第一节多元函数的基本概念

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1、第八章多元函数微分学第一节 多兀函数的基本概念教学目的：了解平面点集的相关概念； 理解并掌握多元函数的概念,重点：会求简单的二元函数的极限，会证明简单的二元函数的极 限不存在问题.了解二元函数连续的性质以及二元初等函 数连续的性质.理解并掌握多元函数的概念，会求简单的二元函数的极限，难点：会证明简单的二兀函数的极限不存在问题.二元函数的极限不存在问题的证明.教学方法：启发式讲授教学过程：一、多维空间的点集(区域)1n维欧氏空间Rn=( X X2，Xn) | X|,X2，,Xn亡R.2、Rn中两点P =(xx2，Xn)与Q =(yi,y2：八，yn)的距离|PQ|1、(yi-X)2.3、邻域(1

2、)点P的：的邻域U(P,、) =Q| |PQ 卜:、.简记为U(P).点P的：的去心邻域U(P,、)二Q| 0叫 PQI：.E .E的内点集E 二P|P 为 E 的内点.P为E的边界点：_U(P):* PU(P)简记为U (P).4、集合ERn中的点P(1)P为E的内点：U(P)-U(P),U(P) E -且U(P).E的边界；:E =P | P 为 E 的边界点.0 0(3)P为E的聚点：-U(P), U(P) E =,但P不一定在E内. 例如：点集(x,y) | x?+ y?= 0 or x?+ y?二4,x?+ y?= 4和 0 为点集的边界，x?y?_4面上的每一个点都是聚点(极限点)

3、 .结论：内点是聚点；边界点不一定是聚点；聚点也不一定是边界点.例如：集合E的孤立点是边界点但不是聚点.5、点集ERn(1)开集E:E R?且一P E均有U(P) E，则E为开集.(x,y) |1 vx?+y?11LIU(O,K)(5)连通集E:E中任意两点均可用(x,y)|x2y2_3，(x,y)|仁x22 2 2(x,y)| x +y 3,( x,y)仆x (x,y)|x|兰3,(x,y川c|x|3(x,y)|1：x 3, y R都是连通集.(x, y) | x - 3不具有连通性.6、区域DRn(1)开区域D:连通开集，简称区域 例如(x,y)|1x +y 4为区域,(x,y)|x2+y

4、2=1, x2+y2=4， 边界上的点都是聚点，但边界 点都不是内点闭区域D : DD ;:D,其中D为开区域例如(x,y)|1乞x2 y2乞4为闭区域，边界为(x,y)|x2十y2=1, x2+y2=4，边界上的点都是聚点且又都是内 占八、 例如：点集E=(x, y) | x2+ y2= 0 or x2+ y2二1为闭区域，(0, 0)为E的点，但(0,0)为边界点，且(0,0)不是聚点.(x,y)|x| v1,yR是无界区域.(x, y)|x| 1, R是无界闭区域2 2(x,y)|1 cx+y 4是有界区域二、多元函数的概念它的边界1、【定义】：P =(为公2，xn) DRn,|r R

5、(存在惟y R)按法则f与P对应，称y为P的函数(定义在D上的 一个 n 元(实值)函数.其中集合D为非空集合.记作f：D U RnT R或y = f ( X)= f (X2，Xn) , X乏D.(1)D称为函数的定义域，记作D(f ).XX2，Xn称为函数的自变量,y = f(XX2，Xn)称为函数 的因变量y|y = f(P),P D称为函数的值域，记作f(D).说明：1.二元或二元以上的函数均称为多元函数2.二元函数z二f(x, y)定义域为：曲面z二f(x, y)在xoy平面上的投影.3.Rn-实n维空间，R2-实 2 维空间.J 2222例 1(1 )求f (X, y) =Jx +y

6、 -1 +1 n(9 -x- y )的定义域.所以f (x, y) = Jx2+y2_1 +|n(9x2y2)的定义域为Qx,y)|x2y20 xy2-1 _01兰x2+y2v9f221口D=j(x, y) |x +y；且xI42 2(4)求f(x,y)=arcSin(3X-y )Jx-y2的定义.fe-x2n I2-y0J.5)求函数f (x, y)y2岂4且x y2l1(3)f (x, y)二-1x提示：r1iD(f) = (x,y)|-x1.(6)f (x, y) = J1 x2+-1-的定义域为1D =(x, y) lx? +y2 A：且 |X 1说明： 1) 在未加说明情况下，函数的

