导数计算公式

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1、. .导数公式一、 根本初等函数的导数公式函数：(1)yf(x)c；(2)yf(x)x；(3)yf(x)x2；(4)yf(x)；(5)yf(x).问题：上述函数的导数是什么.提示：10，y0.2)(x)1，(3)(x2)2x，(4)，(5)().函数(2)(3)(5)均可表示为yx(Q*)的形式，其导数有何规律.提示：(2)(x)1x11，(3)(x2)2x21，(5)()(x)x，(x)x1.根本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sinxf(x)cos xf(x)cosxf(x)sin xf(x)axf(x)axln af(x

2、)exf(x)exf(x)logaxf(x)f(x)ln xf(x)二、 导数运算法那么f(x)x，g(x).问题1：f(x)，g(x)的导数分别是什么.问题2：试求Q(x)x，H(x)x的导数提示：y(xx)x，1，Q(x)1.同理H(x)1.问题3：Q(x)，H(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系.提示：Q(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的和，H(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的差导数运算法那么1f(x)g(x)f(x)g(x)2f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)3.(g(x)0)题型一利用导数公式直接求导例1求以下函数的导数：(1)y10x；(2)yl

3、g x；(3)；(4)y；(5).解(1)y(10x)10xln 10；(2)y(lg x)；(3) y；(4)y()；(5)y21sin22sincoscos21sin x，y(sin x)cos x.练习求以下函数的导数：(1)yx；(2)yx；(3)ylg 5；(4)y3lg；(5)y2cos21.解：(1)yxlnex；(2)yxln10xln 10；(3)ylg 5是常数函数，y(lg 5)0；(4)y3lglg x，y(lg x)；(5)y2cos21cos x，y(cos x)sin x.题型二利用导数的运算法那么求函数的导数例2求以下函数的导数：(1)yx3ex；(2)yxsi

4、ncos；(3)yx2log3x；(4)y.解(1)y(x3)exx3(ex)3x2exx3exx2(3x)ex.(2)yxsin x，yx(sin x)1cos x.(3)y(x2log3x)(x2)(log3x)2x.(4)y.练习求以下函数的导数：(1)y；(2)yxsin x；(3)y；(4)ylg x.解：(1)y.(2)y(xsin x)()sin xxcos x.(3)y2，y.(4)y(lg x).题型三导数几何意义的应用例3(1)曲线y5ex3在点(0，2)处的切线方程为_(2)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：yx310x13上，且在第一象限，曲线C在点P处的切线的斜

5、率为2，那么点P的坐标为_解析(1)y5ex，所求曲线的切线斜率ky|x05e05，切线方程为y(2)5(x0)，即5xy20.(2)设点P的坐标为(x0，y0)，因为y3x210，所以3x102，解得x02.又点P在第一象限，所以x02，又点P在曲线C上，所以y023102131，所以点P的坐标为(2,1)(1)5xy20(2)(2,1)练习假设曲线f(x)acos x与曲线g(x)x2bx1在交点(0，m)处有公切线，那么ab_.解析：f(x)asin x，g(x)2xb，曲线f(x)acos x与曲线g(x)x2bx1在交点(0，m)处有公切线，f(0)ag(0)1，且f(0)0g(0)

6、b，ab1.答案：1典例aR，函数f(x)x33x23ax3a3，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程解由得f(x)3x26x3a，故f(1)363a3a3，且f(1)133a3a31.故所求切线方程为y1(3a3)(x1)，即3(a1)xy43a0.一、斜率，求切线方程此类问题可以设出切点，利用导数与直线的斜率关系来确定切点，进而求出切线方程例：求与直线x4y10垂直的曲线f(x)2x21的切线方程解：所求切线与直线x4y10垂直，所以所求切线的斜率k4.设切点坐标为(x0，y0)，那么f(x0)4x04，即x01.所以切点坐标为(1,1)故所求切线方程为y14(x1)，即4xy3

7、0.二、过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点不一定是切点，故应先设出切点，再利用该点在切线上来确定切点，进而求出切线方程例：求过曲线f(x)x32x上的点(1，1)的切线方程解：设切点坐标为(x0，y0)，因为f(x)3x22，所以f(x0)3x2，且y0f(x0)x2x0.所以切线方程为yy0(3x2)(xx0)，即y(x2x0)(3x2)(xx0)因为切线过点(1，1)，故1(x2x0)(3x2)(1x0)即2x3x10，解得x01或x0，故所求切线方程为xy20或5x4y10.三、过曲线外一点，求切线方程这一题型要设出切点，再利用斜率公式及导数的几何意义列方程求出切点，从而求

8、出切线方程例：函数f(x)x33x，过点A(0,16)作曲线yf(x)的切线，求切线方程解：由题意知点A(0,16)不在曲线f(x)x33x上，设切点坐标为M(x0，y0)那么f(x0)3x3，故切线方程为yy03(x1)(xx0)又点A(0,16)在切线上，所以16(x3x0)3(x1)(0x0)，化简得x8，解得x02，即切点为M(2，2)，故切线方程为9xy160.课后练习1给出以下结论：(cos x)sin x；cos；假设y，那么y；.其中正确的个数是()A0 B1 C2 D3解析： (cos x)sin x，所以错误；sin，而0，所以错误；2x3，所以错误；x，所以正确答案：B2

9、函数ysin xcos x的导数是()Aycos2xsin2x Bycos2xsin2xCy2cos xsin xDycos xsin x解析： y(sin xcos x)cos xcos xsin x(sin x)cos2xsin2x.3假设f(x)(2xa)2，且f(2)20，那么a_.解析：f(x)4x24axa2，f(x)8x4a，f(2)164a20，a1.答案：14曲线yx4ax21在点(1，a2)处切线的斜率为8，那么a_.解析：y4x32ax，因为曲线在点(1，a2)处切线的斜率为8，所以y|x142a8，解得a6.答案：65求以下函数的导数：(1)yx；(2)y；(3)y(4xx)(ex1)解：(1)yxx31，y3x2.(2)y.(3)法一：y(4xx)(ex1)4xex4xxexx，y(4xex4xxexx)(4x)ex4x(ex)(4x)xexx(ex)xex4xln 44xex4xln 4exxex1ex(4xln 44x1x)4xln 41.法二：y(4xx)(ex1)(4xx)(ex1)(4xln 41)(ex1)(4xx)exex(4xln 44x1x)4xln 41.优选