斯特瓦尔特定理及应用

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1、第四章特瓦尔特定理及应用【基础知识】斯特瓦尔特定理设 P 为ABC的 BC边上任一点（ PB， P C），则有AB2PCAC 2BPAP2BCBP PC BC或AP 2AB 2PCAC 2BPBC 2BPPC BCBCBCBC证明如图 4-1，不失一般性，不妨设APC 90 ，则由余弦定理，有ABPC图 4 122PC22APPCcosAPC ，ACAPAB2AP 2BP 22APBPcos(180 APC )AP2BP22APBPcos APC 对上述两式分别乘以BP ， PC 后相加整理，得式或式斯特瓦尔特定理的逆定理设 B， P，C依次分别为从A点引出的三条射线AB ， AP ， AC

2、上的点，若AB2PCACBPAP2 BCBP PCBC ，或 APABPCACBPBCBPPC ，2222BCBCBCBC则 B， P， C三点共线证明令BPA1 ， APC2 ，对 ABP 和 APC 分别应用余弦定理，有AB2AP 2PB 22APPBcos 1 ， AC 2AP 2PC 22AP PC cos 2 将上述两式分别乘以PC ， BP 后相加，再与已知条件式相比较得2APBPPCcos 1cos20 ，由此推出11802 ，即证斯特瓦尔特定理的推广（1）设 P 为 ABC 的 BC 边延长线上任一点，则AP2AB2PCAC 2BPBC2 PCBP BCBCBCBC（ 2）设

3、P 为 ABC 的 BC 边反向延长线上任一点，则AP2AB 2PCAC 2BPBC2 PCBP BCBCBCBC注 若用有向线段表示，则，式是一致的推论 1设 P 为等腰 ABC 的底边 BC 上任一点，则 AP 2AB 2BPPC 注 此推论也可视为以A 为圆心， AB 为半径的圆中的圆幂定理推论 2设 AP 为 ABC 的 BC 边上的中线，则AP 21AB 21AC 21BC2224推论 3设 AP 为 ABC 的 A 的内角平分线，则AP2ABACBP PC推论 4设 AP 为 ABC 的 A 的外角平分线，则AP2AB ACBPPC 推论 5在 ABC 中，若 P 分线段 BC 满

4、足 BP，则BCAP2(1)BC 2(1) AB2AC2注若BPk ，则 AP21AB2kAC 21k2BC2 PC1 k1 kk【典型例题与基本方法】1选择恰当的三角形及一边上的一点，是应用斯特瓦尔特定理的关键例 1如图4-2，凸四边形 ABCD 中， ABC60 ， BADBCD90， AB2 ， CD 1，对角线 AC ， BD 交于点 O 求 sin AOB （ 1996 年北京中学生竞赛题）CDOPAB图 4 2解 延长 BA，CD相交于 P，设 BCx ，则 PB 2x ， PC3 x ，对 PBC 及 PB 边上的点 A ，应用斯特瓦尔特定理，有CA2PC2ABBC 2PAAB

5、PAPBPB22x2 2 x 22 2 x 23x2x2xx22x4 由 Rt ADP RtCBP ，有 PDPCPAPB ，即3x13 x2 x22x ，求得BC x 43 于是，CA21563 又 在 RtBCD中，BD 2x21208 3 ，从而 BDAC4523352310312而 SABCDS ABDSBCD 2 3214333 ，22故1103 12sin AOB3 3，即 sin AOB15 63 为所求2226例 2如图 4-3，在 ABC 中， A60 ，ABAC，点 O是外心，两条高 BE ，CF 交于 H 点，点 M ，N 分别在线段 BH ， HF 上，且满足BMCN

6、，求 MHNH 的值OH（ 2002 年全国高中联赛题）ATFOHELSBC图4 3解延长 BE 交 e O 于 L ，由三角形垂心性质，知L 为 H 关于 AC 的对称点，则LC CH设 e O 的半径为 R ， OHd ， CHx ， BHy ，由 CLB = A60 ，知 LHLCCHx 延长OH 两端交 e O 于 T ， S ，如图4-3，由相交弦寇理有 TH HSBHHL，即 Rd Rdxy ，即R2d 2xy 在 BCL 及边 BL 上的点 H ，应用斯特瓦尔特定理，并注意到BC2R sin A3R，可得BC2LHLC 2BH LHBHBLCH 2BL ，即2223Rxx y，x

