光线的光路计算及像差理论HT

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1、第六章光线的光路计算及像差理论实际光学系统与理想光学系统有很大的差异，即物空间的一个物点发出的光线经实际光学系统后，不再会聚于像空间的一点，而是一个弥散斑，弥散斑的大小与系统的像差有关。 本章主要介绍实际光学系统的单色像差和色差的基本概念、产生这些像差的原因及校正这些像差的方法。第一节概述一、基本概念在近轴光学系统中，根据精确的球面折射公式，导出在sin v - , cost - 1时的物像大小和位置，即理想光学系统的物像关系式。 一个物点的理想像仍然是一个点， 从物点发出 的所有光线通过光学系统后都会聚于一点。近轴光学系统只适用于近轴的小物体以细光束成像。对任何一个实际光学系统而言，都需要一

2、定的相对孔径和视场，恰恰是相对孔径和视场这两个因素才与系统的功能和使用价值 紧密相连。因此，实际的光路计算，远远超过近轴区域所限制的范围，物像的大小和位置与近轴光学系统计算的结果不同。这种实际像与理想像之间的差异称为像差。正弦函数的级数展开为v3J+3!5!7!利用展开式中的第一项 二代替三角函数si nr (sin - v ),导出了近轴公式。由于用二代替 sin二而忽略了级数展开式中的高次项，而这些高次项即是产生像差的原因所在。由于光学系统的成像均具有一定的孔径和视场，因此对不同孔径的入射光线其成像的位置不同，不同视场的入射光线其成像的倍率也不同，子午面和弧矢面光束成像的性质也不尽相同。因

3、此，单色光成像会产生性质不同的五种像差，即球差、彗差(正弦差)、像散、场曲和畸变，统称为单色像差。实际上绝大多数的光学系统都是对白光或复色光成像的。同一光学介质对不同的色光有不同的折射率，因此，白光进入光学系统后， 由于折射率不同而有不同的光程，这样就导致了不同色光成像的大小和位置也不相同，这种不同色光的成像差异称为色差。色差有两种，即位置色差和倍率色差。以上讨论是基于几何光学的，所以上述七种像差称为几何像差。若基于波动光学理论，在近轴区内一个物点发出的球面波经过光学系统后仍然是一球面 波，由于衍射现象的存在，一个物点的理想像是一个复杂的艾里斑。对于实际的光学系统， 由于像差的存在，经光学系统

4、形成的波面已不是球面，这种实际波面与理想球面的偏差称为波像差，简称波差。由于波像差的大小可直接用于评价光学系统的成像质量，而波像差与几何像差之间又有着直接的变化关系，因此了解波像差的概念是非常有用的。除平面反射镜成像之外， 没有像差的光学系统是不存在的。实践表明，完全消除像差也是不可能的，且也是没有必要的，因为所有的光能探测器，包括人眼都具有像差，或者说具有一定缺陷。光学设计中总是根据光学系统的作用和接收器的特性把影响像质的主要像差校 正到某一公差范围内，使接收器不能察觉，即可认为像质是令人满意的。二、像差计算的谱线选择计算和校正像差时的谱线选择主要取决于光能接收器的光谱特性。基本原则是，对光

5、能接收器的最灵敏的谱线校正单色像差，对接收器所能接收的波段范围两边缘附近的谱线校正色差，同时接收器的光谱特性也直接受光源和光学系统的材料限制，设计时应使三者的性能匹配好，尽可能使光源辐射的波段与最强谱线、光学系统透过的波段与最强谱线和接收器所能接收的波段与灵敏谱线三者对应一致。不同光学系统具有不同的接收器，因此在计算和校正像差时选择的谱线不同。1. 目视光学系统 目视光学系统的接收器是人的眼睛。由人眼视见函数曲线可知，人眼只对波长在 380760nm范围内的波段有响应，其中最灵敏的波长入=555nm，故目视光学系统一般选择靠近此灵敏波长的D光(入=589.3nm)或e光(入=546.1 nm)

6、校正单色像差。因 e光比D光更接近于 555nm,故用e光校正单色像差更为合适，对靠近可见区两端的F光(入=486.1 nm)和C光(入=656.3nm)校正色差。选择光学材料相应的参数是n -1). (nF -nc)G 称阿贝数)2. 普通照相系统照相系统的光能接收器是照相底片，一般照相乳胶对蓝光较灵敏，所以对F光校正单色像差，而对D光和G光(入=434.1 nm)校正色差。实际上，各种照相乳胶的光谱灵敏度不尽相同，并常用目视法调焦，故也可以与目视系统一样来选择谱线。光学材料相应的参数指标是nF / f 二(nF -1). (nG -nd)对于天文照相光学系统，所用感光乳胶的灵敏区更偏于蓝光

7、一端，并且不用目视调焦， 所以常用G 光校正单色像差，对h光(入=404.7nm)和F光校正色差。3近红外和近紫外的光学系统 对近红外光学系统，一般对C光校正单色像差，对d光(入 =587.6nm)和A 光(入=768.2nm)校正色差。对近紫外光学系统，一般对 i光(入=365.0nm)校 正单色像差，而对 入=257nm和h光校正色差。相应的光学材料的参数是nc/ c =(% -1) (nd f)ni/ i =(ni -1) (n257 -nh)4.特殊光学系统 有些光学系统，例如某些激光光学系统，只需某一波长的单色光照明， 所以只对使用波长校正单色像差，而不校正色差。对应用可见区以外的某

