第3章练习答案

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1、概率论与数理统计第三章习题1. 一射手对某目标进行了三次独立射击，现将观察这些次射击是否命中作为试验，试写出此试验的样本空间；试在样本空间上定义一个函数以指示射手在这三次独立射击中命中目标的次数；设已知射手每次射击目标的命中率为 0.7，试写出命中次数的概率分布。解：设 Ai“ 第 i次射中 ” ， i1,2,3则( A1, A2 , A3),( A1, A2 , A3),( A1, A2 , A3),( A1, A2 , A3 ),( A1, A2 , A3), ( A1, A2 , A3 ),( A1, A2 , A3 ),( A1, A2 , A3)1,2,3,4, 5, 6, 7,8令

2、 代表击中目标的次数，则( 1 )3，(2)( 3 )( 4 )2，(5)(6)(7)1(8 )0P(3)P(1)P( A1 A2 A3)(0.7) 30.343P(2)P(2 )P(3 )P(4 )3P( A1 A2 A3 )30.70.7(10.7)0.441P(1)P(5 )P(6 )P(7 )3P( A1 A2 A3 )30.7(10.7)(10.7)0.189P(0)P(80)P( A1A2 A3)(10.7)30.027所以，的分布列为0123.0.0270.1890.4410.343服从 B(3,0.7) ，在 Excel 依次输入：=binomdist （ 0， 3， 0.7，

3、 0），=binomdist （ 1， 3， 0.7， 0），=binomdist （ 2， 3， 0.7， 0），=binomdist （ 3， 3， 0.7， 0），2. 一批零件中有9个合格品、 3个废品，安装机器时从这批零件中任取1个来使用，若取得废品就不再放回而再取1个，求在取得合格品之前已取出的废品数的概率分布。解：令代表废品数，则可能取值为：0，1，2，3P(0)C919C 11212P(1)C31C913927C 1C112111321211P(2)C31C21C913 2 954C1C 1C11211101320121110P(3)C31C21C11C913 2 1954C1

4、21C111C101C91121110911880所以，的分布列为01239275454 .121321320118803.设在 10个同类型的一堆产品内混有2个废品，现从中任取3件，每次取1个，试分别就（ 1）取后不放回；（ 2）取后放回两种不同情况，求出取得废品数的概率分布。解：（）令 代表废品数，则的可能值有：，10 1 2P(0)C 83， P(1)C82 C21， P(2)C81 C22C103C103C103所以， 的分布列为012C 83C82 C21C81 C22C103C103C103（）设废品数为 ，则可能取值有： ，有20123C 8131 C812，C 21P(0)C1

5、010.512P(1)C3C101C1010.3842 C81C 212C 213P(2)，P(3)0.008C 3C1010.096C101C101所以， 的分布列为01230.5120.3840.096.0.0084.自动生产线经调整后出次品的概率是p，若在生产过程中出现次品就立即要进行调整，试求在两次调整之间生产的合格品数的概率分布。2乐山师范学院化学学院解：令合格品数为，则P(0)P两次调整之间生产的是一件次品 pP(1)P两次调整之间生产一件正品，再是一件次品 pqP(n)P两次调整之间前 n次生产正品，第 (n1)件是次品 pqn所以，的分布列为0123n，其中 q 1 p.ppq

6、pq2pq3pqn5.甲、乙两人分别独立的 对同一目标各射击 1次，甲、乙击中目标的 概率分别为 p1 , p2，试求击中目标次数的 概率分布。解：甲、乙二人分别独立对同一目标各射击一次，令为击中目标次数，则 的取值为 0，1，2P(0)(1p1 )(1p2 )P(1)(1p1 ) p2p1 (1p2 )P(2)p1 p2所以，的分布列为012(1p1 )(1p2 )(1p1 ) p2p1 (1p2 )p1 p26（.1）已知随机变量 所有的可能值是 1，2， ，N，且已知P(k )a ，k 1,2, , NN试确定 a的值；（2）试问下式的 c取何值能使k2P(k )c， k1,2,为分布律

7、。3解：（）1由概率的规范性，可知NNP(k )1，则k 1k1（2）由概率的规范性，可知a aN NNk11aN a 1，从而 a 1;Nc 2kkP(k ) 1，则c21，k 1k13k 1322n1k12而2lim3332132kn21133所以，2c1，从而 c1 .2设在某种试验中，试验成功的概率为3 ，以表示首次取得成功的试验7.4次数序号，试写出的分布律，并求出为偶数的概率 p。解：令代表首次取得成功的试验次数序号，从而的取值为 ，1 23k13P(k)14;4所以，的分布列为123k3333233k 13， k 1,2,1114444444为偶数时， PP(2)P(4)3133

