高等数学（上册）：15－第15讲微分中值定理

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1、第一节 微分中值定理第三章 微分中值定理与导数的应用一. 费马定理二. 罗尔中值定理三. 拉格朗日中值定理四. 柯西中值定理费马定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒中值定理 微分中值定理xxfxxfxfx)()(lim)(0函数导数的定义为即函数在点 x 处的导数等于0 x时, 函数xxfxxf)()(的极限值.在点 x 处的差商导数与差商 我们常常需要从函数的导数所给出的局部的或“小范围”性质, 推出其整体的或“大范围”性质. 为此, 我们需要建立函数的差商与函数的导数间的基本关系式, 这些关系式称为“微分学中值定理”. 这些中值定理的创建要归功于费马、拉格朗日、柯西等数学家.首

2、先, 从直观上来看看“函数的差商与函数的导数间的基本关系式”是怎么一回事.Oxy1x2x可微 )(xfy ABP0 x1212)()( xxxfxfkAB的斜率：割线)( 0 xfkP处切线的斜率：点导数与差商相等！1212)()()(xxxfxff将割线作平行移动, 那么它至少有一次会达到这样的位置：在曲线上与割线距离最远的那一点P 处成为切线, 即在点P 处与曲线的切线重合. , ),(21xx也就是说, 至少存在一点使得该命题就是微分中值定理.极值的定义若内有定义在设 , )(U )( 0 xxf , )(U )()(00 xxxfxf, )( )( 0的极大值为则称xfxf , )(U

3、 )()(00 xxxfxf, )( )( 0的极小值为则称xfxf. 0为函数的极大点x. 0为函数的极小点x I , I )( 内某点且在内有定义在区间设xf则必有存在若处取极大（小）值 , )( . f . 0)(f一. 费马定理 可微函数在区间内部取极值的必要条件是函数在该点的导数值为零.Oxy)(xfy abP费马定理的几何解释 如何证明？ , I )( 内有定义在区间设xf处且在 x),( f取极大值则有)(U )()(xfxf则存在若 , )( f , 0)()(lim)(0 xfxffx , 0)()(lim)(0 xfxffx于是. 0)(f（极小值类似可证） )(是特殊情况

4、Cxf证证)( )b ,()(xfaCxf可保证 . b , 内取到它的最大最小值在 aOxyab)(xfy 但是不保证在内部！Oxy)(xfy Pab)()(bfaf)b ,()(aCxf存在在 ) ,( )(baxf 0)(f水平的可保证在内部一点取到极值二. 罗尔中值定理设; ) ,()( ) 1 (baCxf; ) ,( )( )2(内可导在baxf, )()( )3(bfaf则至少存在一点. 0)( , ) ,(fba使得Oxy)(xfy abAB 实际上, 切线与弦线 AB 平行. ) ,()( baCxf上取到它的最大值、必在 , )( baxf最小值至少各一次.)(min ,

5、)(max , ,xfmxfMbaxbax令mM ) 1 (若 , )( baxMxfm , )( baxmxf. 0)( , ) ,( fba均有故证证) ( )2(mMMm即若 ) ,()( baCxf上取到它的最大值、必在 , )( baxf最小值至少各一次. , )()( bfaf又 . )( mMbxaxxf和处分别取到和不能同时在故使得即至少存在一点 , ) ,( ba.)( )(mfMf或由费马定理可知：. ) ,( 0)(baf , , , dcbadcba皆为实数设, )()()()(dxcxbxaxxf . , 0)( 并指出根所在区间仅有三个实根证明方程 xf , ) ,

6、 , ,()(dccbbaCxf, 0)()()()( dfcfbfaf又, ),( , )(内可微在是四次多项式xf得上运用罗尔中值定理在 , , , , , , dccbba . 0)()()(321fff例1证证其中,. ) ,( , ) ,( , ) ,(321dccbba. 0)( 至少有三个实根即 xf , )( 是四次多项式xf , )( 是三次多项式xf . 0)(至多有三个实根 xf综上所述, 0)(仅有三个实根 xf. ) ,( ), ,( ), ,(中分别在dccbba证明内可导在设 , ) ,( , ) ,()( babaCxf)()()()( 222xfabafbfx

