二次函数中的等腰三角形问题

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1、二次函数综合二次函数综合二次函数与等腰三角形的点存在性问题二次函数与等腰三角形的点存在性问题适用学科适用学科数学适用年级适用年级初三适用区域适用区域北师大版课时时长课时时长 （分钟分钟）120知识点知识点1. 二次函数综合 2.等腰三角形的性质 3.等腰三角形的判定4.相似三角形的性质 5.勾股定理 6.二次函数解析式的确定教学目标教学目标1. 熟练运用所学知识解决二次函数综合问题2. 灵活运用数形结合思想教学重点教学重点巧妙运用数形结合思想解决综合问题教学难点教学难点灵活运用技巧及方法解决综合问题教学过程教学过程一、复习预习一、复习预习1.二次函数的基础知识2.等腰三角形的性质3.相似三角形

2、的性质二、知识讲解二、知识讲解考点考点 1 1 二次函数的基础知识二次函数的基础知识1.一般地，如果 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数且 a0） ，那么 y 叫做 x 的二次函数，它是关于自变量的二次式， 二次项系数必须是非零实数时才是二次函数， 这也是判断函数是不是二次函数的重要依据当 b=c=0 时，二次函数 y=ax2是最简单的二次函数2.二次函数 y=ax2+bx+c （a， b， c 是常数， a0） 的三种表达形式分别为： 一般式： y=ax2+bx+c，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a（xh）2+k，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式

3、；交点式：y=a（xx1） （xx2） ，通常要知道图像与x 轴的两个交点坐标 x1， x2才能求出此解析式； 对于 y=ax2+bx+c 而言， 其顶点坐标为 （2ba，244acba） 对于 y=a（xh）2+k 而言其顶点坐标为（h，k） ，由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点考点考点 2 2 等腰三角形的性质等腰三角形的性质1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一性质”）。3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的

4、高相等）。4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。7.等腰三角形是轴对称图形， （不是等边三角形的情况下）只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方9.等腰三角形的腰与它的高的关系直接的关系是：腰大于高。间接的关系是：腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。考点考点 3 3 相似三角形的性质相似三角形的性质1.相似三角形对应角相等，对应边成正比例。2.相似三角形的一切对应

5、线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、切圆半径等）的比等于相似比。3.相似三角形周长的比等于相似比。4.相似三角形面积的比等于相似比的平方。5.相似三角形切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，切圆、外接圆面积比是相似比的平方6.若 a/b =b/c，即 b=ac，b 叫做 a,c 的比例中项7.c/d=a/b 等同于 ad=bc.8.不必是在同一平面的三角形里（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例.（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.（3）相似三角形周长的比等于相似比三、例题精析三、例题精析【例题【例题 1 1】如图，抛物线 y- x2+

6、x-4 与 x 轴相交于点、，与 y 轴相交于点，抛物线的对称轴与 x 轴相交于点。是抛物线在 x 轴上方的一个动点（点、不在同一条直线上）。分别过点、 作直线的垂线，垂足分别为、，连接、。（1）求点、的坐标（直接写出结果），并证明是等腰三角形；（2）能否为等腰直角三角形？若能，求此时点的坐标，若不能，说明理由；（3）若将“是抛物线在 x 轴上方的一个动点（点、不在同一条直线上）”改为“是抛物线在 x 轴下方的一个动点”， 其他条件不变， 能否为等腰直角三角形？若能，求此时点的坐标（直接写出结果），若不能，说明理由。【答案】【答案】（1）抛物线解析式为 y=x2+ x4，令 y=0，即x2+

7、x4=0，解得 x=1 或 x=5，A（1，0） ，B（5，0） 如答图 1 所示，分别延长 AD 与 EM，交于点 F；ADPC，BEPC，ADBE，MAF=MBE；在AMF 与BME 中，MAF=MBE，MA=MB,AMF=BME；AMFBME（ASA） ，ME=MF，即点 M 为 RtEDF 斜边 EF 的中点，MD=ME，即MDE 是等腰三角形（2）能；抛物线解析式为 y=x2+ x4=（x3）2+ ，对称轴是直线 x=3，M（3，0） ；令 x=0，得 y=4，C（0，4）MDE 为等腰直角三角形，有 3 种可能的情形；若 DEEM，由 DEBE，可知点 E、M、B 在一条直线上，而