7、 y x y x yx亦即R21x2xyy23于是，有 1x2xyy2d 2xy 3x2x y亦即y3，即3 d2d而当 ABAC 时， MHNHBHBMCNCH BH CHyx x y ，故MHNHx y3 为所求OHd2注意斯特瓦尔特定理的推论的应用例 3如图 4-4，自 e O 外一点引圆的两条切线PE ，PF ，E ，F 为切点，过 P 点任意引圆的割线交e O于 A， B，交 EF于 C证明：211（ 2001 年湖南中学生夏令营试题）PCPAPBEBACPF图4 4证明由相交弦定理，有ECCFACCB 由于 PEPF ，对等腰 PEF 及底边EF 上的点 C ，应用斯特瓦尔特定理的

8、推论221，有 PCPEEC CF ，即有PE2PC 2EC CF PC2ACCBPC2PCPAPBPCPC2PC 2PAPBPCPBPCPAPA PC PB PCPA PB而 PE2PAPB ，从而 2PAPBPAPC PB PC故211PCPA PB注 此例结论表示线段 PC 是线段 PA ， PB 的调和平均这个结论亦即为点P、C调和分割弦 AB例 4如图4-5，设在 ABC 中， ABAC ， AE 平分 A，且交 BC 于 E ，在 BC 上有一点 S ，使BS EC 求证： AS2AE 2AB AC2（ 1979 年江苏省竞赛题）ABSEC图4 5证明对 ABC 及边 BC 上的点

9、 S ，应用斯特瓦尔特定理，有22SC2BSASABBCACBS SCBC由 AE 平分 A ，对 ABC 及边 BC 上的点 F ，应用斯特瓦尔特定理的推论3，有 AE 2AB ACBEEC ，从而AS2AE2AB 2SCAC2BSAB ACBEECBS SCBCBC因 BS EC ，有 BE SC，即 BE ECBS SC由角平分线的性质，有BEAB,ECAC，BCAB ACBCAB AC即SCBEAB,BSECABACBCBCAB ACBCBCACAS2AE 2AB2从而，由式，有AC例 5凸多边形 ABCD 外切于 e O ，两组对边所在的直线分别交于点E 、 F ，对角线交于点 G

10、求证：DG EF （中等数学 奥林匹克题高中 251 题）证明如图 4-6，设 e O 与边 AB 、 BC 、 CD 、 DA 分别切于点 M 、 N 、R 、S ，则由牛顿定理知， AC 、BD 、 MR 、 NS 四线共点于 G 由切线长定理，知 EMERASMODGBRFNCE图4 6由推论 1，有EG 2FS2MGGR 同理， FG 2FS2SG GN联结MO、EO、，令e O的半径为 r ，则SOEM 2OE r 2，FS 2OF 2r 2 又由相交弦定理，有MGGRSG GN于是，由、有EG2ED 2FG 2FO2由定差幂线定理，知OG EF 注 （ 1）牛顿定理圆外切四边形的两

11、条对角线、两对边切点的连线，这4 条直线共点（ 2）定差幂线定理设 MN 、 PQ 是两条线段，则MN PQ 的充要条件为PM 2PN 2QM 2QN2此定理可用勾股定理及逆定理证明这个定理放到空间也是成立的运用向量法可给出平面、空间的统一证明如下：由PM2QN 2PN2QM 2uuuur 2uuur 2 uuur 2 uuuur 2PMQNPNQMuuuur 2uuuruuur 2uuur 2uuuuruuur2PMPNPQPNPMPQuuuur 2uuur 2uuur 2uuuruuuruuuur 2uuur 2uuuuruuuruuur 2PMPNPQ2PN PQPMPQ2PMPQPNu

