高等数学：第四节 广义积分

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1、1第四节第四节 广义积分广义积分一、无穷区间上的一、无穷区间上的广义积分积分二、无界函数的二、无界函数的广义积分积分三、小结三、小结 思考题思考题 练习题练习题四、作业四、作业2定积分定积分积分区间有限积分区间有限被积函数有界被积函数有界积分区间无限积分区间无限被积函数无界被积函数无界极限方法极限方法广义积分广义积分推广推广3例例分析：分析：20d1bxx 求由曲线求由曲线21(0),1yxxx 轴和轴和y轴轴所围成的开口图形的面积所围成的开口图形的面积211xy Oxyb所给图形不是封闭图形，用极限的方法讨论所给图形不是封闭图形，用极限的方法讨论.则所求面积近似等于则所求面积近似等于显然，显

2、然，b越大，近似程度越高越大，近似程度越高.b ，20dlim1bbxx 如果极限如果极限存在存在, 则该极限值就是所求面积则该极限值就是所求面积.020dlimlimarctan lim arctan.12bbbbbxxbx A 一、无穷区间上的广义积分一、无穷区间上的广义积分4 axxfd)(lim( )dbabf xx 定义定义1 1,),)(上上连连续续在在设设 axf,ba 取取 axxfd)( 即即( )d ,af xx 记记作作当极限存在时当极限存在时,称广义积分称广义积分当极限不存在时当极限不存在时, 称广义积分称广义积分如果极限如果极限存在存在,blimb则称这个极限值则称这

3、个极限值广义积分广义积分,(1)收敛收敛; ;发散发散. .( ) ,)f xa 为为在在上上的的注：注：广义积分广义积分也称作也称作反常反常积分积分5 bxxfd)(lim( )dbaaf xx 即即当极限存在时当极限存在时,称广义积分称广义积分当极限不存在时当极限不存在时, 称广义积分称广义积分,()(上上连连续续在在设设bxf ab 取取 bxxfd)(上的上的在在为为,()(bxf bxxf.d)(记作记作存在存在,alima如果极限如果极限则称这个极限值则称这个极限值广义积分广义积分,(2)收敛收敛; ;发散发散. .6,),()(上上连连续续在在设设 xf如果广义积分如果广义积分和

4、和 xxfd)( xxfd)(都收敛都收敛,则称上述两广义积分之和为函数则称上述两广义积分之和为函数 xxfd)( )dcf xx ( )dcf xx ( )dcf xx ( )dcf xx 称广义积分称广义积分 lima limbcc),( 在在上的上的广义积分广义积分,ab即即收敛收敛;记作记作发散发散.否则称广义积分否则称广义积分(3)( )f x( )d ,f xx ( )df xx ( )df xx 7注注为了方便起见为了方便起见, 规定规定:对广义积分可用如下的简记法使用对广义积分可用如下的简记法使用N-L公式公式,.)()(的的原原函函数数是是连连续续函函数数若若xfxF aax

5、Fxxf)(d)().(lim)(xFFx ),()(aFF )(d)(xFxxf).()( FF 这时广义积分的收敛与发散取决于这时广义积分的收敛与发散取决于 和和 是否存在是否存在.)(F)(F),()( FbF).(lim)(xFFx ( )d( )bbf xxF x 8证证)1( 1d1xx 1ln x )2( 111pxp , 1 p, 1 p因此因此时时当当1 p收敛收敛, 其值为其值为;11 p时时当当1 p发散发散.1 p, 1 p11 p例例 证明广义积分证明广义积分,d11xxp .1时发散时发散当当 p,1时收敛时收敛当当 pxxpd11 xxpd11 *p 积积分分9例

6、例0ed.pxxx 讨讨论论广广义义积积分分的的敛敛散散性性解解原原积积分分01d(e)pxxp = =20100epxp = =01()ed0pxpxxexpp 21.p 00,ed(1,2,3,).nsxnsIxxn 设设求求的的敛敛散散性性（2010级，级，6分）分）10例例 .dsin的敛散性的敛散性讨论积分讨论积分xx解解 考虑考虑 由于被积函数为奇函数由于被积函数为奇函数,积分区间又为对称区间积分区间又为对称区间, 0dsinxx由定义可知由定义可知 xxcoslim xxdsin因而因而 cos x xxcoslim只有上述两个极限都存在时只有上述两个极限都存在时, 才能使反常才