8、点 B、M 在 x 轴上，因此点 E 必然在 x 轴上，由 DEBE，可知点 E 只能与点 O 重合，即直线 PC 与 y 轴重合，不符合题意，故此种情况不存在；若 DEDM，与同理可知，此种情况不存在；若 EMDM，如答图 2 所示设直线 PC 与对称轴交于点 N，EMDM，MNAM，EMN=DMA在ADM 与NEM 中，EMN=DMA，EM=DM,ADM=NEM=135；ADMNEM（ASA） ，MN=MA抛物线解析式为 y=x2+x4=（x3）2+，故对称轴是直线 x=3，M（3，0） ，MN=MA=2，N（3，2）设直线 PC 解析式为 y=kx+b，点 N（3，2） ，C（0，4）在

9、抛物线上， ，解得 k=2，b=4，y=2x4将 y=2x4 代入抛物线解析式得 2x4=x2+x4解得 x=0 或 x=，当 x=0 时，交点为点 C；当 x=时，y=2x4=3P（ ，3）综上所述，MDE 能成为等腰直角三角形，此时点 P 坐标为（ ，3）（3）能；如答题 3 所示，设对称轴与直线 PC 交于点 N；与（2）同理，可知若MDE 为等腰直角三角形，直角顶点只能是点 M；MDME，MAMN，DMN=EMB在DMN 与EMB 中，DMN=EMB，MD=MB,MDN=MEB=45；DMNEMB（ASA） ，MN=MB；N（3，2）设直线 PC 解析式为 y=kx+b，点 N（3，2

10、） ，C（0，4）在抛物线上，解得 k=，b=4，y=x4将 y=x4 代入抛物线解析式得 x4=x2+x4，解得 x=0 或 x= ，当 x=0 时，交点为点 C；当 x= 时，y=x4=P（， ）综上所述，MDE 能成为等腰直角三角形，此时点 P 坐标为（ ， ）【解析】【解析】（1）在抛物线解析式中，令 y=0，解一元二次方程，可求得点 A、点 B 的坐标；如答图 1 所示，作辅助线，构造全等三角形AMFBME，得到点 M 为为 RtEDF 斜边 EF的中点，从而得到 MD=ME，问题得证；（2）首先分析，若MDE 为等腰直角三角形，直角顶点只能是点 M；如答图 2 所示，设直线PC 与

11、对称轴交于点 N，首先证明ADMNEM，得到 MN=AM，从而求得点 N 坐标为（3，2） ；其次利用点 N、点 C 坐标，求出直线 PC 的解析式；最后联立直线 PC 与抛物线的解析式，求出点 P 的坐标；（3）当点 P 是抛物线在 x 轴下方的一个动点时，解题思路与（2）完全相同；【例题【例题 2 2】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴一个交点A的坐标为（1，0） ，对称轴为直线x=2（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）点D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物线上的另一点已知以AB为一底边的梯形ABCD的面积为 9求此抛物线的解析式，并指出顶点E的坐标；（3）点P是（2）中

12、抛物线对称轴上一动点，且以 1 个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动设点P运动的时间为t秒当t为秒时，PAD的周长最小？当t为或秒时，PAD是以AD为腰的等腰三角形？（结果保留根号）点P在运动过程中，是否存在一点P，使PAD是以AD为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】【答案】（1）由抛物线的轴对称性及 A（1，0） ，可得 B（3，0） （2）设抛物线的对称轴交 CD 于点 M，交 AB 于点 N，由题意可知 ABCD，由抛物线的轴对称性可得 CD=2DMMNy 轴，ABCD，四边形 ODMN 是矩形DM=ON=2，CD=22=4A（1，0） ，B（3