12、uuuruuuruuuruuuruuuuruuuruuuruuuuruuur2PMPQ2PNPQ2 PMPNPQ2NMPQ uuuuruuuruuuuruuur知NM PQNMPQ 0故MN PQPM 2PN 2OM 2QN2 例 6MN已知交于点E、F分剔是P又设 Q、ABC 的边 AB 、 AC 的中点， CMH 分别是 ABC 的外心、垂心，联结、 BN 是边 AB 、 AC 上的高，联结EFAP 、 OH 求证： AP OH （ 2005 年国家队集训题）、证明如图4-7，联结AO、 AH设 O1 、 H1 分别为AO 、AH的中点， 则 H 1N1AH，H1M1AM，22即知点H1在

13、线段MN的中重线上，应用推论1，有AO1 H1MEPFONHBC图4 7H1P 2H1M 2MP PN注意到 EF 为 ABC 中位线， O 在 BC 的中垂线上，由此知 O1 也在 EF 的中垂线上，应用推论1，有O1 P2O1E 2EP PF再注意到 ANM ABC AEF ，知 M 、 E 、 N 、 F 四点共圆，并由直角三角形性质，有MPPF EPPF 及O1E O1A 、 H1M H1A 由、得 H 1 A2H1P 2O1A2O1 P 2 由定差幂线定理， O1 H 1 AP 而O1H OH ，故 APOH 注此例的其他证法可参见第九章例16、第十章例 15例 7设D是 ABC的边

14、BC上一点，满足CDA CAB，经过B、D两点，并分别与AB、ADe O交于 E、 F两点， BF、DE交于点 G，联结 AO 、 AG ，取 AG 的中点 M 求证： CM AO 证明如图 4-8，在 AG 的延长线上取点P ，使得 AG APAFAD（即G、P、D、F四点共圆），则由 AE AB AF AD知E、B、 P、G也四点共圆于是BPA180BED 180 BFDBFA，知 B 、 P 、 F 、 A 四点共圆，即有 FG GB AG GPAFADAG2 EMFGOPBCD图4 8联结OD 、OF 、OE，并令e O 半径为 R ，则对 ODE 、 ODF 分别应用推论1，有OG2

15、OD 2EGGDR2FGGB OA2OD 2AFADR2FGGBAG2 联结OM ，由三角形中线长公式，并注意、，有MO2MA21(2OA22OG2AG2)1AG2R2 44联结 OB 、 OC ，对 OBD 应用推论1，有 CO 2OB 2CDCBR2CD CB又由 CDA CAB ，有 CA2CDCB ，即有 CO2CA2R2 注P 即为完全四边形的密克尔点，由、有MO2MA2CO2CA2 由定差幂线定理，知 CM AO 3注意斯特瓦尔特定理等价于托勒密定理斯特瓦尔特定理可推导出托勒密定理证明如图 4-9，在 ABC 中，点P 在 BC 上，由斯特瓦尔特定理，有ABPCE图4 9AP2BC

16、AB2PCAC2BPBP PCBC 延长 AP 交 ABC 的外接圆于E ，连 BE ， EC ，由 ABPCEP 和 ACP BEP ，有 AB APCEAP， ACBPAP BE又由相交弦定理，有BP PCAPPE 于是，得 AP 2BCAB CEAPAC AP BE AP PE BC，即BC APPEAB CEACBE ，亦即AB CEACBE BC AE 即为托勒密定理由托勒密定理也可推导斯特瓦尔特定理证明如图 4-10，设圆内接四边形ABEC的对角线 AE ， BC 交于 P 由托勒密定理，有ABCPE图4 10ABECACBEBCAE 即ABECACBEBP PC AE由 ABP

17、CEP和 ACP BEP，有 ECAB PC，BEAC BP 由相交弦定理，有APAPPEBPPC 将这些式子代入前述式子即得斯特瓦尔特定理AP因此，在应用中，两个定理的应用范围相同，所显示的功能也一样，即凡能用托勒密定理处理的问题也能用斯特瓦尔特定理处理反之亦然例 8 若 ABC 的三边为连续整数，且最大角B 是最小角 A的两倍，求三角形的三边长（ IMO -10 试题）解法 1作 ABC 的平分线 BD （图略），则 BDAD ，令 ADy ， ABx ，则AC x 1 ， BCx 1 ， CD x 1y 由斯特瓦尔特定理的推论3，有 y2x x1yx 1y，即 yxx1，又 ABAD ，