8、133444431351144442( n 1)3111444lim2n1143114.4155168.一本 500 页的书，共有100个错别字，设每个错别字等可能的出现在 500 页的任何一页上，现考察该书某一页上的错别字数，试用n重贝努利试验描述之。4乐山师范学院化学学院解：每个错别字以概率p1 出现在该页，而以概率 q499 不出现在该页，500500由于错别字是否出现在该页对其他错别字是否出现没有影响，故该页上错别字字数 B(100, 1).5009.人类的血型可粗分成O、 A、 B、 AB 等四型，设已知某地区人群中这四种血型人数的百分比依次为、 、，要从该地区任意选出100.4 0

9、.3 0.25 0.05人，考察带 AB 型的人数，试用n重贝努利试验描述之。解：由于只关心 AB血型的人数，其他血型 可不予区分，故在此时 每个人血型只有两个可能结果：AB型或者非AB型。这样p是任取一人，其血型为AB0.05型的概率，而问题可说 成是成功概率为 的 重贝努利试验，带血型的人数p10AB B(10,0.05).10.某建筑物内装有 5个同类型的供水设备， 设在任一时刻每个设备 被使用的概率是 0.2，又设各个设备是否被 使用相互独立，求在同 一时刻下列事件的概率：（1）恰有 2个设备在使用；（2）最多有 2个设备在使用；（3）至少有 2个设备在使用；（4）有多数设备在使用。解

10、：设 代表设备使用的个数， ， ，由题意，显然 B(5,0.2)0 1 25(1) P(2)C 52 p2 q3C 52(0.2)2(0.8) 30.2048(2) P(2)P(P(P(2)0)1)C50 (0.2)0 (0.8)5C51 (0.2)1 (0.8)4C52 (0.2)2 (0.8)30.94208(3) P(2)1P(0)P(1)1C50 (0.2)0 (0.8)5C51 (0.2)1 (0.8)40.26272(4)有多数设备在使用，即 超过半数以上的设备在 使用，故 应取 ，3 4 5即2，从而P(2)1P(2)10.942080.05792.511.设事件 A在一次试验中

11、发生的概率为 0.3，当在进行多次试验时，若 A 发生 3次或更多次时，指示灯就要发出信号，求下列情况下，指示灯发出信号的概率：（1）共进行 3次试验；（2）共进行 5次试验。解：设 代表事件 发生的次数，由题意 B(n,0.3)A(1)P(3)P(3)因为试验只进行 3次，要指示灯发出信号，则事件A只能出现 3次P(3)C33 (0.3)3 (0.7)00.027(2) P(3)P(3) P(4) P(5)因为试验进行 5次，要指示灯发出信号，则事件A可发生 3次、4次和5次P(3)C53 (0.3)3 (0.7)2 C54 (0.3)4 (0.7)1C55 (0.3)5 (0.7)00.1

12、6308 B(5,0.3) ，在 Excel 中输入： =1-binomdist(2,5,0.3,1) 得 0.16308某商店有名售货员，据统计，每名售货员平均在一小时内用秤的时间12.4为 分钟，各人何时用秤相互独立。试问：15（）该店配备几台秤较为合适？1（）若按（ ）的结果配秤，一天小时内平均有多少时间秤不够用？218解：设 代表一小时内用秤的售 货员数，则1 B(4, )044(1) P(0)C 4013810.31644425613P(1)C 41130.42194422P(2)C42130.210944P(2)P(0)P(1)P(2)0.9492故同时用秤的人数不超过2人的概率接

13、近，从而可配 台秤，这样既不使0.952秤过度闲置，也不致常因秤不够用而影响业务；由题，每小时，台秤的平均使用率为，那么还有(10.9492)的时( 2)(1)20.94921间内秤不够用，而在8小时内，秤不够用的时间就为(10.9492)80.4064（小时）6乐山师范学院化学学院已知某厂产品的次品率是1 ，今从其大批产品中任取10件来检验，问13 .10其中是否必有1件次品？为什么？解：任取一件产品为次品的概率为1 ，任查十件产品的次品率是在这十件10产品中次品出现的频率，两者有区别，可算出任取 10件产品其中1件是次品的概率为 p C101( 0.1)(0.9)90.3874，可见，如果

14、经常任抽十件检查，约有 38.74 % 的机会会遇到1件次品。14 .进行 8次独立的射击，设每次击中目标的概率均为0.3，试问：（）击中几次的可能性最大？并求出相应的概率；1（2）求至少击中目标2次的概率。解：设 代表击中目标的次数， 则 ， ，显然 B(8,0.3)012 38(1)，由二项分布的，取kent(n1) p)时，(n 1) p 2.7Th.22的值最大，故击中次的可能性最大p C2(0.3)2(0.7)60.2965;B(2;8,0.3)28(2)P(2) 1P(0)P(1) 1C80 (0.3)0 (0.7)8C81 (0.3)1 (0.7)70.7447.15.某厂产品的

