D71常数项级数实用教案

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1、机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 7.1 数项级数(j sh)7.1.1 无穷(wqing)级数及其收敛性7.1.2 收敛级数的性质7.1.3 正项级数7.1.4 交错级数7.1.5 绝对收敛与条件收敛7.1.6 一般项级数一般项级数第1页/共72页第一页，共73页。引例1. 用圆内接正多边形面积(min j)逼近圆面积(min j).依次(yc)作圆内接正边形, 这个(zh ge)和逼近于圆的面积 A .设 a0 表示即内接正三角形面积, ak 表示边数增加时增加的面积, 则圆内接正机动 目录 上页 下页 返回 结束 7.1.1 无穷级数及其收敛性一 无穷级数及其收敛性的定义第

2、2页/共72页第二页，共73页。引例引例(yn l)2.小球从 1 米高处(o ch)自由落下, 每次跳起的高度减少一半, 问小球是否会在某时刻停止运动(yndng)? 说明道理.由自由落体运动方程知则小球运动的时间为( s )设 tk 表示第 k 次小球落地的时间, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共72页第三页，共73页。定义定义(dngy)1给定(i dn)一个无穷数列将各项依即称上式为(常数(chngsh)项）无穷级数，其中第 n 项叫做级数的通项。次相加, 简记为机动 目录 上页 下页 返回 结束 简称(常数项）级数，第4页/共72页第四页，共73页。机动 目录(ml)

3、上页 下页 返回 结束 定义定义(dngy)2(dngy)2（7.1.17.1.1）级数(j sh)前 n 项和称为级数的第n部分和.如果数列收敛于并称 S 为级数的和,并记如果 nS没有极限，则称级数发散。第5页/共72页第五页，共73页。当级数(j sh)为级数(j sh)的余项.显然(xinrn)机动 目录 上页 下页 返回 结束 称差值收敛时和为S即1nna注：判断级数是否收敛？以及收敛的级数如何求和？是级数重要的课题。第6页/共72页第六页，共73页。例例7.1.1 讨论讨论(toln)等比级数等比级数 (又称几何级数(j h j sh)敛散性. 解: 1) 若从而(cng r)因此

4、级数收敛 ,从而则部分和因此级数发散 .其和为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共72页第七页，共73页。2). 若因此(ync)级数发散 ;因此(ync)n 为奇数(j sh)n 为偶数从而综合 1)、2)可知,时, 等比级数收敛 ;时, 等比级数发散 .则级数成为不存在 , 因此级数发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共72页第八页，共73页。例例 判别下列判别下列(xili)级数的级数的敛散性敛散性:解: (1) 所以(suy)级数 (1) 发散 ;技巧(jqio):利用 “拆项相消” 求和机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共72页第九页，共73页。(2

5、) 所以(suy)级数 (2) 收敛, 其和为 1 .技巧(jqio):利用(lyng) “拆项相消” 求和机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用定义考察级数敛散性是一个重要的方法，其关键就是要求出部分和，“拆项相消” 求和这里有一些技巧如 第10页/共72页第十页，共73页。 例例判别(pnbi)级数的敛散性 .解:故原级数(j sh)收敛 , 其和为机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第11页/共72页第十一页，共73页。收敛(shulin)的充要条件是:二二 级数级数(j sh)敛散的敛散的 Cauchy判则判则 定理(dngl).7.1.1有证: 设所给级数部分和数列为因

6、为所以, 利用数列 的Cauchy判则即得本定理的结论 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 级数当时,对第12页/共72页第十二页，共73页。例例7.1.3 证明(zhngmng) 证明(zhngmng)级数 机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 对故对取当0nn时，12nnnpaaapN 对有故级数收敛。收敛。第13页/共72页第十三页，共73页。例例7.1.4 12nnnpaaa证明(zhngmng) 证明(zhngmng)调和级数 机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 令发散。这对都成立，故调和级数11nn发散。第14页/共72页第十四页，共73页。7.1.2 收敛级数收敛

7、级数(j sh)的性质的性质 若级数(j sh)1nna则证机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 定理7.1.2收敛，设注意到例级数、均发散。因为不存在，注只是级数1nna收敛的必要而非充分条件。例调和级数发散，但第15页/共72页第十五页，共73页。若级数(j sh)1nna则证机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 定理(dngl)7.1.5收敛，设1.nnas注意到故limnnrlim()nnSS0SS第16页/共72页第十六页，共73页。若级数(j sh)1nna和证机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 定理(dngl)7.1.3都收敛，为常数，则也收敛，并有1

