二次函数与距离最小值

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1、学习必备欢迎下载2二次函数与距离最小值1.如图， 抛物线 y= ax2+ c (a 0)经过梯形 ABCD 的四个顶点， 梯形的底 AD 在 x 轴上， 其中 A (-2,0) ,B (- 1, 3).(1) 求抛物线的解析式；(2)点 M为 y 轴上任意一点，当点 M 到 A、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标；(3)在第(2)问的结论下，抛物线上的点 P 使&PAD=4SBM成立，求点 P 的坐标.参考答案：1y = x2-42BD :y = X -2； M (0,- 2)3SABM=2；P1(.2,4),P22.2,4),P3(04)2.如图， 在直角坐标系中， 点 A 的坐

2、标为(一 2, 0),连结 OA， 将线段 OA 绕原点 O 顺时 针旋转 120,得到线段 OB.(1) 求点 B 的坐标；(2) 求经过 A、O、B 三点的抛物线的解析式；(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点6 使厶BOC 的周长最小？若存在，求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由(4)如果点 P是(2)中的抛物线上的动点，且在 x 轴的下方，那么 PAB 是否有最大面积？ 若有，求出此时 P 点的坐标及 PAB的最大面积；若没有，请说明理由.参考答案： B (1 , -.3 )AB: w；C(-1,3)学习必备欢迎下载(x于誓；P(W)2824学习必备欢迎下载3. （ 05 深圳

3、）已知 ABC 是边长为 4 的等边三角形，BC 在 x 轴上，点 D 为 BC 的中点， 点 A 在第一象限内，AB 与 y 轴的正半轴相交于点 E，点 B （-1, 0），P 是 AC 上的一个动 点（P 与点 A、C不重合）（1）求点 A、E 的坐标；632（2） 若 y= x2bx c过点 A、E，求抛物线的解析式。（3） 连结 PB、PD，设 LPBD 的周长，当 L 取最小值时，求点 P 的坐标及 L 的最 小值，并判断此时点 P 是否在（2）中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由。参考答案：A（1,2 .3）,E（0，3）AC :y = -3x 3. 3； D (4，.3)；B

4、D :y3x3； P (3);周长为 27+2.55334.如图，以矩形 OABC 的顶点 0 为原点，0A 所在的直线为 x 轴，0C 所在的直线为y轴, 建立平面直角坐标系.已知 0A = 3，0C = 2,点 E 是 AB 的中点，在 OA 上取一点 D，将 BDA 沿 BD 翻折，使点A 落在 BC 边上的点 F 处.（1）直接写出点 E、F 的坐标；（2）设顶点为 F 的抛物线交y轴正半轴于点 P，且以点 E、F、P 为顶点的三角形是等腰三 角形，求该抛物线的解析式；（3） 在 x 轴、y轴上是否分别存在点 M、N，使得四边形 MNFE 的周长最小？如果存在， 求出周长的最小值；如果

5、不存在，请说明理由.参考答案：1.E(3,1),F(1,2)；26-3213-37学习必备欢迎下载2.P(0,3),y = x -2x 33.5,5学习必备欢迎下载25.如图 1,抛物线 y=ax +bx+c(a丰0)的顶点为 C (1,4),交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点D，其中点 B 的坐标为(3,0)。求抛物线的解析式如图 2，过点 A 的直线与抛物线交于点 E,交 y 轴于点 F，其中点 E 的横坐标为 2。若直线 PQ 为抛物线的对称轴，点 G 为直线 PQ 上的一动点，贝 U x 轴上是否存在一点 H，使点 D、 G、H、F 四点所围成的四边形周长最小，若存在，求出这个

6、最小值及点G、H 的坐标；若不存在，请说明理y -x22x 3E (2,3); AE :y =X +1； G(1,1);6.如图，在平面直角坐标系中放置一矩形 ABCO,其顶点为A(0,1),B(-33,1),C(-3 J3 ,0),O(0,0).将此矩形沿着过 E (,3,1)、F(-43,0)的直线 EF 向3右下方翻折，B、C 的对应点分别为 B、C.(1)求折痕所在直线 EF 的解析式；y = 2x - 1；2+2“5.(2) 一抛物线经过 B、E、B三点，求此二次函数解析式;322学习必备欢迎下载2 27.如图，一元二次方程x 2x -3 = 0的二根X|,x2(论：x2)是抛物线y