15、次品率为 0.005，问在它生产的 1000件产品中：（1）只有 1件次品的概率；（2）至少有 1件次品的概率；（3）最大可能有几件次品，概率是多少？解：设 代表产品为次品的件数 ，0,1,2,，显然 B(1000,0.0005),1000显然n很大， 很小，从而 P(，np5p)(1)P(1)5e 50.03371!(2)P(1)1P(0) 150e 50.99330!55最多可能有 件次品，其概率为P(5)e50.1755(3)55!7为了保证设备能够正常运转，需配备适当数量的维修人员（配少了16 .有时会影响设备正常运转，配多了会造成浪费人力资源），根据检验，每台设备发生故障的概率是，各

16、台设备情况相互独立，试问：0.01（）若由 人负责维护台设备，有设备发生故障而不能得到及时维修的1120概率；（）若有设备台，每台发生故障时均需 人去处理，则至少要配多少21001维护人员，才能使设备发生故障时不能得到及时维修的概率不超过。0.01解： 设 代表一人负责的台设备中，同时发生故障的台数，(1)200 120显然P()，np0.2P(2)1P (0)P (1)10.2 0e0.20.210.20.017550!e1!( 2)设 代表台设备中，同时发生故障的台数， ， ，显然，10001 100P( )np1P(0)10e 10.3679；P (1)11e 10.3679；0!1!P

17、(2)12e 10.1839；P(3)13e 10.0613；2!3!P(4)14e 10.01534!P (0)P(1)P (2)P (3)P (4)0.9963故在 100台设备中，有4台同时发生故障的概率在 0.9963，所以应派4个维修人员，才能使得设备发生故障而不能得到及时维修的概率不超过 0.01.17 .设要对某一物理量进行测量，已知由于各种原因而导致带过大测量误差的概率是0.05，现在独立的进行了100次测量，求误差过大的次数不小于 3的概率。解：设 代表次测量中，出现过分布大测量误传的次数，0,1,，100,100显然，由于 较大 较小故用泊松分布近似计算,np5 B(100

18、,0.05)np,P( 3)1P(0) P(1) P(2)150e 551e 552e 50.87530!1!2!18 .设随机变量服从参数为的泊松分布，问m为何值时，概率P (m)最大。8乐山师范学院化学学院kk 1解： P(k)k!e ， P(k 1)e(k 1)!P(k )P(k1)k(1)k， P(k)P(k 1)， P(k) ；( 2) k， P(k) P(k1)， P(k )达到最大值；(1)k， P(k)P(k1)， P(k)从而，当非整数时， m，使 P(m)最大；当是整数时， m或 m1，同时使得 P(m)最大 .19 .一产品的次品率为0.1，检验员每天抽检4次，每次随机抽

19、查10件产品进行检验，如发现次品多于件，就要调整设备，以表示 天11要调整设备的次数，求E .解： 代表 1天要调整设备的次数，0,1,2,3,4令 代表 次抽检中抽出次品的件数，显然，101 10 B(10,0.1)令 A“第 i次抽检时，抽出次品多于1件，从而调整设备”，i 1,2,3,4iP( Ai )1P(0) P(1)0.2642P( Ai )1P( Ai )0.7358则 B(4, P( Ai )P(0) P( Ai ) 40.2931P(1)C1P(A) P( A )30.4214iiP(2)C2P( A)2P( A) 20.22674iiP(3)C3P(A )3 P( A )0

20、.05434iiP(4)C4P( A)40.00494i从而012340.2931 0.421 0.2267 0.0543 0.0049所以，E0 0.2931 10.421 20.2267 30.0543 4 0.0049 1.0569或直接用 Enp4 0.26421.056920. 一长途客车沿途可停 k 各站，规定途中只可下客不能上客，一个站若无人下客可不停。设始发时车上乘客数是参数为的泊松分布随机变量，每个乘客在k 各车站中哪一站下车是等可能的，求有2 个乘客在终点站下车的概率p 。解：用 X 表示终点站下车的人数，则有9PX 2P X 2 | Y n P Y nn0n2n 2n!e

