弹簧质量阻尼系统模型

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1、自动控制原理综合训练项目题目：关于 MSD 系统控制的设计1 设计任务及要求分析 41.1 初始条件 41.2 要求完成的任务 51.3 任务分析 52 系统分析及传递函数求解 62.1 系统受力分析 62.2 传递函数求解1.22.3 系统开环传递函数的求解 1.33 .用 MATLAB对系统作开环频域分析1.4.3.1 开环系统波特图 1.4.3.2 开环系统奈奎斯特图及稳定性判断 1.6.4 .系统开环频率特性各项指标的计算1.8.总结 2.1.参考文献 2.2弹簧-质量-阻尼器系统建模与频率特性分析1设计任务及要求分析1.1初始条件已知机械系统如图。/NWV八b2k1pk2m图1.1机

2、械系统图1.2 要求完成的任务(1) 推导传递函数 Y(s)/X(s) , X(s)/P(s),(2) 给定 m 0.2g,b2 0.6N?s/m,k1 8N/m,k2 5N/m,以 p 为输入 u(3) 用Matlab画出开环系统的波特图和奈奎斯特图，并用奈奎斯特判据 分析系统的稳定性。(4) 求出开环系统的截止频率、相角裕度和幅值裕度。(5) 对上述任务写出完整的课程设计说明书，说明书中必须进行原理分析，写清楚分析计算的过程及其比较分析的结果，并包含 Matlab源 程序或Simulink仿真模型，说明书的格式按照教务处标准书写。1.3 任务分析由初始条件和要求完成的主要任务，首先对给出的

3、机械系统进行受力分析， 列出相关的微分方程，对微分方程做拉普拉斯变换，将初始条件中给定的数据代 入，即可得出Y(s)/X(s), X(s)/P(s)两个传递函数。由于本系统是一个单位负 反馈系统，故求出的传递函数即为开环传函。后在 MATLAB中画出开环波特图和奈奎斯特图，由波特图分析系统的频率特性，并根据奈奎斯特判据判断闭环系 统位于右半平面的极点数，由此可以分析出系统的稳定性。最后再计算出系统的 截止频率、相角裕度和幅值裕度，并进一步分析其稳定性能。2系统分析及传递函数求解2.1系统受力分析单自由度有阻尼振系的力学模型如图 2-1所示，包括弹簧、质量及阻尼器。以物体的平衡位置0为原点，建立

4、图示坐标轴x。则物体运动微分方程为mx = cx kx(2-1)式中：cx为阻尼力，负号表示阻尼力方向与速度方向相反。将上式写成标准形式，为mx cxkx 0(2-2)kc令p2=-, 2n -,则上式可简化为 mmx 2nxP20(2-3)这就是有阻尼自由振动微分方程。它的解可取x est,其中s是待定常数。代入（2-1）式得（s2 2ns p2）est 0,要使所有时间内上式都 能满足，必须s2 2ns p2 0 ,此即微分方程的特征方程，其解为-22si,2nP（2-4）于是微分方程（2-1）的通解为x ciesit C2es2t entgef cQT（2-5）式中待定常数Ci与Q决定与

5、振动的初始条件。振动系统的性质决定于根式Jn2 p2是实数、零、还是虚数。对应的根 si与s2可以是不相等的负实根、相 等的负实根或复根。若si与为等根时，此时的阻尼系数值称之为临界阻尼系数， 记为Cc,即Cc= 2mp。引进一个无量纲的量 ，称为相对阻尼系数或阻尼比。n/ p c/2mp c/cC(2-6)分别讨论三种状态下的运动特性。图2-2当np或 i,根式Jn2 p2是实数，称为过阻尼状态，当 np或 i ,即 bp2 C2,Qn,或1。利用欧拉公式ep nt cos、；p2n2t isin/p2 n2t (2-9)可将（2-2）式改写为nt /八 i p2 n2t八i p2 n2t、

6、x e (CeC?e )nt22,e (D cos p n tD2sin V p2 n2t)(2-10)x Ae nt sin(q p2n2t)(1-11)令 pdp p2 n2 ,则x Ae nt sin( pdt )(2-12)式中A与 为待定常数，决定于初始条件。设t=0时，x = X0, x孔，则可求得A ，x 2 (X0 nx0) 2,tg 1 X0pd(2-13)Pdxo nxo将A与 代入(2-4)式，即可求得系统对初始条件的响应，由式(2-13)可知, 系统振动已不再是等幅的简谐振动，而是振幅被限制在曲线 Ae nt之内随时间不 断衰减的衰减振动。如图3-3所示。图2-3这种衰

7、减振动的固有圆频率、固有频率和周期分别为PdJp2 n2pT1 2 (2-14)Td_2P2n22P . 1221P .12f 1 2T11:(2-15)式中P、f、T是无阻尼自由振动的固有圆频率、固有频率和周期由上可见，阻尼对自由振动的影响有两个方面：一方面是阻尼使自由振动的周期增大、频率减小，但在一般工程问题中n都比P小得多，属于小阻尼的情况。 例 =n/p=0.05 时，fd=0.9990f, Td=1.00125T;而在 =0.20 时，fd=0.98f, Td=1.02T, 所以在阻尼比较小时，阻尼对系统的固有频率和周期的影响可以略去不计，即可以近似地认为有阻尼自由振动的频率和周期与

8、无阻尼自由振动的频率和周期相 等。另一方面，阻尼对于系统振动振幅的影响非常显著，阻尼使振幅随着时间不断发减，其顺次各个振幅是：t=t i 时，Ai=Ae 1; t=t 1+T d 时，A*A e(1 d); t=t i+2Td 时，A3=A e n(t1 2Td),.。而相邻两振幅之比是个常数。即Aj / Aj 1 enTd(2-16)式中”称为减幅系数或振幅衰减率，n称为衰减系数，n越大表示阻尼越大，振 幅衰减也越快。当=0.05时，4=1.37, A2=A1/1.37=0.73A1,每一个周期内振幅减少27%,振幅按几何级数衰减，经过10次振动后，振幅将减小到初值的4.3%。 可见，衰减是