8、个波段的光学系统(如夜视仪)，若其光谱区范围从 入1到入2,则其光学参数是n. =(n，1 n川2, (n) (n.1-n2)第二节 光线的光路计算从物点发出进入光学系统入瞳并通过光学系统成像的光线有无数条，故不可能、也没有必要对每条光线都进行光路计算，一般只对计算像差有特征意义的光线进行光路计算，研究不同视场的物点对应不同孔径和不同色光的像差值。如已知光学系统的结构参数(r、d、n),物体的位置和大小，孔径光阑的位置和大小(或数值孔径角)，为求出光学系统的成像位置和大小以及各种像差，需进行下列光路计算。以求出对计算像差有特征意义的光线主要有三类：1) 子午面内的光线光路计算，包括近轴光线的光

9、路计算和实际光线的光路计算，理想像的位置和大小、实际像的位置和大小以及有关像差值。2) 轴外点沿主光线的细光束光路计算，以求像散和场曲。3) 子午面外的空间光线的光路计算，求得空间光线的子午像差分量和弧矢像差分量，对光学系统的像质进行更全面的了解。对于小视场的光学系统，例如望远物镜和显微物镜等，因为只要求校正与孔径有关的像 差，因此只需作第一种光线的光路计算即可。对大孔径、大视场的光学系统，例如照相物镜等，要求校正所有像差，因此上述三种光线的光路计算都需要进行。一、子午面内的光线光路计算(一) 近轴光线的光路计算轴上点近轴光线的光路计算(又称第一近轴光线)的初始数据为11 ,5。根据第一章所述

10、，近轴光线通过单个折射面的计算公式(1-13)(1-16)为i =(l -r)u/r(当:时,5 =0,h = hJGi 二 ni / nu = u i - il =(ir/u) r对于一个有k个面组成的光学系统，还要解决由前一个面到下一个面的过渡问题。由过渡公式(1-33)和式(1-34)得Ili = li d _di Jui 二u；Ini = n校对公式为I Ih = lu = l uI II或者用nuy二n u y二J这样可以计算出像点位置l和系统各基点的位置，若要计算系统的焦点位置，可令h ,“=0，由近轴光路计算出的lk即为系统的焦点位置，系统的焦距为IIf = h1 / uk轴外点

11、近轴光线的光路计算(又称第二近轴光线)是对轴外点而言的，一般要对五个视场 (0.3, 0.5 , 0.707, 0.85, 1)的物点分别进行近轴光线光路计算，以求出不同视场的主光线与 理想像面的交点高度，即理想像高yk。轴外点近轴光的初始数据为lzdz =y/(lz TJ (当h =3,山=朮)(6-1)式中符号意义如图6-1所示。可按上述第一近轴光线的光路计算公式进行计算，计算结果为lZ和 uZ，由此可求得理想像高为y =(1； -l)uZ(6-2)(二) 远轴光线的光路计算轴上点远轴光线的光路计算的初始数据是L1、sinU1，根据第一章中实际光线的光路计算公式(1-9)(1-12)知si

12、n I =(Lr)si nU/r(当 L| -：:时,6 =O,si nh-)risin I = sin I n，U =U I -IL = r rsin I /sinU图6-1近轴光计算相应的转面公式为Li 二 Li 4,diUi 二Uin =nb校对公式(可参考有关教科书1 cos L -PA 2(I -U)1 cos (I -U )2si ULsi nu1cos (I -U)2计算结果为Lk、Uk，由此可求出通过该孔径光线的实际成像位置和像点弥散情况。轴外点子午面内远轴光线的光路计算与轴上点不同，光束的中心线即主光线不是光学系统的对称轴，因此在计算轴外点子午面内远轴光线时，对各个视场一般要

13、计算11条光线,si U(6-3)考虑到问题的简化与代表性，本节只考虑计算3条光线，即主光线和上、下光线。 对物体在无限远处，若光学系统的视场角为 3，入瞳半孔径为 h,入瞳距为Lz，则其3条光线的初 始数据为上光线 Ua =Uz,La =Lz+h/tanU；主光线 U z =，Lz(6-4)下光线 Ub =Uz,Lb = Lz h/tanU印符号意义如图6-2a)所示。对物体在有限远处，若光学系统的物距为 L,物高为- y，入瞳的半孔径为 h,入瞳距为Lz，则其3条光线的初始数据为上光线 tanUa 二(y -h)/(Lz -L),La 二 Lz h/tanU主光线 tanU z = y/(

14、Lz - L), Lz (6-5)下光线tanU b= (y + h)/(LzL),Lb = Lzh/ta nU bj符号意义如图6-2b）所示。 光线的初始数据确定之后, 为利用实际光线计算公式和过渡公式逐面计算，可得实际像高ya :I-)tanUa ry；:= (Lz-1)tanU z1 1yb = (Lb -1)tanUb /(6-6)-yA；7fix -La图6-2远轴光计算应该指出，虽然应用了校对公式，但还会在两个地方发生错误。一个是由sinl计算sin I时，一个是由Lk4计算Lk时。另外，当光线的入射高度超过折射面半径时，会出现 sin I 1 ；当光线由玻璃进入空气发生全反射时

15、，会出现sin I 1，这两种情况都表示该光线实际上不能通过该光学系统。（三）折射平面和反射面的光路计算 折射平面远轴光线的光路计算公式为I = -U=(6-7)sinl = nsin I /nU = -IL=Lta nU/ta nUJ当U角较小时，为提高计算精度，可作如下变换,ncosUL = Ln cosU近轴区光线的光路计算公式类似地有i = u=i=ni/n 丄一nu/nJ8）u = ILl=lu/u= nl/n球面的校对公式仍然适用于平面。反射面可以作为折射面的一个特例，在计算时，令n - _n，且将反射球面以后光路中的间隔d取为负值，则可应用折射面的公式进行计算。二、沿轴外点主光线