18、即xx1BCCDx 1y，有 yx x1x 1 y2x1故由 x2xx2x ，求得 x5 （舍去 x0），即 AB5， BC4， AC6 x12 x1解法 2作 ABC的外接圆O，取 ?D，连，则ABCD为梯形，其中CD BA令AC 的中点ADBD CDAB x ，则 ACx 1， BCx1，且 CDBCx1， BDACx1对四边形ABCD 应用托勒x 12x 1x12密定理，有x，求得 x 5 （下略）【解题思维策略分析】1获得线段倍分关系的一条途径例9如图4-11，已知 ABC 的外接圆k 的圆心为O ，半径为R ，内切圆的圆心为I ，半径为r ，另一个圆k0 与边CA ， CB 分别切于

19、点D ， E，且与圆k 内切求证：内心I是线段DE 的中点（ IMO -34预选题）Akk0DO1OIBEC图4 11证明设圆 k0 的圆心为 O1 ，半径为r，CO1，于是 O1 ， I ，C 三点共线， 且 CIsin 1 Csin 1 C22则 IO1r，且 O1Esin 1 C2于是， IO1r1r CO1连 OC ， OI ， O1O ，对 COO1 ，及边 O1C 上的点 I ，应用斯特瓦尔特定理，有OO12CIOC 2IO1OI 2 CO1CIIO1 CO1注意到欧拉公式，OI 2R22Rr ，及 OO1R， OCR，并将其代入式，得到R2rR2rsin1 Csin1 C22R2

20、2Rr1 Crr，sinsin1 Csin1 Csin1 C2222化简得sin 2 1 Cr1r 2IO1sin 2 1 C2从而CO1，CO12即 IO1 CO12O1E2 因为 O1E CE ， CO1 DE且平分 DE ，令 DE 的中点为 I ，由射影定理，有I O1 CO1O1E2 比较式和式，知I 与 I 重合，即得I 为 DE 的中点例 10如图 4-12，两个大圆 e A， e B 相等且相交；两个小圆e C ， e D 不相等但相交，且交点为P ，Q 若 e C ， e D 既同时与 e A 内切，又同时与e B 外切试证：直线PQ 平分线段AB （中等数学奥林匹克问题高中

21、58 题）DPQCAMB图4 12证明 由于 e C ，e D 半径不相等， 此两圆交点所在直线 PQ 必与线段 AB 相交，设交点为 M 连 AC ， MC ， BC ， AD ， MD ， BD ， PC ， PD ， CD ，显然 PQ CD ，设垂足为 N ，又设 e A， e B 的半径均是， e C ， e D 的半径分别为R ， r (Rr ) ，则易得 ACR， BCR， ADr ，BDr ，因为 PQ CD ，或 MP CD ，垂足为 N ，则MC 2MD2 = CN2NM 22MN 2ND 2CN 2ND 2(PC 2PN 2)(PD 2PN 2)PC2PD 2R2r 2

22、设 AMx ， MBy ，对 CAB 及边 AB 上的点 M ，应用斯特瓦尔特定理，有x BC y AC 2x y MC 2x y x yx y MC 2x MB 2y AM 2 对 DAB 及边 AB 上的点 M ，应用斯特瓦尔特定理，有x BD 2y AD2x y MD 2x MB2y AM 2 ，得x BC2BD2y AC2AD2x y MC 2MD 2x y R2r 2 ，即x R2222x y R2r 2 ，r y Rr 亦即2xyRr0 因0 ， Rr ，从而 xy0 ，即 xy 故 AMMB ，即直线 PQ 平分线段 AB 2求解三角形问题的一种工具斯特瓦尔特定理在求解三角形中有

23、关线段的问题有着重要作用，这可从习题A 中的第 6题，习题 B中的第 7 题等可以看出在求解三角形的其他问题中，它也有着重要作用例 11设 ABC 的三边为 a ， b ， c ，其面积为S ，则 a2b2c2 4 3S ，当且仅当 ABC 为正三角形时，等式成立（ IMO -3 试题）证明取 BC 的中点 D ，对 ABC 及 BC 边上的点 D ，应用斯特瓦尔特定理的推论2，有 AD21 AC21 AB21BC21 b21 c21 a 2 224224从而有 a 2b 2c22AD 23 a 2 22 AD 2 3 a23 ADa 22设 ABC 的 BC 边上的高为 h ，则 AD h

