必修五不等式知识点典型例题

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1、高中数学必修5第三章 不等式复习、不等式的主要性质:（1）对称性： ab a传递性：a b,b . c= a ca b,c d = a c b : d a b, c ： 0 二 ac ： bc加法法则：aa c b c ； 乘法法则：a b,c Q= ac bc ；a b 0, c d 0 二 ac bd一 i i倒数法则：a - b,ab . 0= - ： 一a b乘方法则：a b 0= an .bn（n=N*且n . 1）开方法则：a b 0= na .nb(nN *且n . 1)兀二次不等式 ax2bx c 0和ax2 bx 0（a厂0）及其解法A 0A =0A 0二次函数y =ax2

2、+bx +c(a aO)的图象y = ax2 + bx + c= a(x _x一)(x _ x2)ny /Xl12vy =ax2 + bx +c =a(x Xi)(x X2) Iy = ax2 + bx + c 工一兀二次方程2ax + bx + c = 0 (a a 0 )的根有两相异实根xi ,X2（Xi 0 (a 0)的解集2ax +bx+cc0(a0)的解集1.一元二次不等式先化标准形式（a化正）2 .常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式顺口溜：在二次项系数为正的前提下：“大鱼”吃两边，“小鱼”吃中间三、均值不等式1. 均值不等式：如果 a,b是正数，那么. ab （当且仅当a

3、 = b时取=号）.22、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等3、平均不等式：(3、b为正数)，即J 2A 2abJ 1 (当a =b时取等) +a b四、含有绝对值的不等式1绝对值的几何意义：|x I是指数轴上点x到原点的距离；IM - X2 I是指数轴上 为,X2两点间的距离代数意义：aa0| a |=0a= 0-aac02、如果a 0,则不等式：|x| a = x a或x ： -a|x|_a= x _ a或x _a|x| ：a ：=-a :： x :a| x a ：=a_x_a4、解含有绝对值不等式的主要方法：解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号五、其他常见不等式形式总结：

4、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则凹 0= f(x)g(x) 0 ； g(x)竺 mf(x)g(x)H0g(x)卫(X)式 0 指数不等式：转化为代数不等式af(x) ag(x)(a 1)= f(x) g(x)； af(x) ag(x)(0 a 1)= f(x) ： g(x) 对数不等式：转化为代数不等式f(x) 0f(x) 0loga f (x) Aloga g(x)(a a1)= loga g(x)(0ca 1)u 0f(x) =g(x)(x)g(x) 高次不等式：数轴穿根法：奇穿，偶不穿2 2例题：不等式(x 3x 2)(x 一4)0的解为()x+3A. 1 2B. x 3 或 1

5、x 2C. x=4 或3x2D. x=4 或 x 3 或 1w x0 ,且x2 + y2 =1,则x + y的最大值等于 。126 函数f (x) =3x+p(x0)的最小值为 。x7已知不等式x?亠ax亠b : 0的解集为(1,2)，试求关于x的不等式bx2亠ax亠1 0的解集& 已知集合 Ax|x2 3x -18 .0,B -x|(x - k)(x - k - 1) _ 0 若，求实数 k 的取值范围9.已知函数 y =(m2 4m -5)x2 4(1 -m)x 3对任意实数x，函数值恒大于0,求实数 m的取值范 围。九、线性规划练习题y-x-201.不等式组1表示的平面区域是（）x -

6、y 2 _02ABCDx兰02 .已知点P（x,y）满足条件： y兰x是常数）若z = x+3y取得最大值是8，则k=2x y k 岂 0f3 .求不等式N - y +5）（x十小0所表示的平面区域的面积。0 Ex 兰3x - y 2 _04 .已知不等式组 x y -0，求下列目标函数的最值或取值范围。2x - y -5 _0（1 ）求z = x 2y -4的最大值。（2）求z = x2 y2 - 10y 25的最小值。（3 ）求z=-驭1的取值范围。x +1高中数学必修5第三章不等式典型题基础训练A组一、选择题(六个小题，每题5分，共30分)1.若一2x2 +5x 2 0y 4x2 4x

7、+1 +2x 2 等于()A . 4x -5B .-3C . 3D . 5 -4x2.函数 y= log 1 (x + 肖 + 1)(x 1)的最大值疋()A . 2 B . 2C . 3D . 33x 13.不等式3x 12 x的解集是()3 3A . x| w x w 2B . x| w xv 24 43C. x|x 2 或 xw D . x|x v 244. 设a 1b- 1,则下列不等式中恒成立的是()11112 2 “A.B.C. ab2D. a22baba b225. 如果实数 x,y 满足 x + y =1,则(1 xy) (1 + xy)有()1 3A .最小值一和最大值1B.

8、最大值1和最小值一2 43C.最小值一而无最大值D .最大值1而无最小值46. 二次方程x? + (a? + 1)x + a 2=0，有一个根比1大，另一个根比1小, 则a的取值范围是()A . 3v a v 1B . 2 v av 0C. 1 v av 0D . 0 v av 2二、填空题(五个小题，每题 6分，共30分)x -21 .不等式组丿的负整数解是 。iX A 32. 一个两位数的个位数字比十位数字大2，若这个两位数小于 30,则这个两位数为。x2 +1、3. 不等式 02 不等式x2 8x+202mx 2( m 1)x 9m 4：0的解集为R,求实数m的取值范围。xy ex,3.