21、 Cn2111n 2kknn2n!k1n!en2 ! knn 22!t2tk1e1t 02! t ! kt k 221 e / k2 k21 某生产流水线一天出次品件数为5 的泊松分布，若采用新工艺，则有0.75的可能使 称为3 的泊松分布，但也有0.25的可能无效。现采用新工艺生产，结果一天出了2件次品。问新工艺有效的概率多大？（令A “新工艺有效” 。）解：设 B 表示生产两件次品的事件，新工艺有效生产2 件次品的概率P(B | A)32e 30.11202!新工艺无效效生产2 件次品的概率P(B | A)52e 50.04212!由贝叶斯公式P(A| B)P( A)P( B | A)P(

22、 A)P( B | A) P( A)P( B | A)0.750.11200.88870.750.11200.250.042122. 某设备一天故障次数服从泊松分布。 已知一天内发生 1 次故障与发生2 次故障的概率相同，求每天发生故障不超过1 次的概率。解： P(k )kek !由 P(1) P(2) 得：2e e2!解之得：210乐山师范学院化学学院P(1)P(0)P(1)e 22e 23e 223.已知的分布列为210131113a3aa630试求：（）1 a的值；（ 2）E ；2（3）1的分布列；（ 4）用两种方法算出E .解：13aa11，从而a1(1) 3a63011521013因

23、此1111115651530( 2)E(2)1(1011111351)5153563021038( 3)117111530530(4)E( 1)10731811105305303EE ( 21) 3101( 1)101811 1056515303设已知24.2020.40.30.3试求E，E2，E (32，5) D.3解： Exi pxi(2)0.40 0.320.30.2i13E 2xi2 pxi( 2)20.4 00.3220.32.8i1E(325)3E252.8513.4DE2(E)22.8( 0.2)22.761125.设随机变量的分布列为1 0 p q试问 p取何值时，使D达到最大

24、值。解： E1p0 qpE 212p0qp从而， DE2( E)2pp2( p1) 2124所以，当 p1时， Dmax1 .2426.袋中有 8 个球， 6 个黑球、 2 个白球，每次从袋中取2 个球，取出后不放回。在第3 次取出球时，所得白球数为，求 E解：设 Ai 表示前两次取球后剩余i (i 0,1,2) 的事件前两次后剩下2 个白球的概率为：P(A2)C64C203C84，在此条件下14第三次取得0 个白球的概率为：P(0| A2)C20C221C426第三次取得1 个白球的概率为：P(1| A2)C21C212C423第三次取得2 个白球的概率为：P(2| A2)C22C201C4

25、26前两次后剩下1 个白球的概率为：P(A1)C63C214C84，在此条件下7第三次取得0 个白球的概率为：P(0| A1)C32C101C224第三次取得1 个白球的概率为：P(1| A1)C31C111C42212乐山师范学院化学学院第三次取得2 个白球的概率为：P(2|A1)0前两次后剩下0 个白球的概率为：P(A0)C62C223，在此条件下C4148第三次取得0 个白球的概率为：P(0| A0)1第三次取得1 个白球的概率为：P(1| A0)0第三次取得2 个白球的概率为：P(2|A0)0根据全概率公式P(0) P( B0) P(0 |B0) P(B1)P(0 | B1) P(B2

26、 )P(0|B2)31413115146721428P(1) P( B0) P(1| B0 ) P(B1 )P(1| B1) P( B2 )P(1| B2)324130314372147P(2) P(B0) P(2 | B0 ) P( B1)P(2 | B1) P(B2 )P(2| B2)314030114671428i21531EiP (i )0120.528728i027.一台仪器有 3 个元件，各个元件发生故障与否相互独立，且发生故障的概率分别为0.2，0.3， 0.4。求发生故障元件总数的 E和 D解：设 A 表示第一个元件发生故障，B 表示第二个元件发生故障，C 表示第三个元件发生故

27、障。没有故障的概率为P(0)P( ABC )P( A)P( B) P(C) 0.8 0.7 0.6 0.336P(1)P( ABC )P( ABC ) P( ABC )0.20.70.60.80.30.60.80.70.40.452P(2)P( ABC )P( ABC)P( ABC )0.20.30.60.80.30.40.20.70.40.18813P(3)P( ABC)0.20.3 0.40.024i3EiP (i )00.33610.452 20.1883 0.0240.9i032Di Ei )P(i 0020.33610.920.45220.92320.0240.90.1880.90.6128.设一部机器在一天内发生故障的概率是0.2，若一周 5个工作日无故障则机器可产生利润10 万元，发生1次故障仍可生利5万元，发生2次故障就没有利润了，若发生3次或 3次以上的故障就要亏损2万元。试求一周利润的期望值。解：令 代表一周内机器发生故障的次数，0,1,，显然 B(5,0.2)，,5P(0)50.20.850.327680P(1)50.210.840.40961P(2)50.220.830.20482P(3)1P(0)P(1)P(2) 0.05792E10502048(2)0.05792 5.126(万元 ).0.327680.40960.