D二重积分概念同济大学高等数学实用教案

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1、解法: 类似定积分(jfn)解决问题的思想:一、引例一、引例(yn l)1.曲顶柱体的体积(tj) 给定曲顶柱体:底： xoy 面上的闭区域 D顶: 连续曲面侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面求其体积.“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限” D),(yxfz 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共28页第一页，共29页。1)“大化(d hu)小”用任意曲线(qxin)网分D为 n 个区域以它们(t men)为底把曲顶柱体分为 n 个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体k),(kk机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共28页第二页，共

2、29页。4)“取极限(jxin)”令),(yxfz ),(kkfk),(kk机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第3页/共28页第三页，共29页。2. 平面平面(pngmin)薄片薄片的质量的质量 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有(zhnyu)区域 D ,计算(j sun)该薄片的质量 M .度为设D 的面积为 ,则若非常数 ,仍可用其面密 “大化小, 常代变,近似和, 求 极限” 解决.1)“大化小”用任意曲线网分D 为 n 个小区域相应把薄片也分为小区域 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 yx第4页/共28页第四页，共29页。2)“常代变”中任取一点(y din)3

3、)“近似(jn s)和”4)“取极限(jxin)”k),(kk则第 k 小块的质量机动 目录 上页 下页 返回 结束 yx第5页/共28页第五页，共29页。两个问题(wnt)的共性：(1) 解决问题的步骤(bzhu)相同(2) 所求量的结构式相同(xin tn)“大化小, 常代变, 近似和,取极限”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共28页第六页，共29页。二、二重积分的定义二、二重积分的定义(dngy)及可积性及可积性定义(dngy):将区域(qy) D 任意分成 n 个小区域(qy)任取一

4、点若存在一个常数 I , 使可积 , 在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共28页第七页，共29页。引例(yn l)1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板(bo bn)的质量:如果(rgu) 在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D , 因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划 记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共28页第八页，共29页。二重积分存在二重积分存在(cnzi)定理定理:若函数(hnsh),(yxf定理(dngl)2.),(yxf(证明略)定理1.在D上可积.限个点或有限

5、个光滑曲线外都连续 ,积.在有界闭区域 D上连续,则若有界函数在有界闭区域 D 上除去有 例如, 在D :上二重积分存在 ;在D 上 y1xo1D二重积分不存在 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共28页第九页，共29页。三、二重积分的性质三、二重积分的性质(xngzh)( k 为常数(chngsh) 为D 的面积(min j), 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共28页第十页，共29页。特别(tbi), 由于则5. 若在D上),(yxf6. 设D 的面积(min j)为 ,则有机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第11页/共28页第十一页，共29页

6、。7.(二重积分的中值(zhn zh)定理)证: 由性质(xngzh)6 可知,由连续函数介值定理(dngl), 至少有一点在闭区域D上 为D 的面积 ,则至少存在一点使使连续,因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共28页第十二页，共29页。例例1. 比较比较(bjio)下列积下列积分的大小分的大小:其中(qzhng)解: 积分域 D 的边界(binji)为圆周它与 x 轴交于点 (1,0) ,而域 D 位从而于直线的上方, 故在 D 上 y2xo1D机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共28页第十三页，共29页。例例2. 判断判断(pndun)积分积分的正负号.解:

7、分积分(jfn)域为则原式 =3D311Dyxo猜想(cixing)结果为负 但不好估计 .舍去此项机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共28页第十四页，共29页。例例3. 估计下列估计下列(xili)积分之值积分之值解: D 的面积(min j)为由于(yuy)积分性质5即: 1.96 I 210101010Dxyo机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共28页第十五页，共29页。xyo8. 设函数设函数(hnsh),(yxfD 位于 x 轴上方(shn fn)的部分为D1 , 当区域(qy)关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍1D在 D 上在闭区域上连续

8、,域D 关于x 轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分, 则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共28页第十六页，共29页。四、曲顶柱体体积四、曲顶柱体体积(tj)的的计算计算设曲顶柱的底为任取平面(pngmin)故曲顶柱体体积(tj)为截面积为截柱体的)(2xy)(1xyzxyoab0 xD机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共28页第十七页，共29页。ydcxo)(2yx)(1yx同样(tngyng), 曲顶柱的底为则其体积(tj)可按如下两次积分计算DyxfVd),(xyxfyyd),()()(21机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第18页/共28页第

9、十八页，共29页。例例4. 求两个底圆半径求两个底圆半径(bnjng)为为R 的直角圆柱的直角圆柱面所围的体积面所围的体积.xyzRRo解: 设两个直圆柱(yunzh)方程为利用对称性, 考虑第一(dy)卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为222RzxD机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共28页第十九页，共29页。内容内容(nirng)小结小结1. 二重积分的定义(dngy)2. 二重积分的性质(xngzh)(与定积分性质相似)3. 曲顶柱体体积的计算二次积分法机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共28页第二十页，共29页。被积函数(hnsh)相同, 且非负, 思考思考

10、(sko)与练习与练习解: 由它们的积分(jfn)域范围可知11xyo1. 比较下列积分值的大小关系:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共28页第二十一页，共29页。2. 设设D 是第二是第二(d r)象限的一个有界闭域象限的一个有界闭域 , 且且 0 y 1, 则则的大小(dxio)顺序为 ( )提示(tsh): 因 0 y 1, 故故在D上有yox1D机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共28页第二十二页，共29页。3. 计算计算(j sun)解:02机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第23页/共28页第二十三页，共29页。4. 证明证明(zhngmng):

11、其中(qzhng)D 为解: 利用(lyng)题中 x , y 位置的对称性, 有又 D 的面积为 1 , 故结论成立 .yox1D1机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共28页第二十四页，共29页。 P78 2，4，5 P95 1(1), 8第二节 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 作业作业(zuy)第25页/共28页第二十五页，共29页。备用备用(biyng)题题1. 估计(gj) 的值, 其中(qzhng) D 为解: 被积函数D 的面积的最大值),(yxf的最小值yox2D1机动 目录 上页 下页 返回 结束 第26页/共28页第二十六页，共29页。2. 判断判断(pnd

12、un)的正负(zhn f).解：当时，故又当时，于是(ysh)机动 目录 上页 下页 返回 结束 1111xyoD第27页/共28页第二十七页，共29页。感谢您的欣赏(xnshng)！第28页/共28页第二十八页，共29页。NoImage内容(nirng)总结解法: 类似定积分解决问题的思想:。第1页/共28页。用任意曲线网分D为 n 个区域。以它们为底把曲顶柱体分为 n 个。计算该薄片的质量 M .。设D 的面积为 ,。则第 k 小块的质量。是定义在有界区域 D上的有界函数 ,。在有界闭区域 D 上除去有。D 的面积为 ,。证: 由性质6 可知(k zh),。例1. 比较下列积分的大小:。利用对称性, 考虑第一卦限部分,。被积函数相同, 且非负,。第27页/共28页。感谢您的欣赏第二十九页，共29页。