一阶常微分方程

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1、会计学1一阶常微分方程一阶常微分方程主视图第1页/共21页dxxfdyyg)()( 则称为可分离变量的微分方程.5422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 解法 dxxfdyyg)()(设设函函数数)(yG和和)(xF是是依依次次为为)(yg和和)(xf的的原原函函数数,CxFyG )()(为微分方程的通解.分离变量法如果一阶微分方程能化为可分离变量法第2页/共21页例 求解微分方程.2dyxydx的通解解分离变量,2xdxydy 两端积分得,2 xdxydy12lnCxy .2为所求通解为所求通解xcey 故:例题第3页/共21页解 分离变量， 得 dxxxdyyy)1 (1122

2、dxxxxdyyy22111Cxxyln21)1ln(21ln)1ln(2122两边积分)ln(1)(1ln(222Cxyx）因此， 通解为 222(1)(1)xyCxCR于是， 所求特解为 22210)1)(1 (xyx例题第4页/共21页例例 衰变问题衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量衰变速度与未衰变原子含量M成成正比正比,已知已知00MMt ,求衰变过程中铀含量求衰变过程中铀含量)(tM随时间随时间t变化的规律变化的规律. 解,dtdM衰变速度衰变速度由题设条件)0(衰变系数衰变系数 MdtdMdtMdM , dtMdM00MMt 代入代入,lnlnctM ,tceM 即即00ceM 得

3、得,C teMM 0衰变规律例题回主视图第5页/共21页利用微分方程解决实际问题的步骤：一、利用问题的性质建立微分方程， 并写出初始条件；二、利用数学方法求出方程的通解；三、利用初始条件确定任意常数的值， 求出特解 解题步骤回主视图第6页/共21页)(xyfdxdy 形如形如的微分方程称为齐次方程.2.解法,xyu 作变量代换,xuy 即即代入原式,dxduxudxdy ),(ufdxduxu .)(xuufdxdu 即即可分离变量的方程1.定义,0)(时时当当 uuf xdxuufdu)(得得齐次微分方程第7页/共21页例 求解微分方程，令令xyu ，则则udxxdudy 把变量代回得微分方

4、程的解为解.tan2xyxyy.tan2xdxudu.lnlnln2sinln2cxcxu.sin2cxu .sin2cxxy例题第8页/共21页,xyu 令令,dxduuydydy则例 求解微分方程解微分方程的通解为023(22xydxdyxy）满足初始条件 10 xy的特解 原方程可化为 yxyxxyxydydx23123222uudyduy2512dyyduuu15122Cyuln51ln)51ln(512Cyxy325510 xy1C将初始条件代入通解中， 得到所求特解为 15325yxy例题第9页/共21页例 求解微分方程解11yxdxdy令,xyu 则,yxudxdudxdy111

5、1udxduudxdu1分离变量， 并两边积分 Cxu22Cxyx2)(2微分方程的通解为例题回主视图第10页/共21页)()(xQyxPdxdy 一阶线性微分方程的标准形式:, 0)( xQ当当上方程称为一阶线性齐次方程.上方程称为一阶线性非齐次方程., 0)( xQ当当例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx , 32 xyyy, 1cos yy线性的;非线性的.一阶线性微分方程回主视图第11页/共21页. 0)( yxPdxdy,)(dxxPydy ,)( dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齐次方程的通解为.)( dxxPCey线性齐次方程(使用分离变量法)一阶线性齐次微分

6、方程解法回主视图第12页/共21页 线性非齐次方程).()(xQyxPdxdy 讨论: 设y=f(x)是解, 则,)()()()()(dxxPxfxQxfxdf 变形变形积分,)()()()(ln dxxPdxxfxQxf,)()()()( dxxpdxxfxQeexf非齐方程通解形式( )( ) ( )( )df xP x f xQ xdx,)()()( dxxfxQexc记记 dxxpexcxfy)()()(一阶线性非齐次方程解法回主视图第13页/共21页把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.设解为 dxxPexcy)()(,)()()()()( dxxPdxxPexPxcexcy)

7、(xcC 得得)()(xQyxPdxdy 代代入入原原方方程程和和将将yy ),()()(xQexcdxxP ,)()()(CdxexQxcdxxP 积分得)()()(CdxexQeydxxPdxxP 非齐方程通解常数变易法第14页/共21页例 求解微分方程 cot2 sin .yyxxx 对应齐次方程为cot0yyx1cotdyxdxycotlnsinsinxdxxyCeCeCx( )sin .yC xx令( )sin( )cosyC xxC xx则有: xxC2)(CxxC2)(故所求通解为2()sinyxCx分离变量得两边积分有 代入原非齐次方程， 得常数变易法例题第15页/共21页.s

8、in2)(,cot)(xxxQxxP).(sin)2(sin)sin1sin2(sin)sin2()sin2(2sinlnsinlncotcotCxxCxdxxCdxxxxxCdxexxeCdxxexeyxxxdxxdx根据公式有:公式法例题第16页/共21页yyxdydx26223yxydydxCdyeyexdyydyy332Cyy2132,1xy23C以条件代入， 得 因此， 所求特解为 2232yyx例题回主视图第17页/共21页例 求解微分方程.)(ln2yxaxydxdy解 原方程不是线性方程， 但通过适当的变换, 可将它化为线性方程 将原方程改写为.ln112xayxdxdyy.l

9、n111xayxdxdy1,zy令1ln .dzzaxdxx 则有 由通解公式， 得通解 .)(ln22xaCxz所以， 原方程通解为 . 1)(ln22xaCxy例题回主视图第18页/共21页一阶线性非齐次微分方程的通解为:)()()(CdxexQeydxxPdxxP dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(对应齐次方程通解非齐次方程特解对应齐次方程通解与非齐次方程特解之和.的通解是的通解是)()(xQyxPdxdy 所以通解回主视图第19页/共21页的方程,称为伯努利(Bernoulli)方程.nyxQyxPdxdy)()( )1 , 0( n 方程为非线性微分方程.时，时，当当1 , 0 n方程为线性微分方程.时，时，当当1 , 0 n解法: 经过变量代换化为线性微分方程.一般地,形如1 nzy即令 ,则上式化为 )()(11xQzxPdxdzn)()1 ()()1 (xQnzxPndxdz从而化为一阶线性方程 伯努利方程回主视图第20页/共21页