7、 = ax bx c与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A(3,6).(1)求此二次函数的解析式.(2)设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标.(3)在x轴上有一动点M，当MQ MA取得最小值时，求参考答案:4一l，AC: y=x+3 ;Q (-1,2 )3y =2x；M0,028 (09 济南)已知：抛物线y二ax bx c 0的对称轴为x = -1,与x轴交于A, B两P -1,-6)x学习必备欢迎下载点，与y轴交于点C,其中A -3,0、CO,- 2.(1 )求这条抛物线的函数表达式.(2) 已知在对称轴上存在一点 P,使得PBC的周长最小.请求出

8、点 P 的坐标.(3) 若点D是线段OC上的一个动点(不与点 0、点 C 重合).过点 D 作DE/PC交x轴 于点E.连接PD、PE.设CD的长为m,PDE的面积为S.求S与m之间的函数关 系式.试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由.参考答案:2241y x x -233242AC：y x 2；p(_1,)33333s=-一(m1)2_44学习必备欢迎下载9.如图，在平面直角坐标系中，直线y - - .3x_. 3与轴交于点A，与y轴交于点C，抛(1)求过A B, C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；(2)在抛物线上是否存在点P，使ABP为直角三角形，若存在

9、，直接写出P点坐标; 若不存在，请说明理由；(3)试探究在直线AC上是否存在一点M，使得MBF的周长最小，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由.A ( .3, 0)为圆心，以2为半径的圆与 x 轴相交于点 B、C,与 y 轴相交于点 D、E.12(1)若抛物线 y=-x +bx+c 经过 C、D 两点，求抛物线的解析式，并判断点B 是否在该抛物物线y = ax1 2x c(a = 0)经过A,B,C三点.11如图，在直角坐标系中，以点学习必备欢迎下载3线上。在(1)中的抛物线的对称轴上求一点P,使得PBD 的周长最小。(3)设 Q 为(1)中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在

10、这样的点M，使得以 B、C、Q、M 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出 M 点的坐标；若不存在，请说明理由。12.如图，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点 A 在 x 的正半轴上，点 C 在 y 的正半轴上，OA=5 , OC=3.(1)在 AB 上取一点 D，将纸片沿 OD 翻折，使点 A 落在 BC 边上的点 E 处，求点 D、E 的 坐标；若过点 D、E 的抛物线与 x 轴相交于点 F(-5,0),求抛物线的解析式和对称轴方程；(3) 若(2)中的抛物线与 y 轴交于点 H，在抛物线上是否存在点 P,使PFH 的内心在坐标轴上？若存在，求出点P 的坐标，

11、若不存在，请说明理由；(4) 若(2)中的抛物线与 y 轴交于点 H，点 Q 在线段 OD 上移动，作直线 HQ,当点 Q 移动到什么位置时，O、D 两点到直线 HQ 的距离之和最大？请直接写出此时点Q 的坐标及直线 HQ 的解析式。学习必备欢迎下载13. (08 福建莆田)如图：抛物线经过 A (-3, 0)、B ( 0, 4)、C (4, 0)三点.(1)求抛物线的解析式(2)已知 AD = AB (D 在线段 AC 上)，有一动点 P 从点 A 沿线段 AC 以每秒 1 个 单位长度的速度移动；同时另一个动点 Q 以某一速度从点 B 沿线段 BC 移动，经过 t 秒 的移动，线段PQ 被

12、 BD 垂直平分，求 t 的值；(3)在(2)的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使 MQ+MC 的值最小？右存在，请求出点 M 的坐标；右不存在，请说明理由。参考答案：111yx2x 4332仝73M,28)2 411210.如图， 已知二次函数y=丄 x + bx+ c (cv0)的图象与 x 轴的正半轴相交于点 A、B，2与y轴相交于点 C，且 OC = OAOB .学习必备欢迎下载(1 )求 c 的值；(2) 若厶 ABC 的面积为 3,求该二次函数的解析式；(3)设D是(2)中所确定的二次函数图象的顶点，试问在直线AC 上是否存在一点 P，使 PBD 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.