,kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx；)()()(2xlxxxjjj ；)()1)( 21 ()(20 xlxxxxxjniijjjji ijinjiijxxxxxl 0)(17)其中31111( )( )( )( )( )kkkkkkkkH xyxyxmxmx(16)第40页/共121页42三、分段三次埃尔米特插值三、分段三次埃尔米特插值定义： (分段3次Hermite插值)如果 Ih(x) 满足：(1) 1( ) ,

31、 hIxC a b；(2)在每个小区间1 ,(0,1,1)kkx xkn，Ih(x)为3次多项式；(3)满足插值条件：( )( ),(0,1, )hiihiiI xyI xm in当 时， 为3次Hermite插值多项式，1( ,)kkkxx x ( )hI x称 Ih(x) 为 f(x) 的分段3次Hermite插值函数。 则 有以下两种形式：( )hI x第41页/共121页4331111( )( )( )( )( )( )kkkkkkkkH xyxyxmxmxx2111211112112111( )(12)()( )(12)()( )()()( )()()kkkkkkkkkkkkkkkk

32、kkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx1 ,kkxx x公式 1：2211111112211111( )( ) (1 2)()(1 2)()()()()()kkkkhkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkx xx xx xx xI xI xyyxxxxxxxxx xx xx xmx xmxxxx ，1,kkxxx由式(17)代入(16)即得：(18)第42页/共121页4423,12,3( )()()()kkkkkkkkI xycxxcxxcxx，设由插值条件确定,12,3.kkkccc，23,12,3( )()()()kkkkkkkkI xycx

33、 xcx xcx x，对2,12,3( )2() 3()kkkkkkI xccx xcx x， 由 ，得 。( )hkkI xm,1kkcm 再由11111()(),hkkhkkkkkI xyI xmxxh，公式 2:(待定系数法)求导，有第43页/共121页45解得,2111,31231()2)1(2)kkkkkkkkkkkkkkcyymmhhyycmmhh2312,3212,323kkk kkkkkkkkkkkyym hc hc hmmc hc h，于是，当 时，有1 ,(0,1,1)kkxx xkn23,12,3( )()()() .kkkkkkkkI xycxxcxxcxx，(19)

34、得第44页/共121页46定理: (1)设4( ) , f xC a b，且已知 ( )f x的函数及导数表( ,),(0,1, )iiix y min；(2) 为 上 的分段3次Hermite插值函数，误差估计：( )hI x , a b( )f x4(4)( )( )max( ) , , 384ha x bhf xIxfxxa b ）（4)()(hOxIxfh 其中011,max.nkkkkkaxxxb hxx hh证明: , xa b ，存在 k 使1 ,kkxx x1(4)2211max( ) ()()4!kkkkxx xfxxxxx (4)221( )( )( )( )( )() (

35、)4!hkkkff xIxf xIxxxxx0lim( )( ),hhIxf x（对 一致收敛） , xa b且）（xg 第45页/共121页47221() ()kkg xx xx x（）1max( )( )kkxx xg xg x 4(4)( )( )max( ) , , 384ha x bhf xIxfxxa b 于是，11()2kkxxx，411( )()16kkg xxx。极值的求法且有0lim( )( )hhI xf x。（一致收敛） 优点：分段线性插值与分段3次Hermite插值函数在每个小区缺点：分段线性插值光滑性差；11()( )01()2kkkkxxxxg xxxx ，舍去间

36、上都收敛于函数 。( )f x分段3次Hermite插值能保证插值多项式图形的光滑演示演示Matlab程序程序即令记则且第46页/共121页48高次插值出现龙格现象L-插值Hermite插值分段插值但分段线性插值在节点处不一定光滑分段Hermite插值但导数值不容易提取（找到）三次样条插值（先由函数值确定导数值，再由分段Hermite插值解决问题）1 汽车、船的外形设计，流体力学等要求流线型（光滑）；2 木样条的来源。一、发展背景一、发展背景工程实例：第47页/共121页49注：三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别在于S(x)自身光滑，不需要知道 f 的导数值(除了在2个端点可能需要

