4—简单的线性规划、基本不等式

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1、word4简单的线性规划、基本不等式知识块一：求目标函数的最值归纳起来常见的命题角度有：(1)求线性目标函数的最值；(2)求非线性目标的最值；(3)求线性规划中的参数.角度一：求线性目标函数的最值1设x，y满足约束条件则z2xy的最大值为()A10B8C3 D2解析：选B作出可行域如图中阴影部分所示，由z2xy得y2xz，作出直线y2x，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A(5,2)时，对应的z值最大故zmax2528.2若x，y 满足则zxy的最小值为 _.解析：根据题意画出可行域如图，由于zxy对应的直线斜率为，且z与x正相关，结合图形可知，当直线过点A(0,1)时，z取得最小值1

2、.答案：1角度二：求非线性目标的最值3在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为()A2 B1CD解析：选C已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M与点A重合时直线OM的斜率最小，由直线方程x2y10和3xy80，解得A(3，1)，故OM斜率的最小值为.4设实数x，y满足不等式组则x2y2的取值围是()A1,2 B1,4C，2 D2,4解析：选B如图所示，不等式组表示的平面区域是ABC的部(含边界)，x2y2表示的是此区域的点(x，y)到原点距离的平方从图中可知最短距离为原点到直线BC的距离，其值为1；最远的距离为AO，其值为2，故x2y

3、2的取值围是1,4角度三：求线性规划中的参数5若x，y满足且zyx的最小值为4，则k的值为()A2 B2C.D解析：选D作出线性约束条件的可行域当k0时，如图所示，此时可行域为y轴上方、直线xy20的右上方、直线kxy20的右下方的区域，显然此时zyx无最小值当k1时，zyx取得最小值2；当k1时，zyx取得最小值2，均不符合题意当1k0时，如图所示，此时可行域为点A(2,0)，B，C(0,2)所围成的三角形区域，当直线zyx经过点B时，有最小值，即4k.故选D.6x，y满足约束条件若zyax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为()A.或1 B2或C2或1 D2或1解析：选D法一：由题中条

4、件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A(0,2)，B(2,0)，C(2，2)，则zA2，zB2a，zC2a2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要zAzBzC或zAzCzB或zBzCzA，解得a1或a2.法二：目标函数zyax可化为yaxz，令l0：yax，平移l0，则当l0AB或l0AC时符合题意，故a1或a2.一、选择题1已知点(3，1)和点(4，6)在直线3x2ya0的两侧，则a的取值围为()A(24,7)B(7,24)C(，7)(24，) D(，24)(7，)解析：选B根据题意知(92a)(1212a)0.即(a7)(a24)0，解得7a24.2已知O为坐标原点，A(1,2)，点

5、P的坐标(x，y)满足约束条件则z的最大值为()A2 B1C1 D2解析：选D如图作可行域，zx2y，显然在B(0,1)处zmax2.故选D.3设动点P(x，y)在区域：上，过点P任作直线l，设直线l与区域的公共部分为线段AB，则以AB为直径的圆的面积的最大值为()A B2C3 D4解析：选D作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，以AB为直径的圆的面积的最大值S24，故选D.4变量x，y满足约束条件若使zaxy取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a的取值集合是()A3,0 B3，1C0,1 D3,0,1解析：选B作出不等式组所表示的平面区域，如图所示易知直线zaxy与x

6、y2或3xy14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即a1或a3，a1或a3.故选B.5设x，y满足约束条件且zxay的最小值为7，则a()A5 B3C5或3 D5或3解析：选B法一：联立方程解得代入xay7中，解得a3或5，当a5时，zxay的最大值是7；当a3时，zxay的最小值是7，故选B.法二：先画出可行域，然后根据图形结合选项求解当a5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)图(1)由得交点A(3，2)，则目标函数zx5y过A点时取得最大值zmax35(2)7，不满足题意，排除A，C选项当a3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)图(2)由得交点B(1,2)

7、，则目标函数zx3y过B点时取得最小值zmin1327，满足题意答案：46设D为不等式组所表示的平面区域，区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为_解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B(1,0)到直线2xy0的距离最小，d，故最小距离为.答案：7设x，y满足约束条件若z的最小值为，则a的值为_解析：1，而表示过点(x，y)与(1，1)连线的斜率，易知a0，可作出可行域，由题意知的最小值是，即mina1.答案：18若x，y满足约束条件(1)求目标函数zxy的最值；(2)若目标函数zax2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值围解：(1)作出可行域如图，可求得A(3