8、nnnab第17页/共72页第十七页，共73页。注(2) 若两级数中一个(y )收敛一个(y )发散 , 则必发散(fsn) . 但若二级数都发散(fsn) ,不一定发散.例(1) 定理 表明两个收敛级数可逐项相加或减 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 故（3）若则1nna与同敛散。第18页/共72页第十八页，共73页。在级数(j sh)1nna证机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 定理(dngl)7.1.4中改变有限项的值，不影响设1nnb是改变1nna中改变有限后得到的级数。由于这两个级数只有有限项不同，故当时记则当0nn时常数故同敛散，定理成立。注特别地，在级数前面加上或

9、去掉有限项, 不会影响级数的敛散性。敛散性。第19页/共72页第十九页，共73页。定理定理(dngl) 收敛级数(j sh)加括弧后所成的级数(j sh)仍收敛于原级数(j sh)的和.证 设收敛(shulin)级数若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列 为原级数部分和序列 的一个子序列,注 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但发散.因此必有例例如机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共72页第二十页，共73页。例例 判断判断(pndun)级级数的敛散性数的敛散性:解: 考虑(kol)加括号后的级数发散(fsn) ,从而原级数发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 推论 若加

10、括弧后的级数发散, 则原级数必发散.第21页/共72页第二十一页，共73页。练习练习 判断判断(pndun)下列级数的敛散性下列级数的敛散性, 若收敛求其和若收敛求其和:解: (1) 令则故从而(cng r)这说明(shumng)级数(1) 发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共72页第二十二页，共73页。因进行(jnxng)拆项相消这说明(shumng)原级数收敛 ,其和为(2) 机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第23页/共72页第二十三页，共73页。211212nn1212nn这说明原级数(j sh)收敛, 其和为 3 .(3) 机动(jdng) 目录 上页

11、 下页 返回 结束 第24页/共72页第二十四页，共73页。7.1.3 正项级数正项级数(j sh)机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 若则称为正项(zhn xin)级数 .显然正项级数的部分和数列是单调增加的，一 正项级数 的定义及基本判定定理1 定义由单调数列数列当且仅当其有界得2 定理7.1.6正项级数1nna收敛充分必要条件是它的部分和数列 ns有界。第25页/共72页第二十五页，共73页。例例7.1.5 证明(zhngmng) 证明(zhngmng)级数 机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 这时一个正项级数，收敛故其部分和数列有界即可。注意到故级数 01!nn

12、收敛。第26页/共72页第二十六页，共73页。机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 二 正项级数(j sh)比较判别法定理(dngl) 7.1.7设是两个正项级数, 从某项开始有（强级数）（1）收敛，则（弱级数）收敛；1nnb（弱级数）（2）发散，则（强级数）1nna发散；注若正项级数11,nnnnab从某项开始有其中是常数。结论仍然成立！第27页/共72页第二十七页，共73页。证明(zhngmng) 机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 因为改变(gibin)有限项的值不改变(gibin)级数的敛散性，故可以假定nnab对所有的都成立。于是对都有1nnb（1）收敛，则有界

13、，因而有界，所以1nkka收敛。1nnb（2）发散，则1nkkb无界，因而1nkka无界，所以1nkka发散。第28页/共72页第二十八页，共73页。例例7.1.6 解 机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 称为(chn wi)弱级数(j sh) 11nn发散，故强级数级数，讨论它的敛散性。当时有11pnn发散。当时，令由Larange中值定理得又强级数收敛，故1p 当时，弱级数11pnn收敛。第29页/共72页第二十九页，共73页。调和级数调和级数(j sh)与与 p 级数级数(j sh)是两个是两个常用的比较级数常用的比较级数(j sh).若存在(cnzi)对一切(yqi)机动 目录