37、)；而Hermite插值依赖于f 在所有插值点的导数值。第48页/共121页50定义 （3次样条函数）： ( )b S x在每一个小区间1,0,1,1jjx xjn上是次数3多项式。( )( ),(0,1, )iiS xf xin若(1)中3次样条函数S(x)满足插值条件2( ) ( ),a S xCa b，即具有连续的一阶，二阶导数。如果函数 S(x) 满足下述条件：01:,naxxxb (1) 设有对a,b的剖分则称S (x)为f (x)关于剖分的一个3次样条函数。 问题：3次样条插值函数存在性，唯一性？构造？误差估计( )y f x函数表( ,( ),(0,1, )iixf xin(2)

38、 设给定二、样条函数定义二、样条函数定义则称S(x)为f(x)关于剖分的一个3次样条插值函数。第49页/共121页51分析： 因S(x)在xj, xj+1上是3次多项式，即23( )( ),jjjjjS xS xab x c xd x1 ,(0,1,1)jjxx xjn4n个待定系数:, , ,jjjjabcd0,1, ,1jnn+1个条件111()()()()()()jjjjjjjjjjjjSxSxSxSxSxSx内部条件： 1, ,1jn( )( ),(0,1, )jjS xf xjn已有条件：连续性3(n-1)个条件共有4n-2个条件，尚须2个附加条件第50页/共121页52常见边界条件

39、有三种：( )a第1种边界条件：( )b第2种边界条件：若0( )( ) 0nS xS x，称为自然边界条件。00(),().nnS xfS xf已知0(),()nS xS x00(),().nnSxfSxf0( ),( )nS xS x已知( )c第3种边界条件(周期边界条件)：( )yf x为周期函数，此时称( )S x为周期样条函数。( )S x亦是周期函数，周期为ba即取要求 注：一般不取一端是一阶导数而另一端是二阶导数。000()()()()()()nnnS xS xS xS xSxSx即即第51页/共121页53三、三次样条插值函数表达式三、三次样条插值函数表达式思路：以分段三次H

40、ermite插值为基础，由( ,),(0,1, );iix yin( )( )1(2)()(),0,1,2vvjjjjSxSxv(3)三种边界条件中的某一种推导3次样条插值函数。方法：1、先确定插值函数( )S x在节点处的一阶导数，记为(),0,1, ,jjSxmjn即为3次样条插值函数的一阶导数表示。2、先确定插值函数( )S x在节点处的二阶导数，记为即为3次样条插值函数的二阶导数表示。(1)函数表(),0,1, ,jjSxMjn第52页/共121页54不固定,是待定参数，共(n+1)个,11,211,312113()1(2)0,1,11(2),jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj

41、cmyycmmhhjnyycmmhhhxxxxx1、一阶导数表示分段3次Hermite插值( )hI x ，1 ,jjxx x23,1,2,3( )( )()()()hjjjjjjjjI xI xycx xcx xcx x已知的一阶导数值令23,1,2,3( )( )()()()jjjjjjjjS xS xycx xcx xcx x(20)仿(21)第53页/共121页55若要2( ),S xCa b 则需满足：1()(),jjjjSxSx1,2,1jnn-1个条件 加某一边界条件（2个）个条件 1n对(20)式求导:,2,31( )26(),jjjjjjSxccxxxxx11,21,311(

42、 )26(),jjjjjjSxccxxxxx1,2, ,1jn,211,21,31()2()26jjjjjjjjSxcSxcch(22)(23)有,21,21,313(1,2,1)jjjjccchjn，由条件1()(), (1, 2,1)jjjjSxSxjn,得(24) xj-1, xj xj-2, xj-1 第54页/共121页56把(21)代入(24)得到jm所满足线性方程组111111221111123,1,2,1jjjjjjjjjjjjjmmmhhhhyyyyjnhh两边同除以11jjjjhhhh，得1111111111123,1,2,1jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjhhm

43、mmhhhhhyyhyyjnhhhhhh第55页/共121页57令1,jjjjhhh111,jjjjjhhh 112,(1,2,1)jjjjjjmmmgjn说明：(b) (25)式有n-1个方程,要确定n+1个未知量01,nm mm缺少两个方程,由边界条件补足.方程组成的方程组.mj( j=0,1,n)在力学上叫做细梁 xj( j=0,1,n)01,nm mm的n-1个( a ) (25)式是关于n+1个未知量三种边界条件11113,(1,2,1)jjjjjjjjjjjjyyyyghxxjnhh处的转角，数学上叫做变化率。方程(25)反映了mj与mj-1,mj+1的关系,因此(25)叫做三转角

44、方程。(25)有第56页/共121页58方程组(25)为关于0njjm所满足的方程组：110122121112222jjjjnnnnmgmgmgmg (1)增加第1种边界条件：000(),(),nnnS xfm S xfm则方程组(25)为关于11njjm所满足的方程组可写为：1111022222222111122222jjjjnnnnnnnnnmgfmgmgmgmgf (26)矛盾方程组n+1个未知量， n-1个方程第57页/共121页59 (2)增加第2种边界条件：00(),(),nnSxfSxf则由(22)式取j=0及(23)式取j=n得到2个方程(利用(21)式中 ),2,3,jjcc

45、000,2011,21,31()2()26nnnnnnS xcfSxcchf由(21)式,11,211,312113()1(2),0,1,11(2),jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjcmyycmmhhjnyycmmhhhxxxxx(21)(27)第58页/共121页60100 ,2010011,211111,312113()1(2)3()1(2)1(2)nnnnnnnnnnnnnnyycmmhhyycmmhhyycmmhh得( j = 0, j=n-1)(21)把(21)式分别代入（27），得100102000112111642()246()nnnnnnnnyymmfhhhmmyyf

46、hhh第59页/共121页61整理得两个方程:100010001111232232nnnnnnnnyyhmmfghyyhmmfgh(28)于是,得到0njjm所满足的线性方程组：上式简记为Amg 。001111112122212jjnnnnmgmgmg 个个方方程程1 n(29)可通过引入第三种边界条件推导，练习！第60页/共121页62则方程组(26)和(29)有唯一解 可由解方程组的方法,jm( )( )jS xS x求解，从而由(20)给出(0,1,1)jn表达式，且S(x)具有连续的一阶,二阶导数(即S(x)为3次样条插值函数。说明：方程组（26）和（29）的系数矩阵都是严格对角占优矩

47、阵，由此可知这些方程组的系数阵为非奇异矩阵，第61页/共121页63(2) 求解方程组(26)(或(29),求 。存在唯一性( , ( ),(0,1, )iix f xin且01;na xxxb定理 （三次样条插值函数存在唯一）三次样条插值函数f (x) ，且满足给定的边界条件。计算步骤：(1) 先计算(26)式中的,(1,2,1)jjjgjn （若是第二类或第三类边界条件，要计算 ）0,nnnnggg 或jm(3) 用(20)及(21)式进行插值计算( , )xa b(先确定x所在区间)(1)如果f(x)是定义在a, b上的函数，且已知y=f (x)有函数表(2)给定边界条件(a)(或(b)

48、或(c)，则f(x)在a, b存在唯一的第62页/共121页64因为Sj(x)是三次样条插值函数，所以 是一次函数。2、二阶导数表示11( )( ),jjjjjjS xSx xx xhxx( )jSx(),0,1,2,jjSxMjn由两点Lagrange插值得1111( ),jjjjjjjjjjjxxxxSxMMxxxhxxhh参数对上式积分,得1221( )()()22jjjjjjjMMS xxxxxAhh再积分再积分, ,得得13311( )()()(),66jjjjjjjjjjjMMS xxxxxA xxBxx xhh(30)(31)(32)令令第63页/共121页65由条件11(),