7、能使反常但是上述两个极限都不存在但是上述两个极限都不存在. 0dsinxx故故积分收敛积分收敛.11为对称区间为对称区间.),( 其错误的原因在于认定其错误的原因在于认定不不成立的成立的.注注对于广义积分来说对于广义积分来说, 对称区间上的性质对称区间上的性质 .dsin的敛散性的敛散性讨论积分讨论积分xx各不相关各不相关.sin dlimsin d0AAAx xx x下面的做法正确否？下面的做法正确否？错误！错误！limsin dAAAx x 主值积分主值积分记做记做d. P.sinVx x ,xx 12,d11d04204xxxxx 并求其值并求其值. . 041dxx令令xt1 tttd

8、1042 xxxd1042 041dxxxxxd1121042 xxxxd111210222 例例 证明证明解解xxx xxxxxd11d0420421tttd)1(11124 0 13)1(d2)1(12102xxxx 021arctan221xx.2 2 xxxxd111210222 142009级，级，6分分期末试题集锦期末试题集锦2008，5分分15 2002年考研数学年考研数学(一一)填空填空3分分 2002年考研数学年考研数学(二二)填空填空3分分xxxedln12 1.计算计算2.位于曲线位于曲线)0( xxeyx下方下方, x轴上方的轴上方的无界图形的面积是无界图形的面积是_.

9、11( (答答案案：) )16引例引例2 2211yx Oxy111 21,101yxxxx 求求位位于于曲曲线线之之下下轴轴之之上上且且在在直直线线与与之之间间的的图图形形的的面面积积. .分析：分析：120d1xx 所给图形不是封闭图形，用极限的方法讨论所给图形不是封闭图形，用极限的方法讨论.则所求面积近似等于则所求面积近似等于0 当当时时，如果极限如果极限存在存在, 则该极限值就是所求面积则该极限值就是所求面积.0,1) ,11(0).x 在在区区间间内内 取取与与 相相近近的的点点,. 显显然然越越小小 近近似似程程度度越越高高1200dlim1xx ( (瑕积分瑕积分) )二、无界函

10、数的广义积分二、无界函数的广义积分171012000dlimlimarcsin 1xxx A 0limarcsin(1) 211yx Oxy11.2 1 18定义定义2 2无界无界内内)(xf0, b 取取左左邻邻域域0lim( )dbaf xx baxxfd)(0lim( )dbaf xx ,d)( baxxf即即当极限不存在当极限不存在时时,称称广义积分广义积分).)(lim( xfx即即则称此极限为则称此极限为仍然记为仍然记为如极限如极限存在存在,也称也称广义积分广义积分b在在 点点函数函数 b ( , ),f xa b设设在在上上连连续续广义积分广义积分,收敛收敛; ; baxxfd)

11、( baxxfd)(发散发散. .瑕点瑕点(1)( ) , )f xa b在在上上的的19(2)0, 取取 baxxfd)(0lim( )d ,baf xx 否则否则,).)(lim( xfx即即0( )limdbaf xx 则定义则定义如极限如极限存在存在, a ,( ),f xa b设设在在上上连连续续瑕点瑕点, ,称称广义积分广义积分 baxxfd)(发散发散. .( )af x点点 为为的的20都都收收敛敛， 则则定定义义上上在在设设,)(baxf).)(lim( xfx即即瑕点瑕点, , c如果广义积分如果广义积分( )daf xx c( )dbf xx 与与c121200lim(

12、)dlim( )d ;cbacf xxf xx 否则否则,就称广义积分就称广义积分 baxxfd)(发散发散. .(3)注注 如瑕点在区间内部如瑕点在区间内部,分别讨论各段瑕点积分分别讨论各段瑕点积分.通常通常用瑕点将区间分开用瑕点将区间分开,( )dbaf xx ( )d( )dcbacf xxf xx+ +(),xc acb除除外外连连续续( )cf x点点为为的的21证证, 1)1( q101limdxx 10lim ln x 0lim(1ln ) , 1)2( q 10d1xxq110lim1qxq 10d1xxq*例例 证明广义积分证明广义积分.1时发散时发散当当 q,1时收敛时收敛

13、当当 q101d (0)qx qx 10,0( )qqxf xx当当时时是是的的瑕瑕点点. .101limdqxx , 1 q. 1 q, ,11q ,11q ,1时时当当 q广义积分收敛广义积分收敛,其值为其值为,1时时当当 q广义积分发散广义积分发散.22,()(baCxf 注注为了方便起见为了方便起见, ,为为瑕瑕点点如如a由由NL公式公式, 则广义积分则广义积分规定规定: ( )baF x),)(baCxf ,为为瑕瑕点点如如b()( )F bF a ( )( ),Fxf x ( )()F bF a ( )dbaf xx ( )F b lim( )xaF x ( )dbaf xx li