8、,4)，B(0,1)，C(1,0)平移初始直线xy0，过A(3,4)取最小值2，过C(1,0)取最大值1.所以z的最大值为1，最小值为2.(2)直线ax2yz仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知12，解得4a2.故所求a的取值围为(4,2)知识块二：基本不等式1基本不等式，成立的条件：一正、二定、三相等2几个重要的不等式：(1)a2b22ab (a，bR)(2)2(a，b同号)(3)ab2(a，bR)(4)2(a，bR)典题例析设a，b，c都是正数，求证：abc.证明：a，b，c都是正数，都是正数2c，当且仅当ab时等号成立，2a，当且仅当bc时等号成立，2b，当且仅当ac时等号成立三式相

9、加，得22(abc)，即abc，当且仅当abc时等号成立类题通法利用基本不等式证明不等式的方法技巧利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等演练冲关设a，b均为正实数，求证：ab2.证明：由于a，b均为正实数，所以2 ，当且仅当，即ab时等号成立，又因为ab2 2，当且仅当ab时等号成立，所以abab2，当且仅当即ab时取等号已知x0，y0，则：(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2.(简记：积定和最小)(

10、2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)一题多变典型母题已知a0，b0，ab1，则的最小值为_解析a0，b0，ab1，2224，即的最小值为4，当且仅当ab时等号成立答案4题点发散1本例的条件不变，则的最小值为_解析：52549.当且仅当ab时，取等号答案：9题点发散2本例的条件和结论互换即：已知a0，b0，4，则ab的最小值为_解析：由4，得1.ab(ab)21.当且仅当ab时取等号答案：1题点发散3若本例条件变为：已知a0，b0，a2b3，则的最小值为_解析：由a2b3得ab1，2.当且仅当a2b时，取等号答案：题点发散4本例的条件变为：已知a0，b

11、0，c0，且abc1，则的最小值为_解析：a0，b0，c0，且abc1，3332229.当且仅当abc时，取等号答案：9题点发散5若本例变为：已知各项为正数的等比数列an满足a7a62a5，若存在两项am，an，使得2a1，则的最小值为_解析：设公比为q(q0)，由a7a62a5a5q2a5q2a5q2q20(q0)q2.2a1a12m1a12n18a2m12n18mn23mn5，则(mn)(52)，当且仅当n2m时等号成立答案：典题例析某厂家拟在2014年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m0)满足x3(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产

12、品的年销售量只能是1万件已知2014年生产该产品的固定投入为8万元每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)(1)将2014年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2014年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解：(1)由题意知，当m0时，x1(万件)，13kk2，x3，每件产品的销售价格为1.5(元)，2014年的利润y1.5x816xm29(m0)(2)m0时，(m1)28，y82921，当且仅当m1m3(万元)时，ymax21(万元)故该厂家2014年的促销费用投入3

13、万元时，厂家的利润最大为21万元1已知f(x)x2(x0)，则f(x)有 ()A最大值为0B最小值为0C最大值为4 D最小值为4解析：选Cx0，f(x) 2224，当且仅当x，即x1时取等号2已知不等式(xy)9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值是()A2 B4C6 D8解析：选B(xy)1a1a2，当1a29时不等式恒成立，故13，a4.3若a，b均为大于1的正数，且ab100，则lg alg b的最大值是()A0 B1C2 D.解析：选Ba1，b1，lg a0，lg b0.lg alg b1.当且仅当ab10时取等号4设(1，2)，(a，1)，(b,0)(a0，b0，O为坐标原点

14、)，若A，B，C三点共线，则的最小值是()A4 B.C8 D9解析：选D(a1,1)，(b1,2)，若A，B，C三点共线，则有，(a1)21(b1)0，2ab1，又a0，b0，(2ab)552 9，当且仅当即ab时等号成立故选D.5函数y(x1)的最小值是()A22 B22C2 D2解析：选Ax1，x10.yx122 222.当且仅当x1，即x1时，取等号6已知a，bR，且ab50，则|a2b|的最小值是_解析：依题意得a，b同号，于是有|a2b|a|2b|22220，当且仅当|a|2b|10时取等号，因此|a2b|的最小值是20.答案：207当x1时，不等式xa恒成立，则实数a的最大值为_解析：因为x1，所以x10.又xx11213，当且仅当x2时等号成立，所以a的最大值为3.答案：38已知x0，y0，且2x8yxy0，求(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解：(1)由2x8yxy0，得1，又x0，y0，则12 ，得xy64，当且仅当x16，y4时，等号成立所以xy的最小值为64.(2)由2x8yxy0，得1，则xy(xy)10102 18.当且仅当x12且y6时等号成立，xy的最小值为18.11 / 11