9、求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件*x + y兰1,y 兰1.4.求证：2 2 2a b c _ ab bc ca综合训练B组一、选择题（六个小题，每题5分，共30分）2 111. 一兀二次不等式 ax + bx + 20的解集是（，），则a+ b的值是2 3A. 10B. 10 C. 14D. 142. 下列不等式中： x2 3x-20 和 x2 3x-405 54x8和4x 8x 3x 3554x8和4x 8x +3 x +3x亠30 和(x 3)(2 -x) 02 x不等价的是（）A和 B . 和 C .和 D .、和3. 关于x的不等式(k2 2k+ 5 )xB . x

10、 2D.x 2)1B.y= sinx +,x(0,c )sinx2A. y=x+X? +32 彳C - y= 2D - y=x t 1x 2. X5. 如果x2+ y2=1,则3x 4y的最大值是()1A . 3B. -C. 4D. 556. 已知函数 y=ax2+ bx + c(a 0)的图象经过点(一1,3)和(1,1)两点，若0v cv 1,则a的取值范围是()A . (1,3)B .(1,2)C . 2,3)D . 1,3二、填空题(五个小题，每题 6分，共30分)1 .设实数x、y满足x + 2xy 1 = 0，则x + y的取值范围是 。2. 函数y= 2x + J厂刁的值域是。3

11、. 不等式(x-3)(1-x)启o的解集是x2(x_1)224. 已知 f(x)=ux+v,x 1,1,且 2u2+6v2=3,那么 f(x)的最大值是 .195. 设x、y R+且一+ =1,则x+y的最小值为 .x y三、解答题(四个小题，每题 10分，共40分)111一1 .在函数y 的图象上，求使取最小值的点的坐标。xxy函数yx2 5x24的最小值为多少?若a 1 w log 1 x w a的解集是21,丄,则求a的值为多少?4 23 .4.设 0 : a : 1,解不等式：loga a*aX2 : 0提高训练C组一、选择题(六个小题，每题5分，共30分)1若方程x2 (m 2)x

12、m 0只有正根，则 m的取值范围是()B . 一 5 ： m _ -4D . 一 5 ： m ： -22.若a c且b c 0 ,则不等式(x y)(x b).。的解集为()XA.x| -a: x: b,或xc/C.:x| -b: x: a,或xc；3.不等式2 2lgX v lg X的解集是 (1A.(,1)100C.(丄,1) U (100, + )100x - aB . x | -axc,或xb fD.：x| b ： x c,或xa：)B . (100,+ 8 )D . (0,1) U (100, + 8)2 14. 若不等式x - logax v 0在(0,)内恒成立，则a的取值范围是

13、()21dC1c C11A x v 1B. v av 1 C . 0v aD0 v av16 16 16 165. 若不等式0 w x2- ax+ a b 0,下列不等式疋成立的疋()1,1c c2a baa + b ft 2abA .a+bB .C .- D .ababa ba 2bb2a + b二、填空题(五个小题，每题6分，共30分)1 .不等式 log 2 (2 1) log 2 (2 2)0, b0, a + b = 1，则Ja +1 +、ib十丄的范围是Y 22113. 函数f(x)= x(0 v x w -)的最小值为 .X41 24. 设x0，则函数y=(x+)21在x=时，有

14、最小值 ! X5不等式_X2 + 0的解集是 。x三、解答题（四个小题，每题 10分，共40分）1已知函数y = mX23x一n的最大值为7,最小值为一1，求此函数式。X +12.已知 a 2，求证：log a j a log a a - 13.已知集合A=X | 2X2 斗1 3(7：2Wx|logi(9 一 xZogixJ,2又 A A B=x|x +ax+b v 0,求 a+b 等于多少?3. 画出下列不等式组表示的平面区域,x +224,3x +2y W36,0乞x空10,0 _ y _11.高中数学必修5第三章不等式典型题参考答案基础训练A组、选择题1.C 2.B 3.B 4.C 5

15、.B 6.C、填空题1. - 2,-12. 13 或 243. (2, ：) 4. -1,大,1 5. f (n p (n) ： g( n)、解答题1.x ( .3,2)(2,：)12. m3. Zmax =32 24.提示：由a亠b _2ab或作差综合训练B组一、选择题1.D 2.B 3.B 4. 5.D 6.B二、填空题1. -： ：，-11,：2丄 2,：3.一： ：,00,13,104.2 5. 16三、解答题51.略 2. 1，3. -4. a = 22提高训练C组一、选择题1.D 2.D 3.D 4.A 5.B 6.D二、填空题1. log 2 4, log 2 2. ,2” 3.15 4. 1,3 5. L 73,0口（0,2】1丿2一 4三、解答题1. y=3x2+；屈+3 2.略 3.-1 4.略x +12