16、细光束的光路计算轴外点细光束的计算是沿主光线进行的，主要研究在子午面内的子午细光束和在弧矢面内的弧矢细光束的成像情况。若子午光束和弧矢光束的像点不位于主光线上的同一点，则存在像散。子午像点和弧矢像点的计算公式为（参见参考文献1）。ncos2 I z n cos21 zncoslz-ncoslztn ncoSz ncoSzs式中，Iz、lz为主光线的入射角和折射角;t、t 为沿主光线计算的子午物距和像距;(6-9)(6-10)s、 s为沿主光线计算的弧矢物距和像距。公式（6-9）和（6-10）称为杨氏公式。计算的初始数据是t1=S1，当物体位于无限远时，b=s1= -8。当物体位于有限距离时，由

17、图6-3可知，l1 x1h1 - y1co sUz1sin Uz1Iz和I；在主光线的光路计算中得出。图6-3轴外点细光束计算转面也是沿主光线进行计算的，过渡公式为F(6-11)ti “口-Dy IIs = s4 Did式中，Di 4为相邻两折射面间沿主光线方向的间隔。Di 珂h -hJ/siUzi或者Di 二(di - Xi Xi J/cosUzi一望远物镜的焦1-100mm，相对口径D / f 1/5，视场角2w =6 ，其结构参数如下r / mmd / mmn。D62.54.01.5163364.1(K9)-43.652.51.6725032.2(ZF2)-124.35根据已知条件，其第

18、一近轴光线光路计算的初始数据为空间光线的光路计算比较复杂，只是在视场和孔径均很大的系统才有必要计算它, 不再叙述。三、计算举例这里仅计算全口径和全视场的情况，其他口径和视场的计算过程相同。这里h = :,0 = 10mm,U| = 0(h =:由=0 / rj由近轴光线的光路计算得=97.009mm,u二0.100104，该系统的像方截距为1 =97.009，系统的实际焦距为f = 0/口3 = 10mm/0.100104 = 99.896mmUz1-0.052336第二近轴光线光路计算的初始数据是因孔径光阑与物镜重合，可以认为双胶合物镜的第一面金属框为入瞳，入瞳距|z1即是第一面的矢高x1，

19、有(DJ2)2 (* -xj2二I z1 =捲=0.8025mm由近轴光的光路计算得l - -3.3813mm,u - -0.052783,因此系统的出瞳距系统最后一面 的位置为lz =-3.3813mm,Uz =-0.052783。这样，由公式(6-2)可以计算出在视场 w =-3 时的理想像高为y = (lz -1 )uz =(-3.3813mm-97.009mm) (-0.052783 = 5.22816mm轴上点远轴光线光路计算的初始数据为Li - ,5 = 0, h = 10mm0由远轴光线的光路计算得 L =97.005,U =5 44377，因此入射高度h10mm时，实际 像点的

20、位置为L = 97.005mm全口径时实际像点与理想像点的偏差为L二 LT = 97.005mm - 97.009mm 一 -0.004mm轴外点主光线光路计算的初始数据是Lz1 = 0.8052mm,U z1 - -3由远轴光线的光路计算得 二-3.378mm,U 二一25968，因此L；二3.378mm,U；二-205968这样，实际像高为yZ =(L；-I)tanU； =(3.378-97.009)mm (-0.051249) =5.2351mm实际像高与理想像高之差等于刊二、z -、二 5.2351mm - 5.2282mm 二 0.007mm沿主光线细光束计算的初始数据是b = s(

21、 = I I - _ ：各折射面的Iz和|；在主光线的光路计算中得出，由细光束的光路计算得：t= 96.6507mm，s= 96.9132mm, X3 二-0.00012mm，因此t3 = 96.6507mm, s = 96.9132mm主光线细光束的子午像点和弧矢像点间沿光轴方向的偏差是xts，有xts =(t3 -S3)cosUZ3 =(96.650796.9132)mm 0.998643二-0.2621mm子午像点与高斯像面的轴向偏差是xt 二t3cosUZ3 x3 -1= 96.6507mm 0.998643-0.00012-97.009mm - -0.4896mm弧矢像点与高斯像面的

22、轴向偏差是Xs 二 S3 cosU ；3 X3 -1=96.9132mm 0.998643 - 0.00012mm - 97.009mm=-0.2274 mm第三节轴上点的球差一、球差的定义和表示方法球差是宽光束像差， 仅是口径的函数，由第二节子午面内光线的光路计算可知，对于轴上物点，近轴光线的光路计算结果l和u与光线的入射高度 h1或孔径u1( ：)无关，而远轴光线的光路计算结果 L和U随入射高度h1或孔径角U1的不同而不同，如图 6-4a)示。因 此，轴上点发出的同心光束经光学系统后，不再是同心光束，不同入射高度h(U )的光线经过学系统后交光轴于不同位置，相对近轴像点(理想像点)有不同程

23、度的偏离，这种偏离称为轴向球差，简称球差，用L表示:bp1 I-0i -亠” Btl X- -1 * F pl八FJW g書I:wi l I：| J*1 a)b)图6-4轴上点球差在第二节所计算的例中，边缘带的球差为-0.004mm,其弥散斑的几何直径是1.93 口m(图6-4b)。由图可以看出，由于共轴球面系统的对称性，含轴的各个截面内的成像光束结构均相同。在同一截面内，入射高度为 h和- h (或U、-U )的光线相对光轴也是对称的。 这样，通过系统后的成像光束是以光轴为旋转轴的非同心光束，所以计算球差时只需要计算子午面内光轴某一侧的不同入射高度的光线束即可。由于球差的存在，在高斯像面上的