49、()jjjjS xy S xy，确定积分常数,jjA B212166jjjjjjjjjjMhByMhAhBy即得2116()6jjjjjjjjjjjM hByyyhAMMh将上式代入(32)得到3次样条插值函数的表达式11213(2)( )( )()()62()6jjjjjjjjjjjjjjjyyMMMS xS xyhxxxxhMMxxh(33)11,(0,1,1)jjjjjhxxxxxjn23,1,2,3( )()()()( )jjjjjjjjS xycxxcxxcxxSx(34)第64页/共121页66将(33)代入(31),得1112111111( )()()2()226jjjjjjjj

50、jjjjjMMyyhSxxxxxMMhhh112211( )()()()226jjjjjjjjjjjjjMMyyhS xxxxxMMhhh1,jjxx x1, jjxxx11111111()36()36jjjjjjjjjjjjjjjjjjyyhhSxMMhyyhhSxMMh由条件10()(),(1,2,1)njjjjjjSxSxjnM满足的线性方程组1111111636jjjjjjjjjjjjjhhhhyyyyMMMhh两边同除以1,6jjhh(35)(36)第65页/共121页67 11111111162()jjjjjjjjjjjjjjjjjhhyyyyMMMhhhhhhhh112,(1,2

51、,1)jjjjjjMMMdjn两个条件。上式有n-1个方程,要确定n+1个未知量01,nM MM 需增加 三弯矩方程(37)则令j=0，由(35),得 令j=n，由(36),得(1) 若已知，000(),(),nnnS xfm S xfm1001010100()3636jjjjjjjjjyyhhhhyySxMMMMfhh11111111111()3663jjjjnnnnjjjjnnnjnyyhhhhyySxMMMMfhhn-1个方程第66页/共121页68001,1,nnjjM令得000111111112222nnnnnnnMdMdMdMd 10010000111162()62()nnnnnn

52、nnyyMMfdhhyyMMfdhh(38)(2) 若000( ),( )nnnS xMfS xMf已知，代入方程(37)，只需解n-1个方程110112222222211112222nnnnnnnnndfMMdMdMdf (39)满足方程第67页/共121页69 计算步骤 :同三次样条插值函数的一阶导数表示的计算步骤。 说明：此方程组(38)和(39)有唯一解Mj 。（2）三弯矩方程(37 )与(25)比较， 与 交换了位置。jj（1） 方程组(38)和(39)的系数矩阵都是严格对角占优矩 阵，因（3） Mj 在力学上为细梁在 xj 处截面处的弯矩, 且弯矩与相邻的两个弯矩有关, 故方程组(

53、38)和(39)称为三弯矩方程。Mj在数学上称为曲率。而方程(25)叫做三转角方程。Mj 在力学上叫做细梁上 xj 处的转角，在数学上叫做变化率。第68页/共121页701函数逼近设f(x)为a, b上的连续函数，寻求一个近似函数 P(x) ，在a, b上均匀逼近 f(x) 。2数据逼近（实验数据）B 简单易计算的函数已知( ,( ),(0,1,)iixf xim, 求n次多项式 Pn(x), n n), 则是 y = f (x) 在S中最小二乘逼近函数第80页/共121页82定理（最小二乘逼近）：12()maxxxb0( )njjx0( )( )nnjjjPxax(1) 设有y = f (x

54、)实验数据(xi, f (xi) (i=1,m), (a) y = f (x)在Hn中的最小二乘逼近函数存在且唯一。线性无关，则(2) 设S = Hn中连续函数组关于点集1,mXxxmn（） 0( )njjba0001000101111101(,)(,)(,)( ,)( ,)( ,)( ,)( ,)G( ,)(,)(,)(,)nnnnnnnnafafadaf 或可由法方程（正规方程组）第81页/共121页831(,)()()mkjikijiixx 求得，其中；21max( )( )inii mf xP x 。122121( )( )mniiniifPf xPx(c) 最小平方误差最大偏差：注：