14、 上页 下页 返回 结束 则发散；1nna则收敛；当然还有等比级数。第30页/共72页第三十页，共73页。判断(pndun)级数敛散性解(1)例例7.1.7机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 (2)发散(fsn)所以(3)所以发散所以发散第31页/共72页第三十一页，共73页。判断(pndun)级数敛散性例当时，故当当1a 时，是公比小于1的几何级数(j h j sh)故收敛，1a 时，收敛(shulin)当时，解:故当1a 时，111nna发散。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第32页/共72页第三十二页，共73页。机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 定理(dngl)

15、 7.1.8设11,nnnnab是两个(lin )正项级数, 有(1)若则1nna1nnb与同敛散；(2)若则当1nnb收敛时，1nna也收敛。(3)若则当1nnb发散时，1nna也发散。第33页/共72页第三十三页，共73页。证明(zhngmng) 机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 (1)由limnnaAb可得，对0,nN0nn当时,有即若1nnb收敛(shulin)，则由右半不等式可知1nna也收敛。若1nnb发散，则由左半不等式可知1nna也发散。第34页/共72页第三十四页，共73页。机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 (2)若0,nN0nn当时,有即故当1n

16、nb收敛(shulin)，1nna也收敛(shulin)。(3)若0,nN0nn当时,有即故当1nnb发散，1nna也发散。特别得取可得如下结论 :对正项级数注nana收敛；发散。第35页/共72页第三十五页，共73页。例例 判别判别(pnbi)级数的敛级数的敛散性散性 解: (1)根据(gnj)比较审敛法的极限形式知机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 (2)22sinnn11sinnnnlim根据比较审敛法的极限形式知收敛第36页/共72页第三十六页，共73页。1根据(gnj)比较审敛法的极限形式知机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 1(4)(1 cos)nn根据比较审敛

17、法的极限(jxin)形式知收敛收敛2211ln(1)nn2211 cos2nn第37页/共72页第三十七页，共73页。例 判别(pnbi)级数的敛散性 解:故级数(j sh)发散(1)故级数(j sh)收敛故级数发散机动 目录 上页 下页 返回 结束 第38页/共72页第三十八页，共73页。机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 三 Cauchy 判别(pnbi)法定理(dngl) 7.1.9设1nna是正项级数, 从某项起有（1）（2）则1nna收敛；若有无穷多个使得则1nna发散。证明（1）不妨设对都有1,nnaq即强级数由收敛，故（2）由有无穷多个使得0,na可知不以零为极限，故

18、1nna发散。1nna收敛；第39页/共72页第三十九页，共73页。机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 定理(dngl) 7.1.10设1nna是正项(zhn xin)级数, 当（1）（2）1nna收敛；证明（1）（2）时，1nna收敛；当时，1nna发散。当01q时，可取使得于是0,nN0nn当时,有故当1q 时，可取0使得于是0,nN0nn当时,有1nna发散。故第40页/共72页第四十页，共73页。时 , 级数可能(knng)收敛也可能(knng)发散 .例注注但级数(j sh)收敛 ;级数(j sh)发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 p 级数当第41页/共72页第

19、四十一页，共73页。例例 讨论讨论(toln)级数的敛级数的敛散性散性 .解: 级数(j sh)收敛；级数(j sh)发散 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 级数发散 。(1)级数发散 ;当时，故当时，当时，第42页/共72页第四十二页，共73页。机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 四 Dalembert判别(pnbi)法定理(dngl) 7.1.11设1nna是正项级数, 从某项起有（1）（2）则则1nna发散。证明（1）不妨设对,nN 都有11,nnaqa故有强级数由1,q 收敛，故1nna收敛；从某项起有从而有1nna收敛；第43页/共72页第四十三页，共73页。

20、机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 定理(dngl) 7.1.11设1nna是正项(zhn xin)级数, 从某项起有（1）（2）则11,nnaqa则1nna发散。证明（2）1nna收敛；从某项起有11,nnaa显然必有当时,有及故当0nn时,有 na不以零为极限，故1nna发散。故第44页/共72页第四十四页，共73页。机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 定理(dngl) 7.1.12设1nna是正项(zhn xin)级数, 当（1）（2）01q时，收敛；当1q 时，1nna发散。1nna注当时 , 级数可能收敛也可能发散 .例:11pnnp 级数)(1n1,npan