24、像点已不是一个点，而一个圆形的弥散斑， 弥散斑的半径用、T表示，称作垂轴球差，它与轴向球差的关系是T、LtanU =(L-I)tanU(6-14)球差是入射高度hi或孔径角U1的函数，球差随h1或U1变化的规律，可以由 hi或U1的 幕级数表示。由于球差具有轴对称性，当h1或U1变号时，球差:L不变，这样在级数展开时，不存在h1或U1的奇次项；当h1或U1为零时，像方截距 L等于I，即球差丄=0，故 展开式中没有常数项；球差是轴上点像差，与视场无关，故展开式中没有y或，项，所以球差可以表示为L二 Ah； A2h14 A3h；或者、=&52 azU： asU；(6-15)展开式中第一项称为初级球

25、差，第二项为二级球差，第三项为三级球差。 二级以上球差称为高级球差。a、a2、a3分别为初级球差系数、二级球差系数、三级球差系数。大部分光学系统二级以上的球差很小，可以忽略，故球差可以表示为、L二 Ah； A2h14上24、L二 aU a?U 1(6-16)由此可知，初级球差与孔径的平方成正比，二级球差与孔径的 4次方成正比。当孔径较小时，主要存在初级球差；孔径较大时，高级球差增大。光学系统的球差是由系统各个折射面产生的球差传递到系统的像空间后相加而得，故系统的球差可以表示成系统每个面对球差的贡献之和，即所谓的球差分布式。 当对实际物体成像时，对于由k个面组成的光学系统，球差的分布式为1 kL

26、S_(6-17)2n kUkS in Uk 1 一=s_称为光学系统球差系数，s_为每个面上的球差分布系数，为niLsinU(sinl sinl)(sin IsinU)(6-18)s- 1 1 1cos(I -U)cos(I U)cos(I I)2 2 2因初级球差在光轴附近区域内有意义，而在这个区域内角度很小， 故角度的正弦值可以1 kL(初Es(6-19)用弧度值代替，角度的余弦可以用1代替；这样初级球差可以表示为Si =lu ni(ii)(iu)(6-20)Si即为每个面上的初级球差分布系数。由近轴光线的光路计算，可根据式(6-20)计算出每个面的 Si，并由式(6-19)算出系统的初级

27、球差。知道了系统的初级球差和实际球差，则可由公式(6-16)算出高级球差分量。因初级横向球差(弥散斑的直径)正比于孔径的三次方， 所以弥散斑的中心集中光能多， 而外环光能少。因此在在数字图像处理中，由质心可求出像点的位置。二、球差的校正如果把单正透镜和负透镜分别看作由无数个不同楔角的光楔组成，则由光楔的偏向角公式：=(n -1可知，对于单正透镜，边缘光线的偏向角比靠近光轴光线的偏向角大，换句 话说，边缘光线的像方截距L比近轴光线的像方截距I小。根据球差的定义，单正透镜产生负球差。同理，对于单负透镜，边缘光线的偏向角比近轴光线的偏向角大，单负透镜产生 正球差。因此，对于共轴球面系统，单个透镜本身

28、不能校正球差，正、负透镜组合则有可能 校正球差。由公式(6-15)可知，球差是孔径的偶次方函数，因此，校正球差只能使某带的球差为零。如果通过改变结构参数，使公式(6-15)中初级球差系数 A和高级球差系数 A2符号相反，并具有一定比例，使某带的初级球差和高级球差大小相等，符号相反，则该带的球差为零。在实际设计光学系统时，常通过使初级球差与高级球差相补偿，将边缘带的球差校正到零，即、Lm = A hmA2 hm = 0当边缘带校正球差，即 h= hm, Lm =0时，则有A = -A2hm，将此值带入上式可得，球差 极大值对应的入射高度为h =0.707hm(6-21)将此值代入、：Lm =0时

29、的级数展开式，得上 4L0.707 二上式表明，对于仅含初级和二级球差的光学系统，当边缘带的球差为零时，在0.707带有最大的球差，其值是边缘带高级球差的-1/4，如图6-5a)所示。若以(h/hm)2为纵坐标，画出球差曲线和初级球差曲线，初级球差为一条直线， 且与球差曲线相切于原点，如图6-5b)所示。图6-5球差曲线由球差分布式(6-18)可知，对于单个折射球面，有几个特殊的物点位置，不管球面的曲 率半径如何，均不产生球差。(1) L = 0，此时亦有L = 0, ： =1。即物点和像点均位于球面顶点时，不产生球差。(2) si n I -sin 1 = 0，即I =1二0。表示物点和像点

30、均位于球面的曲率中心，或者说，L L = r，垂轴放大倍率：=n / n。(3) sinlsinU = 0，即 l=U，因为sin I = nsin I /n = n(L - r)sinU /nr故可得出L = (n n)r /n(6-23)同理，由sin I =sinU 可以得出L =(n - n)r /n(6-24)由公式(6-23)和(6-24)所确定的共轭点，不管孔径角U多大，均不产生球差。由上式也可以得出，nL nL，则该面的垂轴放大倍率为=n L/ nL =( n/n )2(6-25)上述三对不产生像差的共轭点称作不晕点或齐明点，常利用齐明点的特性来制作齐明透镜，以增大物镜的孔径角