55、12( ,)( ) ( )( ) ( )iimbxaxif gf x g x dxf x g x dx1( , )( ) ( )() ()mbiiiaif gf x g x dxf x g x事实上，(42)(1)权系数i 的选取可取i = 1(i=1,m), 也可以适当选取使得离散内积近似于连续内积：即第82页/共121页84211111121( ) ( )() ()2( ) ( )2() ()2bamiiiiimmmmxxf x g x dxf x g xxxf x g xxxf xg x111211,(2,1),222iimmimxxxxxxim，1( ) ( )() ()mbiiiai

56、f x g x dxf x g x。1111( ) ( )( ( ) ( )() ()2iixiiiiiixxxf x g x dxf x g xf xg x将(43)带入(42) , 合并得(43)又取则第83页/共121页85(2) 矩阵G为对称正定阵101112021201(1)nnmmmnmnaaaaaaAaaa(),(0,1,;1,)ijjiaxjn im，011110212201(1)( )( )( )()()()()()()nnmmnmmnxxxxxxAxxx设i = 1 (i=1,m), 并将第j个基函数在xi处记为aij,即则有即第84页/共121页86TTA AaA f，0

57、1( ),( ),nmxxXxx在(1) (1)1(1) (1)( )( )( ,)mikjkijnnknnA AxxG 从而即G = ATA为对称正定阵。若 f = f (x1), f (x2), , f (xm) T则 即法方程组为TdAf，( 上线性无关时)。第85页/共121页87(3) 计算方法(,),0 ,(,)kjjkjnf1212( )()()()mmxxxxf xf xf xf x12(,).maxxxb mn*0( ).njnjjPxa x若已知 y = f (x) 的实验数据其中(a) 选取Hn中基1, x, , xn及i (i = 1, m), 计算 (b) 解法方程组

58、，得到*(0,1, )jajn由此得到 y = f (x) 的最小二乘逼近多项式第86页/共121页8802102903.7518.172303.7508.48423.7502.76567.1673aaaaa22( )2.00342.26250.0378Pxxx第87页/共121页89例：xy(xi , yi) , i = 1, 2, , m方案一：设求 a 和 b 使得 最小。线性化 /* linearization */：令 ，则11,YXyx就是个线性问题将 化为 后易解 a 和b。),(iiYX),(iiyx( )P xx bxya21( , )miiiixyxa babYa bX第8

59、8页/共121页90方案二：设( a 0, b 0 )线性化：由 做变换BXAY+就是个线性问题将 化为 后易解 A 和B),(iiYX),(iiyx/,( )Ab xaebBP xae ( ),xbyxaPelnlnbyax1ln ,ln ,YyAa BXbX第89页/共121页91(4) 用正交多项式作最小二乘逼近第90页/共121页921. 正交函数族和正交多项式01( ),( ),( ) ,nxxx若Ca, b上有函数族满足0,(,)( )( )( )0,bijijakjkxxx dxAjk 称函数族为带权(x)的正交函数族；若Ak = 1，称为标准正交函数族。第91页/共121页93

60、01( ),( ),( ) ,nxxx若Ca, b上有多项式序列如果序列中的多项式两两正交，称多项式序列为带权(x)的正交多项式。注：正交多项式可以由线性无关函数族 xk ( k=0,1,)，通过Schmidt方法求得：010( )1(,)( )( ) (1,2,)(,)kkjkkjjjjxxxxxk 第92页/共121页942. 正交多项式性质 是最高次项的系数为1的n次多项式。任何n次多项式都可以表示成前n+1个多项式 的线性组合对于kj，有 ，且 与任意次数小于k的多项式正交。有递推关系n(,)0kj 01,nk0111111( )1( )( )()( )( )kkkkkxxxxxxx接