7、 . ) ,( 内至少有一根在ba0)()()()( 222xfabafbfx0) )()()()( (222xfabafbfx)()()()(222afabafbfa)()()()(222bfabafbfb)()(22afbbfa连续可微端点函数值相等例2分析证明内可导在设 , ) ,( , ) ,()( babaCxf)()()()( 222xfabafbfx . ) ,( 内至少有一根在ba例2证证)()()()()( 222xfabafbfxxF令 , )( 得的连续性和可导性则由xf, ) ,( )( , ) ,()(内可导在baxFbaCxF)()()()( 22afbbfabFa

8、F又由罗尔定理, 至少存在一点使得 ) ,(ba0)()()()( 2)(22fabafbfF. ) ,( 内至少有一根方程在即ba 分析问题的条件, 作出辅助函数是证明的关键 .满足其中实数 , , 1naa 012) 1(3121naaann 证明方程0) 12cos(3coscos21xnaxaxan, 2 , 0 内至少有一根在）（xnnaxaxaxFn) 12sin(123sin3sin)( 21令, )(02)0( FF则且满足罗尔定理其它条件,使故 2 , 0 )(0) 12cos(3coscos)(21naaaFn例3证证 . 2 , 0 内至少有一根即方程在）（, ) ,(

9、, ) ,()( )( 内可导在、设babaCxgxf . 0)( 0)( 的一个根的两各根之间至少有xgxf2)()()()()( )()(xgxgxfxgxfxgxf则的两个根是如果 , 0)( , 21xfxx0)()()()(2211xgxfxgxf . ) 0)( (xg这时必须想想, 看能不能找到证明的方法.例4分析证明方程且 . 0)()()()( ), ,(xgxfxgxfbax, ) ,( , ) ,()( )( 内可导在、设babaCxgxf证明方程且 . 0)()()()( ), ,(xgxfxgxfbax . 0)( 0)( 的一个根的两各根之间至少有xgxf例4证证.

10、 0)( ) ,( , 21的两个根是设xfbaxx . 0)( 21及其之间没有根与在并设方程xxxg, )()()( xgxfxF令. 21xx 不妨假设 . 0)( ）（此时xg, , )(21上满足罗尔定理条件在xxxF则由已知条件可知:使得故至少存在一点 , ) ,( 21xx0)()()()()()(2ggfgfF. , 0)()()()( 与已知矛盾从而gfgf该矛盾说明命题为真 . , )(仍满足罗尔定理条件xf 如果使用一次罗尔定理后, 能否再一次使用罗尔定理?例5证证 , ),( ), ,()(),( 内二阶可导在设babaCxgxf ),( ),()( ),()( ),(

11、)( bacbgbfcgcfagaf且 ).()( ),( :gfba 使得至少存在一点证明 ,)()( ),()()( caxgxfx则令 . 0)( ),( ,11使得至少存在一点由罗尔中值定理ca 0.)( ),( ,22使得至少存在一点同理bc , )( , 21则再运用罗尔中值定理上对函数在x ),(),( 21使得至少存在一点ba , 0)() )( ).()( gf 即例6证证 , 0)( , )( ),( afIxgxf且有上可微在区间设 0)()()( , , , 0)(xgxfxfIbabf证明方程).,( 0bax 至少存在一根 , ),( 0 ,)( 令所以由于xeee

12、xxx , )()()(xfexFxg . 0)()()() )()(0)(0)(0)(0000 xgexfexfxfexFxgxgxxxg , 0)()( , ),( ),()(bFaFbabaCxF且内可导在 :则由已知条件可知 ),( :0使得至少存在一点故由罗尔中值定理bax . , 0)()()( , 0 000)(0即得所证故有因为xgxfxfexg引理 1 , 0)()( , , )( bfafbaxf且上处处可导在设 . 0)( ),( fba使得则至少存在一点 达布中值定理 ),()( , , )( bfafbaxf且上处处可导在设 , )( )( 之间的任何一个数值和则对介

13、于bfaf .)( ),( fba使得都至少存在一点 . )( 1 连续中不要求引理xf . 0)( , 0)( bfaf不妨设 , 0)()()(lim 根据极限的保号性得由afaxafxfax ),( , 0)()(aUxaxafxf ).()( ),()( :11afxfbaaUx使得从而可推出 . , )( )( 上的最小值在不是由此断定baxfaf . , )( )( ,上的最小值在不是可以断定类似地baxfbf ),( )( ,使得内点可知至少存在一点综上所述ba . 0)( ),(min)(,fxffbax故由费马定理得 . 1 ,)()( 即可利用推论作辅助函数xxfxF ).