31、，用于显微物镜或照明系统中。例1物点位于透镜第一个折射面的曲率中心(见图6-6)，对于该表面，L L1 r,， = m / 2=1/ n。第二个折射面满足公式(6-23)和(6-24)。如果透镜的厚度为 d，且透镜位 于空气中，则有下列关系L - L1 - d = A - dIL2 =n2 L2 / n3 二 nL2r2 二 n2L2 /(n2n3) = nL2 /(n 1)匕=(gl n3)2 = n21 : 2 n图6-6 齐明透镜由这样两个齐明面组成的透镜叫作齐明透镜，经该透镜后sirU3 二siUj / - - si rU1 / n(6-26)如果透镜的玻璃折射率为n=1.5，则系统前

32、放入这样一个齐明透镜，可使系统入射光束的孔径角增大1.5倍。若在这个弯月镜后还有两个这样设计的齐明镜，则sinU5 二 sin /n3例2物点同第一个折射面的顶点重合，即L = L = 0 , X =厂1。第一个表面的曲率半径可以是任意的，通常为平面，如图6-7所示。第二个表面满足齐明条件，当透镜厚度为d时，有下列关系L2 - -dIL2 =n2 L2/ n3 = -ndr2 二 n2L2 /(n2n3) = -nd /(n 1)l；-2 = (n2 / n3 )2 = n 21 :2 n2sinU 3 二 sinU：二 sinU,n2图6-7带有齐明面的透镜如果光学系统有较大的孔径角，那么在

33、系统像差校正时困难较大，但若在系统的前部放一齐明透镜，则对轴上点(对于小面元)不引入像差，这样大大地减少了后面系统的孔径角负 担，系统的残余像差就不会很大。第四节正弦差和彗差一、正弦差对于轴外物点，主光线不是系统的光轴，对称轴是通过物点和球心的辅助轴。由于球差的影响，对称于主光线的同心光束，经光学系统后，它们不再对称于主光线，且对称光束的交点也不与主光线相交，即相对主光线失去对称性。正弦差即用来表示小视场时宽光束成像 的不对称特性的。垂直于光轴平面内两个相邻点，一个是轴上点，一个是靠近光轴的轴外点，其理想成像的条件是nysinU =n ysinU(6-27)上式即是所谓的正弦条件。当光学系统满

34、足正弦条件时，若轴上点理想成像，则近轴物点也理想成像，即光学系统既无球差也无正弦差，这就是所谓不晕成像。当物体在无限远时sinU 0，正弦条件可以表示为f = h/si nU(6-28)实际光学系统对轴上点只能使某一带的球差为零，即轴上点不能成完善像， 物点的像是一个弥散斑。只要弥散斑很小，则认为像质是好的。同理，对于近轴物点，用宽光束成像时 也不能成完善像，故只能要求其成像光束结构与轴上点成像光束结构相同，也就是说，轴上点和近轴点有相同的成像缺陷，称为等晕成像。欲满足等晕成像的要求，光学系统必须满足等晕条件，即1 n sinU、L1(6-29)-n si nUL-Iz式中，lz为第二近轴光线

35、计算的出瞳距，：为近轴区垂轴放大倍率。若物体在无限远，等晕条件为h1fs inUL-lz(6-30)等晕成像如图6-8a)所示。因研究近轴点成像，其视场较小，故其他视场像差不考虑。 由图可知，轴上点与轴外点具有相同的球差值，且轴外光束不失对称性，即无彗差。这就是 满足等晕条件的系统。b)图6-8等晕成像与正弦差曲线若系统不满足等晕条件，则公式(6-29)和(6-30)等式两端不相等，其偏差用OSC 表示,即是正弦差 OSC (off sine condition)。由上两式可以导出，物体在有限远时，其正弦差为OSC =n sin Un si nU、丄L-Iz-1(6-31)物体在无限远时，其正

36、弦差为0SGh1fsi U-1L-Iz(6-32)正弦差OSC = 0，球差、丄=0，则满足等晕成像条件；若正弦差OSC= 0,球差、丄=0,由公式(6-31)可以得出nysin U =n ysinU此式正是正弦条件，因此可以说，正弦条件是等晕条件的特殊情况。由公式(6-31)和(6-32)可知，除出瞳距I；夕卜，其余各参量都是轴上点子午面内孔径光线的参量，在计算球差时已求出。所以对于近轴物点，只需计算一条第二近轴光线，便能从轴上物点的像差计算中确定正弦差的大小。由前面的光线光路计算结果可得，双胶合望远物镜的正弦差，由公式(6-32)计算为h1LOSC 一 fsinU Ll；-11099.89

37、6 0.10008-0.00497.005 -(-33813)一1 = 0.00028正弦差曲线如图6-8b)所示，需注意的是由于正弦差实质上是相对彗差，故曲线的横坐 标没有量纲；正弦差又是小视场宽光束像差，故曲线的纵坐标是光线在入瞳处的相对出射高 度或孔径角。由正弦差的表示式可知， 它与视场无关，只是孔径的函数， 其随孔径变化的规律与球差 一样，故其级数展开式可写为(6-33)C= Ah； A2h14 A3h16第一项称为初级正弦差，第二项为二级正弦差， 其余类推。初级正弦差的分布式可以写作OSC =1 k2JZ SI(6-34)Si =lu ni；(i i)(iu) = SN；/i(6-3