14、m( )( ).xbF xF a 2331arcsin(2)x d .(1)(-3)xxx 3 31 11 1计计算算反反常常积积分分13,xx因因为为与与是是瑕瑕点点 因因此此d(1)(-3)xxx 3 31 11 1例例解解()22. 2d1(2)xx 3 31 11 124例例 求求xxd111 解解xxd111 xx1lim0.0为为瑕瑕点点 x 10ln|x 0发散发散.|lnlim00 xx 也发散也发散.注注 11d1xx11ln|x . 0错误的做法错误的做法:101dxx 25例例 解解,sintax 令令 taattata22233sindcossin原式原式 2033ds

15、in tta332a 注注此广义积分经变量代换化成了定积分此广义积分经变量代换化成了定积分.02 3220d(0).axxaax 求求dcos dxat t 26( )d ,( )( , )baf xxf xa babab 一一般般地地，设设有有反反常常积积分分如如果果在在开开区区间间内内连连续续， 可可以以是是 ， 可可以以是是 ， 、 也也可可以以是是瑕瑕点点. .这这样样的的反反常常积积分分, ,在在另另加加换换元元函函数数单单调调的的前前提提下下，可可以以象象定定积积分分一一样样换换元元. .2720.,11d ,dxxxx判判断断敛敛散散性性 若若收收敛敛 求求其其值值: :28 x

16、xxxxf2, 120,210, 0)(已知已知 xttf.d)(试用分段函数表示试用分段函数表示2:0,01( )d,0241,2xxf ttxxxx 答答案案29无界函数的无界函数的广义积分广义积分(瑕积分瑕积分)无穷限的广义积分无穷限的广义积分 xxfd)( bxxfd)( axxfd)(注意注意 baxxfd)( 1. 不要与常义积分混淆不要与常义积分混淆; 2. 不能忽略内部的瑕点不能忽略内部的瑕点.三、小结三、小结( )d( )( )baf xxF bF a abab 其其中中 可可以以是是 ，可可以以是是 ，、 也也可可以以是是瑕瑕点点. .推广的推广的N-L公式公式30思考题思

17、考题1( (选择题选择题) ),0 x设设).(1d1d10202 xxtttt则则xA arctan)(xBarctan2)(2)( C0)(D解答解答 xxttttxf102021d1d)(令令),0( x )(xf0 )(xf恒等于常数恒等于常数. .,时时当当 x xxttttxf102021d1d)(202 .2)( xf 221111xx 211x31思考题思考题2积分积分 的瑕点是哪几点？的瑕点是哪几点？ 10d1lnxxx解答解答积分积分 10d1lnxxx1, 0 xx 1lnlim1xxx xx1lim11 x不是瑕点不是瑕点, 10d1lnxxx的瑕点是的瑕点是. 0 x

18、可能可能的瑕点是的瑕点是又又 1lnlim0 xxx, 1 32四、作业四、作业 广义积分广义积分33 一个固定的点电荷一个固定的点电荷 + q 产生的电场产生的电场, 当单位正电荷从当单位正电荷从r = =a 沿径向移到沿径向移到r = =b处时处时, ,2rqkF ( (k是常数是常数).).单位正电荷从单位正电荷从r = =a移到无穷远时移到无穷远时, ,对场内对场内其它电荷有作用力其它电荷有作用力,由库伦定律知由库伦定律知,距距q为为r单位的单位的正电荷受到的电场力正电荷受到的电场力, ,其方向与径向一致指向外其方向与径向一致指向外, ,大小为大小为电场力所作的功电场力所作的功称为该电

19、场在这两点处的称为该电场在这两点处的电位差电位差. .电场力所需电场力所需作的功作的功 称为该电场在点称为该电场在点a处的处的电位电位. .附附34例例 试求试求a、b两点的两点的电位差及电位差及a点的电位点的电位. .解解 a、b两点的两点的电位差电位差 rrqkbad2 barkq)1(.11 bakq令令,b即得即得a点处的点处的电位电位rrqkbad2 blim bakqb11lim这里计算了一个这里计算了一个类似的实例还有类似的实例还有:无界域的面积无界域的面积,问题问题,.akq上限无限增大的定积分的极限上限无限增大的定积分的极限.第二宇宙速度第二宇宙速度电容器放电问题等等电容器放电问题等等.