21、但, 1p级数收敛 ;, 1p级数发散 .第45页/共72页第四十五页，共73页。例例 讨论讨论(toln)级数级数的敛散性 .解根据定理(dngl)4可知:级数(j sh)收敛 ;级数发散 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 讨论级数的敛散性 .解1limnnnaa级数收敛 ;第46页/共72页第四十六页，共73页。机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 五 Cauchy积分(jfn)判别法定理(dngl) 7.1.13 设在 证明上有定义，在1,)上非负且单调递减，则与同敛散。由 f x是单调递减可知，当时，有于是从而对,nN 有若 1df xx收敛，则由上式左半边可知从而级

22、数收敛；若广义积分发散，由上式右半边可知有界，无界，从而级数发散；第47页/共72页第四十七页，共73页。机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 例7.1.13 判别(pnbi)级数的敛散性解级数(j sh)与广义积分同敛散。当时，当时，故当时，级数收敛；当时，级数发散。第48页/共72页第四十八页，共73页。以上定理对正项级数(j sh)才成立.注例收敛(shulin).1nnb1nna由Leibnitz法知道(zh do)收敛其中而且但我们不能说注意到级数11,nnnnab不是正项级数比较法不成立事实上收敛,发散,故发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第49页/共72页第四十

23、九页，共73页。7.1.4 交错交错(jiocu)级数级数机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 设0,na 称级数(j sh)为交错级数 .或定理 7.1.14（Leibniz)对数列若满足(1) na单调递减(2)则级数111nnna收敛，且第50页/共72页第五十页，共73页。机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 定理(dngl) 7.1.14（Leibniz)设 na单调(dndio)递减趋于零，则级数111nnna收敛，且和不大于证明由 na单调递减趋于零，可知()()()2nS故单调增有界，故2nS收敛，设则有又故注由定理可知交错级数满足第51页/共72页第五十一页，

24、共73页。收敛(shulin)收敛(shulin)判别下列判别下列(xili)级数级数的敛散性的敛散性收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?发散收敛收敛 101 1nn机动 目录 上页 下页 返回 结束 第52页/共72页第五十二页，共73页。7.1.5 绝对绝对(judu)收敛与条收敛与条件收敛件收敛 若收敛(shulin) ,为条件收敛 .均为绝对(judu)收敛.例绝对收敛 ；则称级数条件收敛 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 1nna若1nna收敛,1nna发散,则称1nna注若绝对收敛 ，1nna必有一 绝对收敛与条件收敛定义及关系第53页/共72页第五十三页，共73页

25、。定理定理(dngl)7.1.15机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 即绝对收敛的级数(j sh)自身也一定收敛 .如果1nna收敛 ,则1nna也收敛。证明法一12nnnpaaa显然有由1nna收敛 及Cauchy判则知1nna也收敛。注由绝对收敛的定义及定理可知绝对收敛是一个“更强”的收敛，它不仅自身收敛，且1nna也收敛。而条件收敛仅自身收敛，而1nna发散。第54页/共72页第五十四页，共73页。定理定理(dngl)7.1.15机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 即绝对收敛(shulin)的级数自身也一定收敛(shulin) .如果1nna收敛 ,则1nna也收

26、敛。证明法二令显然且强级数1nna收敛 ,故也收敛。又故1nna也收敛。第55页/共72页第五十五页，共73页。注1:对非正项(zhn xin)级数(1) 首先(shuxin)应考察正项级数敛散性.1nna可以肯定(kndng)级数敛散性考察绝对收敛.若1nna收敛,则称1nna否则(2)1nna考察敛散性若收敛,则称1nna条件收敛.2:若在正项级数1nna是否收敛时法时有是发散的而非条件收敛.1nna用的是比值或根值第56页/共72页第五十六页，共73页。例例 讨论下列讨论下列(xili)级数的级数的敛散性敛散性解 (1)而收敛(shulin) ,收敛(shulin)因此绝对收敛 .机动

27、目录 上页 下页 返回 结束 第57页/共72页第五十七页，共73页。(2) 令因此(ync)收敛(shulin),绝对(judu)收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第58页/共72页第五十八页，共73页。例例 讨论下列讨论下列(xili)级数的级数的敛散性敛散性解: (1)故不绝对(judu)收敛 ,机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 1( 1)lnnnn是交错级数,单调减,且1( 1)lnnnn故收敛,故级数条件收敛而故发散第59页/共72页第五十九页，共73页。机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 1(2)( 1) tan(1)1nnnn解故原级数绝对(ju