38、5)Si称作初级彗差分布系数。由此可知，当I一定时，初级正弦差与孔径平方成正比，而与视场无关，但因分布式中含有与光阑位置有关的i；项，因此正弦差与孔径光阑的位置有关，改变光阑的位置可以使正弦差发生变化。这样，可以把光阑位置作为校正正弦差的一个参数。由公式(6-35)可以得出，当(1) i； =0，即光阑在球面的曲率中心(2) I =0，即物点在球面顶点i =i，即物点在球面曲率中心i=u，即物点在L=(n n)r/n处均不产生正弦差。因此，在第三节中所论述的三对无球差的物点和像点的位置，同样也没有正弦差，均满足正弦条件。校正了球差，并满足正弦条件的一对共轭点，称作不晕点或齐明点。二、彗差彗差是

39、轴外点宽光束的像差，是孔径和视场的函数。 彗差与正弦差没有本质区别，二者均表示轴外物点宽光束经光学系统成像后失对称的情况，区别在于正弦差仅适用于具有小视场的光学系统，而彗差可用于任何视场的光学系统。然而，用正弦差表示轴外物点宽光束经系统后的失对称情况，可不必计算相对主光线对称入射的上、下光线，在计算球差的基础上，只需计算一条第二近轴光线即可，而为了计算彗差，必须对每一视场计算相对主光线对称入射的上、下两光线对。具有彗差的光学系统，轴外物点在理想像面上形成的像点如同彗星状的光斑，靠近主光线的细光束交于主光线形成一亮点，而远离主光线的不同孔径的光线束形成的像点是远离主光线的不同圆环，如图 6-9所

40、示，故这种成像缺陷称为彗差。图6-9 彗差为了表示彗差的大小，通常在子午面和弧矢面内用不同孔径的光线对在像空间的交点到 主光线的垂轴距离来表示。子午面内的光线对的交点到主光线的垂轴距离称为子午彗差，用K表示；弧矢面内的光线对的交点到主光线的距离称为弧矢彗差，用Ks表示。子午彗差的大小是以轴外点子午光束的上、下光线在高斯像面(即理想像面)的交点高度ya和yb的平均值Za y)i2与主光线在高斯像面上交点高度yZ之差来表示的，即Kt =(ya yb)/2 _yz(6-36)ya、ya和yz可通过公式(6-6)计算得出。因弧矢光线对的两条光线对称于子午面，故两光线在高斯像面上的交点高度y S相等，弧

41、矢彗差的大小表示为Ks = ys_yz(6-37)ys可通过空间光线的光路计算求得，计算较为复杂(本书没有介绍，可参阅参考文献2)，但弧矢彗差总比子午彗差小，手工计算光路时一般不予考虑。根据彗差的定义，彗差是与孔径 U (h)和视场y (或，)都有关的像差。当孔径 U改变符 号时，彗差的符号不变，故展开式中只有U(h)的偶次项；当视场y改变符号时，彗差反号， 故展开式中应有 y的奇次项；当视场和孔径均为零时，没有彗差，故展开式中没有常数项。 这样彗差的级数展开式为KS = Ayh2 A2yh4 Ayh6(6-38)式中第一项为初级彗差，第二项为孔径二级彗差，第三项为视场二级彗差。对于大孔径小视

42、场的光学系统，彗差主要由第一、二项决定；对于大视场，相对孔径较小的光学系统，彗差 主要由第一、三项决定。与球差的推导方法相同，若边缘孔径光线的彗差校正到零时，在0.707带可得到最大的剩余彗差，其值是孔径二级彗差的-1/4倍，即Ks0.707 = iA2yhm /4初级子午彗差的分布式为(6-39)Kt = - 一3-Sii2nkUk i初级弧矢彗差的分布式为K2nk ukSii(6-40)由此可知，初级子午彗差是弧矢彗差的3倍。比较公式(6-34)和(6-40)可知，初级彗差与初级正弦差的关系为(6-41)OSC= Ks/y由级数展开式(6-38)可知，彗差与孔径的平方成正比。 因此，彗差的

43、头部最亮，即主光线 与像面的交点处最亮，由此可确定轴外像点的位置。根据彗差的头部的方向可确定彗差的正 负。由公式(6-41)，已知正弦差后可计算初级彗差。计算例题中的初级子午彗差是Kt =3 Ks 二 3OSC y = 3 0.00028 3 二 0.00254mm由此可见例题中的彗差很小，其对弥散斑的形状影响较小。彗差是轴外像差之一，它破坏了轴外视场成像的清晰度。由公式(6-38)可知，彗差值随视场的增大而增大，故对大视场的光学系统，必须校正彗差。前面已指出，若光阑通过单折射面的球心，则不产生彗差。且在后面将要论述，有些特定的光学系统，不仅不产生彗差， 其轴外点的垂轴像差也不产生，如对称式的

44、光学系统。当物像垂轴放大倍率为3 =-1时，所有垂轴像差自动校正，因为在此条件下，对称于孔径光阑前部和后部光学系统所产生的垂轴像差大小相等、符号相反，所以系统的前部和后部所产生的垂轴像差相互补偿。这一设计思想已用于光学设计中。第五节场曲和像散一、场曲与轴外球差场曲是轴外点光束像差， 仅是视场的函数。在第四节中指出，彗差是孔径和视场的函数， 同一视场不同孔径的光线对的交点不仅在垂直于光轴方向偏离主光线，而且沿光轴方向也和高斯像面有偏离。子午宽光束的交点沿光轴方向到高斯像面的距离Xt称为宽光束的子午场曲，子午细光束的交点沿光轴方向到高斯像面的距离xt被称为细光束的子午场曲。与轴上点的球差类似，这种