7、定义域均指自然定义域.如z = In(x y)定义域是(x, y) | x y Of,z = arcsin(x2y2)定义域是：(x, y)|x2y20答(d).丿二 x+yn0且x + y1 二选(d).Jn (x + y)0例 3 复合函数(1)已知(2)已知f (x, y) =2x 3y ,则 f (x y,2(x y) y-y2,则 f(x y,Y)xf (x, y) =x2= (x + y)2+3x.y心x(3)已知f(x y,f)=x2-y2,则 f(x,y)=x2口1 y提示:f(x y,-y= (x + y)20 =(x + y)1X1Vx(4)已知f (x y, x - y)

8、二x2、多元函数(1)二元函数：常写成z二三元函数：-寸、则f (x, y) =xy.n =2时，函数uf(x, y).n =3时，函数u二f(P)称为二元函数二f(P)称为二元函数y1、多元函数极限常写成u二f (x, y,z).(3)多元函数：n_2时，函数u二f(P)称为多元函数. 另外，n=1时，函数u=f(P)称为一元函数.3、 二元函数图形-( x, y, z) |z = f (x, y), (x, y)：= D. 表现为空间中的一个曲面.【定义】：设区域D D(f),PoD*(F0为区域D的聚点, 可以不在区域D内)，A是一个常数.若-；0, 0S.t0 A,L 0).其中 r=

9、|P0P|.PP0(2)特别情况：n=2 时,极限为二兀函数极限，常称为二重极限，记作lim f(x,y)二AXXoy yo(=|PoP|- (x-Xo)2(y-y。)2).例 4 求证lim(x2+y2)siny)o证明：所以lim(x2+y2)sin =0.强0 x2y2(3)P Po必需具有任意性.多元函数极限的存在，是指P在D内以任何方式趋近于Po时，函数f(P)都无限接近于A.反过来，如果当P以不同方式趋近于R时，函数f (P)趋近于不 同的值，212 =0.x yX+Qsin#：抵0,取：:-0 =x22yo,当o(x2+y2)sinp2x + y2 -y Sin1x2y2 x2y

10、2:.一(x-0)2(y-0)2OVE.:：时，恒另证： 因为xm/xJy2),又因为y 0sinx2y2所以lim (x2+ y2)s iny那末就可以断定这函数的极限不存在.还句话说：要说极限不存在，只需举一个反例就够了.例 5 讨论lim2xy2的收敛性Hx+y解:令y = kx,贝Vlim:；0 xxy2y2x +kxk1+k2极限值随k的变化而变化所以极限limx )0y)02xy2是发散的.x+ y例 6 证明下列极限不存在2Ix y lim33:冯x-yk变化.lim旦: 异0 x yk变化.结果随(2):limx 0 yJ02x yr_= limx -yx3y31-klim旦y

11、 ?xyxyxk -1=limlimx：2x yx：oky土x -x结果随其极限值随k的不同而变化，2、二重极限计算多元函数极限同样具有一元函数极限类似的运算法则和性质（四则运算、 复合函数的极限、 两个重要极限、 等价无穷小、 夹逼原 理仍成立），但罗必达法则不再成立 例 7 计算下列极限解：（1）limM门2x故极限不存在.(2)=limx=02sin (xy)xylim(x,y) )(0,1)xys iny -limM =2 xy1吧厂I2.2因为sinix2y2y2宁且（侧o,i）xy所以（x,y）m（o,i）xysinxy(3)lim -:訂xy 1-1=lim( . xy 11)=

12、2y o(4)x2lim(11)x y=lim(1yxx-lim1， 二0,1：uy .!=e x2=e1= e(5)lim上泌上y2):S (x2y2)2e二limx0y0(6)1lim(1 sin xy)x= lim(1 si nxy)y 1x_0y_12(sinx2y )222lim122exy1 sin xyysin xy xysin xylimx于xy=133x v(7)lim二2心0 x十vy)0巳叫(x y)(1卢x)0 x -y)0 xxyx2y21xyx2y22口x3+ y3且lim(x y)=0, 故lim22=0.xm0 xmsx2+y2(根据：有界变量与无穷小量的积还是

13、无穷小量)x3+y3x3+ y3x3(1+k3)x(1+k3)0lim22= lim22= lim22lim20 x + y忑x+yXTx (1 + k )XT(1 + k )计算为什么不正确？(因为只考虑了一种方式向原点趋进.)寸x(1 k3)(8)求于是=0 解:2y22lim一4y：x2y2_ 1nxlm：X4y4yixy.nx1 - ys in -例 8 (06.7)设f (x, y)y- ,x 0,y . 0,1 xy arctan x(i)g(x) = lim f(x,y); ( n)lim凶(x).：x_0 1 - ysin(i)g(x)二lim一f (x,y) = lim y)