14、(),( )(),( 2 1 bfafbfaf可以换成中的导数和推论推论 请自己完成请自己完成!Oxy)(xfy abABABPabafbff)()()(如何描述这一现象三. 拉格朗日中值定理设; ) ,()( ) 1 (baCxf, ) ,( )( )2(内可导在baxf则至少存在一点 , ) ,(使得baabafbff)()()()()()( abfafbf即Oxy)(xfy abAB 切线与弦线 AB 平行)()()()( axabafbfafyAB的方程：弦如何利用罗尔定理来证明？)()()()()()( axabafbfafxfx令则由已知条件可得：, ) ,()(baCx . )

15、,( )(内可导在bax, 0)()( ba且故由罗尔定理, 至少存在一点使得 , ) ,(ba0)()()()(abafbff)()()( abfafbf即证证定理的证明方法很多, 例如, 可作辅助函数)()()()()(xfabxafbfxF定理中的公式均可写成还是不论 baba) , ( )()()(之间在baabfafbf拉格朗日有限增量公式1)(0 )()()(xxxfxfxxf) ( )(之间与在xxxxfy式可写成拉格朗日中值定理的公) , ( |)(| | )()(|之间在baabfafbf？以得出其它的什么结论由拉格朗日中值定理可 )( )()()(abfafbf)( )()

16、()(1212xxfxfxf). ,( 0)( ) 1 (baxxf.)(常数xf. | )(| )2(Mxf. | | )()(|00 xxMxfxf).0( 0)( )3( xf)( )(xf还有什么？)(f ?)()()(abfafbf , I , . I , 0)( 21有则若xxxxf , 0)()()(2121xxfxfxf推论 1. I , )( , I , 0)( xCxfxxf则若 . )()(21xfxf推论 2)()() )()(xgxfxgxf , I )()( xxgxf若 , I , 0) )()()( xxgxfxF则. I )()( , I )()( xCxgx

17、fxxgxf则若( C 为常数 ) . I , )()()(xCxgxfxF)()()(abfafbf推论 3)()()(abfafbf , ) )( ( | )(| 有界即若xfMxf . | |)(| | )()(| abMabfafbf则则且条件 ), ,( , | )(| ,baxMxf| )()(|abMafbf理上满足拉格朗日中值定在若 , )( baxf 用来证明一些重要的不等式推论 4)()()(abfafbf . , I,1221xxxx不妨设 )( )()()(211212xxxxfxfxf, )()( , I 0)( 12xfxfxxf则若, )()( , I 0)( 1

18、2xfxfxxf则若, )0)( 0)( , I )( xfxfxf且可导在区间若减少上单调增加在区间则)( I )( xf 用来判断函数的单调性在推论 4 中, , ) ,( , , )( 内可导在上连续在如果babaxf )( , )0)( 0)( ,baxfxfxf则可推出且. )( ,baxf , )0)( 0)( 但仅在孤立点处出如果xfxf )( , 0)( 上严格单调增仍在区间则现Ixfxf )( , )0)( 0)( xfxfxfI则上如果在区间 ).( 严格单调减少上严格单调增加在区间I ).( 严格单调减少加推论 5)()( , I )( , )( agafxgxf且内可导

19、在区间设. ) I (a, I) ,( )()( baxxgxf若则. ) ,( , )()(baxxgxf . 0)( , 0)( , )()()( axxgxfx则令再由推论 4 , 即得命题成立 . 该推论可以用来证明不等式.证证. ) ,( , 3的单调性讨论xxyOxy3xy , 03)(23xxy , 0 时且仅当x, 0 y. ) ,(3x故, ) ,(时x解例7 , 0 时当证明：ba .lnaababbab)(1lnln)(1 abaababb即要证, b , , ln)( axxxf令, , )( 理条件上满足拉格朗日中值定在则baxf故, )(1lnlnbaabab从而

20、.lnaababbab例8证证. , 1 xeexx 时当证明：) 1( ln1 xxx即要证)()()( abfafbf比较有上运用在 , 01ln , 1 x . 1lnln1xx , , 1 ln)( 则由拉格朗日中值定理令xtttf).1 ( , 1) 1(11lnln xxxx得 . , 1 exexx 时故当例9证证. 1 , 1 , 2arccosarcsin xxx证明： , 0)11(11)arccos(arcsin22xxxx, 1 , 1 时当x) 1 , 1( arccosarcsin xCxx故从而计算得取 , 2 0 Cx . ) 1 , 1( 2arccosarc