45、轴外点宽光束的交点与细光束的交点沿光轴方向的偏离称为轴外子午球 差，用 Lt表示、Lt = Xt - xt(6-42)同理，在弧矢面内，弧矢宽光束交点沿光轴方向到高斯像面的距离Xs称为宽光束弧矢场曲，弧矢细光束的交点沿光轴方向到高斯像面的距离xs称为细光束弧矢场曲，两者间的轴向距离称为轴外弧矢球差，用、LS表示Ls = X s - Xs(6-43)各视场的细光束子午像点构成的像面称为子午像面，弧矢像点构成的像面称为弧矢像 面，如图6-10a)所示，两者均为对称于光轴的旋转曲面。由此可知，当存在场曲时，在高斯 像平面上超出近轴区的像点都会变得模糊。一平面物体的像变成一回转的曲面，在任何像平面处都

46、不会得到一个完善的物平面的像。图6-10场曲和像散细光束的子午场曲和弧矢场曲的计算公式为X； =lt -UcosUz x-l(6-44) xs 二 ls-l二 scosUz X-1由此可知，为计算细光束场曲，只需计算各视场的轴外点细光束的光路和轴上点近轴光路，则可得各视场的场曲。至于宽光束场曲计算比较复杂，读者可参阅上篇参考文献2。用前面的光线光路计算结果，按(6-44)式可得双胶合物镜在视场为 -3 时的场曲为X：二(96.6507 cos2596”-0.00012 - 97.009)mm 二-0.4896mmxs = (96.9132 cos2596”-0.00012-97.009)mm

47、二-0.2274mm结果表明，轴外点子午细光束的交点和弧矢细光束的交点并不重合，也不在高斯像面上。细光束的场曲与孔径无关，只是视场的函数。当视场角为零时，不存在场曲，故场曲的级数展开式与球差类似，只要把孔径坐标用视场坐标代替，即Xt(s)二 A2 A2y4 A3y6(6-45)展开式中第一项为初级场曲，第二项为二级场曲，其余类推，一般取前两项就够了。与球差分析相同，当边缘视场ym (或-m)校正到零时，0.707 ym带有最大场曲，其值是高级场曲的-1/4倍。初级子午场曲和弧矢场曲的分布式分别为x-2n(3Sm Siv)Xs 二-一(Sm Siv)2n k uk ikkSiii =luni(i

48、 i)(iu)(iz/i) =S (iz/i)kSv = J (n-n)/nnr(6-46)(6-47)(6-48)(6-49)式中，Sm是系统的初级像散分布系数，S|V是系统的初级场曲分布系数，J是拉赫不变量。二、像散公式(6-44)的计算表明，细光束的子午像点和弧矢像点并不重合，两者分开的轴向距离称为像散，用xts表示xts =x； Xs = (t-s)cosUz(6-50)在上例中，像散为xts 二-0.4896mm(0.2276)mm 二 -0.2622口口图6-10b)表示上例中细光束子午场曲和弧矢场曲的像差曲线。由像差曲线可知，随着视场的增大，场曲和像散迅速增大。这是因为场曲和像散

49、随视场的平方倍(初级)和四次方倍(高级) 增大。由公式(6-46)式(6-49)可知，细光束的场曲与 Sm和S|V相关，而S|V为系统结构参 数的函数，一般不可能为零，要想校正场曲与像散，应使SIII和SIV异号，但平面像场是永远不能达到的。图 6-11示出当系统具有像散时，不同像面位置物点的成像情况。图6-11存在像散时的光束结构在子午像点T处得到一垂直于子午面的短线，称作子午焦线；在弧矢像点S处，得到一垂直于弧矢平面的短线，称作弧矢焦线，两条焦线互相垂直。 在子午焦线和弧矢焦线中间，物点的像是一个圆斑，其他位置是椭圆形弥散斑。图6-10c)示出上例中在高斯像面各视场的弥散斑的形状。其中，零

50、视场是一圆斑，表明 轴上点只有球差，0.7视场和1视场是椭圆，均方半径分别是15.3 口 m和30.1 口 m,表明轴外点像散较大，因1视场的椭圆大于0.7视场的椭圆，表明像散随着视场的增大而增大。若光学系统对直线成像，由于像散的存在，其成像质量与直线的方向有关。例如，若直线在子午面内，其子午像是弥散的， 其弧矢像是清晰的； 若直线在弧矢面内，其弧矢像是弥 散的，而子午像是清晰的。 若直线既不在子午面又不在弧矢面内，则其子午像和弧矢像均不清晰。图6-12示出物面是一带有肋线的环轮时，在子午焦面和弧矢焦面的成像情况。c）在弧矢焦面b）在子午焦面 图6-12环轮的像散同理，宽光束的子午像点和弧矢像

51、点也不重合，两者之间的轴向距离称为宽光束的像散,以X ts表示Xts 二 Xt-Xs(6-51)初级像散的分布式可由式（6-46）和式（6-47）相减而得Xts(6-52)由像散分布式可知，对单个折射球面而言，没有正弦差的物点位置（齐明点）和光阑位置（光阑在球心）也不存在像散。然而，当像散为零时（Shi =0），虽然子午焦点和弧矢焦点重合在一起，但像面弯曲仍然存在，中心视场调焦清晰了，边缘视场仍然模糊。由公式（6-49）可知，球面光学系统存在场曲是球面本身所决定的。当像散为零时的像面弯曲以xp表示，称r为匹兹伐尔场曲XP十Sv2nk u k 12 j22nk uk 1 nnr(6-53)由上面