14、1 xyarcta n x兀xsin1y(1-二x ) +xarcta nxxy二lim -1y)111-二Xx arcta nxy11-二X(U)limgg =1迎一-)x 30 x )0 x arctanx0,取右，则当 0卩6时5恒有 |f (x, y)-6兰5P =名故lim(4x+y)=6.2四、多元函数的连续性1.【定义】：1)设f(P) = f(x,y)则f (P)在点P处连续：叫f(P)= f(P。).其中，区域D D(f), PD且F0为D的聚点2)f (P)在点P间断：f (P)在点R处不连续.3)f (P)在D内连续：f (P)在区域D内每一点连续.2 21(x y )s

15、in22,x y例 10 函数f(x, y)=x2y2= 0,在(0,0)点连续.例 11 函数f(x, y)=0,xy2 2 ix +yx2y2x2+ y2= 0.-0,在(0,0)点间断.I0,(函数在原点处的极限不存在)x2+ y2=0.例 12 函数f(x, y)=sin在圆周x2十y2-1义，因此f (x, y)在此圆周上的每一点都间断.(注意：多元函数的间断点可以是一条曲线) 显然，例10 中的函数f (x,y)在整个R2内连续.f (x, y) = J1 -x2- y2在闭区域(x, y) | x2+ y2.结论：多元连续函数的和、差、积、商 数均为连续函数. y2=1上没有定而

16、函数2乞1上连续.(分母不为零)及复合函的.从而在定义区域内有一切多元初等函数在其有定义的区域内是连续lim f (P) = f (P0),pJP如:lim(x y )2xy 2=2lim1arcsin(x,y)=(0,2)lim(x,y) :(1,0)x2y2.3=arcs in =23五、有界闭区域上连续函数的性质【性质 1】(有界性)：设u =f(P)在有界闭区域D上连续，则u在D上必有界.【性质 2】(最大值和最小值定理)：设u二f (P)在有界闭区域D上连续，则U在D上必有最大值和最小值.【性质 3】(介值定理)：设u二f(P)在有界闭区域D上连续，a,b是u取得的两个不同的函数值，

17、则u在D上取得介于a,b之间的任何值.加xy 1 -1例 14l i mXTxyyT$1xy 1 T l imx 0y)01xy 1 Txy購(凶 1 1)_=11 1 0 0 11 2小结：1多元函数：n 一 2时,函数u二f(P)称为多元函数另外,n =1时，函数u二f (P)称为一元函数一元函数图象为平面图证明：设a二f(pjb = f(Fb),连续折线L:P =P(t),：乞t乞- 连接巳，巳由于对于任一a,b,因u二fP(t) C：,订,故存在t CjP,使得f(P) =fP(t ) =c，而P Lu D. 六、初等函数1 多元初等函数(1) 多元多项式:迟 aii,i2,y,nx1

18、ilx- xnn也，,243 2例如：3x yz 5y z -8xz.(2) 多元初等函数：多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则 运算和复合步骤所构成的可用一个式子表示的函数称为多元初等函 数.22、 In(xy) cos (x y)例如：sin(3x y) +-3-x z +4y2、性质(1) 一切多元初等函数在其有定义的区域内是连续的设u二f(P)在区域D内为初等函数，RD,则Pimof(PHf(P).注：F0为D(f)的内点时也有f(p)二f(p。).例 13 求lim-一yy ; xyx亠V解：因f (x, y)为初等函数，D(f)二(x, y)|x =0, y =0,xy而(1,

19、2)是D(f)的内点，所以有x ylimlimx1XVx-1y 2y21+2形.二兀函数图形- ( x, y, z) |z = f (x, y), (x, y)三 D 表现为空间中的一个曲面.2 切多元初等函数在其有定义的区域内是连续的.3 多元连续函数的和、差、积、商(分母不为零)及复合函数均为连续函数.多元连续函数在闭区域上仍具有有界性、 最大值和最小值定理、介值定理仍成立.4 . 一元函数的无穷小性质、重要极限、极限的四则运算在多 元函数求极限时仍成立，但罗必达法则不再成立.课后记：存在的问题：(1)多元函数极限不存在证明不知从何下 手.(2)计算多元函数极限时乱用罗必达法则，另外用证 明极限不存在的方法沿一条曲线极限存在就说函数极限存 在，运算错误较多.(3)定义域D(f)的集合表示写不好， 二元函数的定义域D( f)的图形画不出来.