变限积分函数及牛莱公式PPT学习教案

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1、会计学1变限积分函数及牛莱公式变限积分函数及牛莱公式23:582一个函数的不定积分是他的原函数的全体，如一个函数的不定积分是他的原函数的全体，如212xdxxC而一个函数在一个区间上的定积分则是曲边梯形的面积，是而一个函数在一个区间上的定积分则是曲边梯形的面积，是一个数值，如一个数值，如1012xdx 引论：不定积分与定积分的联系引论：不定积分与定积分的联系第1页/共25页23:5830 xa1x2x3x4xb0f x1f x2f x3f x011nnaxxxxb第2页/共25页23:584ixi1ix if( )( )F xf x若已知则1()( )( )iiiiF xF xfx 10nni

2、iiSfx110()( )niiiF xF xLargrange中值定理：11()( )()iiiiiF xF xFxx11(),iiiiiifxxx x第3页/共25页23:585 10211()()()()()()nnF xF xF xF xF xF x0()()nF xF x( )( )F bF a()( ),iiff当n 时，或者说当每一个0ix时，上面的“ ”化为=第4页/共25页23:586于是我们就得到了于是我们就得到了0( )lim( )( )bnaxf x dxSF bF a 这就是著名的这就是著名的牛顿牛顿(Newton)-莱布尼茨莱布尼茨(Leibniz) 公式公式即()

3、baF bF af x dx第5页/共25页23:587Isaac Newton ，1671年写了年写了流数法和无穷级数流数法和无穷级数，与，与Gottfriend Wilhelm Leibniz 同时独立创建微积分同时独立创建微积分第6页/共25页23:588考察定积分考察定积分( )( )xaxf t dt第7页/共25页23:589abxyo积分上限函数的性质积分上限函数的性质xx 证证dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x第8页/共25页23:5810 dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)( xxxdttf由积分中

4、值定理得由积分中值定理得xf )( ,xxx ),( fx )(limlim00 fxxx xx , 0).()(xfx abxyoxx )(xx第9页/共25页23:58112( ) , ( )( )( ) , xaf xa bxf t dtf xa b定理 ：(原函数存在定理)如果函数在上连续，则函数就是在区间上的一个原函数223coscosxtdtx 例例1 .22xte dt2xe例例2 .32cosxtdt21sinxdtdtdxt例例3 .第10页/共25页23:5812变限积分求导公式bxttfxd)(dd)(xf)(d)(ddxattfx)()(xxf)()(d)(ddxxtt

5、fx)()()()(xxfxxf)()(d)(d)(ddxaaxttfttfxxattfxd)(dd)(xf第11页/共25页23:58131sin( )utudtt解：解：令令则则sin( ),uuu22221sin()()()xdtddtxxxdxtdx 222sinsin22xxxxx例例4 .23xtxe dt2300 xxxxe dxe dx323220032xxxxxxe dxe dxx exe 第12页/共25页23:5814证证dttfxFxaxb)()(0)()(0 dttfxb )(0)(,)()(0dttfxa )()()()()(xaxafxbxbfxF )()()()

6、(xaxafxbxbf )()()()(xbxadttfdxdxF)(xa一般地一般地)(xb )()()()(xbxadttfxF)(xF 第13页/共25页23:5815)(sinlim30220 xdttxx2203)2()2sin(limxxxx2204sinlim32xxx30220sinlimxdttxx例例5 .3822044sinlim38xxx例例6. 设设( )f x在区间在区间 , a b上连续，且上连续，且2( )0,bafx dx 则则( )f x在在 , a b上恒等于零。上恒等于零。证明：证明：令令2( )( ),uaufx dxaub则则2( )( )0ufu第

7、14页/共25页23:5816因此因此( )u在在 , a b上是单调非减的，从而有上是单调非减的，从而有20(0)( )( )( )0baubfx dx 于是于是( )u在在 , a b上恒为常数，其导数必为零，即上恒为常数，其导数必为零，即2( )( )0,.ufuaub第15页/共25页23:5817定理定理 3 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）CxxF )()(,bax 证证第16页/共25页23:5818令令ax ,)()(CaaF 0)()( dttfaaa,)(CaF ),()()(aFxFdttfxa ,)()(CdttfxFxa 令令 bx).()()(aFbFdxxf

8、ba 第17页/共25页23:5819()baF bF af x dx核心思想：如果能够找到被积函数的一个原函数，则可以轻易地求出定积分的值，即原函数在积分区间上的增量。( )baF x( )baF x注意注意第18页/共25页23:58202ln12xdx例例7. 12lnx2ln1ln 例例8. dxxx2102112dxxx210212dxx2102112102)12(x210arcsinx632例例9 .20|1 |dxx10)1 (dxx21) 1(dxx102)21(xx212)21(xx 1) 12122(211102dxx1033x31第19页/共25页23:5821例例10

9、计算,)(20dxxf21, 510,2)(xxxxf其中解解 20dx)x(f 102xdx 215dx102x 215x 6 例例11.设设,),)(21102xxxxxf, 求求xdttfx0)()(在在0,2上的表达式上的表达式,并讨论并讨论)(x在在(0,2)内的连续性内的连续性.解解.当), 10 x时,xdttfx0)()(xdtt02331x当, 21x时,xdttfx0)()(102dttxdtt131)(1212x61212x综上,)(x,),216121103123xxxx在x=1处,)(1)(01,31)(01,31)(x在在(0,2)内连续内连续.所以,2x01第20

10、页/共25页23:5822问题：问题：( )x在在1x 是否可导？是否可导？30011(1)(1)(1)33(1)limlim1xxxxxx 200111(1)(1)(1)263(1)limlim1xxxxxx 1(1)( )第21页/共25页23:5823例例12. 设设20( )( ),af xxf x dx且且1,a 求求0( )af x dx解：解：方程两边积分，得方程两边积分，得20000()(aaaaff xx dxx dxddxx 300()3(1aaf x dxaf x dxa03)()31afax dxa第22页/共25页23:5824例例13. 下列做法是否有问题下列做法是否有问题11211112dxxx 由于被积函数在积分区间上存在第二类间断点，不满足由于被积函数在积分区间上存在第二类间断点，不满足NewtonLeibniz定理之条件，故不可用这一公式。定理之条件，故不可用这一公式。强调：在利用强调：在利用NewtonLeibniz定理的时候，验证定理条件定理的时候，验证定理条件是否满足是必要的！是否满足是必要的！第23页/共25页23:58251.积分上限函数的性质，其导数的计算；积分上限函数的性质，其导数的计算；2.牛顿牛顿(Newton)-莱布尼茨莱布尼茨(Leibniz) 公式公式的证明及应用的证明及应用第24页/共25页