52、的讨论可知， 像散和场曲是两个不同的概念，两者既有联系，又有区别。像散的 存在，必然引起像面弯曲；但反之，既便像散为零，子午像面和弧矢像面重合在一起，像面 也不是平的，而是相切于高斯像面中心的二次抛物面。第六节畸变畸变是主光线的像差。由于球差的影响，不同视场的主光线通过光学系统后与高斯像面 的交点高度y；不等于理想像高y，其差别就是系统的畸变，用、yz表示yz =yz-y(6-54)在光学设计中，通常用相对畸变q来表示，这是因为相对畸变对应于直线像的弯曲度（线的长度除以弯曲半径 人眼尚无感觉。）。可以证明相对畸变的2倍等于线像的弯曲度。弯曲度小于y100% -100%4%时(6-55)图6-1

53、3 畸变不同视场的实际垂轴放大倍率不同，6-13a）所示，当系统具有正畸变时，则其像如图畸变仅是视场的函数， 轴的正方形平面物体，如图 系统具有负畸变时，则其像如图 形畸变，负畸变也称桶形畸变。由畸变的定义可知，畸变是垂轴像差，它只改变轴外物点在理想像面上的成像位置，使像的形状产生失真，但不影响像的清晰度。在第二节的例子中，由光线的光路计算可得出视场3 =-3。时的畸变大小过程如下畸变也不同。如一垂直于光6-13b）所示，当6-13c）所示，图中的虚线表示理想像的图形。正畸变也称枕y = (lz -l)Uz =(-3.3813-97.009)(-0.052783mm = 5.22816mmy；

54、 =(Lz-l)tgU； =(-3.3782-97.009)(-0.0521491) mm = 5.2351mm畸变为yz 二 yz -y二(5.2351 - 5.22816)mm 二 0.00694mm其相对畸变曲线在图6-13d）中示出，最大相对畸变为|=虽 100% = (0.00694/5.22816) 100% = 0.13% y畸变仅与物高奇次项y （或3）有关，随y的符号改变而变号，故在其级数展开式中， 只有y的、yz Ay3A?y5(6-56)第一项为初级畸变， 与球差的分析方法相同， 其值是高级畸变的 0.186倍。初级畸变的分布式是第二项为二级畸变。展开式中没有y的一次项，

55、因一次项表示理想像高。 在边缘视场ym处畸变校正到零时， 在0.775 ym视场有最大的畸变,12n k uk(6-57)或写作Sv =(Sm - Siv)iz/i(6-58a)S, =lznuzi(iz -i；)(i； 7)J(u；-U；)(6-58b)由公式（6-58b）进一步分析表由公式（6-58a）可知，若孔径光阑与球心重合则球面不产生畸变。明，产生畸变原因有二：光阑位置的正弦差(式中前部)和角倍率(式中后部)引起。所以若仅满足光阑位置的正弦条件n yzs in Uz = n yzs inUz则不能消除畸变，角倍率还必须再满足正切条件n yta nU z = n yta nU z要完全

56、消除畸变是困难的， 因为消畸变的正切条件和消光阑彗差的正弦条件是不能同时 满足的。对于一 -_1的对称光学系统，由于光阑位于系统的中间，其前部系统和后部系统的畸 变大小相等，符号相反，畸变自动校正。第七节色差一、位置色差、色球差和二级光谱光学材料对不同波长的色光有不同的折射率，因此同一孔径不同色光的光线经光学系统后与光轴有不同的交点。 不同孔径不同色光的光线与光轴的交点也不相同。在任何像面位置,物点的像是一个彩色的弥散斑，如图6-14所示。各种色光之间成像位置和成像大小的差异称为色差。图6-14轴上点色差轴上点两种色光成像位置的差异称为位置色差，也叫轴向色差。对目视光学系统用 Lfc表示，即系

57、统对 F光和C光消色差 :Lfc 二 Lf Lc(6-59)对近轴区表示为Ifc =If Tc(6-60)根据定义可知，位置色差在近轴区就已产生。为计算色差，只需对F光和C光进行近轴光路计算，就可求出系统的近轴色差和远轴色差。不同孔径的光线有不同的色差值，一般对0.707带的光线校正色差后，其他带仍存在有剩余色差，图6-15示出光路计数例中的D、F、C三色光的球差曲线。由图可知，在0.707带校正色差之后，边缘带色差厶Lfc和近轴色差Ifc并不相等，两者之差称为色球差j.Lfc，它也等于F光的球差、丄F和C光的球差、丄C之差：LfC = -LfcIfC = 丄F - LC(6-61)色球差属于

58、高级像差。JL FRCXI iItaLLlTfifiF-K ib图6-15色差曲线由图6-15还可以看出，在 0.707带对F光和C光校正了色差，但两色光的交点与D光球差曲线并不相交，此交点到D光曲线的轴向距离称为二级光谱，用. ：Lfcd来表示，则有八LfCD = LF0.707h -LD0.707h(6-62)二级光谱校正十分困难， 一般光学系统不要求校正二级光谱， 但对高倍显微物镜、 天文 望远镜、高质量平行光管物镜等应进行校正。 二级光谱与光学系统的结构参数几乎无关， 可 以近似地表示为：LFcd = 0.00052f(6-63)位置色差仅与孔径有关，其符号不随入射高度的符号改变而改变，故其级数展开式仅与孔径的偶次方有关，当孔径h(或U)为零时，色差不为零，故展开式中有常数项，展开式为-Lfc = A)A1h12 A2h： W(6-64)式中，Ac是初级位置色差，即近轴光的位置色