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1、二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳21、一元二次方程ax bx c 0根的分布情况设方程ax bx c 0 a 0的不等两根为为兀且Xi x?，相应的二次函数为 f x ax bx c 0，方程的根即为二次函数图象与 x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于 0为 0, x20两个正根即两根都大于0x10, x20一正根一负根即一个根小于0,一个大于0捲 0 x2得出的结论b2aO大致图象a0得出的结论b2ab2af 0综合结论不讨论ab2ab2a表二：（两根与k的大小比较）分布情况两根
2、都小于k即x1k, x2 k两根都大于k即x1 k, x2k一个根小于k，一个大于k即Xikx2o大致图象a得出的结论b2a k2ao大致图象a得出的结论b2af k2a综合结论不讨论ab2ab2a表三：（根在区间上的分布）分布情况两根都在m,n内两根有且仅有一根在 m, n内（图象有两种情况，只画了一种）一根在 m,n内，另一根在 p,q内，m n p q得出的结论0f m 0f n 0bmn2aO大致图象 0 1f x max f mf x min f nf x max max f n , f mf X maxx minb2af x min对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是
3、向下，都只有以下两种结论:(1)brr bbJ若m nJ，则fxmaxmaxf m, f,f n，f x min minf m , ff n2a2a2a(2)若bm nJ，则fx maxmaxf m , f n ， fX minmin f m , f n2a另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开x轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开 x轴越远，则对应的函数值越小。二次函数在闭区间上的最值练习二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三 个例题各代表一种情况。例1、函数f x ax2 2ax 2 b a
4、 0在2,3上有最大值5和最小值2,求a, b的值。解：对称轴x012,3，故函数f x在区间2,3上单调。(1)当a 0时，函数x在区间2,3上是增函数，故xmaxx min(2)当a 0时，函数x在区间2,3上是减函数，故xmaxX min3a b 2 5a1 ；2 b 2b0 ：b 2 5a13a b 2 2b3例2、求函数f xx当 t 2 t 1 即 1 t 2ax 1,x 1,3的最小值。解：对称轴x0 a（1）当当a1 时，yminf122a ；（2）当当1a 当2 t 1即t 1时, 时，yminfa1a2 ；（3）当当a3 时，yminf3106a改：1.本题若修改为求函数的
5、最大值，过程又如何？解：（1）当 a 2 时，f x f 310 6a ；（2）当 a 2 时，f Xmax f 12 2a。2本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？解：（1） 当勺a1时，fxmaxf 3106a，f x minf122a ；（2 ）当当1a 2时，f xf310 6afxf a1 a2 ；maxmin（3 ）当当2a 3时,f xf12 2a，fxfa1 a2 ；maxmin（4 ）当当a3时，f:Xmaxf 122a， fxminf3106a。例3、求函数y x24x 3在区间t,t 1上的最小值。解：对称轴x02(1)当 2 t 即 t 2 时，yminf t t2 4t 3 ；2 时，yminf 21；2ymin f t 1 t 2t例4、讨论函数fx2 xx a1的最小值。2 xx a1 x a解: f x x2x a1，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为x2x a1,x a1直线x-， x当a11 1a -， a时原函数的图象分别如下（1 ），（2），（3）22222 2因此，（1 ）当a-时,211亠(2 )当a时，f x i22minX min-时，f X minf aa2 1 ；(3)当 a以上内容是自己研究整理，有什么错误的地方，欢迎各位指正，不胜感激!
二次方程根的分布情况归纳完整版
