乘法公式要点全析

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1、2乘法公式要点全析1 .平方差公式(formula for the differenee of squares)(1) 表达式：(a + b) (a b)= a b .(2) 语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.(3) 注意事项： 运用公式要抓住公式的结构特征，左边是两个数的和与这两个数的差相乘，右边正好是这两个数的平方差， 对于形如两数和与这两数差相乘，就可运用上述公式计算. 公式中的字母可表示具体的数，也可表示单项式或多项式，只要符合公式 的结构特征，就可运用该公式. 在运用公式时，要求分清哪个数相当于公式中的a,哪个数相当于公式中的b,按公式的结构相乘.例如：(

2、 m4) (m-4)=卅一42 =卅一16.购(2a2+ 3b) (2a2- 3b) = ( 2a2) 2-( 3b) 2= 4a4 9b2.3232(4 xy3 3x3) ( 4 xy3 3 x3)2 3 2 3= ( 3 x3 4 xy3) ( 3 x3+ 4 xy3)23=(-3x3) 2 ( 4xy3) 2499626x 16 xy .2. 完全平方公式(formula for the square of the sum )(1) 字母表达式：(a+ b) 2= a2 + 2ab+ b2， (a b) 2 = a2 2ab+ b2.可合写为(a b) 2= a2 2ab+ b2.(2)

3、 语言叙述：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减 去)它们的积的2倍.右面可说为：“首平方，尾平方，首尾之积的 2倍加减在 中央”.(3) 注意事项： 对于形如两数和(或差)的平方运算，可运用完全平方公式计算.利用公 式计算时，首先确定将哪个数或式看作 a，将哪个看作b，再按公式结构展开. 这两个公式，是据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的. 公式中的a、b可表示具体的一个数或其他的一个代数式. 可推广：如(a+ b+ c) 2= a2 + b2+ c2 + 2ab+ 2ac + 2bc.2 2 2 2 2(a + b + c + d)= a + b + c + d + 2ab+

4、 2ac+ 2ad + 2bc+ 2bd+ 2cd.3. 平方差公式的灵活运用有些式子在计算时，不能直接利用平方差公式，需要稍加变形或变式后，才 能使用.常用的方法有如下几种：(1) 调换位置.女口： (1 + 2a) (-2a+ 1) = ( 1 + 2a) (1-2a)= 1-4a.(2) 提取1或其他公因式.女口： ( a b) (a b)=( a+ b) (a b)=( a2 b2)= b2 a2.2 y yy y_y_又如：(6x + 2 ) (3x 4 )= 2 (3x + 4 ) (3x 4 )= 2 (9x 16 )= 18x18y2.(3) 分组.女口： (a b+ c d)

5、 (a+ b c d)=(a d) ( b c) (a d) + ( b c) =(a d) 2( b c) 2=a2 2ad+ d2 b2 c2 + 2bc.(4)运用积的乘方变形.如:(a b)(a+ b)2=(a b) (a+ b) =(a2 b2) 2 =a4 2a2 b2 + b4.(5)将乘式同时乘以并且同时除以一个适当的因式. 如：(2+ 1) (22+ 1) (24 + 1) (28 + 1)=(2 1) (2+ 1) (22+ 1) (24+ 1) (28+ 1) =(22 1)( 22+ 1) (24 + 1) (28 + 1)=216 1.又如：(1m (1+m) (1+

6、mi)(详一1)(1+ m)(1 m)(1+ m2)(1+ m4)=1+ m(1 m2)(1+ m2)(1 + m4)=1+ m1 m=1+ m(6) 把一个因式适当变形.如：3 ( 22+ 1) (24 + 1) (28 + 1)=(22 1) (22+ 1) (24+ 1) (28+ 1) =(24 1) (24+ 1) (28+ 1) =216 1.(7) 将因式多项式拆项或添项.如：(a b) (a+ 2b)=(a b) ( a + b) + b2 2=a b + b (a b)=a2 b2 + ab b2=a2+ ab 2b2.4. 完全平方公式的灵活运用a2 + b2=( a+ b

7、) 2 2ab,a2 + b2=(a b) 2 + 2ab,T (a + b)+(a b) = 2 (a + b ),(a+ b) 2( a b)= 4ab.(1) 恒等式 a2 + b2=( a+ b) 2 2ab 和 a2 + b2=( a b) 2+ 2ab 的应用. 在此恒等式中，有三个量a2 + b2、(a+ b) 2或(a b) 2、ab,若已知任意两个，则可求第三个，求得(a+ b) 2或(a b) 2,也就求得a+ b或a b .例如：若 a2 + b2= 3, ab= 1,可求(a+ b) 2.2 23=( a + b) 2 x 1 ,.(a+ b) = 5.若 a b= 3

8、, ab= 4,则可求 a2+ b2./ a2+ b2 =( a b) 2+ 2ab,a + b = 3 + 2x 4= 17.(2) 恒等式(a+ b) 2+(a b) 2 = 2 (a2+ b2)的应用.在恒等式(a+ b) 2+(a b) 2 = 2 (a2+ b2)中，有三个量 a+ b、a b、a2 + b2,若已知两个量，就可求第三个量.例如：已知 a b= 1, a2 + b2= 5.求 a+ b.解：(a+ b) 2+( a b) 2=2 (a2 + b2),(a + b) +( 1) = 2x 5, (a + b) = 9. a + b= 3.(3) 恒等式(a+ b) 2(