28、du)收敛又级数(j sh)收敛故收敛第60页/共72页第六十页，共73页。212(3)( 1)!nnnn解故级数(j sh)发散(fsn)机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第61页/共72页第六十一页，共73页。二二 绝对收敛绝对收敛(shulin)级数与条件收敛级数与条件收敛(shulin)级数性质级数性质.定理(dngl)7.1.16机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 1nna若绝对收敛,则任意改变求和次序后所得的新级数仍收敛，且其和不变。证明(1)先假设是正项级数。设是改变求和次序所得的新级数。记由是中的项，则即有界，收敛，且1nna1nna1nna也是1nn

29、a改变求和次序所得的新级数。故有则所以第62页/共72页第六十二页，共73页。机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 (2)任意(rny)级数，1nna是改变求和(qi h)次序所得的新级数。1nna由于1nna收敛，故可以任意交换次序，即有令显然有故比较法知正项级数收敛，且分别是正项级数改变求和次序所得的新级数。故则第63页/共72页第六十三页，共73页。推论(tuln) 7.1.11nna绝对(judu)收敛,令,2nnnaab,2nnnaac则正项(zhn xin)级数和都收敛。推论 7.1.2条件收敛,1nna令,2nnnaab,2nnnaac则正项级数1nnb1nnc和都发散。证

30、明条件收敛知1nna由1nnb1nnc和不能都收敛。又故由1nna收敛性知1nnb1nnc和都发散。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第64页/共72页第六十四页，共73页。定理(dngl) 7.1.171nna机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 设级数(j sh)条件收敛，则适当改变求和次序可以使新级数(1)收敛于给定的任意实数；(2)发散于(3)发散于(4)有其他性态的发散性第65页/共72页第六十五页，共73页。7.1.6 一般一般(ybn)项级数项级数 机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 一 Abel分部求和(qi h)公式定理 7.1.18记则证明约定则有第66页/

31、共72页第六十六页，共73页。机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 二 Dirichlet 判别(pnbi)法定理(dngl) 7.1.19如果级数满足下面两个条件(1)数列单调趋于零；(2)有界，即则级数1nnna b收敛。证明令则不妨设 nb单减趋于零，则对0,nN0nn当时,有则由Abel分部求和公式可知对一切成立，故由Cauchy判则知级数收敛。第67页/共72页第六十七页，共73页。例 7.1.16讨论(toln)机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 的敛散性解当时，该级数(j sh)是调和级数(j sh)故发散；当时，记于是由Dirichlet判则知级数收敛第68页

32、/共72页第六十八页，共73页。例 7.1.17求证(qizhng)机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 条件收敛证明(zhngmng)由例7.1.16可知1cosnnn收敛。若它绝对收敛，则由可知也收敛。而21cosnnn由于发散，则也必发散，这与1cos2nnn收敛矛盾。故1cosnnn条件收敛第69页/共72页第六十九页，共73页。机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 三 Abel 判别(pnbi)法定理(dngl) 7.1.19如果级数1nnna b满足下面两个条件(1)数列 nb单调有界；(2)则级数1nnna b收敛。证明由1nna收敛。数列 nb单调有界，则收敛，

33、设 nb则数列单调趋于零，又由1nna收敛及Dirichlet定理可知命题成立。第70页/共72页第七十页，共73页。例 7.1.16讨论(toln)机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 的敛散性解令显然(xinrn)数列 nb单调有界；1nna是满足Leibniz条件的交错级数故收敛。注意到故级数不绝对收敛。于是由Abel定理知级数收敛，故级数条件收敛。第71页/共72页第七十一页，共73页。感谢您的欣赏(xnshng)！第72页/共72页第七十二页，共73页。NoImage内容(nirng)总结机动 目录 上页 下页 返回 结束。7.1.5 绝对收敛与条件收敛。这个和逼近于圆的面积 A .。增加时增加的面积,。小球从 1 米高处自由落下, 每次跳起的高度减。例7.1.1 讨论等比级数。解: 1) 若。时, 等比级数发散 .。不存在 , 因此级数发散.。所以级数 (1) 发散。利用 “拆项相消” 求和。故原级数收敛 , 其和为。7.1.2 收敛级数的性质。一 正项级数 的定义及基本判定(pndng)定理第七十三页，共73页。