21、sinxxx例10证证 , ) 1 , 1 ()arccos(arcsin 可得由Cxx . 1 , 1 2arccosarcsinxxx延拓延拓!内满足关系式在若证明： ) ,( )( xf.)( , )()( , 1)0(xexfxfxff则. ) ,( , 1)( xexfx即要证), ,( ,)()( xexfxx令Cx )( 证问题转化为xxxeexfexfx2)()()( ), ,( , 0 x例11证证). ,( ,)( xCx, 1)0( f又 )()( Cexfxx1)0()0( 0ef故 . 1C从而. ) ,( ,)(xexfx , )( , 523)( 2baxfxxx

22、f在求设 . 值理的上满足拉格朗日中值定 , )( 满足拉格朗日中值在易验证baxf. 定理的条件 , )2)(6)52(35)2(3 22abaabb由 , 6)(3 ab得 . 2 ab从而所求为例12解. 2 , 0 sin 上的单调性在讨论xxy, ) 2 , 0 (sin Cxxy, )2 , 0( , 0cos1xxy. sin 2 , 0 xxy例13解. )1ln( , 0 xxx时：证明, ) , 0 , )1ln()( xxxxf令, ) ) , 0 ()( Cxf则, 0)0(f又 , ) 0( , 0111)(时xxxf故, )() , 0 xf从而 , )0( , 0

23、)0()(xfxf即. )1ln( , 0 xxx时例14证. 1)1ln( , 0 xxxx时：证明, )1ln()( xxf令. ) , 0 , 1)( xxxxg则. 0)0()0( gf又, 11)(xxf, )1 (1)(2xxg且, ) , 0( , )()(xxgxf故, ) , 0( , )()(xxgxf即. 1)1ln( , 0 xxxx时, ) (0, )( ),(内可导在xgxf例15证证的参数方程为设弧 AB , )()(battgxtfy斜率为上任意一点处的切线的则弧 AB)()(ddtgtfxy 的斜率为而弦 AB)()()()(agbgafbfkOxyAB)(x

24、fy 在拉格朗日中值定理中, 将曲线用参数方程表示 , 会出现什么结论？, ,P至少存在一点由拉格朗日中值定理使曲线在该点的切线与弦线平行, 即它们的斜率相等.则有点设对应于 , , tP )0)( )()()()()(tggfagbgafbf注意:并不具备任意性,它们间的关系由曲线确定., )( )( 真正具有任意性时与当tgtf.上述结论就是柯西定理 )( )( 之间与中曲线的参数方程表示式tgtf四. 柯西中值定理设; ) ,()( , )( ) 1 (baCxgxf , ) ,( )( , )( )2(内可导在baxgxf则至少存在一点 , ) ,(使得ba)()()()()()(gf

25、agbgafbf, 0)( xg且有人想：分子分母分别用拉格朗日中值定理, 就可证明柯西中值定理了. , ) ,()( , )(baCxgxf , ) ,( )( , )(内可导在baxgxf)()()()()()( gfagbgafbf故, 0)( xg且条件满足拉格朗日中值定理上在 , , )( , )(baxgxf 相同吗？两个)()()()()()()( xfagbgxgafbfxF令 ,bax. ) ,( )( , ) ,()( 内可导在则baxFbaCxF)()()()()()( afbgbfagbFaF又故 由罗尔中值定理至少存在一点 , ) ,(ba使得0)()()()()()

26、(fagbggafbf即 , 0)(F)()()()()()(gfagbgafbf亦即. ) ,(ba证证: , 21证明同号与设xx)()1 (212112xxeexexxx. ,21之间与在其中xx分析. 0 , 2121之间与不在故同号与xxxxxexxexexxx)1 ( 212112即要证1212212111 1212xxxexexxexexxxxx而例16: , 21证明同号与设xx)()1 (212112xxeexexxx. ,21之间与在其中xx例16证证, 1)( , )( xxgxexfx令为端点的区间内和在以易验证 )( ),( 21xxxgxf , )1 (11122121212eeexxxexexx . , )()1 ( 21212112之间与在即xxxxeexexxx , , 0从而有件且满足柯西中值定理条x ,)( 1xexxf此题也可令构成的区间上与然后在 1 1 21xx .明用拉格朗日中值定理证RolleLagrangeCauchy图形旋转参数方程xxg)()()(bfaf作业 习题3-1（教材125页） 1；2；3； 4; 5; 6 ;