9、a b) 2 = 4ab 的应用.在此等式中，有三个量a+ b, a b, ab.若知任两个量，可求第三个量. 例如：已知 a b= 1, ab= 2,求 a+ b.解：/(a+ b) 2(a b) 2= 4ab,.(a+ b) 2 1= 8, (a+ b) 2= 9.a+ b= 3.(4) 利用完全平方公式，求平方数.女口： 152=( 10+ 5) 2 = 102+ 2X 10X 5+ 52= 100+ 100+ 25 = 225.23 2=(20+ 3) 2 = 202+ 2X 20X 3+ 32 = 400+ 120+ 9= 529.67 2=( 70 3) 2= 702 2X 70X

10、 3+ 32 = 4 900 420+ 9 = 4 489 .79.2 2=( 80 0.8 ) 2 = 6 400 128+ 0.64 = 6 272.64 .(5) 完全平方数是非负数.任何一个完全平方数M都能化为n2的形式，即M= n2，由偶次幕的性质得n2 0.当n = 0时，n2的最小值是0,并且n2具有非负数的性质，即若 n个非负数 的和为0,则这几个非负数就同时为0.因此，(a b) 20.当a b= 0时，(a b) 2的最小值为0.例如：已知(x + y 1) 2+ (x 2) 2= 0, J则 x =, y =.22解：(x+ y 1) 0, (x 2)0,x+ y1=0,

11、x = 2,由非负数的性质得x2= 0-. y= 1-例如：已知，a、b为自然数，且a+ b = 2,求ab的最大值及a、b的值. 解：T(a+ b) 2(a b) 2 = 4ab,ab= 4 (a+ b) 2( a b) 2 = 4 4( a b) 2,/(a b) 20,. 当(a b) 2= 0 时，ab 的值最大，即 a= b 时，ab1的值最大，为4 X 4= 1又a+ b = 2,. a= b= 1.5完全平方公式的逆运用，即 a22ab+ b2=(ab) 2把一个形如a2 2ab+ b2的二次三项式化为(a b) 2的形式，然后运用(a b)2的性质求解问题.例如：已知x2 +

12、4x+ y2 2y+ 5= 0,求x、y的值.解：I(x2 + 4x + 4) + ( y2 2y + 1)= 0,即(x+ 2) 2+( y 1) 2= 0,x+2=0,x= 2, y1=0. .y=1再如：已知a2 + b2+ c2=ab+ ac + be,则a、b、c的关系为.解: / a2 + b2 + e2= ab+ ae+ be,222a + 2ab+ 2e = 2ab+ 2ae+ 2be. (a2 2ab+ b2) + ( a2 2ae + e2) + ( b2 2be+ e2)= 0,即(a b) 2+ ( a e) +( b e)= 0.a b = 0,a e=0b e=0a

13、= b= e.也可以运用公式a22ab+ b2= (ab) 2把一类二次三项式直接化为(ab) 2 的形式.如 4x2 4xy + y2=( 2x) 2 2X 2x X y + y2=( 2x y)2.6 .完全平方式因为a22ab+ b2能化成(a b) 2的形式，所以，形如 a2 2ab+ b2的式子 叫做完全平方式，其中a、b表示代数式.例如：已知x2+4x + k是完全平方式，求常数k的值.解：I x + 4x + k是完全平方式，.设x + 4x + k =( x+ p),即 x2 + 4x+ k=x2+ 2px + p2.4=2p,p = 2, k=p2,.k=4. . k 值为

14、4.已知x2 + 2kx + 4是完全平方式，求常数k的值.解：t x2+ 2kx + 4 是完全平方式，设 x2+ 2kx + 4=( x2) 2,思考题；已知x2+ M+ 4是一个完全平方式，求代数式 M (提示：当M为 常数项时；当M为乘积项，即“一次项式”时；当 M为“二次项式”时.并 分析在三种情况下，M的值有多少个.)注意：完全平方数是完全平方式的特例.总之，完全平方公式，应用广泛，灵活，具有丰富的方法和技巧.7.平方差公式可变形后运用(1) 可变形为a2 =(a+ b) (a b) + b2,可快速求两位数的平方.2 2女口： 35 =( 35+ 5) (35 5)+ 5 = 1

15、 225 .97 2=( 97+ 3) (97 3)+ 32= 100X 94+ 9= 9 409 .(2) 在(a+ b) (a b)=a2 b2中，有三个多项式，若已知任意两个的值， 即可求第三个的值.4女口：已知 a + b= 3, a b = 4,贝U a b= 3 .(3) 对公式(a+ b) (a b)= a2 b2的逆运用，即利用公式 a2 b2=( a + b) (a b)求解冋题.(其实(a+ b) (a b)= a b 和 a b =( a + b) (a-b)都是平方差公式)女口： x2 4 = x2 22=( x + 2) (x 2).1 4a2b2 =( 1 + 2ab)(1 2ab).(a+ b)(a b)2=(a + b + a b)(a + b a + b)=2a 2b = 4ab.11112-(1 2 ) (1必)(1 旷) ( 1 102 )111111(1+ 2 ) (1-2 ) (1 + 3 ) (1 -3 )(1+ 10 ) (1 10 )314253119=2 X 2 X 3 X3 X 4X 4 XX10 X 10