9、非常显著的。在工程上，通常取(2-6)式的自然对数以避免取指 数的不便，即(2-17)Ln(Aj/Aj 1)nTd式中6称为对数减幅或对数衰减率。将Td2 /v p2 n2代入，得2 n/ . p2 n2 2/ 12(2-18)当 num=5;den=(0.6,5); margin(num,den)%画系统的开环对数幅频、相频特性运行结果如图3-1S)号*卬? (sap JFrequency (rad/s；图3-1 Y(s)/X(s)的开环波特图(2)对于 X(s)/P(s):G(s尸(OR + 5”(L2 * 10 -V + IO好 + W.8s + 40)画波特图时采用的MATLAB语句如

10、下：_ 4- 3 num=0.6,5;den=(L; I1 二 。 。刀 )； margin(num,den)%画系统的开环对数幅频、相频特性运行结果如图3-2所示：mp) 当卫匚震乏 DiagramGr kifdB (athfras , Pm 工 1E7 d4闾 3华值出s1Frequency图3-2 X(s)/P(s)的开环波特图3.2开环系统奈奎斯特图及稳定性判断(1)对于 Y(s)/X(s)画奈奎斯特图时MATLAB语句如下: num=5; den=0.6,5; nyquist(num,den)运行结果如图3-3所示：,Jy zuist Diagram*0 6-0 4 耳 200 2G

11、.40.6Real Axis5 4321 O.O.O.O.O.1 O.-3-O.开环传函1，由于系统开环传递函数不存在右半平面的极点，故P=0, 3从。变到+ 8时，系统的开环幅相曲线不能包围(-1, j0)点周数N=0 ,则系统位于右半平面的闭环极点数为：Z=P-2N=0,故系统是稳定的。(2)对于 X(s)/P(s)画奈奎斯特图时MATLAB语句如下： num=0.6,5; den= I? * 10 .10 40.8,40； nyquist(num,den)运行结果如图3-4所示：刊、。山式 Diwgrwrr-2-1.5-1-0.500.51152Real Axis图3-4 X (s) /

12、P (s)开环奈奎斯特图开环传函 G(s)=(0& + 5)/(1?/ 1O-V + 1O-V +10.8s + 40)，由于系 统开环传递函数不存在右半平面的极点，故P = 0,从0变到+00时J系统的开环幅相曲线不能包围(-1, j0)点周数N=0,则系统位于右半平面的闭环极点数 为:Z=P-2N=0,故系统是稳定的。4.系统开环频率特性各项指标的计算(1)对于 Y(s)/X(s):G (S) = S/(0.6s + 5)计算各项频率指标时采用的MATLAB语句如下: num=5;den=(0.6,5); margin(num,den); gm,pm,wcg,wcp=margin(num,

13、den)计算幅值裕度gm()、相位裕度pm(1)、穿越频率wcg(%)、截止频率wcp仆。) num=0.6,5;den=(1.2*10A-4,10A-3,10.8,40) margin(num,den); gm,pm,wcg,wcp=margin(num,den)计算幅值裕度gm(%)、相位裕度pm(%)、穿越频率wcg(%)、截止频率wcp(豆。)运行结果gm =Infpm =15.6933wcg =Infwcp =307.8588由结果可知该系统幅值裕度为无穷， 截止频率为308rad/s， 相位裕度为15.7是正值，故系统稳定。总结本次课设是对一个弹簧-质量 -阻尼器系统建模并进行频率

14、特性分析。首先根据这个实际的机械系统的受力分析得出它的受力微分方程， 对其进行拉普拉斯变换， 可以得出传递函数。 在求开环传递函数的过程中我遇到了一些困难， 在老师的指点和同学的帮助下我发现自己其实把问题想得过于复杂了， 原来这是一个单位负反馈的稳定系统，求出的传递函数即为开环传函。接下来便是MATLAB 的应用， 利用 MATLAB 可以轻松地对系统做出频率特性分析， 画出 Bode 图和奈奎斯特图，并通过奈奎斯特判据判断闭环系统的稳定性。也可以利用MATLAB 语句直接求出各项频率特性指标， 从而可以进一步对系统做出分析， 完成既定目标。通过本次课设，加强了我对 MATLAB 程序的应用能

15、力，这是一款功能强大而又实用性很强的程序， 对于我们专业的学习有着很强的帮助性； 另一方面也加强了我对课本理论知识的理解，通过MATLAB 的分析也印证了平时自己学习理论知识时所用分析方法的正确性。最后通过本次课设也提高了我个人独立思考、查阅资料和解决问题的能力，使我受益匪浅。1 王子才 . 控制系统设计手册 . 北京：国防工业出版社， 19932 王树青，乐嘉谦. 自动化与仪表工程师手册. 北京：化学工业出版社， 20103 黄德先等 . 过程控制系统. 北京：清华大学出版社， 20114 蒋慰孙，俞金寿. 过程控制工程. 第二版 . 北京：中石化出版社， 20045 黄德先等 . 化工过程先进控制 . 北京：化学工业出版社， 20066 王孝武，方敏，葛锁良.自动控制理论.北京：机械工业出版社.20097 胡寿松.自动控制原理（第五版）.科学出版社.20078 胡寿松.自动控制原理习题解析.科学出版社 .2007如有侵权请告知删除， 文档可自行编辑修改内容，供参考，感谢您的配合和支持）