13、，0） ，AB=2，梯形 ABCD 的面积=（AB+CD）OD=9，OD=3，即 c=3把 A（1，0） ，B（3，0）代入 y=ax2+bx+3 得，解得y=x2+4x+3将 y=x2+4x+3 化为顶点式为 y=（x+2）21，得 E（2，1） （3）当 t 为 2 秒时，PAD 的周长最小；当 t 为 4 或 4或 4+秒时，PAD 是以 AD 为腰的等腰三角形存在APD=90，PMD=PNA=90，PDM+APN=90，DPM+PDM=90，PDM=APN，PMD=ANP，APNPDM，=，=，PN23PN+2=0，PN=1 或 PN=2P（2，1）或（2，2） 故答案为：2；4 或

14、4或 4+【解析】【解析】（1）根据抛物线的轴对称性可得抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标；（2）先根据梯形 ABCD 的面积为 9，可求 c 的值，再运用待定系数法可求抛物线的解析式，转化为顶点式可求顶点 E 的坐标；（3）根据轴对称最短路线问题的求法可得PAD 的周长最小时 t 的值；根据等腰三角形的性质可分三种情况求得PAD 是以 AD 为腰的等腰三角形时 t 的值；先证明APNPDM，根据相似三角形的性质求得 PN 的值，从而得到点 P 的坐标四、课堂运用四、课堂运用【基础】【基础】如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，-2） ，交x轴于A、B两点，其中A

15、（-1，0） ，直线l：x=m（m1）与x轴交于D。（1）求二次函数的解析式和B的坐标；（2）在直线l上找点P（P在第一象限） ，使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示） ；（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限的点Q，使BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。【巩固】【巩固】如图，已知抛物线y=x2+bx+4 与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（2，0） （1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC

16、所在直线的解析式；（3）试判断AOC与COB是否相似？并说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ACQ为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由【拔高】【拔高】如图，已知抛物线经过 A（1，0） ，B（0，3）两点，对称轴是 x=1（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）动点 Q 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度在线段 OA 上运动，同时动点 M 从 M从 O 点出发以每秒 3 个单位长度的速度在线段 OB 上运动，过点 Q 作 x 轴的垂线交线段 AB于点 N，交抛物线于点 P，设运动的时间为 t 秒当 t 为何值时，四边形 OMPQ 为矩形；A

17、BCDOxylAON 能否为等腰三角形？若能，求出 t 的值；若不能，请说明理由课程小结课程小结本节课主要研究了二次函数和等腰三角形的点存在性问题，考查了学生是否能够灵活运用二次函数的图象与性质、待定系数法、解一元二次方程、勾股定理、相似三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点解决实际问题，注重数形结合思想及分类思想的运用。课后作业课后作业【基础】【基础】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-2 与x轴交于点A（-1，0） 、B（4，0） 点M、N在x轴上，点N在点M右侧，MN=2以MN为直角边向上作等腰直角三角形CMN，CMN=90设点M的横坐标为m（1）求这条抛物线所对应的函数关

18、系式.（2）求点C在这条抛物线上时m的值.（3）将线段CN绕点N逆时针旋转 90后，得到对应线段DN.当点D在这条抛物线的对称轴上时，求点D的坐标.以DN为直角边作等腰直角三角形DNE, 当点E在这条抛物线的对称轴上时，直接写出所有符合条件的m值.【参考公式：抛物线（a0）的顶点坐标为】【巩固】【巩固】如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线交轴于另一点 C（3,0）.OCBA 求抛物线的解析式; 在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的 Q 点坐标；若不存在，请说明理由.【拔高】【拔高】已知抛物线:y=x-2x+m-1 与 x 轴只有一个交点，且与y轴交于A点,如图，设它的顶点为B(1)求m的值；(2)过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证是ABC是等腰直角三角形；(3)将此抛物线向下平移 4 个单位后，得到抛物线C，且与 x 轴的左半轴交于E点，与 y轴交于F点，如图.请在抛物线C上求点P，使得EFP是以EF为直角边的直角三角形.