61、下页第93页/共121页95设 是在 a, b 上带权(x)的正交多项式，则 的n个根都是(a, b)上的单重实根。 2. 正交多项式性质(接上页)21121( )(,),(,)( )miikikkikmkkikiixxxx 211021111( )(,),(0),(,)( )mikikkikmkkikiixx 令0,2,1kn0( )nx12,m 是权系数。( )(1)nxn其中第94页/共121页96常用 正交多项式 Legendre多项式21( )(1) , 1,1,0,1,2,.2!nnnnndP xxxnn dx 是区间-1,1上权函数(x) = 1的正交多项式,且满足: 1 10

62、(,)( )( )d2 21nmnmnmPPPx Pxxnmna)b)有递推公式0111( )1,( )(1)( )(21)( )( ),(1,2,)nnnP xP xxnPxnxP xnPxn第95页/共121页97 Chebyshev多项式常用 正交多项式(续1)( )cos( arccos ), ( 11,0,1,2,)nTxnxxn 是区间-1,1上关于权函数(x)= 的正交多项式,且满足:211x 12 10 ( )( )(,)d 021 0nmnmnmT x TxT Txnmxnma)b) 有递推公式 c) Tn(x)在-1,1上的n个零点为( )21cos,1,2,.,2nkkx

63、knn0111( )1,( ),( )2( )( ), (1, 2,)nnnTxTxxTxxTxTxn第96页/共121页98 Hermite多项式常用 正交多项式(续2)22( )( 1)(),0nnxxnndHxeexndx 是区间- ,+ 上关于权函数(x) = 的正交多项式,且满足:2xe20,(,)( )( )2! ,xmnmnnmnHHeHx Hx dxnmna)b) 有递推公式0111( )1,( )2 ,( )2( )2( ), (1, 2,)nnnHxHxxHxxHxnHxn第97页/共121页993. 正交多项式数据拟合已知点集12mxxx，12,mXxxx且数表1212(

64、 )()()()mmxxxxf xf xf xf x步骤a) 选取Hn中正交基1( )()niixmn10(,)()()0mijkikjkkijxxij ，选取Hn中关于点集X以及权系数 的正交多项式组,1,2,.,iim即b) 求解aj*得到Pn*(x)*121()()(,),(0,1, ),(,)()miijijijmjjijiif xxfajnx 接下页第98页/共121页100步骤c) 计算最小平方误差*22*111*222*21010*222*201012220( )( )2( ) ( )( ) |2( ) ( )( ) |2( ) ( )() |2mmminiiiiniiiiimn

65、mnijjiijjiiijijnmnmjijijijiijijinjjjjPxfxP x f xaxfax f xaxfax f xaf 正交性，*02*220( ,)|()njjjnjjjjaffa，2*21( )( )mniniiiP xf x*( ,)(,)jjjjfa *2*20( )( )nnjjjP xax接下页第99页/共121页101于是，随n增加122*21202*2*2111202*211(,)(,)(,)( ,)nnjjjjnjjjnnnjnnnnfafaaaf 优点：增加一个节点，只需计算an+1* ，计算量小00001111( ,)( ,)( , )( , )( ,)

66、( ,)nnnnafafaf 第100页/共121页10290010119001993211111122992211001122(,)0( )1,0,( )(,)91(,)(,)3.750,0.41667(,)(,)9( )0.41667iiiiiiiiiiixxxxxxxxxxxx第101页/共121页1039010009111119212292221(,)1 8 .1 7 2 32 .0 1 9 1 4(,)99(,)8 .4 8 4 22 .2 6 2 5(,)3 .7 53 .7 5(0 .4 1 6 6 7 )(,)0 .0 4 5 4 50 .0 3 7 8(,)1 .2 0 3 1(0 .4 1 6 6 7 2 )iiiiiiiiiiyyax yyayxyax00112222( )( )( )( )2.019142.26250.0378(0.41667)2.00342.26250.0378xaxaxaxxxxx第102页/共121页104第103页/共121页1051212( )mmxxxxf xyyy用较简单和合适的函数来逼近（或拟合）实验数据。 假设选用n次插值多项式