24、，于是2 3 AD a 2 3 2 1 a h 4 3S 2故 a 2b2c2 43S ，其中等号当且仅当2AD23a2 且 AD h 时成立，也即 AD BC 且 AD3a ，22此时 ABC 恰为正三角形例 12如图 4-13，在 ABC 中， D ， E 分别为 AC 和 AB 同方向延长线上的点，BD与 CE 相交于 P，且 BDCE 当 P 在 BC 边的中线上时，则ABAC ABQCEPD图4 13证明设 AP 交 BC 于 Q 分别对 BPQ 及点 A 和 CPQ 及点 A 应用斯特瓦尔特定理的推广结论，有22AQ2APAPAQ ，BABPPQBQPQCA2CP 2AQCQ2AP

25、APAQ PQPQ于是 BA2CA2CP2BP2AQBQ2CQ 2AP PQPQ由于 BDCE ，对 PBC 及点 A 应用塞瓦定理，有QBECDP1，即 PDQC QCEPDBPEQB当P点在BC 边上的中线上时，有BQQC从而 PDPE ，由此知PCPB ，故 ABAC 例 13如图4-14，若D 是 ABC 的边BC 延长线上一点，则AD 平分A 的外角的充分必要条件是AD 2BDCDABACFABCD图4 14证明必要性：若 AD 平分 A 的外角，则由推论4 即有AD 2BDCDAB AC或者按证明斯特瓦尔特定理的方法来推导充分性：设直线AD 交 ABC 的外接圆于 E ，连 BE

26、、 CE 由割线定理有 BDCDAD ED ，并将其代入条件式AD 2BDCDAB AC 可得AD EDADAB AC由此可知 E 必在 DA 的延长线上（因EDAD0 ）于是 ADAEABAC 由 ACD BCD，有 ACBDAD BE由得AEBDAB BE又由 ECD BAD，有 EC ADCDAB 由得， AE CDAC CE由得， AEBCAB BEAC CE对四边形 EBCA应用托勒密定理，有AEBCABCEACBE 于是 AB CEACBEAB BEAC CE即AB AC CE BE0，从而 CE BE因此 CAD EBC ECBEAB 故 AD 平分 A 的外角例 14 如图 4

27、-15，设正ABC的内切圆圆心为I，半径为 r ，在e I内任取一点P，设点P到，BC CAAB 的距离分别为d1 ， d 2 ， d3 求证：以d1， d 2，d3 为边可以构成一个三角形，且其面积为3r 2PI2（数学通报 问题 1356 题）4Ad3d2PId1BDC图4 15证明设正三角形 ABC 的边长为1，则d1d2 d33 ， IA IB IC 2r3 23连 AP 并延长交 BC 于 D ，则由题设知BDS APBd3，DCS APCd2DPS BPCd1d1PAS BACS BPCd1dd3d1d 2d 3由于 BIIC，BAAC ，对 BIC 及边 BC 上的点 D ，对

28、ABC 及边 BC 上的点 D ，均应用斯特瓦尔特定理的推论1，有ID 2IB 2BDDC， AD 2AB2BDDC 又由BDd 3，知 BDd3BCd3， DCd2DC d 2d2d2 d3d2d3d3于是ID21d2 d3AD21d2 d332 ，d 22d 2 d 3d3又对 AID 及边 AD 上的点 P 应用斯特瓦尔特定理，有IP 2ID 2PAIA 2DPDPPA ADAD由DPd1，知PAd2d3，DPd1PA d 2d 3AD d1d2d3AD d1d2d3将上述各式及式代入式，并注意IA3 ， d1d2d33 ， 2 3 4d14d2 4d3 ，有3222DP2PADPPAIPIAADIDAD1d1d31dd 2d32d2d3d3DP PA AD23 d1d332dd1d2AD AD31 d1d 2d3d2 d31d1 d2d31d 2d 33 d1d 2d3d2d3d1d2d 2d1d2d322d2d3142 3d2 d34d1d2 d333 d1 d 2d 33 d2d 314 d1 d2d3d2 d3234d13 d2d33314 d1 d2d1 d3d2 d3 33